Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

Elemente de teoria stocurilor

2.106 Aufrufe

Veröffentlicht am

  • Als Erste(r) kommentieren

  • Gehören Sie zu den Ersten, denen das gefällt!

Elemente de teoria stocurilor

  1. 1. 3. ELEMENTE DE TEORIA STOCURILOR 3.1. ELEMENTE ALE UNEI PROBLEME DE STOC O rezervă de bunuri economice destinată vânzării sau utilizării în circuitul producţiei va finumită stoc. Stocurile pot fi: de mărfuri, de materii prime, de produse finite, echipamente, piese deschimb etc. Notăm, că bunurile economice rezervate sunt la moment nefolosite şi neproductive deaceea şi constituie stoc. Constituirea unui stoc presupune cheltuieli de producţie sau de cumpărare,cheltuieli de stocaj (depozitare, supraveghere, întreţinere), resurse financiare îngheţate (ratarea sauachitarea procentului bancar), eventuali pierderi datorită deprecierii bunurilor în cursul timpului.Acestea sunt dezavantajele stocului. Stocul prezintă şi o serie de avantaje care economic justificăcrearea activităţilor economice, poate diminua cheltuieli posibile legate de penuria acestor bunurietc. Stocul îndeplineşte o funcţie regulatoare. O producţie nivelată (uniformă) se adaptează uneicereri (unui necesar) neregulate prin intermediul unui stoc tampon (bufer); garantează o stabilitateîn exploatare, micşorând riscul penuriei (lipsei) de bunurile necesare procesului de producţie. Problemele de stoc şi cele de producţie sunt într-o strânsă legătură. Stocul variază în cursultimpului datorită intrărilor şi ieşirilor de bunuri economice. Intrările sunt constituite fie din cantităţiproduse, fie din cantităţi cumpărate. Ieşirile din stoc sunt livrări la consumatori sau în producţiaunităţii considerate şi pot fi cunoscute sau exact, sau în probabilitate. Deci şi deciziile depind deintrări şi de ieşiri. În mod obişnuit intrările sunt libere, ieşirile sunt impuse. Intrarea în stoc a unei cantităţi de bunuri x se face pe baza unei cheltuieli C(x), care reprezintăcostul comenzii acestei cantităţi. Funcţia C(x) poate fi liniară, concavă, convexă (fig.3.1). Costul de stocaj cuprinde toate costurile care apar datorită întreţinerii, depozitării,supravegherii, uzurii morale, fizice, pierderilor, rotirii ratei bancare etc. Dacă nivelul stocului este insuficient pentru a face faţă necesarului (cererii) se generează unstoc de penurie (costul unei comenzi, costul producţiei, pierdere de producţie etc). O mărire aproducţiei poate fi efectuată pe două căi: prin creşterea rapidă a factorilor variabili sau prinmodificarea factorilor ficşi (echipament). În prima situaţie întreprinderea este neadaptată la ocadenţă de producţie mare, ceea ce duce la creşterea temporară a costurilor, exprimată printr-uncost de modificare a ratei producţiei. În mod obişnuit veniturile obţinute nu depind de politica de gestiune a stocului. Stocurile aducdoar pierderi de venituri datorate unei satisfaceri a cererii. În acest caz aceste pierderi sunt incluseîn costuri de penurie. Admitem în continuare că cererea (necesarul) este independentă de întreprindere şi că poate ficunoscută fie exact în fiecare perioadă (cazul determinist) fie în probabilitate (cazul aleator). Stoculgarantează o securitate, elimină un risc al penuriei.
  2. 2. 3.2. DETERMINAREA POLITICII OPTIME DE STOCURI Introducem notaţiile (fig. 3.2): Yn - nivelul stocului la începutul perioadei n; n = 1,2,..., N; Z n - nivelul stocului după livrare către depozitul în care se constituie stocul în perioada n; n = 1,2,..., N; X n - cantitatea comandată şi livrată în perioada n; Vn - cantitatea ieşită din depozit în perioada n; n =1,2,..., N. Fig. 3.2. Între aceste cantităţi avem relaţiile evidente: Z 1 =Y 1 +X 1 Z 2 =Y 2 +X 2 Z n =Y n +X n Z N =Y N +X N ... ... sau Z 1 =Y 2 +V 1 Z 2 =Y 3 +V 2 Z n =Y n +1 +V n Z N =Y N +1 +V N X 1 =Z 1 -Y 1 X 2 =Z 2 -Y 2 X n =Z n -Y n X N =Z N -Y N ... ... Y 2 =Z 1 -V 1 Y 3 =Z 2 -V 2 Y n +1 =Z n -V n Y N +1 =Z N -V N Cu alte cuvinte nivelul stocului Z 1 poate fi determinat de nivelul vechi (Y 1 ) plus o actualizareX 1 sau nivelul rezervat (Y 2 ) plus cantitatea deja utilizată (V 1 ). Notăm prin ε 1 , ε 2 ,..., ε n ,..., ε Nnecesarul (cererea) în perioadele 1, 2, ..., n, ..., N. Dacă Z 1 ≥ε 1 , Z 2 ≥ε 2 , ..., Z n ≥ε n ,..., Z N ≥ε N ,atunci V 1 =ε 1 , V 2 =ε 2 , ..., V n =ε n ,..., V N =ε N (fig. 3.3). Fig. 3.3. În cazul în care ipoteza Z n ≥ ε n nu poate fi impusă, există posibilitatea unei rupturi a stoculuicând Z n - ε n < 0 ceea ce se traduce prin luare în considerare a unui cost de penurie P⋅(Z n -ε n ). Înacest caz Y n +1 = max (0, Z n - ε n ) sau dacă cererea nesatisfăcută într-o perioadă rămâne prezentă înperioadele următoare, atunci Y n +1 = Z n - ε n . Dacă timpul se tratează ca o variabilă continuă relaţiile evidente vor putea fi scrise: Y(t) –nivelul stocului la momentul t;
  3. 3. X(t) –intensitatea intrărilor în stoc la momentul t; V(t) –intensitatea ieşirilor din stoc la momentul t. Din relaţiile evidente obţinem: X n +Y n =Z n =Y n +1 +V n ; Y n +1 -Y n =X n -V n şi dacă timpul este t dYvariabilă continuă = X(t)-V(t) sau Y(t)=Y(0)+ ∫ X(S)-V(S))dS, unde Y(0) este stocul iniţial la dt 0momentul t = 0. Să prezentăm un model pentru o singură perioadă. Modelul pe care îl prezentăm poate fiutilizat în cazul în care avem un stoc de produse perisabile (care sunt supuse stricăciunii, alterării,dispariţiei), cu condiţia că durata maximă de timp în care pot fi păstrate resursele stocate să fie maimică decît perioada luată în considerare. Ne vom referi la o perioadă dată n. Notăm prin: u - preţul de vânzare a resursei considerate; ε n - necesarul; Z n - stocul; C(X n ) - costul comenzii X n ; p - preţul de penurie; h(Z n ) - costul stocării mărimii Z n ; f (Z n -ε n ) - costul de lichidare a stocului.Vedem, că beneficiul obţinut în perioada n este dat de: u⋅(ε n - max(0, ε n -Z n )) - C(X n ) - p⋅(ε n -Z n ) - h(Z n ) - f(Z n - ε n )= u⋅ε n -(C(X n )+p⋅(ε n -Z n )+ +u⋅ max(0, ε n - Z n ) + h(Z n ) + f(Z n - ε n )) Beneficiul va fi maxim când cheltuielile vor fi minime. Deci problema se reduce la minimizarea cheltuielilor:L n (X n ,Y n )=C(X n )+p⋅(ε n -Z n )+u⋅max(0,ε n -Z n )+ +h(Z n )+f(Z n -ε n ) unde Y n =max(0, Z n −1 -ε n −1 ). Dacă necesarul ε n este o mărime aleatoare problema constă în minimizarea speranţeimatematice a cheltuielilor. Un astfel de model poate fi elaborat pentru N perioade. Dacă α ∈ (0; 1)este un factor de actualizare, cheltuielile totale în N perioade constituie NL(X 1 , ..., X n ;Y 1 )= ∑ α n −1 Ln (X n ,Y n )+ f (Z n -ε n ), unde: (X n ,Y n)= C(X n ) + P (ε n -Z n )+ h(Z n ); n=1P (ε n - Z n ) = P(ε n - Z n ) + Umax(0, ε n - Z n ) şi f (Z N - ε N ) este costul actualizat de lichidare. Dacă mărimile ε 1 , ε 2 , ..., ε N (necesarul, cererea) sunt cunoscute, problema este următoarea: min L (X 1 , ..., X n ; Y 1 ) X n = Z n - Y n , n = 1, 2, ..., N Y n +1 = max (0, Y n - ε n ) n = 1, 2, ..., (N-1).
  4. 4. 3.3. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT ACHIZIŢIONAT Admitem, că necesităţile anuale ale unei întreprinderi, privind un anumit fel de materii prime(bumbac) reprezintă Q; că consumul acestor materii prime se repartizează în timp, în mod uniform,adică Q(t) este o funcţie liniară descrescătoare în care pentru t = 0, Q(0) = Q, iar pentru t = T,Q(T) = 0. Întreprinderea se poate aproviziona cu întreaga cantitate de materii prime de care va aveanevoie pentru perioada T, la începutul perioadei atunci stocul mediu anual de materii prime vareprezenta T T T T 1 1 1 1 1 1 T2 rT Q Q Z= ∫ T 0 Q(t )dt = ∫ (Q − rt )dt = ∫ Qdt − ∫ rtdt = QT − ⋅ r ⋅ = Q − = Q − = T 0 T 0 T 0 T T 2 2 2 2unde r este consumul de materii prime într-o unitate de timp. Acest lucru poate fi deasemeneademonstrat cu ajutorul fig. 3.4. Fig. 3.4. T 1 T ⋅Q Integrala T ∫ Q(t)dt este egală cu suprafaţa triunghiului 0QT, adică 0 2 ; stocul mediu 1 T ⋅Q Q Z= ⋅ = . T 2 2 Dar întreprinderea poate proceda şi altfel, de exemplu, se poate aproviziona în două rânduri: o Qdată la începutul anului în cantitatea , şi a doua oară, la mijlocul anului, de asemenea în 2 Q Qcantitatea . În acest caz, stocul mediu de materii prime în decursul perioadei T ar reprezenta 2 4(fig. 3.5). Fig. 3.5.
  5. 5. Q În mod analog, se poate face aprovizionarea cu materii prime trimestrial şi Z = . În cazul 8 Tgeneral, să admitem că întreprinderea se aprovizionează de n ori la intervale egale de şi în n Q S Qcantităţi egale S = . Atunci stocul mediu anual de materii prime va fi egal cu = . n 2 2n Se pune problema: care este numărul optim de aprovizionări cu materii prime în decursul unei Qperioade (un an); cât de mare trebuie să fie un lot de materii prime achiziţionate S = . n Cheltuielile totale sunt constituite din: cheltuieli de depozitare şi cheltuieli pentruachiziţionarea unui lot. Aceste cheltuieli acţionează în sensuri diametral opuse. Să notăm cu ccheltuielile unitare de depozitare, iar cu k – cheltuielile pentru achiziţionarea unui nou lot de materiiprime. Să admitem că c şi k sunt constante. Atunci cheltuielile anuale totale pentru achiziţionarea şi S S kQdepozitarea materiei prime reprezintă D = c + kn = c + . 2 2 S S kQ Problema constă în determinarea mărimii S, în aşa fel încât D = c + = min cu condiţia 2 Scă valorile Q, c, k să fie cunoscute şi constante. Problema se rezolvă prin reducerea la zero a primei derivate a cheltuielilor totale în raport cu dD c kQS: = - = 0. dS 2 S2 c kQ c kQ De aici obţinem = 2 unde reprezintă cheltuielile de depozitare marginale; 2 sunt 2 S 2 Scheltuielile marginale de realizare a aprovizionărilor. Mărimea optimă a unui lot achiziţionat 2kQ S∗ kQreprezintă S ∗ = . Mărimea medie anuală a stocurilor este Z ∗ = = . Numărul optim c 2 2c Q cQde aprovizionări reprezintă n ∗ = ∗ = . Să prezentăm rezultatul obţinut pe un grafic S 2k c kQ c kQ D= S+ =D 1 + D 2 ; D 1 = S; D 2 = . 2 S 2 SCheltuielile D 1 sunt reprezentate printr-o dreaptă (fig. 3.6). Fig. 3.6. Cheltuielile D 2 sunt reprezentate printr-o hiperbolă echilaterală. Reprezentarea cheltuielilortotale D = D 1 + D 2 obţinem însumând ordonatele respective ale liniilor D 1 şi D 2 . Deci:cheltuielile totale D sunt minime pentru acea valoare S la care cheltuielile de depozitare sunt egale
  6. 6. cu cheltuielile pentru realizarea aprovizionării cu un lot de materii prime. Aceeaşi teză poate fi cS kQ ckQdemonstrată şi pe altă cale. Observăm că produsul D 1 ⋅ D 2 = ⋅ = = const. 2 S 2 Însă suma a două mărimi pozitive D 1 + D 2 , al căror produs este constant, atinge valoareaminimă atunci când aceste mărimi sunt egale între ele. Această afirmaţie se demonstrează în felulurmător: să admitem că xy = k, unde x > 0; y > 0 şi să calculăm minimul lui Z = x+ y. k k k Întrucât y = , atunci Z = x + de aici Z= 1- 2 = 0 şi x 2 = k, x = k . x x x Din condiţia xy = k rezultă că şi y = k şi deci x = y. Problema poate fi formulată pornind nu din necesarul anual Q, ci din consumul zilnic r. Ştiind Sconsumul de materii prime într-o unitate de timp r, determinăm timpul în care firma va fi rasigurată cu materii prime, dacă lotul achiziţionat constituie S; k – cheltuielile legate de S kachiziţionarea lotului egal cu S. Deci la o unitate de timp revin cheltuieli k : = . r S r S Cheltuielile depozitare pentru o unitate de timp constituie c ⋅ şi deci într-o unitate de timp 2 k S kr Sfirma are cheltuielile: D = D 1 + D 2 = + c ⋅ = +c⋅ . S 2 S 2 r dD c kr 2k ⋅ r Determinăm S cuantumul optim al lotului achiziţionat = - 2 = 0; S ∗ = . Şi dS 2 S c ∗ S∗deci firma trebuie să comande un lot nou de materii prime peste fiecare t = unităţi de timp, r S∗ 2kr 2k S∗ kr 2kr ⋅ c 2adică peste t ∗ = = = . Cheltuielile minime sunt: D ∗ = c+ ∗= + r r2 ⋅c rc 2 S c⋅4 k 2r 2 = 2krc . 2kr cExemplul 1: Consumul zilnic de materii prime este de r = 100 unităţi. Cheltuielile legate deachiziţionarea unui lot sunt de k = 100 lei. Cheltuielile zilnice legate de depozitarea unei unităţi dematerii prime sunt de r = 0,02 lei. De determinat cuantumul optim al lotului achiziţionat, dacăpentru realizarea comenzii sunt necesare 7 zile.Rezolvare: 2k ⋅ r 2 ⋅ 100 ⋅ 100 S∗ = = = 1000 (unităţi). c 0,02 S∗ Aceste 1000 unităţi sunt suficiente pentru funcţionarea producţiei pe o perioadă de t ∗ = = r1000 = 10 (zile). Dar pentru realizarea comenzii sunt necesare 7 zile. Deci comanda egală cu S ∗ = 1001000 unităţi se începe când la depozit au mai rămas 7 ⋅ 100 = 700 unităţi.
  7. 7. 3.4. PROGRAMAREA APROVIZIONĂRILOR ŞI A STOCURILOR Admitem că: cheltuielile de depozitare sunt determinate de funcţia D 1 = c 0 + cZ (fig. 3.7). Fig. 3.7.unde c 0 - cheltuielile de depozitare constante; c – cheltuieli de depozitare specifice (la o unitate de D1 cmarfă). Din D 1 = c 0 + cZ rezultă = 0 + c, cheltuielile de depozitare D 1 se reduc pe măsura Z Zcreşterii cuantumului stocului Z. Cheltuielile pentru aprovizionare cu un lot de mărfuri sunt Qdeterminate de funcţia D 2 =(k + a 0 S – a S 2 ) n, unde n = este numărul aprovizionărilor. S S Q Cheltuielile totale pot fi exprimate: D = D 1 +D 2 = c 0 + c + (k + a 0 S- a S 2 ) ; 2 S S kQ D = c0+ c + + a 0 Q – aSQ. 2 S ∂D c kQ Mărimea optimă a lotului achiziţionat S ∗ o găsim din condiţia: = - 2 - aQ = 0, de ∂S 2 S 2kQunde: S ∗ = . c − 2aQ Dacă reducerea cheltuielilor ca urmare a măririi dimensiunii lotului a = 0, atunci S ∗ = 2kQ . c Să examinăm cazul în care loturile achiziţionate nu sunt neapărat egale între ele. Admitem, căîn cursul unei perioade date T s-au achiziţionat n loturi de materii prime de mărimea S i , i =1, 2, ..., nn; Q= ∑ S i . i =1 Si Stocul mediu de materii prime între două aprovizionări succesive este Z i = , i = 1, 2, ..., n; 2 Sitimpul de depozitare a stocului S i va reprezenta ⋅ T . Cheltuielile totale pot fi Q n Si Si cT n 2 ndeterminate D = c ⋅ ∑ ⋅ ⋅T + k ⋅ n = ⋅ ∑ S i + k ⋅ n , ţinând seama de condiţia ∑ S i = Q . i =1 2 Q 2Q i =1 i =1 cT n 2 ⎛n ⎞Elaborăm funcţia Lagrange: L = ∑ S i + kn − λ ⎜ ∑ S i − Q ⎟ . Cuantumul optim S i∗ , i = 1, 2, ..., n 2Q i =1 ⎝ i =1 ⎠ ∂L cTîl determinăm din condiţia: = S i − λ = 0 , i = 1, 2, ..., n; ∂S i Q λQ λQ Si = , i = 1, 2, ..., n. Deci S 1 = S 2 = ... = S n = . cT cT
  8. 8. Următoarea modificare a problemei de programare a aprovizionărilor este legată deintroducerea unei restricţii capacitatea limitată a depozitelor, care nu depăşeşte o anumită mărime S QP. Problema poate fi formulată: D = c⋅ + k⋅ = min în condiţia: S ≤ P. Elaborăm funcţia 2 S S Q ∂L cLagrange L = c⋅ + k ⋅ - λ (P - S). Mărimea optimă S ∗ o determinăm din condiţia: = - 2 S ∂S 2 kQ 2kQ + λ = 0; S ∗ = . S 2 c + 2λ 3.5. CAZUL UTILIZĂRII NEUNIFORME A STOCULUI ÎN TIMP Admitem că consumul de materii prime este definit de funcţia q (t), care ne permite să t1determinăm consumul în intervalul (t 0 , t 1 ) ∫ t0 q(t) dt. t Consumul de materii prime în intervalul (0; t) este determinat de integrala Q(t) = ∫ q(t )dt . 0Problema 1: Să se determine în ce momente ale perioadei t trebuie să se procure loturile de materiiprime pentru ca cheltuielile totale de depozitare şi de aprovizionare să fie minime. t Să exprimăm funcţia Q(t) = ∫ q(t )dt grafic (fig. 3.8) 0 Fig. 3.8. Să admitem că în decursul perioadei T s-au procurat n partide de materii prime înmomentele t 0 = 0; t 1 ; t 2 ; ...; t n −1 . Cuantumul de materii prime Q(t 1 ) este consumat treptat şi de aceea în intervalul (t 0 , t 1 ) existăun anumit stoc de materii prime, egal cu suprafaţa haşurată a quasitriunghiului situat deasupracurbei funcţiei Q(t) în intervalul (t 0 , t 1 ). Suprafaţa acestui quasitriunghi şi deci mărimea stocului în t1 t1intervalul (t 0 , t 1 ) constituie ∫ (Q(t1 ) − Q(t )dt = Q(t1 )(t1 − t 0 ) − ∫ Q(t )dt ) . Pentru următoarele t0 t0 tiintervale ∫ (Q(t ) − Q(t ))dt , ti −1 i i = 1, 2, ..., n. Stocul total în perioada (t 0 , t n ) sau (0; T) este egal cusuma suprafeţelor tuturor acestor triunghiuri. Cheltuielile totale le exprimăm:
  9. 9. t1 t2 tn D = nk + c( ∫ (Q(t1 ) − Q(t ))dt + ∫ (Q(t 2 ) − Q(t ))dt + ... + ∫ (Q(t n ) − Q(t ))dt ) = t0 t1 t n −1 t1 t2 tn = nk + c( ∫ Q(t1 )dt + ∫ Q(t 2 )dt + ... + ∫ Q(t n )dt ) = t0 t1 t n −1 tn = nk + c(Q(t 1 )(t 1 -t 0 ) + Q(t 2 )(t 2 -t 1 ) + ... + Q(t n )(t n -t n −1 ) - c ∫ Q(t )dt ). t0 Problema se reduce la determinarea minimul a expresiei: F = Q(t 1 )(t 1 -t 0 ) + Q(t 2 )(t 2 -t 1 ) + Q(t 3 )(t 3 -t 2 ) + ... + Q(t n )(t n -t n −1 ) = min. Necunoscutele t 1 , t 2 , ..., t n −1 le determinăm din sistemul: ∂F = Q (t1 )(t1 − t 0 ) + Q (t1 ) − Q (t 2 ) = 0 ∂t1 ∂F = Q (t 2 )(t 2 − t1 ) + Q(t 2 ) − Q (t 3 ) = 0 ∂t 2 ∂F = Q (t 3 )(t 3 − t 2 ) + Q (t 3 ) − Q (t 4 ) = 0 ∂t 3 ................................................................ ∂F = Q (t n −1 )(t n −1 − t n − 2 ) + Q (t n −1 ) − Q (t n ) = 0 ∂t n −1 sau Q(t 2 ) – Q(t 1 ) = Q(t 1 )(t 1 - t 0 ) Q(t 3 ) – Q(t 2 ) = Q(t 2 )(t 2 - t 1 ) Q(t 4 ) – Q(t 3 ) = Q(t 3 )(t 3 - t 2 ) .................................................. Q(t n ) – Q(t n −1 ) = Q(t n −1 )(t n −1 - t n −2 ) sau Q(t i +1 ) – Q(t i ) = Q(t i )(t i - t i −1 ), i = 1, 2 ,..., (n-1).Rezolvând acest sistem, determinăm necunoscutele t 1 , t 2 , ..., t n −1 , adică momentele în care trebuiesă se procure loturile de materii prime. 3.6. PROGRAMAREA APROVIZIONĂRILOR ŞI STOCURILOR ÎN CONDIŢII DE INCERTITUDINE Admitem că mărimea necesarului de materii prime în perioada (0; T) şi în fiecare moment alacestei perioade este o variabilă aleatoare cu o repartiţie a probabilităţii cunoscută. Dacă consumulprobabil de materii prime în perioada dată reprezintă Q şi sunt efectuate n aprovizionări, atunci Qcuantumul fiecărui lot reprezintă S = . Consumul de materii prime este o variabilă aleatoare şi npoate apărea un eventual consum, care ar depăşi necesarul probabil şi deci este nevoie să se creezeun anumit stoc, rezervă (fig. 3.9).
  10. 10. Fig. 3.9. S Stocul mediu de materii prime reprezintă Z = + R. 2 Calcularea mărimii rezervelor R se bazează pe o anumită probabilitate, dinainte stabilită canecesarul de materii prime nu va depăşi rezerva existentă. Această probabilitate se numeştecoeficientul de încredere. În locul acestui coeficient se poate utiliza probabilitatea evenimentuluicontrar, numit coeficient al riscului (p). Notăm cu V mărimea necesarului de materii prime în perioada dintre două aprovizionărisuccesive; S – cuantumul unui lot achiziţionat. Să se determine mărimea rezervei R în aşa fel încât probabilitatea P faptului că rezerva să sedovedească insuficientă să fie egală cu o mărime dată p. În limbajul simbolurilor P { >S + R } = p. Pentru a-l determina pe R trebuie să cunoaştem Vrepartiţia variabilei aleatoare V. (V − S ) 2 1 − 2σ 2În particular variabila poate avea o repartiţie normală P(V) = e . σ 2π V −SÎn locul variabilei V introducem variabila u = , dv = σ du. σ V −SProblema constă în a determina acea valoare a variabilei aleatoare standardizate up= , σ ∞ u2 1 −dependentă de p, pentru care este valabilă 2π ∫e up 2 du = p . Rezolvarea grafică a acestei ecuaţii constă în aflarea unei asemenea valori a variabilei up încâtspaţiul haşurat de „sub curba normală”, în intervalul (up, ∞ ) să fie egală cu p (fig. 3.10.). Fig. 3.10. Valorile up pot fi determinate din tabelele repartiţiei normale. De exemplu, dacă coeficientul deîncredere reprezintă 95% adică 0,95 apoi coeficientul riscului p = 1 – 0,95 = 0,05 pentru care up =1,64; pentru p = 0,01 avem up = 2,33.
  11. 11. V −S V −S Ştiind că u p = > up rezultă că V – S > σ up şi R trebuie să fie egal atunci din σ σcu R = σ up. Pentru p= 0,05 R = 1,64 σ ; pentru p = 0,01 R = 2,33 σ . Cheltuielile totale S Q ∂D c kQreprezintă: D=c( + u pσ ) + k ⋅ , care ating nivelul minim dacă: = − 2 = 0 , de unde S ∗ = 2 S ∂S 2 S 2kQ . c Să examinăm cazul repartiţia probabilităţii necesarului posibil de materii prime este o repartiţiePoisson, adică diverşi factori care provoacă abaterile mărimii necesarului de la valoarea medieaşteptată acţionează extrem de rar, însă numărul acestor factori este mare. Dacă variabila aleatoare V se supune repartiţiei Poisson, atunci probabilitatea necesarului e −S ⋅ S Vrespectiv P(V) = . V! (V − S ) 2 1 − V −S S QDacă S → ∞ atunci P(V) = e 2 S , deci vp= şi D = c( + u p ⋅ S ) + k ⋅ , 2πS S 2 S ∂D c cu p kQ = − − = 0 de unde determinăm mărimea optimă a unui lot S ∗ . ∂S 2 2 S S 2 3.7. DETERMINAREA COEFICIENTULUI OPTIM AL RISCULUI Insuficienţa rezervei de materii prime provoacă cheltuieli de deficit. În acest caz cheltuieliletotale Q S Q S D = k⋅ + c1 ⋅ + c1 ( R − (V − S )) , dacă R > V – S sau D = k ⋅ + c1 ⋅ + c 2 ((V − S ) − R ) , S 2 S 2dacă R < V – S unde c 2 - cheltuielile specifice de deficit. Introducem variabila U = V–S care determină mărimea excedentului sau deficitului de materiiprime în raport cu lotul achiziţionat.Problema 2: Să stabilim pentru ce mărime a rezervei şi pentru ce valoare a coeficientului de risc p,valoarea probabilă a cheltuielilor totale (speranţa matematică) este minimă R ∞ Q SE{D} = K + c1 + c1 ∫ ( R − U ) f (U )dU + c2 ∫ (U − R ) f (U )dU . S 2 −∞ RPrimii doi termeni nu depind de R şi P. De aceea este suficient să examinăm: R ∞E{D1 } = c1 ∫ ( R − U ) f (U )dU + c2 ∫ (U − R ) f (U )dU . −∞ R Speranţa matematică E {D1 } conţine doi termeni: primul corespunde cazului U < R, al doileacazului U > R. E {D1 }= min, dacă +∞ ∂ E {D 1 } R ∂ ∂ ∂R = c1 ∂R ∫ −∞ ( R − U ) f (U ) dU + c 2 ∂R ∫ (U R − R ) f (U ) dU = 0De aici aflăm că E {D1 }= min, dacă
  12. 12. R ∂ ∂R −∫ ( R − U ) f (U )dU c2 ∞ +∞ =− ∂ c1 ∂R ∫ (U − R) f (U )dU R Numărătorul, în partea stângă a egalităţii este speranţa matematică a surplusului de materiiprime, derivata acestei mărimi este excedentul probabil marginal; integrala de la numitor estesperanţa matematică a insuficienţei materiei prime, derivata acestei integrale este deficitul probabilmarginal. Aşadar raportul de mai sus poate fi interpretat: rezerva R este optimă atunci când raportul cdintre excedentul probabil marginal şi deficitul probabil marginal este egal cu raportul − 2 . La c1transformarea numărătorului şi a numitorului din raport ne vom folosi de teoremă a diferenţierii sub bsemnul integralei, care poate fi formulată: dacă se dă funcţia g(x) = ∫ f ( x, y)dy , unde a şi b sunt a b ∂g ( x) ∂f ( x, y )mărimi constante, atunci derivata acestei funcţii este =∫ dy ; dacă limitele de ∂x a ∂x b( x)integrare a şi b depind de variabila x şi, ca atare, funcţia are forma g ( x) = ∫ f ( x, y)dy atunci a( x)derivata acestei funcţii este: b( x) ∂g ( x) ∂f ( x, y ) ∂b( x) ∂a( x) = ∫ dy + f ( x, b( x)) − f ( x, a ( x)) . ∂x a( x) ∂x ∂x ∂x R R R ∂ ∂R ∫Folosind această formulă vom obţine: ( R − u ) f (u )du = ∫ f (u )du + ( R − R) = ∫ f (u )du deci a a a R R ∞ ∞ ∂ ∂∂R −∫ ( R − u ) f (u )du = ∫ f (u )du şi ∂R ∫ (u − R) f (u )du = − ∫ f (u )du . ∞ −∞ R R R ∫ f (u)du c2 1 − p c2 c1 c2Prin urmare −∞ ∞ = sau = şi p= = 1− . c1 p c1 c1 + c 2 c1 + c 2 ∫ f (u)du R Să reţinem că p este coeficientul de risc; (1-p) este coeficientul de încredere, care pot fi calculaţiştiind c 1 şi c 2 . 3.8. PROGRAMAREA DINAMICĂ A PRODUCŢIEI CU AJUTORUL CALCULULUI VARIAŢIONAL Admitem că necesarul de producţie în fiecare moment t, t ∈ (0; T) este egal cu v(t)>0, iarvolumul de producţie este determinat printr-o funcţie nenegativă x(t), numită program de producţie. Dacă x(t)>v(t), atunci în momentul t există un excedent al producţiei x(t) – v(t); dacă x(t)<v(t),atunci în momentul t stocul se micşorează cu v(x) - x(t). Admitem că nici într-un moment stocul nupoate fi mai mic de zero. Notăm: Z(0) – stocul iniţial; V(t) – necesarul total; X(t) – producţia totală.
  13. 13. t tAtunci V(t) = ∫ v(t )dt ; 0 X(t) = ∫ x(t )dt . Stocul Z(t) în momentul t este Z(t) = X(t) – V(t) + Z(0) 0≥ 0. Admitem că cheltuielile de producţie sunt reprezentate prin funcţia k(t)=f(x(t)), pentru caref(x)>0; f(x)>0; cheltuielile specifice de depozitare prin c.Problema 3: Să se elaboreze un program de producţie, adică să se construiască o funcţie adesfăşurării producţiei în timp x(t), în aşa fel încât cheltuielile totale de producţie şi de depozitare înperioada (0; T) să fie minime. T T Sau D = ∫ 0 f ( x(t ))dt + c ∫ ( X (t ) − V (t ) + Z (0))dt = min în condiţiile: 0 Z(0) ≥ 0 X(t) – V(t) + Z(0) ≥ 0 X(T) – V(T) = Z(T). Pentru soluţionarea acestei probleme vom recurge la metodele calculului variaţional, care bconstă în aflarea funcţiei X(t) a cărei integrală este I = ∫ F ( X (t ), X (t ), t )dt = min . a După cum se ştie, extremul funcţiei y = f(x) se determină: în locul valorii date a variabilei xintroducem valoarea x + dx; atunci noua valoare a funcţiei poate fi notată sub forma: f(x) + df(x). Dacă rezultă că diferenţiala funcţiei df(x) > 0 sau df(x) < 0, atunci funcţia f(x) nu are extrem.Extremul funcţiei în punctul dat x există în cazul în care în punctul x diferenţiala df(x) = 0. Mărind funcţia X(t) cu variaţia ei δX (t ) , X(t) + δX (t ) , noua valoare a integralei va fi I + δI. Dacă δI > 0 sau δI < 0, atunci integrala I nu are extrem. Ea are extremă dacă δI = 0. b Sau I + δI = ∫ F ( X (t ) + δX (t ); X (t ) + δX (t ); t )dt . a Variaţia integralei reprezintă b b b ∂F ∂F ∂F ∂F δI = ∫ ( δX (t ) + δX (t ))dt = ∫ ∂X δX (t )dt + ∫ ∂X δX (t )dt = a ∂X ∂X a a b ∂F b ;V = δX (t )dt u= ∂F ∂X ∂F b d ∂F = ∫ δX (t )dt + + ⋅ δX (t ) − ∫ dt ∂X δX (t )dt . ∂X d ∂F ∂X a du = ;V = δX (t ) a dt ∂X a b ⎡ ∂F ⎤Întrucât δX(t)=0 fiindcă funcţia X(t) în t=a; t= b nu se modifică, atunci ⎢ ∂X δX (t )⎥ = 0. ⎣ ⎦a b b b ∂F d ∂F ⎛ ∂F d ∂F ⎞Deci: δI= ∫ δX (t )dt − ∫ δX (t )dt = ∫ ⎜ − ⎟δX (t )dt . Variaţia integralei δI = 0 a ∂X a dt ∂X a⎝ ∂X dt ∂X ⎠ ∂F d ∂Fcând − = 0 . Aceasta este o ecuaţie diferenţială de gradul al doilea cu derivate parţiale, ∂X dt ∂X care poartă denumirea de ecuaţie diferenţială a lui Euler. Folosim rezultatul obţinut pentru rezolvarea problemei de programare dinamică a producţiei.Problema constă în determinarea funcţiei de producţie X(t) care face minime cheltuielile deproducţie şi de depozitare, adică o funcţie pentru care
  14. 14. T D = ∫ ( f ( x(t )) + c( X (t ) − V (t ) + Z (0)) )dt = min . 0 t Menţionăm că în această formulă x(t)=X(t), deoarece X(t)= ∫ x(t )dt , necesarul V(t) este dat şi 0nu se schimbă, iar Z(0) este constant. De aceea expresia de sub semnul integralei poate fi consideratca o funcţie F(X, X). TDeci D = ∫ F ( X (t ), X (t ), t )dt = min dacă este satisfăcută ecuaţia diferenţială a lui Euler. În acest 0 ∂F d ∂F dcaz = c şi = f (X ) . ∂X dt ∂X dt d dPrin urmare ecuaţia lui Euler capătă forma: c − f (X ) = c − f ( x(t )) = 0 . dt dt dDe aici c= f ( x(t )) sau c = f ( x (t )) ⋅ x (t ) . dtExemplul 2: Să admitem că se dă o funcţie determinată a cheltuielilor de producţie sub forma unuipolinom f(x)= α + β x + γx 2 . Ecuaţia diferenţială a lui Euler are forma c = 2γx (t ) . c dx c c cDe aici x (t ) = ; = ; dx = dt ; x = t + K1 ( K1 – const.). 2γ dt 2γ 2γ 2γ t c cCalculăm X (t ) = ∫ ( t + K1 )dt = t 2 + K1t + K 2 ( K1 , K 2 - const.). 0 2γ 4γ3.9. PROGRAMAREA DINAMICĂ A PRODUCŢIEI ÎN CONDIŢII DE INCERTITUDINESă admitem că: t - necesarul total (cererea) pentru perioada (0; t) V(t) = ∫ V (t )dt 0 este o variabilă aleatoare cu o repartiţie a probabilităţilor cunoscută, egală cu φ(V(t)); - volumul producţiei în momentul t este x(t); t - volumul total al producţiei în perioada (0; t) reprezintă X (t ) = ∫ x(t )dt ; f(x(t)) este 0 funcţia cheltuielilor de producţie; - c 1 - cheltuielile de depozitare pe o unitate de timp; - c 2 - cheltuielile specifice de deficit.Cheltuielile totale în momentul t sunt: D(t ) = f ( x(t )) + c1 ( X (t ) − V (t ) + Z (0)), dacă X(t)+Z(0)≥ V(t)şi: D(t ) = f ( x(t )) + c 2 (V (t ) − X (t ) − Z (0)), dacă X(t)+ Z(0) < V(t). Calculăm speranţa matematică: X (t ) + Z ( 0) +∞ E{D(t )} = f ( x(t )) + c1 ∫ ( X (t ) − V (t ) + Z (0)) ⋅φ(V (t))dV (t) + c 2 ∫ (V (t) − X (t) − Z (0)) ⋅ φ (V ( t )) dV (t ) . −∞ − X ( t ) + Z ( 0)
  15. 15. Calculăm cheltuielile totale prevăzute pentru perioada (0, T): X (t )+Z(0) ⎧T ⎫ T +∞ D = E⎨∫ D(t)dt⎬ = ∫( f (x(t))+ c1 ∫(X(t) −V(t) + Z(0))φ(V (t))dV(t) + c2 ∫ (V (t) − X (t) − Z(0)) ⋅ φ (V (t )) dV (t )) dt . ⎩0 ⎭ 0 −∞ X (t )+Z (0) Problema constă în determinarea unei funcţii a volumului total al producţiei X(t), în aşa fel încâtcheltuielile probabile să fie minime. Cunoscând X(t), vom putea determina funcţia optimă aprogramului de producţie, căci x(t) = X(t). Rezolvăm această problemă prin metodele calcululuivariaţional. Funcţionala D atinge valoarea minimă dacă este satisfăcută ecuaţia diferenţială a lui Euler ∂F d ∂F = . ∂X dt ∂X ∂F Partea stângă a ecuaţiei diferenţiale a lui Euler , unde F este expresia de sub integrală, o ∂Xcalculăm utilizând formula: b( x) b( x) ∂f ( x, y ) ∂b( x) ∂a ( x)dacă g ( x) = ∫ f ( x, y )dy, atunci g ( x) = ∫ dy + f ( x, b( x)) − f ( x, a ( x)) . a( x) a( x) ∂x ∂x ∂xÎn acest caz vom obţine: X (t )+ Z (0) +∞ d ∂F d d c1 ∫ −∞ φ (V (t ))dV (t ) − c 2 ∫ φ (V (t ))dV (t ) = dt ∂X = dt f ( X (t )) = f ( x(t )) x (t ) = dt X (t )+ Z (0) f ( x(t )) . Prima integrală din partea stângă exprimă probabilitatea că cererea în perioada (0; t)va fi maimică decât suma volumului producţiei şi a stocului iniţial; a doua integrală reprezintă probabilitateafaptului că cererea în perioada (0; t) va depăşi mărimea X(t) + Z(t), adică va apărea un deficit. dPrin urmare c1 (1− p( X (t) + Z (0)))− c2 p( X (t) + Z (0)) = f (x(t)) de unde dt d c1 − (c1 + c2 ) p( X (t ) + Z (0)) = f ( x(t )) . dt d c1 − f ( x(t ))Sau p ( X (t ) + Z (0)) = dt , care este coeficientul optim de risc al deficitului producţiei. c1 + c 2 3.10. EXPLOATAREA OPTIMĂ A SURSELOR DE ENERGIE ELECTRICĂ Să admitem că avem la dispoziţie n centrale hidroelectrice, cu bazine de acumulare, a cărorproducţie la un moment dat este egală cu x i (t), i = 1,2, ..., n; centrale termoelectrice, care suntconsiderate de rezervă. Dacă la un moment dat necesarul de energie electrică, care este o variabilă aleatoare,notat prin nv(t) este insuficient, atunci o parte din acest necesar de mărimea ∑ x (t ) i =1 i poate fi acoperită din nproducţia centralelor hidroelectrice, iar restul, adică v(t ) − ∑ xi (t ), trebuie să fie acoperită de către i =1centralele termoelectrice. Cheltuielile de exploatare ale unei centrale hidroelectrice nu depind devolumul producţiei de energie electrică. Deci cheltuielile de exploatare marginale ale centralelor
  16. 16. hidroelectrice sunt egale cu zero. Din această cauză partea variabilă a cheltuielilor de producţie aenergiei electrice depinde exclusiv de cantitatea de curent produsă de centralele termoelectrice. Prinurmare partea variabilă a cheltuielilor de producţie electrică este o funcţie de forma: ⎛ n ⎞F ⎜ v(t ) − ∑ xi (t ) ⎟ . ⎝ i =1 ⎠Volumul producţiei unei centrale hidroelectrice date este funcţie de: W i (t)–înălţimea căderii de apă din bazinul de acumulare; q i (t) – cantitatea de apă pe care o primesc turbinele din bazinul de acumulare.De aici rezultă că: x i (t) = f i (W i (t), q i (t)), i = 1, 2, ..., n unde: W i (t) – este o variabilă aleatoare; q i (t) – este o variabilă de decizie, care depinde de cantitatea de apă care va fi debitată la turbinele centralei electrice.Notăm: r i (t) – cantitatea de apă care la un moment dat intră în bazinul de acumulare al centralei i; q i (t) – care iese din bazin (fig. 3.11). r i (t) Bazinul de q i (t) acumulare i t t Ri (t ) = ∫ ri (t ) Qi (t ) = ∫ qi (t ) 0 0 Fig. 3.11. Prin urmare rezerva de apă din bazinul i în momentul t reprezintă W i (t) = R i (t) - Q i (t) +W i (0), i = 1, 2, ..., n unde W i (0) este rezerva iniţială de apă în bazinul i. Examinăm cazul W i (0) = 0, deci W i (t) = R i (t) - Q i (t), i = 1, 2, ..., n.Funcţia producţiei centralelor hidroelectrice este: x i (t) = f i (Wi (t ), qi (t ) ) = f i (Ri (t ) − Qi (t ), qi (t ) ), i = 1, 2, ..., n. Partea variabilă a cheltuielilor de exploatare a surselor de energie electrică D(t) în momentul tpoate fi reprezentată: T ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞D (t ) = F ⎜ V (t ) − ⎜ ∑ f i (Wi (t ), q i (t ) ) ⎟ ∫ ⎝ ⎟ în intervalul (0 ; T) D = F ⎜V (t ) − ∑ f i (Wi (t ), qi (t ))⎟dt . ⎠ ⎝ i =1 ⎠ 0 i =1 Să presupunem că repartiţiile probabilităţilor variabililor V(t) şi W i (t) sunt cunoscute şirepartiţia probabilităţii necesarului este aceeaşi în fiecare moment t şi reprezintă Ψ(V (t ) ). Repartiţiaprobabilităţilor variabilei W i poate fi reprezentată ca o funcţie de variabilele r 1 (t), r 2 (t), ..., r n (t)sau sub forma funcţiei φ (r1 (t ), r2 (t ),..., rn (t ) ) . Determinăm speranţa matematică a cheltuielilor de exploatare a centralelor termoelectrice înmomentul t (pentru centralele hidroelectrice cheltuielile marginale sunt zero). Aici sunt posibile treicazuri: ⎛ n ⎞1. Producţia centralelor hidroelectrice depăşeşte necesarul de energie electrică ⎜ ∑ f i 〉V (t ) ⎟ . În ⎝ i =1 ⎠ acest caz s-ar putea să apară necesitatea unor cheltuieli pentru păstrarea surplusului de energie
  17. 17. n electrică, egale cu c1 ∑ ( f i (Wi (t ), q i (t ) ) − V (t ) ), unde c 1 - cheltuielile specifice de păstrare a i =1 surplusului de energie electrică.2. Necesarul de energie electrică V(t), deşi este mai mare decât producţia centralelor hidroelectrice n ∑f, i =1 i totuşi este mai mic decât suma volumului producţiei centralelor hidroelectrice şi capacitatea de producţie totală maximă a centralelor termoelectrice de rezervă (M) sau sub n n forma ∑ f i 〈V (t )〈 ∑ f i + M . În acest caz cheltuielile de producţie variabile reprezintă i =1 i =1 ⎛ n ⎞ F ⎜V (t ) − ∑ f i (Wi (t ), qi (t ) )⎟ . ⎝ i =1 ⎠3. Necesarul V(t) depăşeşte capacitatea de producţie totală a centralelor termoelectrice şi n hidroelectrice, adică V (t )〉 ∑ f i + M . Atunci apare un deficit de energie electrică. Cheltuielile i =1 ⎛ n ⎞ pe care le ocazionează deficitul reprezintă c 2 ⎜V (t ) − ∑ f i (Wi (t ), qi (t ) ) − M ⎟, unde: ⎝ i =1 ⎠ c 2 - cheltuielile specifice pentru depăşirea deficitului.Mărimea probabilă a cheltuielilor: E{D (t )} = c1 ∫∫ ...∫ (∑ f (W (t ), q (t )) − V (t ))⋅ Ψ(V (t ))φ (r (t ),..., r (t ))dV (t )dr (t ) ⋅ dr (t )... ⋅ i i i 1 n 1 2 V (t )〈 ∑ fi ⋅ drn (t) + ∫∫...∫ F(V(t) − ∑ fi (Wi (t),qi (t)))⋅ Ψ(V (t ))⋅ φ (r1 (t ),..., rn (t ))⋅ dV (t )dr1 (t ), dr2 (t ),... ∑ fi 〈V (t )〈∑ fi +M ..., drn (t ) + c2 ∫∫...∫ (V (t ) − ∑ f i (Wi (t ), qi (t )) − M ) ⋅ ⋅(V (t ) )φ (r1 (t ), r2 (t ),..., rn (t ) )dV (t )dr1 (t )dr2 (t ) ⋅ ... ⋅drn (t ) . V (t )〉 ∑ f i + M În prima integrală din partea dreaptă, expresia de sub integrală reprezintă densitateaprobabilităţii faptului că un asemenea surplus se va produce. În mod analog sunt construiteexpresiile de sub integrală ale celor două integrale următoare din partea dreaptă a acestei formule. T Cheltuielile totale pentru perioada (0, T) sunt: E{D} = ∫ E{D(t )}dt . 0 Problema se reduce la aflarea condiţiilor în care E{D} = min, adică în determinarea aceleifuncţii q i (t), iar indirect şi a funcţiei de producţie xi (t ) = f i (Wi (t ), qi (t ) ), i = 1, 2, ..., n, astfel încâtcheltuielile de exploatare totale probabile ale tuturor centralelor să fie minime. Înlocuind mărimea W i (t) cu R i (t) - Q i (t), iar mărimea q i (t) cu Q i (t) vom obţine o funcţie desub integrală tipică pentru calculul variaţional; aceasta este o funcţie de variabile: Q 1 (t), ..., Q n (t); Q 1 (t), ...,Q n (t). Notăm funcţia prin G (Q1 (t ), Q2 (t ),..., Qn (t ), Q 1 (t ),..., Q n (t ), t ).Condiţia care trebuie satisfăcută pentru ca E{D} = min, poate fi notată sub forma următoarelor ∂G d dGecuaţii ale lui Euler: = , i = 1, 2, ..., n. ∂Qi dt ∂Q i Calculăm mai întâi partea din stânga ecuaţiilor lui Euler:
  18. 18. ∂G ∂f = c1 ∫∫ ...∫ i Ψ (V )φ (r1 ,..., rn )dVdr1 ⋅ ... ∂Qi V <∑ f i ∂Qi ∂f ⋅ dr n + ∫∫ ... ∫ F ⋅ i ⋅ Ψ ( v )φ ( r1 ,..., rn ) dV ⋅ ∂Q i ∑ f i 〈V 〈 ∑ f i + M ∂f ⋅ dr1 ⋅ ... ⋅ drn + c 2 ∫∫ ...∫ i Ψ (V )φ (r1 ,..., rn )dV ⋅ dr1 ⋅ ... ⋅ drn , i = 1, 2, ..., n. V 〉 ∑ fi + M ∂Qi i Calculăm partea dreaptă a ecuaţiei lui Euler: ∂f id ∂Gdt ∂Q = c1 ∫∫ ∫ ... ∂f i ∂qi qi (t )Ψ(V )φ (r1...rn )dVdr ... dr + 1 n ∫∫ ∫ ... F ∂qi qi (t)Ψ(V)φ(r1...rn )dV⋅ V〈 ∑ fi ∑ fi 〈V〈∑ fi +M ∂f i⋅ dr1 ⋅ ... ⋅ drn + c 2 ∫∫ ...∫ ∂qi q i (t )Ψ (V )φ (r1 ...rn ) ⋅ dVdr...dr , i = 1, 2, ..., n. 1 n V〉 ∑ fi + M Egalând partea stângă a ecuaţiilor lui Euler cu partea dreaptă aflăm condiţiile care trebuie să fieîndeplinite pentru ca cheltuielile totale probabile să fie minime.3.11. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT DE MATERII PRIME CU PREŢ SCHIMBĂTORAdmitem că preţul de achiziţionare depinde de cuantumul lotului de materii prime, adică: c 1 , dacă S < q; preţul = c 2 , dacă S ≥ q.unde: -c 1 este preţul la materii prime; -c 2 este preţul cu reduceri (cu rabat) pe măsura creşterii cuantumului unui lot de materii prime, c 2 < c 1 .Cheltuielile totale sunt: k ⋅r S - pentru S < q D (1) = c1 ⋅ r + + c; S 2 kr S - pentru S ≥ q D ( 2 ) = c 2 ⋅ r + + c . S 2 2krMărimea optimă a lotului poate fi calculată după aceeaşi formulă: S ∗ = . Cheltuielile totale cpot fi reprezentate prin două linii deplasate de inegalitatea termenilor rc 1 şi rc 2 , adică de rc 1 > rc 2(fig. 3.12).
  19. 19. Fig. 3.12.Din relaţia D (1) ( S ∗ ) = D ( 2 ) (q1 ) îl determinăm pe q 1 . Punctele 0, S ∗ şi q 1 creează intervalele I; II; III. Cuantumul optim al lotului îl determinăm: S ∗ , dacă 0 ≤ q ≤ S ∗ S∗ = q, dacă S ∗ ≤ q ≤ q1 S ∗ , dacă q1 〈 q Cu alte cuvinte, dacă firma are de procurat materii prime într-o cantitate mai mare decâtnivelul cu rabat apoi ea se va folosi de aceste reduceri procurând S ∗ unităţi; dacă nivelul dereduceri este mai mare de cuantumul optim S ∗ , dar mai mic de nivelul pentru care cheltuielilesuplimentare legate de depozitare sunt acoperite de câştigul în urma rabatului, atunci firma vaprocura un cuantum de materii prime egal cu nivelul în care va avea reduceri; dacă câştigulprovocat de nivelul de reduceri nu va acoperi cheltuielile ulterioare de depozitare, atunci firma nuse va folosi de astfel de facilităţi.Exemplul 3: k = 10 lei, c = 1 leu, q =15, r = 5; c 1 = 2 lei; c 2 = 1 leu. 2kr 2 ⋅ 10 ⋅ 5Calculăm S ∗ = = = 10 ; 10 < 15 (adică S ∗ < q) q fiind mai mare de S ∗ determină c 1intervalul II. Să determinăm extrema dreaptă a acestui interval, adică q 1 . kr S ∗ k ⋅ r q1 În acest scop elaborăm ecuaţia D (1) ( S ∗ ) = D ( 2 ) (q1 ) adică c1 r + ∗ + c = c2 r + + c S 2 q1 2 10 ⋅ 5 10 ⋅ 1 10 ⋅ 5 1 ⋅ q1 sau 2 ⋅ 5 + + = 1⋅ 5 + + ; 10 2 q1 2 q12 − 30q1 + 100 = 0 q1 = max(26,18;3,82) = 26,18.Deci 10 ≤ 15 ≤ 26,18 , valoarea lui q se găseşte în intervalul II şi: kr r ⋅ 15 10 ⋅ 5 1 ⋅ 15 S ∗ = q = 15; D ( S ∗ ) = D (15) = c 2 r + + = 1⋅ 5 + + = 15,83 lei . 15 2 15 2 zi ∗Exemplul 4. Pentru datele din exemplu 1 de determinat S şi cheltuielile totale dacă: a) q = 30; (Răspuns S ∗ = 10, D ( 2) = 40 lei); b) q = 5; (Răspuns S ∗ = 10, D ( 2) = 30 lei).
  20. 20. 3.12. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT DE MATERII PRIME: MODELUL MULTISECTORIAL Admitem, că în activitatea de producţie sunt utilizate n feluri de materii prime; capacităţiledepozitelor sunt limitate de A; suprafaţa necesară pentru depozitarea unei unităţi de materii prime i(i = 1, 2, ..., n) este egală cu a i . Dacă S i - este lotul de materii prime i achiziţionat, atunci necesarul nde capacităţi de depozite este restricţionat de A, adică ∑a S i =1 i i ≤ A.Notăm: r i - consumul într-o unitate de timp de materii prime i, i = 1, 2, ..., n; k i - cheltuielile legate de achiziţionarea unui lot de materii prime i, i = 1, 2, ..., n; c i - cheltuielile de depozitare a unei unităţi de materii prime într-o unitate de timp. n ⎛k r c S ⎞ n Modelul are forma D(S1 , S 2 ,..., S i ,..., S n ) = ∑ ⎜ i i + i i ⎟ în condiţiile: ∑ a i S i ≤ A, S i > 0, ⎜ i =1 ⎝ S i 2 ⎟⎠ i =1i=1, 2, ..., n. Înainte de a lua în consideraţie restricţiile determinăm mărimile optime ale loturilor de materii 2k i riprime achiziţionate S i∗ = , i = 1, 2, ..., n. ci n Dacă ∑a S i =1 i ∗ i ≤ A atunci determinăm extremul necondiţionat. În caz contrar elaborăm ⎛ n ⎞ n ⎜ ai Si − A⎟ = ⎛ ki ri + ci Si ⎞ − λ⎛ a S − A⎞. n ∑funcţia: L(λ, S1 , S2 ,...,Sn ) = D(S1 , S2 ,...,Sn ) − λ⎜ ⎟ ∑⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ∑ i i ⎟ ⎝ i=1 ⎠ i=1 ⎝ Si ⎠ ⎝ i=1 ⎠Valorile optime ale necunoscutelor S i , i = 1, 2, ..., n; λ sunt determinate din: ∂L kr c = − i 2i + i − λai = 0, i = 1, 2, ..., n, ∂S i Si 2 ∂L ⎛ n ⎞ = −⎜ ∑ ai S i ⎟ + A = 0 . ∂λ ⎝ i =1 ⎠ 2k i ri Din ecuaţia întâi obţinem: S i∗ = . ci − 2λ∗ ⋅ ai Observăm că S ∗ depind de valoarea optimă a multiplicatorului λ ∗ . Dacă restricţiile i 2k i ricapacităţilor sunt neesenţiale, atunci λ ∗ = 0 şi S i∗ = , i = 1, 2, ..., n. ciExemplul 5. Pentru datele iniţiale din tabelul 3.1 de determinat S ∗ , i = 1, 2, 3; A = 25 i
  21. 21. Tabelul 3.1. ki ri ci ai Materii prime (lei) (unităţi) (lei) (unităţi de suprafaţă) 1 10 2 0,3 1 2 5 4 0,1 1 3 15 4 0,2 1 2k i ri 40 40 120Din S i∗ = determinăm: S1∗ = ∗ ; S2 ∗ ; S3 = . c i − 2λ 0,3 − 2λ 0,1 − 2λ 0,2 − 2λ 40 40 120din S1∗ + S 2 + S 3 = 25 ∗ ∗ + + = 25 . 0,3 − 2λ 0,1 − 2λ 0,2 − 2λO altă metodă de soluţionare a problemei: 2k i ri - determinăm S i∗ din formula ci − 2λ∗ ⋅ ai - elaborăm tabelul 3.2. Tabelul 3.2. λ S1 S2 S3 3 ∑a S i =1 i i −A 0 11,5 20,0 24,5 31 - 0,05 10,0 14,1 17,3 16,4 - 0,10 9,0 11,5 14,9 10,4 - 0,15 8,2 10,0 13,4 6,6 - 0,20 7,6 8,9 12,2 3,7 - 0,25 7,1 8,2 11,3 1,6 - 0,30 6,7 7,6 10,6 -0,1Pentru λ= -0,3, valorile optime constituie: S1∗ = 6,7; S 2 = 7,6; S ∗ = 10,6. ∗ 3Exerciţii: Pentru datele din exemplul precedent şi: A = 45; A = 30; A = 20 de determinat λ şiS 1∗ , S 2 , S 3∗ . ∗ − 0,05 < λ∗ < 0 Răspunsurile: − 0,2 < λ∗ < −0,15 λ∗ < −0,3 3.13. MODELUL MONOSECTORIAL ÎN N PERIOADE Admitem că necesarul este cunoscut pentru fiecare perioadă ε 1 , ε 2 , ε i ,..., ε N .Notăm: Z i - cuantumul lotului achiziţionat în perioada i, i = 1, 2, ..., N; x i - stocul de materii prime la începutul perioadei i; h i - cheltuielile pentru depozitarea unei unităţi de materii prime pe parcursul perioadei (i, i+1); k i - cheltuielile legate de achiziţionarea unui lot de materii prime.
  22. 22. Dacă preţul la materii prime depinde de cuantumul achiziţiei, adică cu creşterea volumuluila preţ se fac reduceri, atunci cheltuielile legate de achiziţionare pot fi descrise cu ajutorul funcţiei: Ci (Z i ) = δ i ⋅ K i + ci (Z i ) 0, dacă Z i = 0; δi = 1, dacă Z i > 0;Problema 4: De determinat cuantumul loturilor achiziţionate pentru care cheltuielile totale în celeN perioade vor fi minime. Fluxul de materii prime pentru fiecare perioadă poate fi descris schematic (fig. 3.13). Fig. 3.13.Cheltuielile pentru depozitarea volumului de materii prime sunt proporţionale cu: x2 = x1 + Z1 − ε 1 ; x3 = x 2 + Z 2 − ε 2 ;...; xi +1 = xi + Z i − ε i ;...; x N +1 = x N + Z N − ε N . Deci în perioada i cheltuielile pentru depozitare vor reprezenta hi ⋅ xi +1 , i = 1; 2; ...; N. (Înprincipiu aceste cheltuieli ar putea fi descrise cu o funcţie de felul H i ( xi +1 ) ). Admitem f i (x i ) – cheltuielile totale minime după i perioade. Ecuaţiile ce conduc la soluţionarea problemei pot fi reprezentate: f i (x i )= min (Ci (Zi ) + hi (xi + Zi −εi ) + fi+1(xi +Zi −εi ) ); i = 1, ..., (N-1) ε i ≤ x i +Z i ≤ ε i +...+ ε N Zi ≥ 0 … f N (x N )=min (C N (Z N )) Z N +x N = ε N Z N ≥0 Pentru fiecare perioadă i lotul Z i trebuie să fie suficient de mare pentru a satisface necesarulîn perioadele următoare. Admitem f i (xi +1 ) - cheltuielile totale minime în perioadele 1, 2, ..., i, dacă rezerva la sfârşitulperioadei i constituie xi +1 . Atunci ecuaţia poate fi reprezentată: ⎧ f 1 ( x 2 ) = min (C 1 (Z 1 ) + hi ⋅ x i ), 0≤ Z1 ≤ε1 + x2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ f i ( x i +1 ) = 0 ≤ Zmin+ xi +1 (C i (Z i ) + hi x i +1 + f i −1 ( x i −1 + ε i − Z i )), i `≤ε i ⎪ ⎩ i = 2, 3, ..., N.
  23. 23. 3.14. MODELUL MONOSECTORIAL ÎN N PERIOADE: EXEMPLUL 1 Condiţiile iniţiale sunt date în tabelul 3.3: Tabelul 3.3. Cheltuielile legate de Cheltuielile legate de Perioada i Necesarul ε i achiziţionarea unui lot, K i depozitarea unei unităţi de materii prime, h i 1 3 3 1 2 2 7 3 3 4 6 2Se mai cunoaşte x 1 = 1 – rezerva iniţială.Cheltuielile pentru achiziţionarea unui lot de materii prime sunt date prin funcţiile: 10 Z i , dacă 0 ≤ Z i < 3; c i (Z i ) = 30 + 20 (Z i - 3), dacă Z i ≥ 3; şi C i (Z i ) = δ i K i + ci (Z i ) , unde: 0, dacă Z i = 0; δi = 1, dacă Z i > 0.Iteraţia 1: ε 1 = 3 . Necesarul în perioadele 2 şi 3 constituie respectiv 2 şi 4. Deci rezerva laînceputul perioadei 2 nu poate depăşi necesarul de 2 + 4, adică 0 ≤ X 2 ≤ 2 + 4 = 6 . În tabelul 3.4 calculele sunt efectuate după formulele: 10 Z 1 , pentru Z 1 = 2;c 1 (Z 1 ) = 30 + 20 (Z 1 - 3), pentru Z 1 = 3; 4; ...; 8C 1 (Z 1 ) = c 1 (Z 1 ) + K 1 + X 2 ⋅h 1 , unde K 1 = 3; X 2 = 0; 1; ...; 6; h 1 = 1. Valorile posibile alevariabilei: X 2 = 0; 1; 2;...6. Cheltuielile specifice pentru depozitare h 1 = 1, pentru cuantumurile 0; 1;2; ...; 6 respectiv 0; 1; 2; ...; 6. Completăm coloanele X 2 , h 1 , h 1 ⋅ X 2 din tabelul 3.4 cu valorile respective. Pentru fiecarevaloare a variabilei X 2 , Z 1 calculăm: c1(Z1 = 2) = c1(2) =10⋅ 2 = 20; C1(2) = c1(2) + K1 + h1X2 = 20+3+ 0 = 23= f1(0); Completăm coloana X 2 (tabelul 3.4). În situaţia, când necesarul ε 1 = 3 , rezerva X 1 = 2 lotulachiziţionat nu poate fi mai mic de 2, doar 1 + Z 1 = 3 deci Z 1 = 2. De aceea linia Z 1 o completămîncepând cu Z 1 = 2.
  24. 24. Tabelul 3.4. X2 h1 h 1 ⋅X 2 ε1 C1(Z1)=23 33 53 73 93 113 133 Soluţia optimă Z 1 =2 3 4 5 6 7 8 f 1 (x 2 ) Z1∗ 0 1 0 3 23 23 2 1 1 1 3 34 34 3 2 1 2 3 55 55 4 3 1 3 3 76 76 5 4 1 4 3 97 97 6 5 1 5 3 118 118 7 6 1 6 3 139 139 8Pentru cazul Z 1 = 2 îl determinăm pe X 2 =X 1 +Z 1 -ε 1 = 1+2 – 3 = 0 (fig. 3.14). Fig. 3.14Pentru 7 valori posibile ale lui X 2 = 0; 2 ...; 6, stabilim acelaşi număr de valori ale lui Z 1 , adică 2; 3;4; 5; 6; 7; 8. Pentru cazul Z 1 = 3 valoarea lui X 2 = X 1 +Z 1 -ε 1 = 1 + 3 – 3 = 1, elaborăm tabelul 3.5. Tabelul 3.5. Z1 2 3 4 5 6 7 8 X 2 = X1+ Z1- ε1 = 1 + Z1- ε 0 1 2 3 4 5 6Cu valorile din acest tabel completăm coloana X 2 din tabelul 3.4 şi trecem la coloana h 1 X 2 .Calculăm cheltuielile totale după formula: f1 (Z1 ) = C1 (Z1 ) + h1 X 2 . Rezerva iniţială X 1 = 1, valoareaminimă a lui Z 1 este Z 1∗ = ε 1 − X 1 = 3 − 1 = 2 ; Z1∗ = 2.Iteraţia 2: ε 2 = 2; 0≤ X2 ≤ 4; h 2 = 3. Pentru iteraţia 2 (tabelul 3.6) rezervele posibile X 3 potconstitui X 3 = 0; 1; 2; 3; 4 pentru că necesarul la etapa a treia constituie 4.
  25. 25. Tabelul 3.6. f 2 (Z 2 x3 )=C 2 (Z 2 )+h 2 x3 +f 1 ( x3 +ε 2 -Z 2 ) Soluţia optimă Z2 = 0 1 2 3 4 5 6x3 h2 X3 f 2 (X 3 ) Z ∗ 2 C 2 (Z 2 )=0 17 27 37 57 77 97 17+34= 27+23= 0 0 0+55=55 50 2 =51 =50 20+55= 30+34= 40+23= 1 3 3+76=79 63 3 =75 =64 =63 23+76= 33+55= 43+34= 63+23= 2 6 6+97=103 77 3 =99 =88 =77 =86 9+118= 26+97= 36+76= 46+55= 66+34= 86+23= 3 9 100 4 =127 =123 =112 =101 =100 =109 12+139= 29+118= 39+97= 49+76= 69+55= 89+34= 109+23= 4 12 123 5 =151 =147 =136 =125 =124 =123 =132 Calculăm pentru aceste rezerve cheltuielile de depozitare, h 2 =3: X3 0 1 2 3 4 h2 X3 0 3 6 9 12 Cheltuielile pentru achiziţionare (K 2 = 7): C i (Z i ) = δ i K i + c i (Z i ) = 1 ⋅ 7 + c i (Z i ) Fig. 3.15 Calculăm ci (Z i ) după formula 10 Z i pentru 0 ≤ Z i < 3 ; ci (Z i ) = 30 + 20(Z i - 3) pentru Z i ≥ 3 ; Datele le transcriem în tabelul 3.7. Tabelul 3.7. Z2 0 1 2 3 4 C 2 (Z 2 ) 0 10 20 30 50 C 2 (Z 2 ) + K 2 (K 2 = 7) 0 17 27 37 57
  26. 26. Calculăm valorile funcţiei f1 ( X 3 + ε 2 − Z 2 ) care este egală cu f1 ( X 2 ) (vezi tabelul 3.6).Pentru Z 2 = 0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 0 obţinem h 2 X 3 =3⋅0; f 1 (0+2 – 0) = f 1 (2) = 55.Pentru Z 2 = 0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 1 obţinem h 2 X 3 = 3⋅1 = 3; f 1 (1+2 – 0) = f 1 (3) = 76.Pentru Z 2 = 0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 2 obţinem h 2 X 3 = 3⋅2 = 6; f 1 (2+2 – 0) = f 1 (4) = 97.Pentru Z 2 =0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 3 obţinem h 2 X 3 = 3⋅3 = 9; f 1 (3+2 - 0) = f 1 (5) = 118.Pentru Z 2 = 0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 4 obţinem h 2 X 3 = 3⋅4 = 12; f 1 (4+2 - 0) = f 1 (6) = 139. Elaborăm tabelul 3.6 după formula f 2 (Z 2 X 3 ) = C 2 (Z 2 ) + h2 X 3 + f1 ( X 3 + E 2 − Z 2 ) . Pentru coloana nr. 1:Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 1) = f1 (1) = 34 ;Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 1) = f1 (2) = 55 ;Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅2=6; f1 (2 + 2 − 1) = f1 (3) = 76 ;Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 1) = f1 (4) = 97 ;Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 1) = f1 (5) = 118 ;Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 2) = f1 (0) = 23 ;Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 2) = f1 (1) = 34 ;Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅2=6; f1 (2 + 2 − 2) = f1 (2) = 55 ;Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 2) = f1 (3) = 76 ;Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 2) = f1 (4) = 97 ;Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 3) - inadmisibil;Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 3) = f1 (0) = 23 ;Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅2=36; f1 (2 + 2 − 3) = f1 (1) = 34 ;Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 3) = f1 (2) = 55 ;Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 3) = f1 (3) = 76 ;Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 4) = f1 (− 2) - inadmisibil;Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 4) = f1 (− 1) - inadmisibil;Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅2=6; f1 (2 + 2 − 4) = f1 (0) = 23 ;Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 4) = f1 (1) = 34 ;Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 4) = f1 (2) = 55 ;Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 5) - inadmisibil;Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 5) - inadmisibil;Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅2=6; f1 (2 + 2 − 5) - inadmisibil;Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 5) = = f1 (0) = 23 ;Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 5) = = f1 (1) = 34 ;Calculăm pentru Z 2 = 6, X 3 = 4; Z 2 =6; C 2 (Z 2 )=97; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 6) = f 1 (0) = 23 f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (0 ) = min (55;51;50;) = 50; Z 2 = 2 ; ∗ f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (1) = min (79;75;64;63;) = 63; Z 2 = 3 ; ∗ f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (2 ) = min (103;99;88;77;86;) = 77; Z 2 = 3 ; ∗ f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (3) = min (123;123;112;101;100;109 ) = 100; Z 2 = 4; ∗ f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (4 ) = min (151;147;136;125;124;123;132 ) = 123; Z 2 = 5; ∗
  27. 27. Iteraţia 3: Necesarul pentru următoarea etapă constituie X 4 = 0, calculele le efectuăm după formula f 3 (Z 3 X 4 ) = C3 (Z 3 ) + h3 ⋅ X 4 + f 2 ( X 4 + ε 3 − Z 3 ); ε 3 = 4; Z 3 = 0; 1; 2; 3; 4.Elaborăm tabelul 3.8. Tabelul 3.8. C 3 (Z 3 )=0 16 26 36 56 ∗ Z3∗ f 3 (X 4 )X4 h3. X4 Z 3 =0 1 2 3 4 0 0 0+0+123= 16+0+100= 26+0+77= 56+0+63= 56+0+50= 99 3 =123 =116 =103 =99 =106Calculele le efectuăm după formula: f 3 (Z3 X 4 ) = C3 (Z3 ) + h3 ⋅ X 4 + f 2 ( X 4 + ε 3 − Z3 );C 3 (Z 3 ) = C 3 (0 ) = 0 ; h 3 = 2 ; X 4 = 0; h3 X 4 = 0; ε 3 = 4; f 2 (0 + 4 − 0) = f 2 (4) = 123C3 (Z 3 ) = C3 (1) = 16;h3 = 2; X 4 = 0; h3 X 4 = 0; ε 3 = 4 f 2 (0 + 4 − 1) = f 2 (3) = 100C3 (Z 3 ) = C3 (2) = 26; h3 X 4 = 0; ε 3 = 4; f 2 (0 + 4 − 2) = f 2 (2) = 77C3 (Z 3 ) = C3 (3) = 36; h3 X 4 0; ε 3 = 4 f 2 (0 + 4 − 3) = f 2 (1) = 63 ;C( Z 3 )=C( Z n )=56; h3 X 4 = 0; ε 3 = 4 f 2 (0 + 4 − 4) = f 2 (0) = 50 f 3∗ ( X 4 ) = min (123;116;103;99;106 ) = 99 .Răspuns: Firma trebuie să achiziţioneze în perioadele 1; 2; 3 respectiv Z 1∗ = 2; Z 2 = 3; Z 3 = 3; ∗ ∗Cheltuielile totale constituie 99. 3.15. MODELUL MONOSECTORIAL ÎN N PERIOADE: EXEMPLUL 2Să examinăm un model monosectorial în 4 perioade. Datele iniţiale sunt prezentate în tabelul 3.9. Tabelul 3.9. Perioada i εi hi Ci Ki 1 76 1 2 98 2 26 1 2 114 3 90 1 2 185 4 67 1 2 70Cheltuielile pentru depozitarea unitară de materii prime pentru fiecare perioadă constituie h = 1,00lei. Cheltuielile pentru achiziţionarea unei unităţi de materii prime – C = 2 lei în fiecare perioadă.Rezerva iniţială x 1 = 15 unităţi. Ţinând cont de rezerva de materii prime necesarul va reprezenta 76– 15 = 61.Iteraţia 1: Folosim formula: f1 (Z1 X 2 ) = C1 (Z1 ) + h1 X 2 = δ1K1 + c1(Z1 ) + h1 X2 = δ1K1 + c1Z1 + h1 X2; X1 =15;K1 = 98; Z1 = 61, deci δ 1 = 1 şi f1 (61 X i ) = 1 ⋅ 98 + 2 ⋅ 61 + 1 ⋅ X 2 .
  28. 28. Iteraţia 2: Folosim formula: f1 (Z1 X 2 ) = c1 ⋅ Z 1 + K1 + h1 X 2 .(fig. 3.16). Fig. 3.16Dacă x 2 = 0, atunci: X 1 + Z 1 = X 2 + ε 1 ; Z 1 = X 2 + ε 1 − X 1 = 0 + 76 − 15 = 61 .Pentru Z 1 =61 şi X 2 =0, f1 (Z1 X 2 ) = f1 (610) = 2 ⋅ 61+ 98+1⋅ 0 = 220. Z 1 = 61 este o comandă pentru o singură etapă.Dacă la etapa 1 comanda se face şi pentru etapele 1 şi 2, atunci Z 1 + 15 = 76 + 26; Z 1 = 87 (fig.3.17.). Fig. 3.17Dacă la etapa 1 comanda se face şi pentru etapele 1, 2 şi 3, atunciZ 1 + X 1 = 76 + 90 + 26 ; Z 1 = 177 (fig. 3.18). Fig. 3.18. Dacă la etapa 1 comanda se face şi pentru etapele 1; 2; 3; 4 atunciZ1 = 76 + 67 + 90 + 26 − 15 = 244 (fig. 3.19). Fig. 3.19.
  29. 29. În dependenţă, pentru câte perioade se face comandă la prima etapă Z 1 poate avea valorile Z 1 = 61;87; 177; 244. Să calculăm valorile posibile ale lui X 2 (tabelul 3.10). Tabelul 3.10 Z1 61 87 177 244 X2 61-61=0 0+ ε 2 =0+26=26 26+ ε 3 =26+90=116 116+ ε 4 =116+67=183Elaborăm tabelul 3.11. Tabelul 3.11 Z1 X2 h1 X 2 61 87 177 244 f1∗(X2 ) Z1∗ 0 0 98+61·2+0 = 220 61 = 220 26 26 98+87·2+26= 298 87 = 298 116 116 98+177·2+116= 568 177 =568 183 183 98+244·2+183= 769 244 = 769Iteraţia 2: Folosim formula: f 2 (Z 2 X 3 ) = C 2 Z 2 + K 2 + h2 X 3 + f1 ( X 3 + ε 2 − Z 2 )Dacă la etapa 2 comanda se face numai pentru etapa 2, atunci (fig. 3.20): Fig. 3.20.Dacă la etapa 2 comanda se face pentru etapele 2 şi 3, atunci Z 2 = 26+90 = 116 (fig. 3.21). Fig. 3.21.Dacă la etapa 2 comanda se face pentru etapele 2; 3; 4, atunci Z 2 = 26 + 90 + 67 = 183 (fig. 3.22):

×