ガンマ分布族のなす空間の曲率

1. ガンマ分布族のなす曲面の曲率について . 浅野正貴 (M2) . 大阪市立大学 2014 年 1 月 25 日浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 1 / 20

2. 話の流れ 1 統計的モデル 2 統計多様体 3 ガンマ分布族のなす曲面の曲率浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 2 / 20

3. 統計的モデル (Ω, F , P)：確率空間， (Ω：標本空間，F ：σ-加法族，P：F 上の確率測度) Ξ ⊂ Rn ：開領域 (パラメータ空間) とする． (n は確率密度関数のパラメータの個数) 定義 S が Ω 上の統計的モデル (または，パラメトリックモデル) def ⇐⇒ S が ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Ξ でパラメータ付けされた正値確率密度関数の集合である． { } ∫ S = p(x; ξ) Ω p(x; ξ)dx = 1, p(x; ξ) > 0 . Ξ を座標近傍と見ることで，統計的モデルを n 次元多様体とみなす． . 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 3 / 20

6. 統計的モデルの例 (1) 例 (正規分布) 正規分布の確率密度関数： ( (x − µ)2 p(x; µ, σ) = √ exp − 2σ2 2πσ 1 ) ここで，µ ∈ R：平均，σ ∈ R>0 ：分散．パラメータ空間：Ξ = R × R>0 (上半平面) 2 次元の多様体とみなすことができる． { ) } ( 1 (x − µ)2 S = p(x; µ, σ) = √ ; µ ∈ R, σ ∈ R>0 exp − . 2σ2 2πσ 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 4 / 20

7. 統計的モデルの例 (2) 例 (有限標本空間上の離散確率分布) Ω = {x0 , x1 , . . . , xn } ∑ 各 i = 1, . . . , n について，ξi > 0 かつ， n ξi < 1 となるように ξi を i=1 定める．このとき，確率関数を  ξ  i (1 i n)  p(xi ; ξ1 , . . . , ξn ) =  ξ := 1 − ∑n ξ (i = 0)  0 j=1 j で定める．すると， S = {p(xi ; ξ1 , . . . , ξn ) = ξi , ξi > 0(i = 0, 1, . . . , n)} は n 次元統計的モデルである．浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について . 2014 年 1 月 25 日 5 / 20

8. Fisher 計量定義 (Fisher 計量) S = {p(x; ξ)}：統計的モデル． ) ( 行列 gF = gF (ξ) が S 上の Fisher 計量 ij def ⇐⇒ (1) 各成分が次式で与えられている． )( ∫ ( gF (ξ) ij := Ω ∂ log p(x; ξ) ∂ξi ) ∂ log p(x; ξ) p(x; ξ)dx ∂ξj (2) i, j, ξ に関して関数 gF (ξ) が有限値． ij (3) 行列 g = F ( ) gF (ξ) ij . が正定値．一般的に，任意の統計的モデルに対して，Fisher 計量が定義できるとは限らない．(例：Cauchy 分布 (∵) 平均が定義できない．) 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 6 / 20

11. α-接続定義 (α-接続) S：統計的モデル，gF ：S 上の Fisher 計量． α ∈ R に対して，次式で (S, gF ) 上の α-接続 ∇(α) を定める． ( ) ∂ (α) (α) ∂ F Γij,k (ξ) = g ∇ ∂ j , k ∂ξ ∂ξi ∂ξ ) ∫ ( ∂ ∂ 1−α ∂ ∂ = log p(x; ξ) + log p(x; ξ) j log p(x; ξ) i j 2 ∂ξi ∂ξ Ω ∂ξ ∂ξ ( ) ∂ × log p(x; ξ) p(x; ξ)dx ∂ξk . 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 7 / 20

12. Fisher 計量と α-接続に関する性質 (1) (1) 任意の α ∈ R に対して，∇(α) は捩れをもたない．つまり，任意のベクトル場 X, Y, Z に対して， T ∇ (X, Y) := ∇(α) Y − ∇(α) X − [X, Y] ≡ 0. X Y (α) (2) ∇(α) と ∇(−α) は互いに gF に関して，双対である. つまり，任意のベクトル場 X, Y, Z に対して， ( ) ( ) ( ) X gF (Y, Z) = gF ∇(α) Y, Z + gF Y, ∇(−α) Z . X X (3) ∇(0) は Fisher 計量 gF に関する Levi-Civita 接続．浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 8 / 20

15. Fisher 計量と α-接続に関する性質 (2) (4) (0, 3) テンソル場を次式で定める． )( ∫ ( )( ) ∂ ∂ ∂ F Cijk (ξ) = Ω ∂ξi log p(x; ξ) ∂ξj log p(x; ξ) ∂ξk log p(x; ξ) p(x; ξ)dx 任意のベクトル場 X, Y, Z に対して， ( (α) ) ∇X gF (Y, Z) = αCF (X, Y, Z) (5) 任意のベクトル場 X, Y, Z に対して， ( (α) ) ( ) ∇X g (Y, Z) = ∇(α) g (X, Z). Y 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 9 / 20

16. Fisher 計量と α-接続に関する性質 (2) (4) (0, 3) テンソル場を次式で定める． )( ∫ ( )( ) ∂ ∂ ∂ F Cijk (ξ) = Ω ∂ξi log p(x; ξ) ∂ξj log p(x; ξ) ∂ξk log p(x; ξ) p(x; ξ)dx 任意のベクトル場 X, Y, Z に対して， ( (α) ) ∇X gF (Y, Z) = αCF (X, Y, Z) (5) 任意のベクトル場 X, Y, Z に対して， ( (α) ) ( ) ∇X g (Y, Z) = ∇(α) g (X, Z). Y 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 9 / 20

17. 例 (1) 例 (正規分布) { ( (x − µ)2 S = p(x; µ, σ) = √ exp − 2σ2 2πσ 1 Fisher 計量は 1 g (µ, σ) = 2 σ F ( )} . ) 1 0 . 0 2 1 曲率は定曲率 − . 2 . 1 つまり，正規分布族のなす空間は − の負の定曲率空間． 2 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 10 / 20

20. 例 (2) 例 (有限標本空間上の離散分布) Fisher 計量は  ξ0  1 + ξ1 1 1 ··· 1     ξ0  1  1 + ξ2 1 ··· 1   ( ) 1    . .. ξ0  1 F . . gij (ξ1 , . . . , ξn ) =  1 1 + ξ3 .    ξ0  .  . .  .. ..  . .  . . . 1     1 1 ··· 1 1 + ξ0 ξn . 1 曲率は定曲率 . 4 つまり，有限標本空間上の離散分布族のなす空間は率空間．浅野正貴 (大阪市立大学)                            ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 1 の正の定曲 4 2014 年 1 月 25 日 11 / 20

23. 統計多様体 M ：C∞ 多様体 g：Riemann 計量 ∇：M 上の捩れのないアファイン接続定義 (M, ∇, g) が統計多様体である． def ⇐⇒ ∇g が各成分に関して対称な (0, 3) テンソル場である. . 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 12 / 20

24. 統計多様体 M ：C∞ 多様体 g：Riemann 計量 ∇：M 上の捩れのないアファイン接続定義 (M, ∇, g) が統計多様体である． def ⇐⇒ ∇g が各成分に関して対称な (0, 3) テンソル場である. . 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 12 / 20

25. 命題 (M, g)：Riemann 多様体 C：各成分に関して対称な (0,3) 型テンソル場， ∇(0) ：g に関する Levi-Civita 接続とする．任意の実数 t ∈ R について，接続 ∇(t) を次式で定める． ( ) ( ) t g ∇(t) Y, Z := g ∇(0) Y, Z − C(X, Y, Z) X X 2 このとき，以下が成り立つ． (1) ∇(t) は捩れのないアファイン接続である． . (2) ∇(t) と ∇(−t) とは互いに g に関して双対である． (3) ∇(t) g が各成分に関して対称な (0,3) 型テンソル場である． (M, g) と C =⇒ (M, ∇(t) , g) は統計多様体である．浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 13 / 20

26. 命題 (M, g)：Riemann 多様体 C：各成分に関して対称な (0,3) 型テンソル場， ∇(0) ：g に関する Levi-Civita 接続とする．任意の実数 t ∈ R について，接続 ∇(t) を次式で定める． ( ) ( ) t g ∇(t) Y, Z := g ∇(0) Y, Z − C(X, Y, Z) X X 2 このとき，以下が成り立つ． (1) ∇(t) は捩れのないアファイン接続である． . (2) ∇(t) と ∇(−t) とは互いに g に関して双対である． (3) ∇(t) g が各成分に関して対称な (0,3) 型テンソル場である． (M, g) と C =⇒ (M, ∇(t) , g) は統計多様体である．浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 13 / 20

27. ガンマ分布族ガンマ分布の確率密度関数は次式で与えられている． e− θ Γ(k)θk x p(x; k, θ) = x k−1 ここで，k ∈ R>0 ：形状母数，θ ∈ R>0 ：尺度母数．パラメータ空間：Ξ = R>0 × R>0 よって，2 次元多様体とみなすことができる．ガンマ分布の統計的意味・性質は 1 トランジスタなど電子部品が故障するまでの寿命分布 2 k = 1 のとき，p(x; 1, θ) は指数分布である．浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 14 / 20

28. ガンマ分布族ガンマ分布の確率密度関数は次式で与えられている． e− θ Γ(k)θk x p(x; k, θ) = x k−1 ここで，k ∈ R>0 ：形状母数，θ ∈ R>0 ：尺度母数．パラメータ空間：Ξ = R>0 × R>0 よって，2 次元多様体とみなすことができる．ガンマ分布の統計的意味・性質は 1 トランジスタなど電子部品が故障するまでの寿命分布 2 k = 1 のとき，p(x; 1, θ) は指数分布である．浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 14 / 20

29. ガンマ分布に関する Fisher 計量と α-接続係数 gF (k, θ) = θθ k , θ2 ここで，ψ(n) (k) = 1 gF (k, θ) = gF (k, θ) = , kθ θk θ dn+1 dkn+1 gF (k, θ) = ψ(1) (k) kk log Γ(k)(ポリガンマ関数) とする． α(1 − 2kψ(1) (k)) + 3 − 2kψ(1) (k) = , 2θ(kψ(1) (k) − 1) k(α − 1) Γ(α)k (k, θ) = 2 (1) , θθ 2θ (kψ (k) − 1) ψ(1) (k)(1 − α) 1−α , Γ(α)k (k, θ) = − Γ(α)θ (k, θ) = kθ kθ 2(kψ(1) (k) − 1) 2θ(kψ(1) (k) − 1) (2) θψ (k)(1 − α) kψ(2) (k)(1 − α) Γ(α)θ (k, θ) = − , Γ(α)k (k, θ) = kk kk 2(kψ(1) (k) − 1) 2(kψ(1) (k) − 1) Γ(α)θ (k, θ) θθ 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 15 / 20

30. ガンマ分布に関する Fisher 計量と α-接続係数 gF (k, θ) = θθ k , θ2 ここで，ψ(n) (k) = 1 gF (k, θ) = gF (k, θ) = , kθ θk θ dn+1 dkn+1 gF (k, θ) = ψ(1) (k) kk log Γ(k)(ポリガンマ関数) とする． α(1 − 2kψ(1) (k)) + 3 − 2kψ(1) (k) = , 2θ(kψ(1) (k) − 1) k(α − 1) Γ(α)k (k, θ) = 2 (1) , θθ 2θ (kψ (k) − 1) ψ(1) (k)(1 − α) 1−α , Γ(α)k (k, θ) = − Γ(α)θ (k, θ) = kθ kθ 2(kψ(1) (k) − 1) 2θ(kψ(1) (k) − 1) (2) θψ (k)(1 − α) kψ(2) (k)(1 − α) Γ(α)θ (k, θ) = − , Γ(α)k (k, θ) = kk kk 2(kψ(1) (k) − 1) 2(kψ(1) (k) − 1) Γ(α)θ (k, θ) θθ 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 15 / 20

31. α-曲率テンソルの係数 R(α)θ (k, θ) = R(α)k (k, θ) = −R(α)θ (k, θ) = −R(α)k (k, θ) kkθ kθk θθk θkθ ( ) 2 (1) (2) (1 − α ) ψ (k) + kψ (k) = , 4θ(kψ(1) (k) − 1)2 ( ) (1 − α2 ) (ψ(1) (k))2 + kψ(1) (k)ψ(2) (k) R(α)θ (k, θ) = −R(α)θ (k, θ) = , kθk kkθ 4(kψ(1) (k) − 1)2 (1 − α2 )(kψ(1) (k) + k2 ψ(2) (k)) R(α)k (k, θ) = −R(α)k (k, θ) = , θkθ θθk 4θ2 (kψ(1) (k) − 1)2 R(α)θ (k, θ) = R(α)θ (k, θ) = R(α)θ (k, θ) = R(α)θ (k, θ) θθθ kθθ θkk kkk =R(α)k (k, θ) = R(α)k (k, θ) = R(α)k (k, θ) = R(α)k (k, θ) = 0 θθθ kθθ θkk kkk 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 16 / 20

32. α-Ricci テンソルと α-スカラー曲率 R(α) (k, θ) θθ = ∑ R(α)m θmθ m∈{k,θ} R(α) (k, θ) = kθ ∑ R(α)m θmk m∈{k,θ} R(α) (k, θ) = θk ∑ R(α)m kmθ m∈{k,θ} R(α) (k, θ) = kk ∑ R(α)m kmk m∈{k,θ} K (α) (k, θ) = ∑ i,j∈{θ,k} 浅野正貴 (大阪市立大学) (1 − α2 )(kψ(1) (k) + k2 ψ(2) (k)) = 4θ2 (kψ(1) (k) − 1)2 ( ) (1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k) = 4θ(kψ(1) (k) − 1)2 ( ) (1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k) = 4θ(kψ(1) (k) − 1)2 ( ) (1 − α2 ) (ψ(1) (k))2 + kψ(1) (k)ψ(2) (k) = 4(kψ(1) (k) − 1)2 Rij gij = ( ) (1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k) 2(kψ(1) (k) − 1)2 ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 17 / 20

33. α-Ricci テンソルと α-スカラー曲率 R(α) (k, θ) θθ = ∑ R(α)m θmθ m∈{k,θ} R(α) (k, θ) = kθ ∑ R(α)m θmk m∈{k,θ} R(α) (k, θ) = θk ∑ R(α)m kmθ m∈{k,θ} R(α) (k, θ) = kk ∑ R(α)m kmk m∈{k,θ} K (α) (k, θ) = ∑ i,j∈{θ,k} 浅野正貴 (大阪市立大学) (1 − α2 )(kψ(1) (k) + k2 ψ(2) (k)) = 4θ2 (kψ(1) (k) − 1)2 ( ) (1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k) = 4θ(kψ(1) (k) − 1)2 ( ) (1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k) = 4θ(kψ(1) (k) − 1)2 ( ) (1 − α2 ) (ψ(1) (k))2 + kψ(1) (k)ψ(2) (k) = 4(kψ(1) (k) − 1)2 Rij gij = ( ) (1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k) 2(kψ(1) (k) − 1)2 ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 17 / 20

34. まとめ • α = ±1 のとき，曲率テンソルの各成分は消える. • 同様に，α = ±1 のとき，Ricci テンソル，スカラー曲率も消える．浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 18 / 20

35. まとめ • α = ±1 のとき，曲率テンソルの各成分は消える. • 同様に，α = ±1 のとき，Ricci テンソル，スカラー曲率も消える．浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 18 / 20

36. Thank you for your attention!! 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 19 / 20

37. 補足正規分布族の α-接続は ∇(α) ∂ ∂µ 1−α ∂ 1 + 2α ∂ ∂ ∂ = , ∇(α) =− ∂ ∂µ 2σ ∂σ ∂µ ∂µ σ ∂σ ∂ ∂ 1+α ∂ ∇(α) = ∇(α) =− ∂ ∂ σ ∂µ ∂µ ∂σ ∂σ ∂µ 有限標本空間上の離散分布族の α-接続は ( ) 1 + α ξk 1 ξk ∂ (α) ∂ = − δij δjk + δij ∇∂ 2 ξ0 ξi ξi ∂ξk ∂ξi ∂ξj 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 20 / 20

38. 補足正規分布族の α-接続は ∇(α) ∂ ∂µ 1−α ∂ 1 + 2α ∂ ∂ ∂ = , ∇(α) =− ∂ ∂µ 2σ ∂σ ∂µ ∂µ σ ∂σ ∂ ∂ 1+α ∂ ∇(α) = ∇(α) =− ∂ ∂ σ ∂µ ∂µ ∂σ ∂σ ∂µ 有限標本空間上の離散分布族の α-接続は ( ) 1 + α ξk 1 ξk ∂ (α) ∂ = − δij δjk + δij ∇∂ 2 ξ0 ξi ξi ∂ξk ∂ξi ∂ξj 浅野正貴 (大阪市立大学) ガンマ分布族のなす曲面の曲率について 2014 年 1 月 25 日 20 / 20

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