1. ELIPSE
MARTA LÍA MOLINA
AÑO 2012
CÁTEDRA MATEMÁTICA APLICADA- FAU-UNT

2. La Elipse en
La vida
diaria
Propiedad
Focal
Excentricidad
Deducción de
La ecuación
canónica
Ecuaciones
La elipse en
La
Arquitectura
Definición
Recta tangente
Y Normal
Elipse
Esquema de los contenidos

3. La elipse como sección cónica
Al cortar la superficie cónica con un plano, se obtienen unas
curvas llamadas CÓNICAS.
Las distintas posiciones del plano determinan las diferentes
cónicas
ELIPSE
Se obtiene cuando el plano secante
no es perpendicular al eje de la
superficie cónica, corta a todas las
generatrices y no pasa por el
vértice.
Para ir a definición
Como lugar
geométrico
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esquema

4. La elipse en la Arquitectura
Las cónicas están presentes en numerosas obras de
arquitectura, las que iremos a continuación.
La elipse
usada en el
Período
Barroco
Cubierta
elíptica

5. La elipse en la Arquitectura
La elipse
telescópica
Fuente acuática
en forma de
elipse
Torre
elíptica

6. La elipse presente en diversos puentes
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Al esquema

7. La elipse como lugar geométrico
F2F1
Elipse es el lugar
geométrico de los
puntos del plano cuya
suma de distancia a
dos puntos fijos,
llamados focos, es
constante

8. Definición
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
sumas distancias a dos puntos fijos (llamados focos)
es constante.
PF1 + PF2 = 2.a
F1 F2

9. Deducción de la ecuación canónica de la elipse
Para encontrar la ecuación analítica de la elipse, expresamos las distancias
entre P(x,y) y los focos F1(c,0) y F2(-c,0)
d( P, F1) + d(P,F2) = 2 a, es decir:
Elevando al cuadrado ambos
miembros, para eliminar las raíces y
desarrollando los cuadrados resulta
la ecuación canónica de la elipse:

10. ECUACIONES DE LA ELIPSE
ECUACIONES
DE LA
ELIPSE
CANÓNICA GENERAL

11. Ecuaciones Canónicas con centro en el origen
CANÓNICAS CENTRADAS
C(0,0)
Haz clic acá
Para ver
Los elementos
Eje mayor
coincidente
con eje y
1
a
y
b
x
2
2
2
2
b
a
Eje mayor
coincidente con
eje x
1
b
y
a
x
2
2
2
2
a
b
Haz clic acá
Para ver
Los elementos

12. Ecuación canónica de la elipse
con centro en el origen y eje mayor el eje x
Elementos
1
b
y
a
x
2
2
2
2
B1
F2 F1
B2
B1
A1
A2
C
Ejes de simetría
2c
l = 2b
L = 2a
• Vértices: A1(a,0), A2(-a,0), B1(0,b), B2(0,-b) Eje menor: B1B2
• Centro: C(0,0) Longitud eje menor: 2b
• Eje mayor o eje focal: A1A2 Longitud eje mayor: 2a
•Focos F1(c,0) ; F2(-c,0) distancia focal: 2c
• relación entre coeficientes: a2 = b2 + c2
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Ecuaciones
canónicas

13. Ecuación canónica de la elipse
con centro en el origen y eje mayor el eje y
Elementos
1
a
y
b
x
2
2
2
2
F1
• Vértices: A1(0,-a), A2(0,a), B1(b,0), B2(-b,0) Eje menor: B1B2
• Centro: C(0,0) Longitud eje menor: 2b
• Eje mayor o eje focal: A1A2 Longitud eje mayor: 2a
• F1( 0,-c) ; F2(0,c) distancia focal: 2c
•relación entre coeficientes: a2 = b2 + c2
F2
B2 B1
A1
A2
C
Ejes de simetría
2c
l = 2b
L = 2a
F1

14. Ecuaciones Canónicas Desplazadas
CANÓNICAS DESPLAZADAS
C(h,k)
Eje mayor
horizontal
1
b
k)-(y
a
h)-(x
2
2
2
2
C(h,k)
Eje mayor vertical
1
a
k)-(y
b
h)-(x
2
2
2
2
C(h,k)
Haz clic
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elementos

15. Ecuación canónica de la elipse
con centro en C(h,k) y eje mayor el eje y
Elementos
1
b
ky
a
)hx(
2
2
2
2
C A1A2
B1
B2
h
k
F1F2
2c
2a
•Vértices: A1(h+a, k) ; A2(h-a, k);
B1(h, k+b); B2(h. k-b)
•Focos: F1(h+c, k) ; F2( h-c, k)
•Centro C ( h ,k)

16. ¿ Qué es EXCENTRICIDAD?
La excentricidad de una cónica, representado por e, es el cociente entre la
distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c
y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad es: e=c/a.
En la elipse la excentricidad e<1 ( pues c < a)
Si cambiamos el valor de “e” el efecto será:
• Si e está muy cercano a 1, entonces b es pequeño con respecto de a, la
elipse es delgada y muy excéntrica
• Si e está muy cerca de 0 b es casi tan grande como a, la elipse es gorda y
bien redondeada
Excentricidad cercana a 1
Excentricidad cerca de 0

17. Ecuación General
Ax2 + Cy2 +Dx + Ey + F = 0
ECUACIÓN GENERAL DE 2º GRADO EN EL PLANO
Si A. C >0 y A C
La representación Gráfica de esta Ecuación será UNA ELIPSE
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A tipos
De ecuaciones

18. Construcción de la elipse por Circunferencias
concéntricas

19. Ejercicios : a partir de la ecuación grafique la
elipse dada y determine sus elementos
1)
2) x 2-4x+4 y2-8y =92
1
100
y
16
x 22
x2 + 4 y2 – 4 x – 8 y - 92=0
Para trazar la gráfica de la cónica Nº 2
Primero vamos a identificar que se trata de una elipse pues A.C = 1.4>0 entonces
es Elipse
1- Identificamos la cónica

20. 2- Expresamos en forma canónica
Para ello completamos cuadrados:
x2 + 4 y2 – 4 x – 8 y - 92=0
10021)4(y22)(x
92421)4(y4
2
2x
921
2
1y44
2
2x
92
2
2
2
2
2
22y2y4
2
2
4
2
2
44x2x
922y)24(y4x2x
928y24y4x2x
1
25
21)(y
100
22)(x

21. 3.- Elementos
1
25
21)(y
100
22)(x
Centro: C (2, 1)
Semiejes: a = 10 ; b = 5
Eje mayor o focal: 2a = 20
Eje menor : 2b = 10
8,6675510c
baccba
22
22222
Distancia focal: 2c = 17,32
Excentricidad: e = c/a = 8.66/ 10 = 0,87<1

22. 4.- Representación Gráfica
1
25
21)(y
100
22)(x
2a
2b c C c
F1 F2

23. Recta Tangente y Normal a la elipse en un Punto P1(x1,y1)
 Si consideramos la elipse de ecuación:
Se desdobla la ecuación y reemplazamos por
las coordenadas del Punto P1(x1,y1) obteniendo:
Y despejando y obtenemos
1
b
y
a
x
2
2
2
2
1
b
y.y
a
x.x
22
1
b
y.y
a
x.x
2
1
2
1
Recta tangente y= mtgx + b1
Recta Normal y-y1= -1/mtg( x-x1)
• Si consideramos la elipse de ecuación en la forma general A x2+Cy2+Dx+Ey+F=0
Al desdoblar la ecuación y reemplazar por el punto P1 obtenemos la ecuación de
la recta Tangente a la elipse en el Punto P1:
A x. x1+C y. y1+D.(x+x1)/2+E (y+y1)/2+F=0
y al despejar y se obtiene la ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto P1

24. Propiedades Focales
Todo rayo lumínico o sonoro emitido por un foco de la elipse,
al “tocar” en una superficie elíptica, se refleja pasando por el otro
foco. La recta perpendicular a la recta tangente en el punto de choque
del rayo, bisecta al ángulo i+r por lo que se cumple la propiedad:
i = r
i: ángulo de incidencia ; r: ángulo de reflexión
F1
F2
Recta Tangente
Recta Normal

25. La elipse en la vida diaria
La propiedad óptica de la elipse se aplica
en las ``galerías de murmullos'' por ejemplo
en el Convento del Desierto de los Leones,
cerca de la Ciudad de México, en la cual un
orador colocado en un foco puede ser
escuchado cuando murmura por un receptor
que se encuentre en el otro foco, aún
cuando su voz sea inaudible para otras
personas del salón.
•Otra aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos hornos
construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se coloca la
fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere calentar,
todo el calor emanado por la fuente de calor se concentrará en el otro
foco.

26. •Otra de las consecuencias prácticas beneficiosas que tiene la propiedad de
Reflexión de la elipse es la siguiente:
En el tratamiento de cálculos renales llamado litotricia . Para ello se coloca un
Reflector con sección transversal elíptica de tal manera que el cálculo está en
Un foco . Ondas sonoras de alta intensidad generadas en el otro foco, se reflejan
Hacia el cálculo sin dañar el tejido circundante. Se ahorra al paciente el
Traumatismo de la cirugía y se recupera en pocos días