1. PROBLEMAPROBLEMA
METRIKOAKMETRIKOAK
PLANOANPLANOAN

2. AURKIBIDEAAURKIBIDEA

3. AURKIBIDEAAURKIBIDEA
 ANGELUAK ZIRKUNFERENTZIANANGELUAK ZIRKUNFERENTZIAN

4. AURKIBIDEAAURKIBIDEA
 ANGELUAK ZIRKUNFERENTZIANANGELUAK ZIRKUNFERENTZIAN
 TRIANGELUEN ARTEKOTRIANGELUEN ARTEKO
ANTZEKOTASUNAANTZEKOTASUNA

5. AURKIBIDEAAURKIBIDEA
 ANGELUAK ZIRKUNFERENTZIANANGELUAK ZIRKUNFERENTZIAN
 TRIANGELUEN ARTEKOTRIANGELUEN ARTEKO
ANTZEKOTASUNAANTZEKOTASUNA
 PITAGORASEN TEOREMA.PITAGORASEN TEOREMA.
ERABILERAKERABILERAK

6. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala

7. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua

8. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua

9. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua

10. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza

11. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza
αβ

12. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza
αβ
βα ⋅= 2
2
α
β =edo

13. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza
αβ
βα ⋅= 2
2
α
β =edo
β

14. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza
αβ
βα ⋅= 2
2
α
β =edo

15. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza
αβ
βα ⋅= 2
2
α
β =edo

16. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza
αβ
βα ⋅= 2
2
α
β =edo

17. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza
αβ
βα ⋅= 2
2
α
β =edo

18. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza
α
βα ⋅= 2
2
α
β =edo

19. ANGELUAKANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIANZIRKUNFERENTZIAN
 Angelu zentralaAngelu zentrala
 Zirkunferentzia bateko biZirkunferentzia bateko bi
puntuk zentroarekin osatzenpuntuk zentroarekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu inskribatuaAngelu inskribatua
 Zirkunferentziako aurreko biZirkunferentziako aurreko bi
puntuek, zirkunferentziakopuntuek, zirkunferentziako
beste puntu batekin osatzenbeste puntu batekin osatzen
duten angeluaduten angelua
 Angelu zentrala beti daAngelu zentrala beti da
inskribatuaren bikoitzainskribatuaren bikoitza
αβ
βα ⋅= 2
2
α
β =edo
β

20. TRIANGELUEN ARTEKOTRIANGELUEN ARTEKO
ANTZEKOTASUNAANTZEKOTASUNA
 Bi triangelu antzekoak dira,Bi triangelu antzekoak dira,
 Aldeak proportzionalak badituzte,Aldeak proportzionalak badituzte,
 Angeluak berdinak badiraAngeluak berdinak badira
 Tales-en posizioaTales-en posizioa
 Funtzioa non dagoen definitutaFuntzioa non dagoen definituta
 x aldagaiaren balio minimo eta maximoax aldagaiaren balio minimo eta maximoa

21. TRIANGELUEN ARTEKOTRIANGELUEN ARTEKO
ANTZEKOTASUNAANTZEKOTASUNA
 Bi triangelu antzekoak dira,Bi triangelu antzekoak dira,
 Aldeak proportzionalak badituzteAldeak proportzionalak badituzte
 Angeluak berdinak badiraAngeluak berdinak badira
 Tales-en posizioaTales-en posizioa
 Bi erpin batera jarrizBi erpin batera jarriz
''' c
c
b
b
a
a
==a a’
c
b
c’
b’
α
βγ
'α
'β
'γ 




=
=
=
'
'
'
γγ
ββ
αα

22. PITAGORASENPITAGORASEN
TEOREMA.TEOREMA.
ERABILERAKERABILERAK
 Pitagorasen teorema:Pitagorasen teorema:
 Hipotenusa ezezaguna denean:Hipotenusa ezezaguna denean:
 Katetoa ezezaguna denean:Katetoa ezezaguna denean:
222
cba +=
a
c
b





=
=
=
katetoac
katetoab
hipotenusaa
a
24
10
222
cba += 22
cba +=→
22
2410 +=a 26=
13
c
5
222
cba += 22
bac −=→
22
513 −=b 12=
222
bac −=→

23. PITAGORASENPITAGORASEN
TEOREMA.TEOREMA.
ERABILERAKERABILERAK
 Triangeluak zuzenak, zorrotzak edo kamutsak diren:Triangeluak zuzenak, zorrotzak edo kamutsak diren:
 ZUZENAK:ZUZENAK:
 ZORROTZAK:ZORROTZAK:
 KAMUTSAK:KAMUTSAK:
222
? cba +
10
8
6
10
8
7
6436?100 +→222
86?10 + 100?100→
ZUZENA→100100 =
6449?100 +→222
87?10 + 115?100→
ZORROTZA→115100 <
10
8
5
6425?100 +→222
85?10 + 89?100→
KAMUTSA→89100 >

24. ESKERRIKESKERRIK
ASKO!!!!!ASKO!!!!!