1. LAS MATRICES UN MUNDO
MARAVILLOSO
Por: Iliana De Gracia
Francesca Samudio
Olivar Castrellòn

2. Colegio:
Beatriz Miranda de Cabal
Profesor:
Roberto de Obaldía
Grupo:
VIA3
Tema:
Las Matrices

3.  Introducción
 Contenido:
 Historia de las matrices
 Definición de matriz
 Tipos de matrices
 Ejemplo de matrices
 Método de Gauss
 Regla de Cramer
 Problemas

 Conclusión
Bibliografía
3

4.  El material que vamos a presentar nos va ha mostrar
coseptos básicos para el desarrollo de matrices las
cuales son utilizadas para describir sistemas de
ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los
coeficientes de una aplicación lineal y registrar los
datos que dependen de varios parámetros. Las
matrices se describen en el campo de la teoría de
matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y
descomponerse de varias formas, lo que también las
hace un concepto clave en el campo del álgebra
lineal.
4

5.  El origen de las matrices es muy antiguo. Un
cuadrado mágico , 3 por 3, se registra en la
literatura china hacia el 650 a. C.
 Es larga la historia del uso de las matrices para
resolver ecuaciones lineales. Un importante
texto matemático chino que proviene del año
300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el
Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu),
es el primer ejemplo conocido de uso del
método de matrices para resolver un sistema
de ecuaciones simultáneas. 5

6. 
1 4 -2
Una matriz es una tabla cuadrada o
rectangular de datos (llamados
elementos o entradas de la matriz)
0 8 2
ordenados en filas y columnas, donde
una fila es cada una de las líneas
horizontales de la matriz y una
0 0 7
columna es cada una de las líneas
verticales.
6

7. 7

8. 8

9. 9

10. Una matriz fila está constituida por una sola
fila
2 3 -1 8
Tiene un orden que es de 1x4
1/8 4 2 5
10

11.  La matriz columna tiene una sola columna.
4x1
-7 1
2
1
3
6 0
3
11

12.  La matriz rectangular tiene distinto número de
filas que de columnas, siendo su dimensión m
x n.
1 2 3
9 1 3
12

13.  La matriz cuadrada tiene el mismo número de
filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la
diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos
con i+j = n+1.
1 2 -5
3 6 5
0 -1 4
13

14.  En una matriz nula todos los elementos son
ceros.
0 0
0 0
14

15.  En una matriz triangular superior los
elementos situados por debajo de la diagonal
principal son ceros.
1 7 -2
0 -3 4
0 0 2
15

16.  En una matriz triangular inferior los
elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros.
2 0 0
1 2 0
3 5 6
16

17.  Una matriz escalar es una matriz diagonal en la
que los elementos de la diagonal principal son
iguales.
2 0 0
0 2 0
0 0 2
17

18.  En una matriz diagonal todos los elementos
situados por encima y por debajo de la diagonal
principal son nulos.
2 0 0
0 2 0
0 0 6
18

19.  Una matriz identidad es una matriz diagonal
en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
19

20. 1) X-2y+3z=-7 2) 2x- 4y+3z =-12
2x –y -z=7 3x -y +2z =-3
-x+3y+2z=-8 -4x -6y+8z =1
1 -2 3 -7 2 -4 3 -12
2 -1 -1 7 3 -1 2 -3
-1 3 2 -8 -4 -6 8 1
20

21.  Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta
de “A” a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
 A= 2 3 0 At = 2 1 3
1 2 0 3 2 5
3 5 6 0 0 6
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At 21

22.  Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es
la matriz m-por-n calculada sumando los elementos
correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ).
Es decir, sumar cada uno de los elementos
homólogos de las matrices a sumar.
 Por Ejemplo:
1 2 3 1 0 5 1+1 3+0 2+5 2 3 7
1 0 0 + 7 5 0 = 1+7 0+5 0+0 = 8 5 0
1 2 2 2 1 1 1+2 2+1 2+1 3 3 3
22

23. 23

24.  At+Bt Ejemplo 2:
 At= 4 3 -4
½ ¾ 5
1 -1 2
Bt= 3 4 5
-1 -2 -3
1/5 -0.75 ½
24

25.  Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
 Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A+B=B+A
 Existencia de matriz cero o matriz nula
A+0=0+A=A
 Existencia de matriz opuesta
con gr-A = [-aij]
A + (-A) = 0
25

26.  Sumar:
4 ½ 1 3 -1 1/5
A= B= 4 -2 -0.75
3 ¾ -1
-4 2/5 2 5 -3 1/2
4+3 1/2(-1) 1+1/5
A+B= 3+4 ¾+(-2) -1+(-3/4)
-4+5 2/5+(-3) 2+1/2
7 -1/2 6/5
7 -5/4 -7/4
A+B= 26
1 -13/5 5/2

27.  Dada una matriz A y un escalar c, su producto
cA se calcula multiplicando el escalar por cada
elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
 Ejemplo:
2x1 2x8 2x-3 2 16 -6
2 1 8 -3 = =
4 -2 6 2x4 2x-2 2x6
8 -4 12
27

28.  Sean A y B matrices y c y d escalares.
 Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces
cA es matriz.
 Asociatividad: (cd)A = c(d A)
 Elemento Neutro: 1·A = A
 Distributividad:
 De escalar: c(A+B) = cA+cB
 De matriz: (c + d)A = cA+dA
28

29.  Si A es una matriz m×n y B es una matriz
n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz
m×p (m filas, p columnas) dada por:
 (AB)[i,j]=A[i,j]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+…+A[ i,n]B[n,j]
para cada par i y j.
Por ejemplo:

3 1
1 02 x =
(1x3 +0x2+2x1) (1x1+0x1+2x 0)
= 51
2 1
-1 3 1 (-1x3+3x2+1x1) (-1x1+3x1+1x0) 42
1 0
29

30. Mètodo de Gauss
La eliminación de Gauss-Jordan ,mas conocida Como el Mètodo de
Gauss, es un Mètodo aplicable únicamente a los sistemas lineales
de ecuaciones, y consistente es triangular la matriz aumentada del
sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener
ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al
coeficiente situado en la misma fila de la matriz.
2 0 0 4
0 ½ ½ 1
0 0 -1 1
30

31. Es un teorema en algebra lineal, recibe el nombre en
honor a Gabriel Cramer.
Si Ax=B es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de
coeficientes del sistema es el vector columna de las
incógnitas y B es el vector columna de los términos
independientes. Entonces A es la matriz resultante de
reemplazar4 la columna B.
Lo representamos en forma de matrices asi:
a b x e
=
c d y f
31

32. 3 5 = (3)(-1)-(4)(5) = -3-20=-23 A) 3x+5y=7
D= 4 -1 4x- y= -6
Dx= 7 5 =(7)(-1)-(-6)(5)=-7+30=23
-6 -1
Dy= 3 7 =(3)(-6)-(4)(7)=-18-28=-46
4 -6
X=Dx/D= 23/-23=-1
Y=Dy/D=-46/-23=2 R: -1,2 32

33. problemas
33

34. -1 1⁄2 5 2⁄3 -3 0.2 -157⁄105 26 -19⁄20
-2 1⁄3 0
1. A= -3 1⁄4 5
B= 1⁄5 -4 1⁄8
-17 -5 1⁄6
R= 209⁄420 -49⁄12 11⁄60
-55⁄21 -40 11⁄6
-1 1⁄2 5 2/3 1/5 -1/7
2. 2⁄3 -2 1/3 0 -3 -4 -5 R= -7/9 -3/60
-14/9 -52/45
-64/63
-58/63
-3 ¼ 5 1/5 1/8 1/6 -7/6 -13/20 1/126
5 -1 4
3. 3 0 -9 + -3 4 8 R= 2 3 12
0 -1 10 3 -1 1
5 -2 2 3 3 -5
4. 7 1 - 0 1
R= 7 0
8 0 3 2 5 0
34

35. 3 5 7 -5/4 8/3 29/8
5. ½ -1/2 1/3 ¼ + 1 -1 1
R= 1 -1 3/2
1 -1 2
3 4 -5 ½ -3/4 1/5 7/4 13/8 -22/5
6. X+3Y =6
5X-2Y =13 R. (3,1)
7. 4X+5y=5
-10y-4x=-7 R: (3/4,2/5)
8. 3x+4y=8
8x-9y=-77 R: (-4,5)
35

36. 9. 5x/12-y=9
x-3y/4=15 R.(12,-4)
10.11x-3y=39
5y+2x=-4 R: (3,-2)
11. 5(x+3y)-(7x+8y)=-6
7x-9y-2(x-18y)=0 R:( 162/89,-30/89)
12.x-3y+2z=5
2x+5y-4z=-3 R: (2,1,3)
35
-3x+y-2z=-11

37. 13. x-2y+4z=5
-3x+4y-2z=-8 R: (1,-1,1/2)
5y+4x-4z=-3
14. 5x-3y+4z=22
-x-15y+10z=-15 R: (5,1/3,-1/2)
-3x+9y-12z=-6
15. 9x+4y-10z=6
6x-8y+5z= -1 R: (1/3,1/4,-1/5)
12x+12y-15z=10
16. x+3y=1
-2x-3Y=4 R: (-5,2)
35

38. 17. 2x+4y=-2
-5x-2y=13 R: (-3,1)
18. -x -2y=2
x+3y=-6 R: (6,-4)
19. 5x-7y=-21
-4x+3y=22 R: (-7,-2)
20. 2x+5y+3z=2
6x-9y =5 R:( 2,-2-1)
3y+2z=1

39.  El término "matriz" fue acuñado en
1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton
hizo algunos aportes a la teoría de matrices.
Cayley introdujo en 1858 la notación
matricial, como forma abreviada de escribir
un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas. Grassmann, Frobenius y von
Neumann están entre los matemáticos
famosos que trabajaron sobre la teoría de
matrices.
36

40.  http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema de
ecuaciones lineales.
 http://es.wikipedia.org/wiki/matriz
aumentada.
 www.google.com
37