Calcul des sections d'armatures à l'état limite ultime sous flexion simple - sections rectangulaire et en T avec et sans armatures comprimées - Eurocode 2
L'expression du but : fiche et exercices niveau C1 FLE
SBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELU
1. 1
Chapitre V
Poutre en flexion simple – Etat Limite Ultime ELU
1. Introduction
2. Hypothèses de calcul
3. Section rectangulaire sans armature comprimée
4. Section rectangulaire avec armature comprimée
5. Section en T
6. Divers
2. 2
M. SADEK
Poutre noyée
Poutre avec retombée
Poutre avec rehausse
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
3. 3
M. SADEK
Poutre sollicitée en flexion simple : M(x), V(x)
Note : en Béton Armé, les effets de ces deux sollicitations sont traités séparément.
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
4. 4
M. SADEK
Flexion simple / pure
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
5. 5
Apparition des premières fissures
Accentuation des fissures
Allongement excessif de l’acier / écrasement du béton
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
6. 6
M. SADEK
Poutre sollicitée en flexion simple (ELU)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
7. 7
HYPOTHÈSES
H1) Principe de Navier-Bernoulli : au cours des déformations, les
sections droites restent planes et conservent leurs dimensions (Champ
de déformation linéaire dans la section)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
8. 8
HYPOTHÈSES
H2) La résistance du béton tendu est négligée
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
9. 9
HYPOTHÈSES
H3) un groupe de barres disposées en plusieurs lits est
équivalent à une barre unique située au C.D.G du groupe.
H4) Pas de glissement relatif entre acier et béton - Adhérence
parfaite entre l’acier et le béton :
au contact entre le béton et les armatures : s=c
H5) Les diagrammes de calcul contrainte-déformation pour le
béton et l'acier sont :
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
10. 10
Béton – diagramme pour le calcul des sections
a) Parabole-rectangle
b) Bilinéaire simplifié
fcd :valeur de calcul de la résistance à la compression sur cylindre (t28j)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
11. 11
c) Rectangulaire simplifié
Note : Dans notre calcul des sections à l’ELU, on adoptera le diagramme c.
L’utilisation des diagrammes a et b est autorisée par le code, voir annexe
pour le coefficient de remplissage et la position du CDG.
cc= 1 (ANF)
C = 1.5 (Situation durable) ; 1.2 (accidentelle)
Béton – diagramme pour le Calcul des sections
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
12. 12
Diagrammes de calcul :
Branche sup. horizontale (sans limitation de la déformation de l’acier)
Branche sup. inclinée (s ud) ,
s = 1.15 (durable)
1.0 (accidentelle)
Acier – diagrammes pour le Calcul des sections
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
13. 13
Exemple : Cas durable : fyd = fyk / s = 435 MPa
se = fyd/Es = 2.17.10-3
< se => s = 200 000
> se => s = 435 MPa.
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
14. 14
s > se (situation durable)
s 435 + 727 (s -2.17.10-3) < 466 MPa pour les aciers B
s 435 + 952 ( s -2.17.10-3) < 454 MPa pour les aciers A
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
15. 15
Règle de 3 Pivots :
Le dimensionnement à l’ELU se fait en supposant que le diagramme des
déformations passe par l’un des trois Pivots A, B ou C
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
16. 16
Pivot A (peu fréquent)
Acier : c cu
s = ud dépend du type d’acier (A, B ou C)
(pas de limitation si diagramme à palier horizontal)
Différence avec le BAEL : L’EC2 ne retient plus un pivot A à 10x10-3 mais à ud
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
17. 17
Pivot B (Cas courant)
Béton : c = cu2 =3.5 ‰ , c2 =2 ‰ (pour fck50 MPa)
s ud
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
18. 18
Pivot C
(h-y) / h = c2/cu2 => y = (1-c2/cu2).h
(Compression, flexion composée)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
19. 19
Flexion simple, ELU
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
20. 20
Combinaison fondamentale (Détail - Ch. 2)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
21. 21
c
s
sc
Diagramme de
Déformations Efforts internes
Fc,sc
Fsc
Fc
Fs
z
A : aire des armatures tendues
d : hauteur utile - distance du centre de gravite des armatures tendues As à la fibre la plus comprimée
A’ : aire des armatures comprimées éventuelles
d’ : distance du centre de gravite de A’ à la fibre de béton la plus comprimée
z : bras de levier
M > 0
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
22. 22
Fc : résultante des efforts de compression dans le béton
Fsc : résultante des efforts de compression dans les aciers comprimés
Fc,sc : résultante de Fc et Fsc
Fs : résultante des efforts de traction dans les armatures tendues
x : position de l’Axe Neutre
c
s
sc
Diagramme de
Déformations Efforts internes
x Fc,sc
Fsc
Fc
Fs
z
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
23. 23
c
s
sc
Diagramme de
Déformations Efforts internes
x Fc,sc
Fsc
Fc
Fs
z
Equilibre des forces Fs = Fc,sc
Equilibre des moments MEd = Fc,sc .z = Fs.z
3 Inconnus (en général) : A, A’, x
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
24. 24
Section rectangulaire, sans armature comprimée (A’=0)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
25. 25
Section rectangulaire, sans armature comprimée (A’=0)
Simplification de la loi de
comportement de l’acier
EC2 3.1.7(3)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
26. 26
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
27. 27
Fc
FS
Fc = Fs
MED = Fc.z
z
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
28. 28
Ecriture adimensionnelle :
On pose :
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
29. 29
fck 50 MPa, = 1 ; =0.8
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
30. 30
On note que :
x = u.d =(c / c+s) d
u = (c / c+s)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
31. 31
Frontières des pivots A, B
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
32. 32
Frontières des pivots A, B
Acier type A ud = 22,5 .10-3 AB = (3.5 / 3.5+22.5) = 0.135 AB = 0.102
Acier type B AB =0.072 AB = 0.056
Acier type C AB =0.049 AB = 0.039
fck 50 MPa, = 1 ; =0.8
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
33. 33
Pivot B AB u
En général, on constate que l’on est pratiquement toujours en pivot B
c = cu2 =3.5 ‰ ; s ud
s = (1/u -1) cu
(on fait travailler le béton au max)
Frontières des pivots A, B
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
34. 34
Pivot B AB u lim
Il ne faut pas avoir un acier sur le palier élastique, si non l’acier sera mal utilisé !
Dans ce cas, il faudra soit diminuer la section d’acier, soit prévoir une armature
comprimée pour mobilier un moment résistant plus élevé.
Frontières des pivots A, B
s ud mais s se
Droite BE (section de poutre en
Pivot B et acier à la limite élastique)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
35. 35
Frontières des pivots A, B
(fck 50 Mpa)
Combinaisons Durables Combinaisons Accidentelles
s = 1.15 s = 1
fyk(MPa) lim lim lim lim
400 0.668 0.392 0.636 0.380
500 0.617 0.372 0.583 0.358
lim = BE
Pivot B AB u lim
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
36. 36
Frontières des pivots A, B
Pivot A
s =ud ; c =cu
u AB
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
37. 37
Calcul de l’armature tendue A (fck 50 MPa)
a) Diagramme à palier incliné
i. u AB Pivot A
s = 454 MPa (Acier A) , 466 MPa (acier B)
ii. AB u lim Pivot B
s = (1/u -1) cu
s 435 + 727 (s -2.17.10-3) < 466 MPa pour les aciers B
s 435 + 952 (s -2.17.10-3) < 454 MPa pour les aciers A
(A’=0, u lim )
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
38. 38
Calcul de l’armature tendue A (fck 50 MPa)
b) Diagramme à palier horizontal
(A’=0, u lim )
s = fyd
Note : Pas de limitation pour la déformation de l’acier
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
39. 39
Note 1
Hauteur utile d – valeur initiale de calcul
d ne peut pas être déterminé exactement avant le calcul et le choix de l’armature
prendre d 0.9 h pour les poutres courantes (formule trop favorable pour les poutres
noyées et les dalles d’épaisseur 20 cm)
prendre d = h – cnom – 1 cm (dalle d’épaisseur 20 cm )
Après détermination de l’armature, il est possible de calculer précisément la
hauteur utile dréel. Si dréel est nettement différente de dinitial , il peut être judicieux de
recalculer As.
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
40. 40
Note 2
Formule approchée pour le calcul de A
(pour vérifier l’ordre de grandeur)
z 0.9d ; d 0.9 h
Avec cette formule approchée, aucune information n’est donnée sur la
contrainte de compression du béton. Elle sera complètement erronée si une
armature comprimée est nécessaire.
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
41. 41
Armature de fragilité
Pour une section rectangulaire bh, le moment résistant ultime du béton non armé
MRc = (I/v) fctm = (b.h²/6) fctm
La section As,min équilibre un moment
MRs = As,min fyk z
En considérant MRc = MRs , et en remplaçant z 0.9 d ; h d / 0.9
As,min = b.d.[fctm/(0.9 0.81 6)fyk] 0.23 b d fctm / fyk
L’EC2 remplace la valeur 0.23 par 0.26 et borne inférieurement la quantité 0.26
fctm/fyk à la valeur 0.0013
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
42. 42
Armature minimale
Armature maximale
As,max = 0,04 Ac
Ac représente la section transversale du béton
As,max : section max des armatures tendues ou comprimées
As,min : section min d’armatures longitudinales tendues
bt : largeur moyenne de la zone tendue
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
43. 43
Section rectangulaire, avec armature comprimée (A’0)
u lim
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
44. 44
Section rectangulaire, avec armature comprimée (A’0)
3 inconnues (A, A’, x) / 2 équations ???
Infinité de solutions
Possibilité n°1 : Minimum de " A+ A’ " (calcul long)
Possibilité n°2 : Notion de moment limite (adoptée en général)
Résolution par la Méthode de décomposition en 2 sections fictives
u lim
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
45. 45
2 sections fictives
On fait travailler le béton au max sous Mlim A1
L’armature comprimée A’ reprend (Med Mlim) A2
u lim Med Mlim= lim .b.d².fcd
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
46. 46
cu
s
sc
x=lim.d
d’
d
A1 = Mlim / (1 – 0.4.lim).d.fyd
A’ = (Med – Mlim) / [sc . (d-d’)]
sc = 3,5.10-3. (1-d’/xlim)
La valeur de sc est proche de 3 °/°° (>se), qui donne une valeur de sc=fyd avec le
diagramme à palier horizontal et une valeur légèrement supérieur à fyd avec le
diagramme à palier incliné. Dans tous les cas, on pourra retenir une valeur de sc=fyd .
A2 = A’. sc / s = A’. fyd/ s
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
47. 47
A1 = Mlim / [(1 – 0.4.lim).d.fyd]
A2 = A’. sc / s
A’ = (Med – Mlim) / [fyd . (d-d’)]
Lorsque A et A’ de même type sc = s = fyd A2 = A’
A = A1 + A2
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
48. 48
Note 1 : l’EC2 ne limite plus le moment repris par l’armature
comprimée comme dans le BAEL (40% Med). Cependant, elle sera bornée
par la valeur de
A+A’ As,max = 0,04 Ac
Note 2 : Il convient de maintenir toute armature longitudinale
comprimée (de diamètre ) prise en compte dans le calcul de résistance
au moyen d'armatures transversales espacées au plus de 15
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
49. 49
Section en T
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
50. 50
Largeur participante des tables de compression
l0 : distance entre points de moment nul
(EC 2-1-1, 5.3.2)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
51. 51
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
Largeur participante des tables de compression
52. 52
(EC 2-1-1, 5.3.2)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
Largeur participante des tables de compression
53. 53
Moment maximum repris par la poutre dans le cas où la
table travaille entièrement en compression
2
f
uT eff f cd
h
M b h f (d )
1sA
ux fh
s 1sN
1cN
ff h,dz 501
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
54. 54
1er cas: cas fréquent M Mu uT
bw
b = beff
d
hf
L’axe neutre est situé dans la table de
compression, seule une partie de la table est
comprimée
la section en T se calcule comme une section
rectangulaire de largeur beff et de hauteur h
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
55. 55
2ème cas: L’axe neutre est situé dans la nervureM Mu uT
Décomposition en 2 sections fictives
Il faut s’attendre à une section d’armatures très importante
bw
b=beff
d
hf
=
beff-bw
A1
A2
bw
+
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
56. 56
M Mu uT
1
eff w
u uT
eff
b b
M M
b
Section A1 va résister :
bw
b=beff
d
hf
=
beff-bw
A1
A2
bw
+
A1= (beff-bw)×h0×fcd / s
(s = fyd, si diagramme à
palier horizontal)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
57. 57
M Mu uT
Section A2 va résister
Calcul comme section rectangulaire de largeur bw et de hauteur h
bw
b=beff
d
hf
=
beff-bw
A1
A2
bw
+
M M Mu u u2 1
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
58. 58
M Mu uT
s = fyd , si diagramme à palier horizontal ou Pivot A (palier incliné)
s = à déterminer en fonction de s si Pivot B (diagramme à palier incliné) ,
cette contrainte pourra être utilisée pour le calcul de A1
cdw
u
u
fdb
M
2
2
2 u u2 2125 1 1 2 , ( )
Attention : Nécessité de A’ si u2 > lim
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
60. 60
Prédimensionnement – Section rectangulaire (ordre de grandeurs)
b
h
Si b n’est pas imposée on peut prendre
0.3 h b 0.5 h
On fixe une valeur pour b et on cherche la
valeur de h
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
61. 61
Prédimensionnement – Section rectangulaire (ordre de grandeurs)
b
h
b/h 0.4 ; h 2.5 b
d 0.9 h = 2.25 d
Pivot B AB u lim
Acier B 0.056 u 0.372
0.056 Med / bd²fcd 0.372
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
62. 62
Prédimensionnement – Section rectangulaire (ordre de grandeurs)
b
h
Autres critères
- Dimensionnement ELS, flèche
Acier A
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
63. 63
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
64. 64
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
65. 65
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
source :Thonier (2013)
66. 66
M. SADEK
Exercices
Section rectangulaire sans armature comprimée :
Calcul de armature tendue
o diagramme avec palier incliné
o Diagramme avec palier horizontal
o Calcul de la valeur exact de d
Section rectangulaire avec armature comprimée :
Calcul armature tendue et comprimé
Prédimensionnement d’une poutre rectangulaire et calcul
d’armature avec prise en compte du poids propre
Calcul d’une poutre en T