Este documento resume la ciencia matemática en el Antiguo Egipto. Explica que los principales documentos matemáticos egipcios son los papiros de Rhind, Moscú, Berlín y otros. Describe que contenían problemas aritméticos, geométricos y algébricos resueltos mediante el método de falsa posición. Los egipcios conocían conceptos como áreas, volúmenes, proporcionalidad y ecuaciones de primer grado. La geometría se usaba para medir tierras después de las inundaciones.

1. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Esther Alonso Bueno Febrero 2011

3. El papiro de Moscú

4. El “rollo de cuero”

5. El papiro de Kahun

6. El papiro de Berlín

7. El papiro de Reiner

9. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Papiro de Rhind o papiro de Ahmés Tiene unos 33 cm de alto por unos 5 metros de largo. El papiro está redactado en escritura hierática, el tipo de escritura egipcia que usaban los sacerdotes. Es el documento más importante para conocer el estado de las matemáticas en el Antiguo Egipto. Contiene 85 problemas matemáticos y su resolución. Hay una gran variedad de temas matemáticos: cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica, lo que hace pensar que fue escrito con intención pedagógica.

10. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Fue escrito por un escriba de nombre Ahmes aproximadamente en el año 1650 a. C. Según dice el propio Ahmes, es una copia de un documento anterior, que se debió escribir entre el 1800 y el 2000 a. C. En la introducción dice: Directrices para el conocimiento de todas las cosas inherentes a todo lo que existe y el conocimiento de todos los secretos. Copiado en el año 33 en el cuarto mes de la inundación siendo faraón A-user, a semejanza de escritos antiguos del tiempo de Nema-et. El escriba Ahmes los copia.

11. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto El papiro fue exhumado en Tebas en un pequeño edificio cerca del templo mortuorio de Ramsés II. Fue comprado en el mercado de Luxor, junto a otras antigüedades, por el anticuario escocés Alexander Henry Rhinden 1858. Pocos años después, en 1865, fue adquirido por el Museo Británico.

12. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto La primera parte del papiro de Rhind consta de 20 problemas aritméticos y 20 algebraicos. Los primeros rudimentos de lo que conocemos actualmente como Álgebra lineal se han encontrado en este documento conocido también como el Libro de Cálculo. El origen de los problemas está estrechamente relacionado con la vida cotidiana. Las ecuaciones venían totalmente expresadas con palabras pues el álgebra simbólica estaba muy lejos de ser creada.

13. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Este es el aspecto original del un problema y su solución. El enunciado está escrito en la primera línea y se lee de izquierda a derecha. La traducción dice: Una cantidad (o un montón) y su séptimo sumados juntos resulta 19 ¿Cuál es la cantidad? La cantidad o montón era la manera de nombrar a lo desconocido, la incógnita.

14. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto La incógnita, que se llama aha (montón), aparece representada por un ibis que significa escarbando en el suelo, posiblemente por su originaria aplicación a la agrimensura.

15. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Los egipcios resolvían las ecuaciones por un método conocido como regla de falsa posición. Atribuían un valor falso al la cantidad que es la incógnita. Después, mediante una regla de tres simple obtenían el valor verdadero.

16. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Regla de falsa posición “regula falsi” Una cantidad, sus dos tercios y su mitad, todos juntos hacen trece ¿Cuál es la cantidad? X + 2/3X +1/2 X = 13 Atribución de un valor falso, por ejemplo el 12 X + 2/3X + 1/2 X = 13 12 + 2/3(12) + 1/2 (12) = 26 2) Obtención del valor verdadero

17. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Este método es un ejemplo del uso de aproximaciones, en que se parte de un valor falso y se va corrigiendo hasta mejorar el resultado. En este caso se obtiene la solución exacta. X + 2X/3 +1X/2 = 13 X= 1; 1 + 2/3 +1/2 =13/6 X= 2; 2 + 2(2) /3+1(2) /2=11/3 X= 3; 3 + 2(3) /3+1(3) /2=13/2 X= 4; 4 + 2(4)/3 +1(4) /2=26/3 X= 6; 6 + 2(6)/3+1(6)/2=13 X= 9; 9 + 2(9)/3+1(9)/2=39/2 X= 12; 12 + 2(12)/3+1(12)/2 =26

18. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto En este fragmento del papiro de Rhind están los problemas 24 a 30

19. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Problema 24 del papiro de Rhind Una cantidad más su séptimo hacen 19 ¿Cuál es la cantidad? X + X/7 = 19 1) 7 + 7/7=8 2)

20. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Los papiros de Berlín son una colección de papiros matemáticos y médicos datados alrededor del 1300 a.C. Se desconoce el autor de los mismos. Destacan dos problemas que se resuelven mediante sistemas de ecuaciones.

21. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Problema del papiro de Berlín Enunciado: Te dicen que el área de un cuadrado de 100 codos cuadrados es igual a la suma de la de otros 2 cuadrados más pequeños. El lado de uno de ellos es 1/2 + 1/4 del otro. Averigua los lados de los cuadrados. Solución: Supón que uno de los cuadrados tiene lado 1 codo. El otro entonces será de 1/2 + 1/4 de codo. Las áreas son: para el primero 1 codo cuadrado y para el segundo el resultado de elevar al cuadrado 1/2 + 1/4.Aplicando el método de multiplicación el resultado es: 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/16 = 1/2 + 1/16. Entonces la suma de las 2 áreas de los cuadrados es 1 + 1/2 + 1/16 de codo. La raíz cuadrada de esta suma es 1+1/4. Como la raíz cuadrada de 100 es 10 debemos encontrar un número N tal que al multiplicarlo por 1+1/4 nos de 100. Es decir hay que dividir 100 entre 1+ 1/4. El número buscado es 8.Entonces el otro cuadrado tendrá un lado de 6 codos.

22. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Para nosotros este problema se transforma en resolver el sistema de ecuaciones: x2 + y2 = 100 y = (1/2 + 1/4 )x x2 + [(1/2 + 1/4 )x]2 = 100; x2 + [(3/4) x]2 = 100; x2 = 100(16/25); x2 = √64; x = 8 y2 = 100-x2 ; y2 = 100-82; y2 = 36; y2 = √36; y = 6

23. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Geometría

24. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto La geometría fue descubierta por los egipcios como resultado de la medición de sus tierras; estas mediciones eran necesarias debido a las inundaciones del Nilo…” Eudomo de Rodas

25. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Cuando el Nilo se desbordaba las orillas se volvían fértiles. Grabado de David Roberts en su viaje entre 1838-1839: " Las colosales estatuas en el llano de Tebas durante la inundación del Nilo"

26. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto La geometría fue utilizada por los agrimensores para recalcular las lindes de los campos tras la inundación.

27. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto La mayoría de los problemas de geometría que aparecen en los papiros hacen referencia a las fórmulas necesarias para evaluar el área de figuras planas y de ciertos volúmenes.

28. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Los egipcios parecen acostumbrados a transformaciones que comprenden la semejanza de triángulos con ayuda de triángulos isósceles y trapecios isósceles.

29. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto El área de un triángulo isósceles se obtiene multiplicando la mitad de la base por la altura. Problema 51 Enunciado Un triángulo tiene 10 jet de altura y 4 jet de base ¿Cuál es su área? Solución Toma la mitad de 4 (es decir, 2), para formar un rectángulo. Multiplica 10 por 2, y el resultado 20 es la superficie buscada. La expresión “para formar un rectángulo” indica que se empleaba un procedimiento gráfico como en la figura.

30. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Problema 50 Enunciado Un campo circular tiene 9 jet de diámetro ¿Cuál es su superficie? Solución Debes sustraer de 9 su novena parte: queda 8. Ahora tienes que multiplicar 8 veces: resulta 64. Esa es la superficie. El escriba Ahmes emplea la siguiente fórmula A = (d-1/9d)2. Si comparamos esta fórmula con la real A = π r2 = π (9/2)2. Afirmar que el resultado es 64 equivale a decir que: π = 82/ (9/2)2 = (16/9)2 = 256/81 = 3,1605 = 3 + 1/6 Este valor de πes, con mucho, el más aproximado que se dio en la antigüedad anterior a la geometría griega

31. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto El resultado del problema nos dice que la superficie de un círculo de 9 unidades de diámetro equivale a la superficie de un cuadrado de 8 unidades 2) Se subdivide en cuadrados de lado unidad, obteniéndose así un mallado de 9x9 cuadrados unitarios. 1) Se considera el cuadrado circunscrito al círculo. Su lado mide 9, y el área es igual a 92 = 81 4) El área del octógono es equivalente a restar al área del cuadrado (81) el área de la región sombreada(18), es decir, el área sería 81-18=63. 3) Se traza un octógono irregular, que será tomado como aproximación del círculo. 5) Por último, como 82 = 64 es cercano a 63, el área del círculo, que había sido aproximado por el del octógono, es de nuevo aproximado por 82, resultando que el área es (8/9 x 9)2.

32. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Papiro de Moscú o papiro de Golenishchev El papiro de Moscú. Rollo de papiro comprado en Egipto en 1893 por Golenishchev y conservado en el museo de artes de Moscú. Fue escrito hacia el año 1850 a. C. por un escriba desconocido. Contiene 25 problemas relacionados con la vida práctica y se parece al de Rhind, salvo en dos problemas de particular significación: el 10 y el 14.

33. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto En el problema 10 se calcula la superficie de una semiesfera como la de un cesto.

34. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Problema 10 del papiro de Moscú Calcular el área de una superficie que parece un cesto de 4+1/2 de radio. La resolución emplea la fórmula S = (1 - 1/9)2(2x)x, siendo x = 4,5. El resultado final es 32. El resultado se corresponde con una el de la superficie de una semiesfera. Es el resultado más antiguo conocido de la superficie de un hemisferio, 1500 años antes de los primeros cálculos de la superficie de la esfera por los griegos.

35. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Las mastabas egipcias eran tumbas con forma de tronco piramidal.

36. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Problema 14 del papiro de Moscú Si es os dice: una pirámide trucada de altura 6 y de base 4 y 2; debéis tomar el cuadrado de 4 que es 16, después doblar 4 para obtener 8, toma el cuadrado de 2 que es 4, sumar 16, 8 y 4 para obtener 28; calcular 1/3 de 6 que es 2, multiplicar 28 por 2 que da 56; veis es 56. Es evidente que Ahmes conocía la fórmula V = (a2 + ab + b2)h/3, que representa el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada.

37. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto No se conoce como fueron capaces de deducir la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide.

38. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Trigonometría

39. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto En el problema 56 del papiro de Rhind se soluciona una cuestión clave en la construcción de las pirámides.

40. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Problema 56 del Papiro de Rhind Enunciado: ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubits de lado en la base? Resultado:Calcula 1/2 de 360 que da 180. Multiplica 250 hasta obtener 180, que da 1/2+1/5+1/50 .Un cubit son 7 palmos. Multiplica ahora 7 por 1/2+1/5+1/50 que da 5+1/25. Luego el seqt es 5+1/25 palmos por codo. El seqt es lo que hoy conocemos por pendiente de una superficie plana inclinada. En mediciones verticales se usaba el codo y en las horizontales el palmo que equivalía a 1/7 del codo

41. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto El seqt es la razón entre los catetos de un triángulo rectángulo. x = ángulo s = subida a = avance seqt x = a/s Por el Teorema de Tales de semejanza de triángulosa/s=a’/s’= seqt de x

42. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto En la construcción de una pirámide un problema esencial es mantener la pendiente (ángulo) uniforme en cada cara y la misma en las cuatro. Esto supone que todas las piezas triangulares que forman las caras de las pirámides deben, independientemente de su tamaño, guardar la relación adecuada entre “avance” y “subida”, deben mantener la seqt constante.

43. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto Este problema es también importante porque contiene aspectos de trigonometría pues el seqt de α es la cotangente de α. 250 α 180 360

44. La Ciencia Matemática en el Antiguo Egipto

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