1. ÁRBOL CON RAÍZ : DEFINICIÓN
 Sea A un conjunto y T una relación en A .
Se dice que T es un árbol si posee un vértice vo en A con la
propiedad de que existe una única trayectoria de vo hacia
cualquier otro vértice de A pero no existe una trayectoria de
vo a v o .
Notación:
 Se dice que T es un árbol con raíz y se denota (T, vo)
 vo se denomina raíz del árbol T
 Cualquier otro elemento de A es un vértice en T.
Observación:
35
T se representa por su Digrafo
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte

2. EJEMPLO v9 v11
v4
v5 v0 v3
v1
v8
v2
v6
v10
v7 36

3. DISEÑO DE UN ÁRBOL CON RAÍZ
◦ Se ubica a la raíz vo , de la cual se dirá que esta en el nivel 0.
◦ Ninguna arista entra a vo pero pueden salir varias, que se trazan
hacia abajo. Los vértices terminales de las aristas que
comienzan en vo son los vértices del nivel 1
◦ Cada vértice del nivel 1 no tienen otras aristas que entren en él,
pero cada uno de estos vértices pueden tener varias aristas que
salen de él. Se trazan las aristas que salen del nivel 1 hacia
abajo y terminan en vértices que estarán en el nivel 2
◦ Y asi sucesivamente con cada nivel….
◦ . 3
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte

4. EJEMPLO
v0
v1 v2 v3
v4 v6 v9
v5 v8
v7
38
v10 v11

5. MAS DEFINICIONES
 El nivel de un nodo está dado por el número de aristas que deben ser
recorridos para llegar a él desde el vértice raíz.
 La altura de un árbol es el nivel más grande del mismo.
 Un vértice X se dice padre de otro vértice Y cuando existe una trayectoria
de longitud 1 que sale de X y termina en Y, el que a su vez se dice hijo de X.
Por ejemplo vo se dice padre de todos los vértices del nivel 1
 Los vértices hijos del mismo padre se dicen hermanos
 Un vértice X se dice descendiente de otro Y cuando existe una trayectoria
de cualquier longitud que comienza en X y termina en Y. En ese caso se dice
que Y es antecesor de X
 Un vértice se dice hoja cuando no tiene hijos
 Un árbol se dice ordenado cuando los hijos de cada vértice están 39
linealmente ordenados de izquierda a derecha

6. PROPIEDADES DE LOS ÁRBOLES
TEOREMA 1:
Sea (T, vo) un árbol con raíz. Entonces:
a) No existen ciclos en T.
b) vo es la única raíz en T.
c) Cada vértice en T distinto de vo tiene grado
interno (grado de entrada) uno y vo tiene grado
interno cero.
40
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte

7. DEMOSTRACIÓN
a)
Suponga que existe un ciclo q en T, que comienza y termina
en v.
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
Por definición de árbol existe una trayectoria p de vo a v.
Entonces q p (composición de p con q) es una trayectoria
de vo a v diferente de p, lo que contradice la definición de
árbol.
La contradicción proviene de haber supuesto la existencia
del ciclo q. Por lo tanto , no existen ciclos en T
41

8. b)
Supongamos que existe otra raíz de T llamada v’o ,
entonces existe una trayectoria p de v’o a vo y
considerando que vo es raiz, una trayectoria q de vo a v’o
Entonces q  p (composición de p con q) es un ciclo de
v’o a v’o, lo que, por definición, es imposible.
Entonces se concluye que vo es la única raíz.
Demostración de c): queda para el alumno
42
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte

9. TEOREMA 2:
Sea (T, vo) un árbol con raíz sobre un conjunto A.
a) T es una relación arreflexiva :
(a,a) T , a A
b) T es asimétrica:
a, b  A , (a,b)T  (b,a)  T
c) T es atransitiva:
a, b,c  A , (a,b)T  (b,c)T  (a,c)T
43
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte

10. SUBÁRBOL
Sea (T,vo) un árbol con raíz sobre A y sea v A.
Sea B el conjunto que consta de v y todos sus hijos. Sea
T(v) el árbol obtenido de T de la siguiente manera: se
eliminan todos los vértices que no sean hijos de v y todas
las aristas que comienzan o terminan en un vértice de este
tipo. Se obtiene el siguiente resultado
TEOREMA 3
Si (T, vo) es un árbol con raíz y vT, entonces T(v) también
es un árbol con raíz v.
44
Se dice que T(v) es el subárbol de T que comienza en v.

11. T(v1) vo
v1 T(v2) v3
v2
T(v7)
v4 v5 v6 v7
T(v8)
v8 v10 v11
v9
v14 v15 v17
v12 v13 v16
v13
v18 v19
45
v20

12. Árboles n-arios
Sea nN.
Un árbol T es un n-árbol (o árbol n-ario) si cada vértice tiene a lo
sumo n hijos.
Se dice que T es un n-árbol Completo si todos los vértices de T,
distintos de las hojas, tienen exactamente n hijos.
Árboles binarios
Un árbol T es un árbol binario si cada vértice tiene a lo sumo 2 hijos
Un árbol T es un árbol binario completo si cada vértice exactamente
2 hijos
46

13. EJEMPLOS
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
3-ario 2-ario o binario binario completo
Los árboles binarios son muy importantes, ya que existen métodos eficientes
para implementarlos y hacer búsquedas en ellos.
Además es posible reorganizar cualquier árbol con raíz como un árbol
47
binario

14. ÁRBOL BINARIO POSICIONAL
 Cada vértice tiene a lo sumo 2 hijos los cuales
tienen una posición definida: izquierda o derecha.

15. ÁRBOLES ETIQUETADOS
Para muchos usos de los árboles en las ciencias de la
computación, es útil etiquetar los vértices o aristas de un
digrafo.
Los arboles binarios etiquetados sirven, por ejemplo, para
representar operaciones binarias.
+  
a b x y p q
48
a+b xy pq

16. PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR EL ÁRBOL
ETIQUETADO DE UNA EXP. ALGEBRAICA
◦ Se etiqueta la raíz con el operador principal de la expresión.
◦ Se etiqueta a los hijos izquierdo y derecho de la raíz mediante el
operador principal de las expresiones para los argumentos de la
izquierda y derecha, respectivamente.
◦ Si un argumento es cte o variable, se lo utiliza para etiquetar el vértice
descendiente que corresponde.
◦ Se continúa con este proceso hasta concluir con la expresión
49

17. EJEMPLO
El siguiente árbol corresponde a la expresión
(3 – (2 * x)) + ((x – 2) + (3 + x))
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
+
- +
3 * - +
2 50
x x 2 3 x

18. EJERCICIO PARA EL ALUMNO
Confeccionar el árbol correspondiente a las siguientes
expresiones algebraicas y responder
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
a) ¿Cuál es la altura de cada uno de ellos?
b) Los vértices hojas pueden estar etiquetados con
operadores?
51
c) Dar el nivel de cada operación en ambos casos

19. BÚSQUEDA EN ÁRBOLES BINARIOS POSICIONALES
 Llamamos así al proceso mediante el cual se visita
cada vértice de un árbol en un orden específico
 Sea T un árbol binario posicional con raíz v.
Designaremos con vI al hijo izquierdo y con vD al hijo
derecho, donde uno o ambos pueden estar ausentes.
Entonces, si existe vI, el subárbol T(vI) es el subárbol
izquierdo de T y si existe vD, el subárbol T(vD) es el
subárbol derecho de T
52
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte

20. BÚSQUEDA EN PREORDEN
Sea T un árbol binario posicional con raíz v:
Paso 1: Visitar v (anotar)
Paso 2: Si existe vI, entonces aplicar este algoritmo a T(vI)
Paso 3: Si existe vD, entonces aplicar este algoritmo a T(vD)
Paso 4: Fin del algoritmo
53

21. BÚSQUEDA EN ENTREORDEN
 Sea T un árbol binario posicional con raíz v:
Paso 1: Si existe vI, entonces aplicar este algoritmo a T(vI)
Paso 2: Visitar v
Paso 3: Si existe vD, entonces aplicar este algoritmo a T(vD)
Paso 4: Fin del algoritmo
54
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte

22. BÚSQUEDA EN POSTORDEN
 Sea T un árbol binario posicional con raíz v:
Paso 1: Si existe vI, entonces aplicar este algoritmo a T(vI)
Paso 2: Si existe vD, entonces aplicar este algoritmo a T(vD)
Paso 3: Visitar v
Paso 4: Fin del algoritmo
55
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte

23. EJEMPLO
 Sea T el árbol binario posicional etiquetado cuyo
digrafo es el siguiente:
A
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
B C
D E F G
H I J K L

El recorrido en preorden genera la siguiente sucesión:
ABDHEIJCFKGL
El recorrido en entreorden genera la siguiente sucesión:
HDBIEJAFKLCLG 56
El recorrido en posorden genera la siguiente sucesión:
HDIJEB KFLGCA

24. NOTACIONES PREFIJAS (O POLACA) , INFIJAS
Y POSFIJAS
 Cuando se aplica el algoritmo de búsqueda en preorden a
un árbol correspondiente a una expresión algebraica, el
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
resultado de la búsqueda se llama forma prefija (o polaca)
de la expresión algebraica dada.
 Si se aplican los algoritmos de entreorden y postorden,
se obtienen las notaciones infija y posfija,
respectivamente, de la expresión algebraica. La primera es
la más usada. La segunda tiene el inconveniente de
necesitar paréntesis para evitar ambigüedades 57

25. EJEMPLO
/
Obtener las expresiones
prefija, infija y posfija x + -
correspondiente al
1 * 2
Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
siguiente árbol
Z 3
El recorrido en preorden genera la forma prefija de la expresión:
/+x1 – *z32
El recorrido en entreorden genera la forma infija de la expresión :
(x + 1) / ((z * 3) – 2)
El recorrido en postorden genera la forma posfija de la expresión :
58
x 1+ z3 *2 – /

26. ENLACES DE INTERES
 http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_
grafos
 http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_de_expan
si%C3%B3n
 http://decsai.ugr.es/~jfv/ed1/tedi/cdrom/docs/arb_B
B.htm
 http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/estru1/54.htm
 http://mate.cucei.udg.mx/matdis/6arb/6arb2.htm
80