Trabajo realizado por el alumno de Estalmat de 1º de Veteranos, Francisco Jesús Matas Díaz. Curso 2010-2011

1. MATEMÁTICAS EGIPCIAS Francisco Jesús Matas Díaz 05/03/11

2. NOTACIÓN Además de los jeroglíficos, los egipcios utilizaban unos símbolos como representación de los números cardinales.

3. Para formar el resto de números se disponían los símbolos anteriores en orden decreciente (centenas > decenas > unidades) de manera que sumen dicho número. 33 = ∩∩∩III

4. OPERACIONES BÁSICAS

5. SUMA En el nuevo número se agrupan todos los símbolos iguales. Si sobrepasan los diez, se cambian por el siguiente símbolo en la tabla. 33 + 37 = 70 ∩∩∩III ∩∩∩IIIIIII ∩∩∩∩∩∩IIIIIIIIII ∩∩∩∩∩∩∩ Signo + =>

6. RESTA El proceso es al revés del de la suma A los símbolos del minuendo les restamos los del sustraendo. Si el número de símbolos del sustraendo supera al del minuendo, un símbolo de la siguiente potencia de 10 se sustituye por diez símbolos más. Signo - =>

7. 43 – 36 = 7 ∩∩∩∩III ∩∩∩IIIIII ∩∩∩IIIIIIIIIIIII ∩∩∩IIIIII IIIIIII

8. MULTIPLICACIÓN Para llevarla a cabo era necesaria una tabla. En la primera columna se escribe la serie F1 (factor 1), 2·F1, 4·F1… En la segunda, la serie 1, 2, 4, 8… An≤F2<An+1. La solución es 2·F1+4·F1+…+An·F1=F1·F2

9. DIVISIÓN Es el proceso inverso a la multiplicación. En la primera columna se escribe la suma 1, 2, 4, 8… En la segunda, la serie d (divisor), 2d, 4d…An·d Cociente = 1+4+16+…+An. Dividendo = d+4d+16d+…+An. Si fuese inexacto, habría que sumarle al cociente [(Dinex-Dex)/d]. Dex es el dividendo exacto inferior más cercano.

10. Á L G E B R A

11. Notación de las fracciones Sólo se pueden expresar fracciones unitarias: I II = 1/3 ∩ = 1/10 A excepción de 2/3 y 3/4 1/2 se escribía de forma distinta: El resto se escribían como suma de fracciones unitarias.

12. Resolución de ecuaciones lineales Las resolvían por el método de la falsa posición o regula falsi. En primer lugar atribuían un valor falso a la incógnita (para ellos, el montón). Luego, mediante una regla de tres simple se obtiene el valor verdadero del montón.

13. Ejemplo El siguiente problema aparece en el Papiro Rhind (S. XVII a.C.). “Un montón, sus dos tercios, su mitad, todos juntos hacen trece. ¿Cuál es la cantidad?”. x + (2/3)x + (1/2)x = 13

14. Sustituimos la x por 18, por ejemplo: 18 + (2/3)·18 + (1/2)·18 = 39 Y ahora, la regla de tres: 18 39 x 13 (18·13)/39 = 6. 6 es la solución.

15. Problemas

16. Problema 24 del Papiro de Rhind. Una cantidad y 1/7 de la misma da un total de 19. ¿Cuál es la cantidad? Es equivalente a la expresión [x + x/7 = 19]. Sustituimos x por 14, por ejemplo: 14 + 14/7 = 14 + 2 = 16 Usamos la regla de tres: (14·19)/16 = 16 + 1/2 + 1/8

17. Problema del Papiro de Berlín El área de un cuadrado de 100 codos cuadrados es igual a la suma de la de otros 2 cuadrados más pequeños. El lado de uno de ellos es 1/2 + 1/4 del otro. Averigua los lados de los cuadrados. El problema es equivalente a la expresión: x2 + y2 = 100 y = (1/2 + 1/4)x Sustituimos: x2 + [(1/2 +1/4)x]2 = 100 x2 + (1/4 +1/16 + 1/4)x2 = 100 x2 + (1/2 +1/16)x2 = 100

18. x2= z z + (1/2 +1/16)z = 100 Ya lo podemos resolver como una ecuación lineal. z = 16, por ejemplo. 16 + 8 + 1 = 25 Regla de tres: (16·100)/25 = 64 x = 641/2 = 8. y = (1/2 + 1/4)· 8 = 6.

19. G E O M E T R Í A

20. Importancia de la geometría. Es seguramente la parte de las matemáticas más importante. Debido a la necesidad de los agrimensores para recalcular las lindes de los campos tras la inundación anual del Nilo. Los escasos datos encontrados (en el papiro de Ahmes y en el de Moscú) no son correctos, sino aproximados.

21. Cálculo de áreas.

22. A) Figuras cuadrangulares. Se aplicaba la fórmula: A = [(a+b)/2]· [(c+d)/2] Era exacta para rectángulos, pero sólo aproximada para otros más irregulares. a d c b

23. B) Triángulo isósceles. Se deduce de la expresión anterior. A = [b/2]· h No se utilizaban los conceptos de base, altura, etc. a c h b

24. C) Área del círculo: π. Del área del círculo es la parte de la que más se ha escrito. Ahmes realiza una aproximación de 3.1605. Sin embargo, no utilizaban π como una constante.

25. El mayor éxito de los escribas egipcios fue el cálculo del área del círculo: el sistema empleado era sustraer 1/9 del diámetro y calcular la superficie del cuadrado correspondiente, lo que da ese valor para π de 3'1605, cuando el resto de los pueblos de la época usaban valor 3.

26. Cálculo de volúmenes

27. Tronco de pirámide de base cuadrada Empleaban la fórmula: V = (h/3) (a² + ab + b²). h esla altura. a esel lado de la base mayor. b esel lado de la base menor. Era útil para laarquitectura.

28. Tronco de cono Se empleaba la fórmula: V = h/12 [ 3/2 (D+d)]² h esla altura. D y d sonlascircunferencias. Los escribas necesitaban conocer la capacidad de los recipientes cilíndricos. El volumen es el área del círculo de la base multiplicado por la altura. Cilindro

29. Problemas

30. Problema 50 del papiro de Rhind. Calcular el área de un campo circular cuyo diámetro es 9 jet. Se resuelve considerando su área igual a la de un cuadrado de lado 8/9 el diámetro. A = [d-(d/9)]² A = (9-1)² = 64 jet².

31. Problema 52 del papiro de Rhind. ¿Cuál es el área de un triángulo truncado de 20 jet de lado, 6 jet de base y 4 jet en su línea de sección? Se suma su base a su segmento de corte, obteniéndose 10. Se toma la mitad (5) para formar un rectángulo. Se halla el área del rectángulo: A = 5· 20 = 100 jet².

32. Problema 10 del papiro de Moscú. Área de una superficie parecida a un cesto de diámetro 4,5. En el papiro se emplea la fórmula: S = [1-(1/9)]²· (2· 4,5)· 4,5 = 32 jet².

33. Problema 14 del papiro de Moscú. Calcular el volumen de un tronco de pirámide rectangular de altura 6 y bases 2 y 4. Empleamos la fórmula: V = (h/3) (a² + ab + b²) V = (6/3) (2² + 2· 4 + 4²) V = 56 jet3.

34. Trigonometría

35. Problema 56 del papiro de Rhind. ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubitsde lado en la base? El seqt es la pendiente. Se calcula 1/2 de 360 que da 180. Se divide 250 entre 180, que resulta 1/2 + 1/5 + 1/50. 1 cubit = 7 palmos, luego se multiplica 7 por lo anterior y da 5 + 1/25 palmos por codo.

36. F I N