資産配分に関する書籍、Risk based approaches to asset allocationの第1章及び第2章の解説に用いたスライド.

1. RISK-BASED APPROACHES
TO ASSET ALLOCATION
MARIA DEBORA BRAGA
BY NIGG

2. 1 INTRODUCTION
・Asset allocation : one of the major topics in the area of
asset management
・・・it is crucial to obtain an answer to the question about how
they should invest their funds among different asset types or
asset classes.
・Markowitz and his method referred to as Mean-Variance
Optimization or Mean-Variance Analysis.
・・・identifies the best asset allocation solutions on the basis
of the trade-off between risk and return.
⇆ it does not work quite so well in practice.

3. 1 INTRODUCTION
Chap 2 : disappointing characteristics of the Markowitz
portfolios.
↑ consequences of estimation errors in the optimization input
parameters.
• estimations errors in the expected returns.
• do not concern so much the model itself, but rather the
quality of information it uses. ・・・ past data
→ alternative asset allocation solutions
・・・ address the problem of estimation risk and reduce the
impact of estimation error.
ex Bayesian, Heuristic ⇆ not “revolutionize”

4. 1 INTRODUCTION
Mean-Variance framework = “reference point” ???
Chap 3 and Chap 4 : asset allocation approaches that provide
an alterative, admittedly partial and unusual respect to the
problem of estimation risk
・・・ remove or drop the expected return estimates from the
inputs for the portfolio construction process.
⇄ related estimation errors are the most crucial.
→ called “risk-based asset allocation approaches” or “µ-free
strategies”
ex risk parity, equally-weighted, global minimum-variance
and most diversified portfolio approach.

5. 1 INTRODUCTION
ポートフォリオ選択の際に期待リターンを欠落させることは、すなわち
リスクに焦点をあてることでもある。
Chap 5
前章までで議論されたrisk-based asset approachesに関する実証
研究。

6. 2 THE TRADITIONAL APPROACH
TO ASSET ALLOCATION
inputs(expected returns, risks, correlations)
・・・ 事前に観測できない – use past data
→ follows the “plug-in” rule
省略（口頭で説明）
詳しく知りたい方は標準的な金融の教科書をごらんください。
2.1 A SHORT REVIEW OF THE TRADITIONAL
MARKOWITZ MODEL FOR ASSET ALLOCATION

7. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
requires:
• expected returns
• covariance matrix
not observable → must be estimated
→ historical returns の時系列データと統計的な処理

8. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
Kan and Zhou (2007) : the “plug-in” rule
• 推定量を真のパラメーターのようにmean-variance optimizerに
用いる。
• パラメーターの不確実生が無視されることでdeterministicな
procedureになる。
⇆ 推定値と真の値に差があるという、推定によるリスクも避けがたく
存在する。
→ これは望ましくない性質をポートフォリオにもたらす。

9. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
1 多様性の欠如の問題 ⇆ Markowitzのメインアイデアと相反
• あるasset classを排除する一方で、別のasset classの重みを上
げる。
・・・ 重み付けの仕方によってはmono-assetと等しくなる。
↑ methodに従って差別化した結果。
mean-variance optimizer tends to weigh those asset classes
that show high estimated returns.
returns > low variances, negative correlations
+ こうした資産は推定誤差に遭いやすい資産でもある。
“ The unintuitive character of many optimized portfolios can
be traced to the fact that MV optimizers are, in a fundamental
sense, estimation-error maximizers”

10. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
2 不安定
・・・estimated parameters のわずかな変化にも資産配分が高い感
応度を示す。
（例）似たようなrisk-return profileの資産クラスをもとに投資をしてい
るとする。
・わずかな変動がportfolio weightsの分布をcompletelyに変化さ
せることがある。
↑ 資産クラス間で支配ー被支配の関係が成り立つから。
・・・つまり別のもっともらしい推定量のもとでは最適化されたポートフォ
リオがreasonableなものではなくなってしまう。
こうした変動はinputがhistorical observationに基づいている以上
は当たり前。

11. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
3 failing to recognize the non-uniqueness of optimal
portfolios.
“Optimizers, in general, produce, a unique optimal portfolio
for a given level of risk. The uniqueness of the solution
depends on the erroneous assumption that the inputs are
without statistical estimation error”
・推定に誤りがないという誤った仮定の上に解の唯一性を主張してい
るだけ（実際には推定には誤りがあり唯一性がなりたたないかもしれ
ない）
・・・それゆえ実際的には確率的にあり得るポートフォリオを全て検討し、
重みはその平均をとるのがよい。

12. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
4 poor out-of-sample performance
input parametersを推定するのに用いられたサンプル期間外では、
古典的なMarkowitzのポートフォリオはかなり悪いパフォーマンスを
示している。
・もともとの狙いのパフォーマンスを達成できない場合において、単純
な投資基準でさえもMV optimizationより優れたものになる。
・・・”plug-in rule”は有効ではない。

13. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
ありうる推定の間違えを無視してしまうことは期待リターンに言及する
ときにより深刻な結果をもたらす。
標本平均は大きな変動にさらされおり、その予測能力も乏しいと思わ
れる。
(例)九つの資産
・1997年1月から2014年12月までの216ヶ月間のデータ。
a 120ヶ月ごとにデータを切り取って最適ポートフォリオを構築する。
b 144ヶ月ごとにデータを切り取って最適ポートフォリオを構築する。

15. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
問題はモデルそのものにあるのではない。
・・・標本推定量より提供されたあまり正確でない情報への過学習であ
る。
“ The procedure overuses statistically estimated information
and magnifies the impact of estimation errors. It is not simply
matter of garbage in, garbage out, but rather a molehill of
garbage in, a mountain of garbage out”
→ナンセンスなデータを入れたらナンセンスな結果が返ってくる、なん
て話ではない。むしろナンセンスなデータを少しいれたら山のようなナ
ンセンスなデータが出てきたというべきだ。
・あまり情報量のないデータから誤りを含む結論を導き、それを乱用し
てその被害を拡大している！

16. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
推定リスク改善の試みの歴史
1980s ~ パラメーターの不確実生に対処する代替的な手法の発展。
ヒューリスティックなものともベイズ的なものとに分かれる。
ヒューリスティックな手法：
・Resampling technique
cf Michaud and Michaud (2008)
・追加的な重み制約
cf Frost and Savarino (1988) and Jagannathan and Ma (2003)

17. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
ベイズ的な手法：
・shrinkage estimatorを用いる方法
cf Jorion (1985)
・均衡リターンと投資家の価値観を用いて予測リターンを得る方法
cf Black and Litterman (1992)

18. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
実際には、ヒューリスティックな方法とベイズ的な方法は、最適ポート
フォリオの構築に関して避けがたいinputsの推定量の避けがたい不
正確さに対して異なる行動をとることである。
ヒューリスティックな方法：
モデルサイドで最適化の過程をless deterministicにする？ or
より多様なポートフォリオを生み出すようにする。
ベイズ的な方法：
標本から導かれた期待リターンの推定量を改善する。

19. 2.2 AN ANALYSIS OF MARKOWITZ’S PORTFOLIOS :
DRAWBACKS AND MOTIVATIONS
結論：
ヒューリスティックな方法もベイズ的な方法も古典的な分散平均ポート
フォリオ最適化の枠組みを変えるものではない。
これらの手法はinputsが使われ方や生み出される方についての改善
を施すことでモデルをより信頼できて頑健なものにできる。

20. まとめ
分散平均アプローチは、
・多様性 ・安定性 ・解の唯一性の仮定 ・パフォーマンス
といった点で欠点がある。
問題の根幹はinputsを正しく推定できないことである。
+inputsのなかでもリターンが大きな影響を占めている。
問題解決の試み：ヒューリスティックな方法やベイズ的な方法
↑革新的ではなく分散平均アプローチの範疇。
Chap 3 と Chap 4ではinputsから期待リターンを欠落させる手法を
考える。
＝risk-based asset allocation approaches