1. 3. ELEMENTE DE TEORIA STOCURILOR
3.1. ELEMENTE ALE UNEI PROBLEME DE STOC
O rezervă de bunuri economice destinată vânzării sau utilizării în circuitul producţiei va fi
numită stoc. Stocurile pot fi: de mărfuri, de materii prime, de produse finite, echipamente, piese de
schimb etc. Notăm, că bunurile economice rezervate sunt la moment nefolosite şi neproductive de
aceea şi constituie stoc. Constituirea unui stoc presupune cheltuieli de producţie sau de cumpărare,
cheltuieli de stocaj (depozitare, supraveghere, întreţinere), resurse financiare îngheţate (ratarea sau
achitarea procentului bancar), eventuali pierderi datorită deprecierii bunurilor în cursul timpului.
Acestea sunt dezavantajele stocului. Stocul prezintă şi o serie de avantaje care economic justifică
crearea activităţilor economice, poate diminua cheltuieli posibile legate de penuria acestor bunuri
etc.
Stocul îndeplineşte o funcţie regulatoare. O producţie nivelată (uniformă) se adaptează unei
cereri (unui necesar) neregulate prin intermediul unui stoc tampon (bufer); garantează o stabilitate
în exploatare, micşorând riscul penuriei (lipsei) de bunurile necesare procesului de producţie.
Problemele de stoc şi cele de producţie sunt într-o strânsă legătură. Stocul variază în cursul
timpului datorită intrărilor şi ieşirilor de bunuri economice. Intrările sunt constituite fie din cantităţi
produse, fie din cantităţi cumpărate. Ieşirile din stoc sunt livrări la consumatori sau în producţia
unităţii considerate şi pot fi cunoscute sau exact, sau în probabilitate. Deci şi deciziile depind de
intrări şi de ieşiri. În mod obişnuit intrările sunt libere, ieşirile sunt impuse.
Intrarea în stoc a unei cantităţi de bunuri x se face pe baza unei cheltuieli C(x), care reprezintă
costul comenzii acestei cantităţi. Funcţia C(x) poate fi liniară, concavă, convexă (fig.3.1).
Costul de stocaj cuprinde toate costurile care apar datorită întreţinerii, depozitării,
supravegherii, uzurii morale, fizice, pierderilor, rotirii ratei bancare etc.
Dacă nivelul stocului este insuficient pentru a face faţă necesarului (cererii) se generează un
stoc de penurie (costul unei comenzi, costul producţiei, pierdere de producţie etc). O mărire a
producţiei poate fi efectuată pe două căi: prin creşterea rapidă a factorilor variabili sau prin
modificarea factorilor ficşi (echipament). În prima situaţie întreprinderea este neadaptată la o
cadenţă de producţie mare, ceea ce duce la creşterea temporară a costurilor, exprimată printr-un
cost de modificare a ratei producţiei.
În mod obişnuit veniturile obţinute nu depind de politica de gestiune a stocului. Stocurile aduc
doar pierderi de venituri datorate unei satisfaceri a cererii. În acest caz aceste pierderi sunt incluse
în costuri de penurie.
Admitem în continuare că cererea (necesarul) este independentă de întreprindere şi că poate fi
cunoscută fie exact în fiecare perioadă (cazul determinist) fie în probabilitate (cazul aleator). Stocul
garantează o securitate, elimină un risc al penuriei.
2. 3.2. DETERMINAREA POLITICII OPTIME DE STOCURI
Introducem notaţiile (fig. 3.2):
Yn - nivelul stocului la începutul perioadei n; n = 1,2,..., N;
Z n - nivelul stocului după livrare către depozitul în care se constituie stocul în perioada
n; n = 1,2,..., N;
X n - cantitatea comandată şi livrată în perioada n;
Vn - cantitatea ieşită din depozit în perioada n; n =1,2,..., N.
Fig. 3.2.
Între aceste cantităţi avem relaţiile evidente:
Z 1 =Y 1 +X 1 Z 2 =Y 2 +X 2 Z n =Y n +X n Z N =Y N +X N
... ... sau
Z 1 =Y 2 +V 1 Z 2 =Y 3 +V 2 Z n =Y n +1 +V n Z N =Y N +1 +V N
X 1 =Z 1 -Y 1 X 2 =Z 2 -Y 2 X n =Z n -Y n X N =Z N -Y N
... ...
Y 2 =Z 1 -V 1 Y 3 =Z 2 -V 2 Y n +1 =Z n -V n Y N +1 =Z N -V N
Cu alte cuvinte nivelul stocului Z 1 poate fi determinat de nivelul vechi (Y 1 ) plus o actualizare
X 1 sau nivelul rezervat (Y 2 ) plus cantitatea deja utilizată (V 1 ). Notăm prin ε 1 , ε 2 ,..., ε n ,..., ε N
necesarul (cererea) în perioadele 1, 2, ..., n, ..., N. Dacă Z 1 ≥ε 1 , Z 2 ≥ε 2 , ..., Z n ≥ε n ,..., Z N ≥ε N ,
atunci V 1 =ε 1 , V 2 =ε 2 , ..., V n =ε n ,..., V N =ε N (fig. 3.3).
Fig. 3.3.
În cazul în care ipoteza Z n ≥ ε n nu poate fi impusă, există posibilitatea unei rupturi a stocului
când Z n - ε n < 0 ceea ce se traduce prin luare în considerare a unui cost de penurie P⋅(Z n -ε n ). În
acest caz Y n +1 = max (0, Z n - ε n ) sau dacă cererea nesatisfăcută într-o perioadă rămâne prezentă în
perioadele următoare, atunci Y n +1 = Z n - ε n .
Dacă timpul se tratează ca o variabilă continuă relaţiile evidente vor putea fi scrise:
Y(t) –nivelul stocului la momentul t;
3. X(t) –intensitatea intrărilor în stoc la momentul t;
V(t) –intensitatea ieşirilor din stoc la momentul t.
Din relaţiile evidente obţinem: X n +Y n =Z n =Y n +1 +V n ; Y n +1 -Y n =X n -V n şi dacă timpul este
t
dY
variabilă continuă = X(t)-V(t) sau Y(t)=Y(0)+ ∫ X(S)-V(S))dS, unde Y(0) este stocul iniţial la
dt 0
momentul t = 0.
Să prezentăm un model pentru o singură perioadă. Modelul pe care îl prezentăm poate fi
utilizat în cazul în care avem un stoc de produse perisabile (care sunt supuse stricăciunii, alterării,
dispariţiei), cu condiţia că durata maximă de timp în care pot fi păstrate resursele stocate să fie mai
mică decît perioada luată în considerare. Ne vom referi la o perioadă dată n.
Notăm prin:
u - preţul de vânzare a resursei considerate;
ε n - necesarul;
Z n - stocul;
C(X n ) - costul comenzii X n ;
p - preţul de penurie;
h(Z n ) - costul stocării mărimii Z n ;
f (Z n -ε n ) - costul de lichidare a stocului.
Vedem, că beneficiul obţinut în perioada n este dat de:
u⋅(ε n - max(0, ε n -Z n )) - C(X n ) - p⋅(ε n -Z n ) - h(Z n ) - f(Z n - ε n )= u⋅ε n -(C(X n )+p⋅(ε n -Z n )+
+u⋅ max(0, ε n - Z n ) + h(Z n ) + f(Z n - ε n ))
Beneficiul va fi maxim când cheltuielile vor fi minime.
Deci problema se reduce la minimizarea cheltuielilor:
L n (X n ,Y n )=C(X n )+p⋅(ε n -Z n )+u⋅max(0,ε n -Z n )+ +h(Z n )+f(Z n -ε n ) unde Y n =max(0, Z n −1 -ε n −1 ).
Dacă necesarul ε n este o mărime aleatoare problema constă în minimizarea speranţei
matematice a cheltuielilor. Un astfel de model poate fi elaborat pentru N perioade. Dacă α ∈ (0; 1)
este un factor de actualizare, cheltuielile totale în N perioade constituie
N
L(X 1 , ..., X n ;Y 1 )= ∑ α n −1 Ln (X n ,Y n )+ f (Z n -ε n ), unde: (X n ,Y n)= C(X n ) + P (ε n -Z n )+ h(Z n );
n=1
P (ε n - Z n ) = P(ε n - Z n ) + Umax(0, ε n - Z n ) şi f (Z N - ε N ) este costul actualizat de lichidare.
Dacă mărimile ε 1 , ε 2 , ..., ε N (necesarul, cererea) sunt cunoscute, problema este următoarea:
min L (X 1 , ..., X n ; Y 1 )
X n = Z n - Y n , n = 1, 2, ..., N
Y n +1 = max (0, Y n - ε n ) n = 1, 2, ..., (N-1).
4. 3.3. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT ACHIZIŢIONAT
Admitem, că necesităţile anuale ale unei întreprinderi, privind un anumit fel de materii prime
(bumbac) reprezintă Q; că consumul acestor materii prime se repartizează în timp, în mod uniform,
adică Q(t) este o funcţie liniară descrescătoare în care pentru t = 0, Q(0) = Q, iar pentru t = T,
Q(T) = 0.
Întreprinderea se poate aproviziona cu întreaga cantitate de materii prime de care va avea
nevoie pentru perioada T, la începutul perioadei atunci stocul mediu anual de materii prime va
reprezenta
T T T T
1 1 1 1 1 1 T2 rT Q Q
Z= ∫
T 0
Q(t )dt = ∫ (Q − rt )dt = ∫ Qdt − ∫ rtdt = QT − ⋅ r ⋅ = Q − = Q − =
T 0 T 0 T 0 T T 2 2 2 2
unde r este consumul de materii prime într-o unitate de timp. Acest lucru poate fi deasemenea
demonstrat cu ajutorul fig. 3.4.
Fig. 3.4.
T
1 T ⋅Q
Integrala
T ∫ Q(t)dt este egală cu suprafaţa triunghiului 0QT, adică
0
2
; stocul mediu
1 T ⋅Q Q
Z= ⋅ = .
T 2 2
Dar întreprinderea poate proceda şi altfel, de exemplu, se poate aproviziona în două rânduri: o
Q
dată la începutul anului în cantitatea , şi a doua oară, la mijlocul anului, de asemenea în
2
Q Q
cantitatea . În acest caz, stocul mediu de materii prime în decursul perioadei T ar reprezenta
2 4
(fig. 3.5).
Fig. 3.5.
5. Q
În mod analog, se poate face aprovizionarea cu materii prime trimestrial şi Z = . În cazul
8
T
general, să admitem că întreprinderea se aprovizionează de n ori la intervale egale de şi în
n
Q S Q
cantităţi egale S = . Atunci stocul mediu anual de materii prime va fi egal cu = .
n 2 2n
Se pune problema: care este numărul optim de aprovizionări cu materii prime în decursul unei
Q
perioade (un an); cât de mare trebuie să fie un lot de materii prime achiziţionate S = .
n
Cheltuielile totale sunt constituite din: cheltuieli de depozitare şi cheltuieli pentru
achiziţionarea unui lot. Aceste cheltuieli acţionează în sensuri diametral opuse. Să notăm cu c
cheltuielile unitare de depozitare, iar cu k – cheltuielile pentru achiziţionarea unui nou lot de materii
prime. Să admitem că c şi k sunt constante. Atunci cheltuielile anuale totale pentru achiziţionarea şi
S S kQ
depozitarea materiei prime reprezintă D = c + kn = c + .
2 2 S
S kQ
Problema constă în determinarea mărimii S, în aşa fel încât D = c + = min cu condiţia
2 S
că valorile Q, c, k să fie cunoscute şi constante.
Problema se rezolvă prin reducerea la zero a primei derivate a cheltuielilor totale în raport cu
dD c kQ
S: = - = 0.
dS 2 S2
c kQ c kQ
De aici obţinem = 2 unde reprezintă cheltuielile de depozitare marginale; 2 sunt
2 S 2 S
cheltuielile marginale de realizare a aprovizionărilor. Mărimea optimă a unui lot achiziţionat
2kQ S∗ kQ
reprezintă S ∗ = . Mărimea medie anuală a stocurilor este Z ∗ = = . Numărul optim
c 2 2c
Q cQ
de aprovizionări reprezintă n ∗ = ∗
= . Să prezentăm rezultatul obţinut pe un grafic
S 2k
c kQ c kQ
D= S+ =D 1 + D 2 ; D 1 = S; D 2 = .
2 S 2 S
Cheltuielile D 1 sunt reprezentate printr-o dreaptă (fig. 3.6).
Fig. 3.6.
Cheltuielile D 2 sunt reprezentate printr-o hiperbolă echilaterală. Reprezentarea cheltuielilor
totale D = D 1 + D 2 obţinem însumând ordonatele respective ale liniilor D 1 şi D 2 . Deci:
cheltuielile totale D sunt minime pentru acea valoare S la care cheltuielile de depozitare sunt egale
6. cu cheltuielile pentru realizarea aprovizionării cu un lot de materii prime. Aceeaşi teză poate fi
cS kQ ckQ
demonstrată şi pe altă cale. Observăm că produsul D 1 ⋅ D 2 = ⋅ = = const.
2 S 2
Însă suma a două mărimi pozitive D 1 + D 2 , al căror produs este constant, atinge valoarea
minimă atunci când aceste mărimi sunt egale între ele. Această afirmaţie se demonstrează în felul
următor: să admitem că xy = k, unde x > 0; y > 0 şi să calculăm minimul lui Z = x+ y.
k k k
Întrucât y = , atunci Z = x + de aici Z'= 1- 2 = 0 şi x 2 = k, x = k .
x x x
Din condiţia xy = k rezultă că şi y = k şi deci x = y.
Problema poate fi formulată pornind nu din necesarul anual Q, ci din consumul zilnic r. Ştiind
S
consumul de materii prime într-o unitate de timp r, determinăm timpul în care firma va fi
r
asigurată cu materii prime, dacă lotul achiziţionat constituie S; k – cheltuielile legate de
S k
achiziţionarea lotului egal cu S. Deci la o unitate de timp revin cheltuieli k : = .
r S
r
S
Cheltuielile depozitare pentru o unitate de timp constituie c ⋅ şi deci într-o unitate de timp
2
k S kr S
firma are cheltuielile: D = D 1 + D 2 = + c ⋅ = +c⋅ .
S 2 S 2
r
dD c kr 2k ⋅ r
Determinăm S cuantumul optim al lotului achiziţionat = - 2 = 0; S ∗ = . Şi
dS 2 S c
∗ S∗
deci firma trebuie să comande un lot nou de materii prime peste fiecare t = unităţi de timp,
r
S∗ 2kr 2k S∗ kr 2kr ⋅ c 2
adică peste t ∗ = = = . Cheltuielile minime sunt: D ∗ = c+ ∗= +
r r2 ⋅c rc 2 S c⋅4
k 2r 2
= 2krc .
2kr
c
Exemplul 1: Consumul zilnic de materii prime este de r = 100 unităţi. Cheltuielile legate de
achiziţionarea unui lot sunt de k = 100 lei. Cheltuielile zilnice legate de depozitarea unei unităţi de
materii prime sunt de r = 0,02 lei. De determinat cuantumul optim al lotului achiziţionat, dacă
pentru realizarea comenzii sunt necesare 7 zile.
Rezolvare:
2k ⋅ r 2 ⋅ 100 ⋅ 100
S∗ = = = 1000 (unităţi).
c 0,02
S∗
Aceste 1000 unităţi sunt suficiente pentru funcţionarea producţiei pe o perioadă de t ∗ = =
r
1000
= 10 (zile). Dar pentru realizarea comenzii sunt necesare 7 zile. Deci comanda egală cu S ∗ =
100
1000 unităţi se începe când la depozit au mai rămas 7 ⋅ 100 = 700 unităţi.
7. 3.4. PROGRAMAREA APROVIZIONĂRILOR ŞI A STOCURILOR
Admitem că: cheltuielile de depozitare sunt determinate de funcţia D 1 = c 0 + cZ (fig. 3.7).
Fig. 3.7.
unde c 0 - cheltuielile de depozitare constante; c – cheltuieli de depozitare specifice (la o unitate de
D1 c
marfă). Din D 1 = c 0 + cZ rezultă = 0 + c, cheltuielile de depozitare D 1 se reduc pe măsura
Z Z
creşterii cuantumului stocului Z. Cheltuielile pentru aprovizionare cu un lot de mărfuri sunt
Q
determinate de funcţia D 2 =(k + a 0 S – a S 2 ) n, unde n = este numărul aprovizionărilor.
S
S Q
Cheltuielile totale pot fi exprimate: D = D 1 +D 2 = c 0 + c + (k + a 0 S- a S 2 ) ;
2 S
S kQ
D = c0+ c + + a 0 Q – aSQ.
2 S
∂D c kQ
Mărimea optimă a lotului achiziţionat S ∗ o găsim din condiţia: = - 2 - aQ = 0, de
∂S 2 S
2kQ
unde: S ∗ = .
c − 2aQ
Dacă reducerea cheltuielilor ca urmare a măririi dimensiunii lotului a = 0, atunci S ∗ =
2kQ
.
c
Să examinăm cazul în care loturile achiziţionate nu sunt neapărat egale între ele. Admitem, că
în cursul unei perioade date T s-au achiziţionat n loturi de materii prime de mărimea S i , i =1, 2, ...,
n
n; Q= ∑ S i .
i =1
Si
Stocul mediu de materii prime între două aprovizionări succesive este Z i = , i = 1, 2, ..., n;
2
Si
timpul de depozitare a stocului S i va reprezenta ⋅ T . Cheltuielile totale pot fi
Q
n Si Si cT n 2 n
determinate D = c ⋅ ∑ ⋅ ⋅T + k ⋅ n = ⋅ ∑ S i + k ⋅ n , ţinând seama de condiţia ∑ S i = Q .
i =1 2 Q 2Q i =1 i =1
cT n 2 ⎛n ⎞
Elaborăm funcţia Lagrange: L = ∑ S i + kn − λ ⎜ ∑ S i − Q ⎟ . Cuantumul optim S i∗ , i = 1, 2, ..., n
2Q i =1 ⎝ i =1 ⎠
∂L cT
îl determinăm din condiţia: = S i − λ = 0 , i = 1, 2, ..., n;
∂S i Q
λQ λQ
Si = , i = 1, 2, ..., n. Deci S 1 = S 2 = ... = S n = .
cT cT
8. Următoarea modificare a problemei de programare a aprovizionărilor este legată de
introducerea unei restricţii capacitatea limitată a depozitelor, care nu depăşeşte o anumită mărime
S Q
P. Problema poate fi formulată: D = c⋅ + k⋅ = min în condiţia: S ≤ P. Elaborăm funcţia
2 S
S Q ∂L c
Lagrange L = c⋅ + k ⋅ - λ (P - S). Mărimea optimă S ∗ o determinăm din condiţia: = -
2 S ∂S 2
kQ 2kQ
+ λ = 0; S ∗ = .
S 2
c + 2λ
3.5. CAZUL UTILIZĂRII NEUNIFORME A STOCULUI ÎN TIMP
Admitem că consumul de materii prime este definit de funcţia q (t), care ne permite să
t1
determinăm consumul în intervalul (t 0 , t 1 ) ∫
t0
q(t) dt.
t
Consumul de materii prime în intervalul (0; t) este determinat de integrala Q(t) = ∫ q(t )dt .
0
Problema 1: Să se determine în ce momente ale perioadei t trebuie să se procure loturile de materii
prime pentru ca cheltuielile totale de depozitare şi de aprovizionare să fie minime.
t
Să exprimăm funcţia Q(t) = ∫ q(t )dt grafic (fig. 3.8)
0
Fig. 3.8.
Să admitem că în decursul perioadei T s-au procurat n partide de materii prime în
momentele t 0 = 0; t 1 ; t 2 ; ...; t n −1 .
Cuantumul de materii prime Q(t 1 ) este consumat treptat şi de aceea în intervalul (t 0 , t 1 ) există
un anumit stoc de materii prime, egal cu suprafaţa haşurată a quasitriunghiului situat deasupra
curbei funcţiei Q(t) în intervalul (t 0 , t 1 ). Suprafaţa acestui quasitriunghi şi deci mărimea stocului în
t1 t1
intervalul (t 0 , t 1 ) constituie ∫ (Q(t1 ) − Q(t )dt = Q(t1 )(t1 − t 0 ) − ∫ Q(t )dt ) . Pentru următoarele
t0 t0
ti
intervale ∫ (Q(t ) − Q(t ))dt ,
ti −1
i i = 1, 2, ..., n. Stocul total în perioada (t 0 , t n ) sau (0; T) este egal cu
suma suprafeţelor tuturor acestor triunghiuri. Cheltuielile totale le exprimăm:
9. t1 t2 tn
D = nk + c( ∫ (Q(t1 ) − Q(t ))dt + ∫ (Q(t 2 ) − Q(t ))dt + ... + ∫ (Q(t n ) − Q(t ))dt ) =
t0 t1 t n −1
t1 t2 tn
= nk + c( ∫ Q(t1 )dt + ∫ Q(t 2 )dt + ... + ∫ Q(t n )dt ) =
t0 t1 t n −1
tn
= nk + c(Q(t 1 )(t 1 -t 0 ) + Q(t 2 )(t 2 -t 1 ) + ... + Q(t n )(t n -t n −1 ) - c ∫ Q(t )dt ).
t0
Problema se reduce la determinarea minimul a expresiei:
F = Q(t 1 )(t 1 -t 0 ) + Q(t 2 )(t 2 -t 1 ) + Q(t 3 )(t 3 -t 2 ) + ... + Q(t n )(t n -t n −1 ) = min.
Necunoscutele t 1 , t 2 , ..., t n −1 le determinăm din sistemul:
∂F
= Q ' (t1 )(t1 − t 0 ) + Q (t1 ) − Q (t 2 ) = 0
∂t1
∂F
= Q ' (t 2 )(t 2 − t1 ) + Q(t 2 ) − Q (t 3 ) = 0
∂t 2
∂F
= Q ' (t 3 )(t 3 − t 2 ) + Q (t 3 ) − Q (t 4 ) = 0
∂t 3
................................................................
∂F
= Q ' (t n −1 )(t n −1 − t n − 2 ) + Q (t n −1 ) − Q (t n ) = 0
∂t n −1
sau
Q(t 2 ) – Q(t 1 ) = Q'(t 1 )(t 1 - t 0 )
Q(t 3 ) – Q(t 2 ) = Q'(t 2 )(t 2 - t 1 )
Q(t 4 ) – Q(t 3 ) = Q'(t 3 )(t 3 - t 2 )
..................................................
Q(t n ) – Q(t n −1 ) = Q'(t n −1 )(t n −1 - t n −2 )
sau
Q(t i +1 ) – Q(t i ) = Q'(t i )(t i - t i −1 ), i = 1, 2 ,..., (n-1).
Rezolvând acest sistem, determinăm necunoscutele t 1 , t 2 , ..., t n −1 , adică momentele în care trebuie
să se procure loturile de materii prime.
3.6. PROGRAMAREA APROVIZIONĂRILOR ŞI STOCURILOR ÎN CONDIŢII DE
INCERTITUDINE
Admitem că mărimea necesarului de materii prime în perioada (0; T) şi în fiecare moment al
acestei perioade este o variabilă aleatoare cu o repartiţie a probabilităţii cunoscută. Dacă consumul
probabil de materii prime în perioada dată reprezintă Q şi sunt efectuate n aprovizionări, atunci
Q
cuantumul fiecărui lot reprezintă S = . Consumul de materii prime este o variabilă aleatoare şi
n
poate apărea un eventual consum, care ar depăşi necesarul probabil şi deci este nevoie să se creeze
un anumit stoc, rezervă (fig. 3.9).
10. Fig. 3.9.
S
Stocul mediu de materii prime reprezintă Z = + R.
2
Calcularea mărimii rezervelor R se bazează pe o anumită probabilitate, dinainte stabilită ca
necesarul de materii prime nu va depăşi rezerva existentă. Această probabilitate se numeşte
coeficientul de încredere. În locul acestui coeficient se poate utiliza probabilitatea evenimentului
contrar, numit coeficient al riscului (p).
Notăm cu V mărimea necesarului de materii prime în perioada dintre două aprovizionări
succesive; S – cuantumul unui lot achiziţionat.
Să se determine mărimea rezervei R în aşa fel încât probabilitatea P faptului că rezerva să se
dovedească insuficientă să fie egală cu o mărime dată p.
În limbajul simbolurilor P { >S + R } = p. Pentru a-l determina pe R trebuie să cunoaştem
V
repartiţia variabilei aleatoare V.
(V − S ) 2
1 −
2σ 2
În particular variabila poate avea o repartiţie normală P(V) = e .
σ 2π
V −S
În locul variabilei V introducem variabila u = , dv = σ du.
σ
V −S
Problema constă în a determina acea valoare a variabilei aleatoare standardizate up= ,
σ
∞ u2
1 −
dependentă de p, pentru care este valabilă
2π
∫e
up
2
du = p .
Rezolvarea grafică a acestei ecuaţii constă în aflarea unei asemenea valori a variabilei up încât
spaţiul haşurat de „sub curba normală”, în intervalul (up, ∞ ) să fie egală cu p (fig. 3.10.).
Fig. 3.10.
Valorile up pot fi determinate din tabelele repartiţiei normale. De exemplu, dacă coeficientul de
încredere reprezintă 95% adică 0,95 apoi coeficientul riscului p = 1 – 0,95 = 0,05 pentru care up =
1,64; pentru p = 0,01 avem up = 2,33.
11. V −S V −S
Ştiind că u p = > up rezultă că V – S > σ up şi R trebuie să fie egal
atunci din
σ σ
cu R = σ up. Pentru p= 0,05 R = 1,64 σ ; pentru p = 0,01 R = 2,33 σ . Cheltuielile totale
S Q ∂D c kQ
reprezintă: D=c( + u pσ ) + k ⋅ , care ating nivelul minim dacă: = − 2 = 0 , de unde S ∗ =
2 S ∂S 2 S
2kQ
.
c
Să examinăm cazul repartiţia probabilităţii necesarului posibil de materii prime este o repartiţie
Poisson, adică diverşi factori care provoacă abaterile mărimii necesarului de la valoarea medie
aşteptată acţionează extrem de rar, însă numărul acestor factori este mare.
Dacă variabila aleatoare V se supune repartiţiei Poisson, atunci probabilitatea necesarului
e −S ⋅ S V
respectiv P(V) = .
V!
(V − S ) 2
1 − V −S S Q
Dacă S → ∞ atunci P(V) = e 2 S , deci vp= şi D = c( + u p ⋅ S ) + k ⋅ ,
2πS S 2 S
∂D c cu p kQ
= − − = 0 de unde determinăm mărimea optimă a unui lot S ∗ .
∂S 2 2 S S 2
3.7. DETERMINAREA COEFICIENTULUI OPTIM AL RISCULUI
Insuficienţa rezervei de materii prime provoacă cheltuieli de deficit. În acest caz cheltuielile
totale
Q S Q S
D = k⋅ + c1 ⋅ + c1 ( R − (V − S )) , dacă R > V – S sau D = k ⋅ + c1 ⋅ + c 2 ((V − S ) − R ) ,
S 2 S 2
dacă
R < V – S unde c 2 - cheltuielile specifice de deficit.
Introducem variabila U = V–S care determină mărimea excedentului sau deficitului de materii
prime în raport cu lotul achiziţionat.
Problema 2: Să stabilim pentru ce mărime a rezervei şi pentru ce valoare a coeficientului de risc p,
valoarea probabilă a cheltuielilor totale (speranţa matematică) este minimă
R ∞
Q S
E{D} = K + c1 + c1 ∫ ( R − U ) f (U )dU + c2 ∫ (U − R ) f (U )dU .
S 2 −∞ R
Primii doi termeni nu depind de R şi P. De aceea este suficient să examinăm:
R ∞
E{D1 } = c1 ∫ ( R − U ) f (U )dU + c2 ∫ (U − R ) f (U )dU .
−∞ R
Speranţa matematică E {D1 } conţine doi termeni: primul corespunde cazului U < R, al doilea
cazului U > R. E {D1 }= min, dacă
+∞
∂ E {D 1 }
R
∂ ∂
∂R
= c1
∂R ∫
−∞
( R − U ) f (U ) dU + c 2
∂R ∫ (U
R
− R ) f (U ) dU = 0
De aici aflăm că E {D1 }= min, dacă
12. R
∂
∂R −∫
( R − U ) f (U )dU
c2
∞
+∞
=−
∂ c1
∂R ∫
(U − R) f (U )dU
R
Numărătorul, în partea stângă a egalităţii este speranţa matematică a surplusului de materii
prime, derivata acestei mărimi este excedentul probabil marginal; integrala de la numitor este
speranţa matematică a insuficienţei materiei prime, derivata acestei integrale este deficitul probabil
marginal.
Aşadar raportul de mai sus poate fi interpretat: rezerva R este optimă atunci când raportul
c
dintre excedentul probabil marginal şi deficitul probabil marginal este egal cu raportul − 2 . La
c1
transformarea numărătorului şi a numitorului din raport ne vom folosi de teoremă a diferenţierii sub
b
semnul integralei, care poate fi formulată: dacă se dă funcţia g(x) = ∫ f ( x, y)dy , unde a şi b sunt
a
b
∂g ( x) ∂f ( x, y )
mărimi constante, atunci derivata acestei funcţii este =∫ dy ; dacă limitele de
∂x a
∂x
b( x)
integrare a şi b depind de variabila x şi, ca atare, funcţia are forma g ( x) = ∫ f ( x, y)dy atunci
a( x)
derivata acestei funcţii este:
b( x)
∂g ( x) ∂f ( x, y ) ∂b( x) ∂a( x)
= ∫ dy + f ( x, b( x)) − f ( x, a ( x)) .
∂x a( x)
∂x ∂x ∂x
R R R
∂
∂R ∫
Folosind această formulă vom obţine: ( R − u ) f (u )du = ∫ f (u )du + ( R − R) = ∫ f (u )du deci
a a a
R R ∞ ∞
∂ ∂
∂R −∫
( R − u ) f (u )du = ∫ f (u )du şi
∂R ∫
(u − R) f (u )du = − ∫ f (u )du .
∞ −∞ R R
R
∫ f (u)du c2 1 − p c2 c1 c2
Prin urmare −∞
∞
= sau = şi p= = 1− .
c1 p c1 c1 + c 2 c1 + c 2
∫ f (u)du
R
Să reţinem că p este coeficientul de risc; (1-p) este coeficientul de încredere, care pot fi calculaţi
ştiind c 1 şi c 2 .
3.8. PROGRAMAREA DINAMICĂ A PRODUCŢIEI CU AJUTORUL CALCULULUI
VARIAŢIONAL
Admitem că necesarul de producţie în fiecare moment t, t ∈ (0; T) este egal cu v(t)>0, iar
volumul de producţie este determinat printr-o funcţie nenegativă x(t), numită program de producţie.
Dacă x(t)>v(t), atunci în momentul t există un excedent al producţiei x(t) – v(t); dacă x(t)<v(t),
atunci în momentul t stocul se micşorează cu v(x) - x(t). Admitem că nici într-un moment stocul nu
poate fi mai mic de zero.
Notăm: Z(0) – stocul iniţial; V(t) – necesarul total; X(t) – producţia totală.
13. t t
Atunci V(t) = ∫ v(t )dt ;
0
X(t) = ∫ x(t )dt . Stocul Z(t) în momentul t este Z(t) = X(t) – V(t) + Z(0)
0
≥ 0.
Admitem că cheltuielile de producţie sunt reprezentate prin funcţia k(t)=f(x(t)), pentru care
f'(x)>0; f''(x)>0; cheltuielile specifice de depozitare prin c.
Problema 3: Să se elaboreze un program de producţie, adică să se construiască o funcţie a
desfăşurării producţiei în timp x(t), în aşa fel încât cheltuielile totale de producţie şi de depozitare în
perioada (0; T) să fie minime.
T T
Sau D = ∫
0
f ( x(t ))dt + c ∫ ( X (t ) − V (t ) + Z (0))dt = min în condiţiile:
0
Z(0) ≥ 0
X(t) – V(t) + Z(0) ≥ 0
X(T) – V(T) = Z(T).
Pentru soluţionarea acestei probleme vom recurge la metodele calculului variaţional, care
b
constă în aflarea funcţiei X(t) a cărei integrală este I = ∫ F ( X (t ), X ' (t ), t )dt = min .
a
După cum se ştie, extremul funcţiei y = f(x) se determină: în locul valorii date a variabilei x
introducem valoarea x + dx; atunci noua valoare a funcţiei poate fi notată sub forma: f(x) + df(x).
Dacă rezultă că diferenţiala funcţiei df(x) > 0 sau df(x) < 0, atunci funcţia f(x) nu are extrem.
Extremul funcţiei în punctul dat x există în cazul în care în punctul x diferenţiala df(x) = 0.
Mărind funcţia X(t) cu variaţia ei δX (t ) , X(t) + δX (t ) , noua valoare a integralei va fi I + δI.
Dacă δI > 0 sau δI < 0, atunci integrala I nu are extrem. Ea are extremă dacă δI = 0.
b
Sau I + δI = ∫ F ( X (t ) + δX (t ); X ' (t ) + δX ' (t ); t )dt .
a
Variaţia integralei reprezintă
b b b
∂F ∂F ∂F ∂F
δI = ∫ ( δX (t ) + δX ' (t ))dt = ∫ ∂X δX (t )dt + ∫ ∂X ' δX ' (t )dt =
a
∂X ∂X ' a a
b
∂F
b ;V ' = δX ' (t )dt
u=
∂F ∂X ' ∂F b
d ∂F
= ∫ δX (t )dt + + ⋅ δX (t ) − ∫ dt ∂X ' δX (t )dt .
∂X d ∂F ∂X '
a
du = ;V = δX (t ) a
dt ∂X '
a
b
⎡ ∂F ⎤
Întrucât δX(t)=0 fiindcă funcţia X(t) în t=a; t= b nu se modifică, atunci ⎢ ∂X ' δX (t )⎥ = 0.
⎣ ⎦a
b b b
∂F d ∂F ⎛ ∂F d ∂F ⎞
Deci: δI= ∫ δX (t )dt − ∫ δX (t )dt = ∫ ⎜ − ⎟δX (t )dt . Variaţia integralei δI = 0
a
∂X a
dt ∂X ' a⎝
∂X dt ∂X ' ⎠
∂F d ∂F
când − = 0 . Aceasta este o ecuaţie diferenţială de gradul al doilea cu derivate parţiale,
∂X dt ∂X '
care poartă denumirea de ecuaţie diferenţială a lui Euler.
Folosim rezultatul obţinut pentru rezolvarea problemei de programare dinamică a producţiei.
Problema constă în determinarea funcţiei de producţie X(t) care face minime cheltuielile de
producţie şi de depozitare, adică o funcţie pentru care
14. T
D = ∫ ( f ( x(t )) + c( X (t ) − V (t ) + Z (0)) )dt = min .
0
t
Menţionăm că în această formulă x(t)=X'(t), deoarece X(t)= ∫ x(t )dt , necesarul V(t) este dat şi
0
nu se schimbă, iar Z(0) este constant. De aceea expresia de sub semnul integralei poate fi considerat
ca o funcţie F(X, X').
T
Deci D = ∫ F ( X (t ), X ' (t ), t )dt = min dacă este satisfăcută ecuaţia diferenţială a lui Euler. În acest
0
∂F d ∂F d
caz = c şi = f '(X ') .
∂X dt ∂X ' dt
d d
Prin urmare ecuaţia lui Euler capătă forma: c − f '(X ') = c − f ' ( x(t )) = 0 .
dt dt
d
De aici c= f ' ( x(t )) sau c = f ' ' ( x (t )) ⋅ x ' (t ) .
dt
Exemplul 2: Să admitem că se dă o funcţie determinată a cheltuielilor de producţie sub forma unui
polinom f(x)= α + β x + γx 2 .
Ecuaţia diferenţială a lui Euler are forma c = 2γx ' (t ) .
c dx c c c
De aici x' (t ) = ; = ; dx = dt ; x = t + K1 ( K1 – const.).
2γ dt 2γ 2γ 2γ
t
c c
Calculăm X (t ) = ∫ ( t + K1 )dt = t 2 + K1t + K 2 ( K1 , K 2 - const.).
0
2γ 4γ
3.9. PROGRAMAREA DINAMICĂ A PRODUCŢIEI ÎN CONDIŢII DE INCERTITUDINE
Să admitem că:
t
- necesarul total (cererea) pentru perioada (0; t) V(t) = ∫ V (t )dt
0
este o variabilă
aleatoare cu o repartiţie a probabilităţilor cunoscută, egală cu φ(V(t));
- volumul producţiei în momentul t este x(t);
t
- volumul total al producţiei în perioada (0; t) reprezintă X (t ) = ∫ x(t )dt ; f(x(t)) este
0
funcţia cheltuielilor de producţie;
- c 1 - cheltuielile de depozitare pe o unitate de timp;
- c 2 - cheltuielile specifice de deficit.
Cheltuielile totale în momentul t sunt: D(t ) = f ( x(t )) + c1 ( X (t ) − V (t ) + Z (0)), dacă X(t)+Z(0)
≥ V(t)
şi: D(t ) = f ( x(t )) + c 2 (V (t ) − X (t ) − Z (0)), dacă X(t)+ Z(0) < V(t).
Calculăm speranţa matematică:
X (t ) + Z ( 0) +∞
E{D(t )} = f ( x(t )) + c1 ∫ ( X (t ) − V (t ) + Z (0)) ⋅φ(V (t))dV (t) + c
2 ∫ (V (t) − X (t) − Z (0)) ⋅ φ (V ( t )) dV (t ) .
−∞ − X ( t ) + Z ( 0)
15. Calculăm cheltuielile totale prevăzute pentru perioada (0, T):
X (t )+Z(0)
⎧T ⎫ T +∞
D = E⎨∫ D(t)dt⎬ = ∫( f (x(t))+ c1 ∫(X(t) −V(t) + Z(0))φ(V (t))dV(t) + c2 ∫ (V (t) − X (t) − Z(0)) ⋅ φ (V (t )) dV (t )) dt .
⎩0 ⎭ 0 −∞ X (t )+Z (0)
Problema constă în determinarea unei funcţii a volumului total al producţiei X(t), în aşa fel încât
cheltuielile probabile să fie minime. Cunoscând X(t), vom putea determina funcţia optimă a
programului de producţie, căci x(t) = X'(t). Rezolvăm această problemă prin metodele calculului
variaţional.
Funcţionala D atinge valoarea minimă dacă este satisfăcută ecuaţia diferenţială a lui Euler
∂F d ∂F
= .
∂X dt ∂X '
∂F
Partea stângă a ecuaţiei diferenţiale a lui Euler , unde F este expresia de sub integrală, o
∂X
calculăm utilizând formula:
b( x) b( x)
∂f ( x, y ) ∂b( x) ∂a ( x)
dacă g ( x) = ∫ f ( x, y )dy, atunci g ' ( x) = ∫ dy + f ( x, b( x)) − f ( x, a ( x)) .
a( x) a( x)
∂x ∂x ∂x
În acest caz vom obţine:
X (t )+ Z (0) +∞
d ∂F d d
c1 ∫
−∞
φ (V (t ))dV (t ) − c 2 ∫ φ (V (t ))dV (t ) = dt ∂X ' = dt f ' ( X (t )) = f ' ' ( x(t )) x' (t ) = dt
X (t )+ Z (0)
'
f ' ( x(t )) .
Prima integrală din partea stângă exprimă probabilitatea că cererea în perioada (0; t)va fi mai
mică decât suma volumului producţiei şi a stocului iniţial; a doua integrală reprezintă probabilitatea
faptului că cererea în perioada (0; t) va depăşi mărimea X(t) + Z(t), adică va apărea un deficit.
d
Prin urmare c1 (1− p( X (t) + Z (0)))− c2 p( X (t) + Z (0)) = f ' (x(t)) de unde
dt
d
c1 − (c1 + c2 ) p( X (t ) + Z (0)) = f ' ( x(t )) .
dt
d
c1 − f ' ( x(t ))
Sau p ( X (t ) + Z (0)) = dt , care este coeficientul optim de risc al deficitului producţiei.
c1 + c 2
3.10. EXPLOATAREA OPTIMĂ A SURSELOR DE ENERGIE ELECTRICĂ
Să admitem că avem la dispoziţie n centrale hidroelectrice, cu bazine de acumulare, a căror
producţie la un moment dat este egală cu x i (t), i = 1,2, ..., n; centrale termoelectrice, care sunt
considerate de rezervă.
Dacă la un moment dat necesarul de energie electrică, care este o variabilă aleatoare,notat prin
n
v(t) este insuficient, atunci o parte din acest necesar de mărimea ∑ x (t )
i =1
i poate fi acoperită din
n
producţia centralelor hidroelectrice, iar restul, adică v(t ) − ∑ xi (t ), trebuie să fie acoperită de către
i =1
centralele termoelectrice. Cheltuielile de exploatare ale unei centrale hidroelectrice nu depind de
volumul producţiei de energie electrică. Deci cheltuielile de exploatare marginale ale centralelor
16. hidroelectrice sunt egale cu zero. Din această cauză partea variabilă a cheltuielilor de producţie a
energiei electrice depinde exclusiv de cantitatea de curent produsă de centralele termoelectrice. Prin
urmare partea variabilă a cheltuielilor de producţie electrică este o funcţie de forma:
⎛ n
⎞
F ⎜ v(t ) − ∑ xi (t ) ⎟ .
⎝ i =1 ⎠
Volumul producţiei unei centrale hidroelectrice date este funcţie de:
W i (t)–înălţimea căderii de apă din bazinul de acumulare;
q i (t) – cantitatea de apă pe care o primesc turbinele din bazinul de acumulare.
De aici rezultă că: x i (t) = f i (W i (t), q i (t)), i = 1, 2, ..., n unde:
W i (t) – este o variabilă aleatoare;
q i (t) – este o variabilă de decizie, care depinde de cantitatea de apă care va fi debitată la
turbinele centralei electrice.
Notăm:
r i (t) – cantitatea de apă care la un moment dat intră în bazinul de acumulare al centralei i;
q i (t) – care iese din bazin (fig. 3.11).
r i (t) Bazinul de q i (t)
acumulare i
t t
Ri (t ) = ∫ ri (t ) Qi (t ) = ∫ qi (t )
0 0
Fig. 3.11.
Prin urmare rezerva de apă din bazinul i în momentul t reprezintă W i (t) = R i (t) - Q i (t) +
W i (0), i = 1, 2, ..., n unde W i (0) este rezerva iniţială de apă în bazinul i.
Examinăm cazul W i (0) = 0, deci W i (t) = R i (t) - Q i (t), i = 1, 2, ..., n.
Funcţia producţiei centralelor hidroelectrice este:
x i (t) = f i (Wi (t ), qi (t ) ) = f i (Ri (t ) − Qi (t ), qi (t ) ), i = 1, 2, ..., n.
Partea variabilă a cheltuielilor de exploatare a surselor de energie electrică D(t) în momentul t
poate fi reprezentată:
T
⎛ n ⎞ ⎛ n
⎞
D (t ) = F ⎜ V (t ) −
⎜ ∑ f i (Wi (t ), q i (t ) )
⎟ ∫ ⎝
⎟ în intervalul (0 ; T) D = F ⎜V (t ) −
∑ f i (Wi (t ), qi (t ))⎟dt .
⎠
⎝ i =1 ⎠ 0 i =1
Să presupunem că repartiţiile probabilităţilor variabililor V(t) şi W i (t) sunt cunoscute şi
repartiţia probabilităţii necesarului este aceeaşi în fiecare moment t şi reprezintă Ψ(V (t ) ). Repartiţia
probabilităţilor variabilei W i poate fi reprezentată ca o funcţie de variabilele r 1 (t), r 2 (t), ..., r n (t)
sau sub forma funcţiei φ (r1 (t ), r2 (t ),..., rn (t ) ) .
Determinăm speranţa matematică a cheltuielilor de exploatare a centralelor termoelectrice în
momentul t (pentru centralele hidroelectrice cheltuielile marginale sunt zero). Aici sunt posibile trei
cazuri:
⎛ n ⎞
1. Producţia centralelor hidroelectrice depăşeşte necesarul de energie electrică ⎜ ∑ f i 〉V (t ) ⎟ . În
⎝ i =1 ⎠
acest caz s-ar putea să apară necesitatea unor cheltuieli pentru păstrarea surplusului de energie
17. n
electrică, egale cu c1 ∑ ( f i (Wi (t ), q i (t ) ) − V (t ) ), unde c 1 - cheltuielile specifice de păstrare a
i =1
surplusului de energie electrică.
2. Necesarul de energie electrică V(t), deşi este mai mare decât producţia centralelor hidroelectrice
n
∑f,
i =1
i totuşi este mai mic decât suma volumului producţiei centralelor hidroelectrice şi
capacitatea de producţie totală maximă a centralelor termoelectrice de rezervă (M) sau sub
n n
forma ∑ f i 〈V (t )〈 ∑ f i + M . În acest caz cheltuielile de producţie variabile reprezintă
i =1 i =1
⎛ n
⎞
F ⎜V (t ) − ∑ f i (Wi (t ), qi (t ) )⎟ .
⎝ i =1 ⎠
3. Necesarul V(t) depăşeşte capacitatea de producţie totală a centralelor termoelectrice şi
n
hidroelectrice, adică V (t )〉 ∑ f i + M . Atunci apare un deficit de energie electrică. Cheltuielile
i =1
⎛ n
⎞
pe care le ocazionează deficitul reprezintă c 2 ⎜V (t ) − ∑ f i (Wi (t ), qi (t ) ) − M ⎟, unde:
⎝ i =1 ⎠
c 2 - cheltuielile specifice pentru depăşirea deficitului.
Mărimea probabilă a cheltuielilor:
E{D (t )} = c1 ∫∫ ...∫ (∑ f (W (t ), q (t )) − V (t ))⋅ Ψ(V (t ))φ (r (t ),..., r (t ))dV (t )dr (t ) ⋅ dr (t )... ⋅
i i i 1 n 1 2
V (t )〈 ∑ fi
⋅ drn (t) + ∫∫...∫ F(V(t) − ∑ fi (Wi (t),qi (t)))⋅ Ψ(V (t ))⋅ φ (r1 (t ),..., rn (t ))⋅ dV (t )dr1 (t ), dr2 (t ),...
∑ fi 〈V (t )〈∑ fi +M
..., drn (t ) + c2 ∫∫...∫ (V (t ) − ∑ f i (Wi (t ), qi (t )) − M ) ⋅ ⋅(V (t ) )φ (r1 (t ), r2 (t ),..., rn (t ) )dV (t )dr1 (t )dr2 (t ) ⋅ ... ⋅drn (t ) .
V (t )〉 ∑ f i + M
În prima integrală din partea dreaptă, expresia de sub integrală reprezintă densitatea
probabilităţii faptului că un asemenea surplus se va produce. În mod analog sunt construite
expresiile de sub integrală ale celor două integrale următoare din partea dreaptă a acestei formule.
T
Cheltuielile totale pentru perioada (0, T) sunt: E{D} = ∫ E{D(t )}dt .
0
Problema se reduce la aflarea condiţiilor în care E{D} = min, adică în determinarea acelei
funcţii q i (t), iar indirect şi a funcţiei de producţie xi (t ) = f i (Wi (t ), qi (t ) ), i = 1, 2, ..., n, astfel încât
cheltuielile de exploatare totale probabile ale tuturor centralelor să fie minime.
Înlocuind mărimea W i (t) cu R i (t) - Q i (t), iar mărimea q i (t) cu Q' i (t) vom obţine o funcţie de
sub integrală tipică pentru calculul variaţional; aceasta este o funcţie de variabile:
Q 1 (t), ..., Q n (t); Q' 1 (t), ...,Q' n (t).
Notăm funcţia prin G (Q1 (t ), Q2 (t ),..., Qn (t ), Q '1 (t ),..., Q ' n (t ), t ).
Condiţia care trebuie satisfăcută pentru ca E{D} = min, poate fi notată sub forma următoarelor
∂G d dG
ecuaţii ale lui Euler: = , i = 1, 2, ..., n.
∂Qi dt ∂Q 'i
Calculăm mai întâi partea din stânga ecuaţiilor lui Euler:
18. ∂G ∂f
= c1 ∫∫ ...∫ i Ψ (V )φ (r1 ,..., rn )dVdr1 ⋅ ...
∂Qi V <∑ f i
∂Qi
∂f
⋅ dr n + ∫∫ ... ∫ F '⋅ i ⋅ Ψ ( v )φ ( r1 ,..., rn ) dV ⋅
∂Q i
∑ f i 〈V 〈 ∑ f i + M
∂f
⋅ dr1 ⋅ ... ⋅ drn + c 2 ∫∫ ...∫ i Ψ (V )φ (r1 ,..., rn )dV ⋅ dr1 ⋅ ... ⋅ drn , i = 1, 2, ..., n.
V 〉 ∑ fi + M
∂Qi
i
Calculăm partea dreaptă a ecuaţiei lui Euler:
∂f i
d ∂G
dt ∂Q'
= c1 ∫∫ ∫ ...
∂f i
∂qi
q'i (t )Ψ(V )φ (r1...rn )dVdr ... dr +
1 n ∫∫ ∫
... F'
∂qi
q'i (t)Ψ(V)φ(r1...rn )dV⋅
V〈 ∑ fi ∑ fi 〈V〈∑ fi +M
∂f i
⋅ dr1 ⋅ ... ⋅ drn + c 2 ∫∫ ...∫
∂qi
q ' i (t )Ψ (V )φ (r1 ...rn ) ⋅ dVdr...dr , i = 1, 2, ..., n.
1 n
V〉 ∑ fi + M
Egalând partea stângă a ecuaţiilor lui Euler cu partea dreaptă aflăm condiţiile care trebuie să fie
îndeplinite pentru ca cheltuielile totale probabile să fie minime.
3.11. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT DE MATERII PRIME CU PREŢ SCHIMBĂTOR
Admitem că preţul de achiziţionare depinde de cuantumul lotului de materii prime, adică:
c 1 , dacă S < q;
preţul =
c 2 , dacă S ≥ q.
unde:
-c 1 este preţul la materii prime;
-c 2 este preţul cu reduceri (cu rabat) pe măsura creşterii cuantumului unui lot de
materii prime, c 2 < c 1 .
Cheltuielile totale sunt:
k ⋅r S
- pentru S < q D (1) = c1 ⋅ r + + c;
S 2
kr S
- pentru S ≥ q D ( 2 ) = c 2 ⋅ r + + c .
S 2
2kr
Mărimea optimă a lotului poate fi calculată după aceeaşi formulă: S ∗ = . Cheltuielile totale
c
pot fi reprezentate prin două linii deplasate de inegalitatea termenilor rc 1 şi rc 2 , adică de rc 1 > rc 2
(fig. 3.12).
19. Fig. 3.12.
Din relaţia D (1) ( S ∗ ) = D ( 2 ) (q1 ) îl determinăm pe q 1 . Punctele 0, S ∗ şi q 1 creează intervalele I; II; III.
Cuantumul optim al lotului îl determinăm:
S ∗ , dacă 0 ≤ q ≤ S ∗
S∗ = q, dacă S ∗ ≤ q ≤ q1
S ∗ , dacă q1 〈 q
Cu alte cuvinte, dacă firma are de procurat materii prime într-o cantitate mai mare decât
nivelul cu rabat apoi ea se va folosi de aceste reduceri procurând S ∗ unităţi; dacă nivelul de
reduceri este mai mare de cuantumul optim S ∗ , dar mai mic de nivelul pentru care cheltuielile
suplimentare legate de depozitare sunt acoperite de câştigul în urma rabatului, atunci firma va
procura un cuantum de materii prime egal cu nivelul în care va avea reduceri; dacă câştigul
provocat de nivelul de reduceri nu va acoperi cheltuielile ulterioare de depozitare, atunci firma nu
se va folosi de astfel de facilităţi.
Exemplul 3: k = 10 lei, c = 1 leu, q =15, r = 5; c 1 = 2 lei; c 2 = 1 leu.
2kr 2 ⋅ 10 ⋅ 5
Calculăm S ∗ = = = 10 ; 10 < 15 (adică S ∗ < q) q fiind mai mare de S ∗ determină
c 1
intervalul II. Să determinăm extrema dreaptă a acestui interval, adică q 1 .
kr S ∗ k ⋅ r q1
În acest scop elaborăm ecuaţia D (1) ( S ∗ ) = D ( 2 ) (q1 ) adică c1 r + ∗
+ c = c2 r + + c
S 2 q1 2
10 ⋅ 5 10 ⋅ 1 10 ⋅ 5 1 ⋅ q1
sau 2 ⋅ 5 + + = 1⋅ 5 + + ;
10 2 q1 2
q12 − 30q1 + 100 = 0
q1 = max(26,18;3,82) = 26,18.
Deci 10 ≤ 15 ≤ 26,18 , valoarea lui q se găseşte în intervalul II şi:
kr r ⋅ 15 10 ⋅ 5 1 ⋅ 15
S ∗ = q = 15; D ( S ∗ ) = D (15) = c 2 r + + = 1⋅ 5 + + = 15,83 lei .
15 2 15 2 zi
∗
Exemplul 4. Pentru datele din exemplu 1 de determinat S şi cheltuielile totale dacă:
a) q = 30; (Răspuns S ∗ = 10, D ( 2) = 40 lei);
b) q = 5; (Răspuns S ∗ = 10, D ( 2) = 30 lei).
20. 3.12. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT DE MATERII PRIME: MODELUL
MULTISECTORIAL
Admitem, că în activitatea de producţie sunt utilizate n feluri de materii prime; capacităţile
depozitelor sunt limitate de A; suprafaţa necesară pentru depozitarea unei unităţi de materii prime i
(i = 1, 2, ..., n) este egală cu a i . Dacă S i - este lotul de materii prime i achiziţionat, atunci necesarul
n
de capacităţi de depozite este restricţionat de A, adică ∑a S
i =1
i i ≤ A.
Notăm:
r i - consumul într-o unitate de timp de materii prime i, i = 1, 2, ..., n;
k i - cheltuielile legate de achiziţionarea unui lot de materii prime i, i = 1, 2, ..., n;
c i - cheltuielile de depozitare a unei unităţi de materii prime într-o unitate de timp.
n
⎛k r c S ⎞ n
Modelul are forma D(S1 , S 2 ,..., S i ,..., S n ) = ∑ ⎜ i i + i i ⎟ în condiţiile: ∑ a i S i ≤ A, S i > 0,
⎜
i =1 ⎝ S i 2 ⎟⎠ i =1
i=1, 2, ..., n.
Înainte de a lua în consideraţie restricţiile determinăm mărimile optime ale loturilor de materii
2k i ri
prime achiziţionate S i∗ = , i = 1, 2, ..., n.
ci
n
Dacă ∑a S
i =1
i
∗
i ≤ A atunci determinăm extremul necondiţionat. În caz contrar elaborăm
⎛ n ⎞ n
⎜ ai Si − A⎟ = ⎛ ki ri + ci Si ⎞ − λ⎛ a S − A⎞.
n
∑
funcţia: L(λ, S1 , S2 ,...,Sn ) = D(S1 , S2 ,...,Sn ) − λ⎜ ⎟ ∑⎜
⎜ 2 ⎟
⎟ ⎜ ∑ i i ⎟
⎝ i=1 ⎠ i=1 ⎝ Si ⎠ ⎝ i=1 ⎠
Valorile optime ale necunoscutelor S i , i = 1, 2, ..., n; λ sunt determinate din:
∂L kr c
= − i 2i + i − λai = 0, i = 1, 2, ..., n,
∂S i Si 2
∂L ⎛ n ⎞
= −⎜ ∑ ai S i ⎟ + A = 0 .
∂λ ⎝ i =1 ⎠
2k i ri
Din ecuaţia întâi obţinem: S i∗ = .
ci − 2λ∗ ⋅ ai
Observăm că S ∗ depind de valoarea optimă a multiplicatorului λ ∗ . Dacă restricţiile
i
2k i ri
capacităţilor sunt neesenţiale, atunci λ ∗ = 0 şi S i∗ = , i = 1, 2, ..., n.
ci
Exemplul 5. Pentru datele iniţiale din tabelul 3.1 de determinat S ∗ , i = 1, 2, 3; A = 25
i
21. Tabelul 3.1.
ki ri ci ai
Materii prime (lei) (unităţi) (lei) (unităţi de suprafaţă)
1 10 2 0,3 1
2 5 4 0,1 1
3 15 4 0,2 1
2k i ri 40 40 120
Din S i∗ = determinăm: S1∗ = ∗
; S2 ∗
; S3 = .
c i − 2λ 0,3 − 2λ 0,1 − 2λ 0,2 − 2λ
40 40 120
din S1∗ + S 2 + S 3 = 25
∗ ∗
+ + = 25 .
0,3 − 2λ 0,1 − 2λ 0,2 − 2λ
O altă metodă de soluţionare a problemei:
2k i ri
- determinăm S i∗ din formula
ci − 2λ∗ ⋅ ai
- elaborăm tabelul 3.2.
Tabelul 3.2.
λ S1 S2 S3 3
∑a S
i =1
i i −A
0 11,5 20,0 24,5 31
- 0,05 10,0 14,1 17,3 16,4
- 0,10 9,0 11,5 14,9 10,4
- 0,15 8,2 10,0 13,4 6,6
- 0,20 7,6 8,9 12,2 3,7
- 0,25 7,1 8,2 11,3 1,6
- 0,30 6,7 7,6 10,6 -0,1
Pentru λ= -0,3, valorile optime constituie: S1∗ = 6,7; S 2 = 7,6; S ∗ = 10,6.
∗
3
Exerciţii: Pentru datele din exemplul precedent şi: A = 45; A = 30; A = 20 de determinat λ şi
S 1∗ , S 2 , S 3∗ .
∗
− 0,05 < λ∗ < 0
Răspunsurile: − 0,2 < λ∗ < −0,15
λ∗ < −0,3
3.13. MODELUL MONOSECTORIAL ÎN N PERIOADE
Admitem că necesarul este cunoscut pentru fiecare perioadă ε 1 , ε 2 , ε i ,..., ε N .
Notăm: Z i - cuantumul lotului achiziţionat în perioada i, i = 1, 2, ..., N;
x i - stocul de materii prime la începutul perioadei i;
h i - cheltuielile pentru depozitarea unei unităţi de materii prime pe parcursul
perioadei (i, i+1);
k i - cheltuielile legate de achiziţionarea unui lot de materii prime.
22. Dacă preţul la materii prime depinde de cuantumul achiziţiei, adică cu creşterea volumului
la preţ se fac reduceri, atunci cheltuielile legate de achiziţionare pot fi descrise cu ajutorul funcţiei:
Ci (Z i ) = δ i ⋅ K i + ci (Z i )
0, dacă Z i = 0;
δi =
1, dacă Z i > 0;
Problema 4: De determinat cuantumul loturilor achiziţionate pentru care cheltuielile totale în cele
N perioade vor fi minime.
Fluxul de materii prime pentru fiecare perioadă poate fi descris schematic (fig. 3.13).
Fig. 3.13.
Cheltuielile pentru depozitarea volumului de materii prime sunt proporţionale cu:
x2 = x1 + Z1 − ε 1 ; x3 = x 2 + Z 2 − ε 2 ;...;
xi +1 = xi + Z i − ε i ;...; x N +1 = x N + Z N − ε N .
Deci în perioada i cheltuielile pentru depozitare vor reprezenta hi ⋅ xi +1 , i = 1; 2; ...; N. (În
principiu aceste cheltuieli ar putea fi descrise cu o funcţie de felul H i ( xi +1 ) ).
Admitem f i (x i ) – cheltuielile totale minime după i perioade.
Ecuaţiile ce conduc la soluţionarea problemei pot fi reprezentate:
f i (x i )= min (Ci (Zi ) + hi (xi + Zi −εi ) + fi+1(xi +Zi −εi ) ); i = 1, ..., (N-1)
ε i ≤ x i +Z i ≤ ε i +...+ ε N
Zi ≥ 0
…
f N (x N )=min (C N (Z N ))
Z N +x N = ε N
Z N ≥0
Pentru fiecare perioadă i lotul Z i trebuie să fie suficient de mare pentru a satisface necesarul
în perioadele următoare.
Admitem f i (xi +1 ) - cheltuielile totale minime în perioadele 1, 2, ..., i, dacă rezerva la sfârşitul
perioadei i constituie xi +1 . Atunci ecuaţia poate fi reprezentată:
⎧ f 1 ( x 2 ) = min (C 1 (Z 1 ) + hi ⋅ x i ),
0≤ Z1 ≤ε1 + x2
⎪
⎪
⎨
⎪ f i ( x i +1 ) = 0 ≤ Zmin+ xi +1 (C i (Z i ) + hi x i +1 + f i −1 ( x i −1 + ε i − Z i )),
i `≤ε i
⎪
⎩
i = 2, 3, ..., N.
23. 3.14. MODELUL MONOSECTORIAL ÎN N PERIOADE: EXEMPLUL 1
Condiţiile iniţiale sunt date în tabelul 3.3:
Tabelul 3.3.
Cheltuielile legate de Cheltuielile legate de
Perioada i Necesarul ε i achiziţionarea unui lot, K i depozitarea unei unităţi
de materii prime, h i
1 3 3 1
2 2 7 3
3 4 6 2
Se mai cunoaşte x 1 = 1 – rezerva iniţială.
Cheltuielile pentru achiziţionarea unui lot de materii prime sunt date prin funcţiile:
10 Z i , dacă 0 ≤ Z i < 3;
c i (Z i ) =
30 + 20 (Z i - 3), dacă Z i ≥ 3;
şi C i (Z i ) = δ i K i + ci (Z i ) , unde:
0, dacă Z i = 0;
δi =
1, dacă Z i > 0.
Iteraţia 1: ε 1 = 3 . Necesarul în perioadele 2 şi 3 constituie respectiv 2 şi 4. Deci rezerva la
începutul perioadei 2 nu poate depăşi necesarul de 2 + 4, adică 0 ≤ X 2 ≤ 2 + 4 = 6 .
În tabelul 3.4 calculele sunt efectuate după formulele:
10 Z 1 , pentru Z 1 = 2;
c 1 (Z 1 ) =
30 + 20 (Z 1 - 3), pentru Z 1 = 3; 4; ...; 8
C 1 (Z 1 ) = c 1 (Z 1 ) + K 1 + X 2 ⋅h 1 , unde K 1 = 3; X 2 = 0; 1; ...; 6; h 1 = 1. Valorile posibile ale
variabilei: X 2 = 0; 1; 2;...6. Cheltuielile specifice pentru depozitare h 1 = 1, pentru cuantumurile 0; 1;
2; ...; 6 respectiv 0; 1; 2; ...; 6.
Completăm coloanele X 2 , h 1 , h 1 ⋅ X 2 din tabelul 3.4 cu valorile respective. Pentru fiecare
valoare a variabilei X 2 , Z 1 calculăm:
c1(Z1 = 2) = c1(2) =10⋅ 2 = 20;
C1(2) = c1(2) + K1 + h1X2 = 20+3+ 0 = 23= f1(0);
Completăm coloana X 2 (tabelul 3.4). În situaţia, când necesarul ε 1 = 3 , rezerva X 1 = 2 lotul
achiziţionat nu poate fi mai mic de 2, doar 1 + Z 1 = 3 deci Z 1 = 2. De aceea linia Z 1 o completăm
începând cu Z 1 = 2.
24. Tabelul 3.4.
X2 h1 h 1 ⋅X 2 ε1 C1(Z1)=23 33 53 73 93 113 133 Soluţia optimă
Z 1 =2 3 4 5 6 7 8 f 1 (x 2 ) Z1∗
0 1 0 3 23 23 2
1 1 1 3 34 34 3
2 1 2 3 55 55 4
3 1 3 3 76 76 5
4 1 4 3 97 97 6
5 1 5 3 118 118 7
6 1 6 3 139 139 8
Pentru cazul Z 1 = 2 îl determinăm pe X 2 =X 1 +Z 1 -ε 1 = 1+2 – 3 = 0 (fig. 3.14).
Fig. 3.14
Pentru 7 valori posibile ale lui X 2 = 0; 2 ...; 6, stabilim acelaşi număr de valori ale lui Z 1 , adică 2; 3;
4; 5; 6; 7; 8. Pentru cazul Z 1 = 3 valoarea lui X 2 = X 1 +Z 1 -ε 1 = 1 + 3 – 3 = 1, elaborăm tabelul 3.5.
Tabelul 3.5.
Z1 2 3 4 5 6 7 8
X 2 = X1+ Z1- ε1 = 1 + Z1- ε 0 1 2 3 4 5 6
Cu valorile din acest tabel completăm coloana X 2 din tabelul 3.4 şi trecem la coloana h 1 X 2 .
Calculăm cheltuielile totale după formula: f1 (Z1 ) = C1 (Z1 ) + h1 X 2 . Rezerva iniţială X 1 = 1, valoarea
minimă a lui Z 1 este Z 1∗ = ε 1 − X 1 = 3 − 1 = 2 ; Z1∗ = 2.
Iteraţia 2: ε 2 = 2; 0≤ X2 ≤ 4; h 2 = 3. Pentru iteraţia 2 (tabelul 3.6) rezervele posibile X 3 pot
constitui X 3 = 0; 1; 2; 3; 4 pentru că necesarul la etapa a treia constituie 4.
25. Tabelul 3.6.
f 2 (Z 2 x3 )=C 2 (Z 2 )+h 2 x3 +f 1 ( x3 +ε 2 -Z 2 ) Soluţia
optimă
Z2 = 0 1 2 3 4 5 6
x3 h2 X3 f 2 (X 3 ) Z ∗
2
C 2 (Z 2 )=0 17 27 37 57 77 97
17+34= 27+23=
0 0 0+55=55 50 2
=51 =50
20+55= 30+34= 40+23=
1 3 3+76=79 63 3
=75 =64 =63
23+76= 33+55= 43+34= 63+23=
2 6 6+97=103 77 3
=99 =88 =77 =86
9+118= 26+97= 36+76= 46+55= 66+34= 86+23=
3 9 100 4
=127 =123 =112 =101 =100 =109
12+139= 29+118= 39+97= 49+76= 69+55= 89+34= 109+23=
4 12 123 5
=151 =147 =136 =125 =124 =123 =132
Calculăm pentru aceste rezerve cheltuielile de depozitare, h 2 =3:
X3 0 1 2 3 4
h2 X3 0 3 6 9 12
Cheltuielile pentru achiziţionare (K 2 = 7):
C i (Z i ) = δ i K i + c i (Z i ) = 1 ⋅ 7 + c i (Z i )
Fig. 3.15
Calculăm ci (Z i ) după formula
10 Z i pentru 0 ≤ Z i < 3 ;
ci (Z i ) =
30 + 20(Z i - 3) pentru Z i ≥ 3 ;
Datele le transcriem în tabelul 3.7.
Tabelul 3.7.
Z2 0 1 2 3 4
C 2 (Z 2 ) 0 10 20 30 50
C 2 (Z 2 ) + K 2 (K 2 = 7) 0 17 27 37 57
26. Calculăm valorile funcţiei f1 ( X 3 + ε 2 − Z 2 ) care este egală cu f1 ( X 2 ) (vezi tabelul 3.6).
Pentru Z 2 = 0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 0 obţinem h 2 X 3 =3⋅0; f 1 (0+2 – 0) = f 1 (2) = 55.
Pentru Z 2 = 0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 1 obţinem h 2 X 3 = 3⋅1 = 3; f 1 (1+2 – 0) = f 1 (3) = 76.
Pentru Z 2 = 0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 2 obţinem h 2 X 3 = 3⋅2 = 6; f 1 (2+2 – 0) = f 1 (4) = 97.
Pentru Z 2 =0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 3 obţinem h 2 X 3 = 3⋅3 = 9; f 1 (3+2 - 0) = f 1 (5) = 118.
Pentru Z 2 = 0; c 2 (Z 2 ) = 0; C 2 (Z 2 ) = 0; X 3 = 4 obţinem h 2 X 3 = 3⋅4 = 12; f 1 (4+2 - 0) = f 1 (6) = 139.
Elaborăm tabelul 3.6 după formula f 2 (Z 2 X 3 ) = C 2 (Z 2 ) + h2 X 3 + f1 ( X 3 + E 2 − Z 2 ) .
Pentru coloana nr. 1:
Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 1) = f1 (1) = 34 ;
Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 1) = f1 (2) = 55 ;
Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅2=6; f1 (2 + 2 − 1) = f1 (3) = 76 ;
Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 1) = f1 (4) = 97 ;
Z 2 =1; C 2 (Z 2 )=17; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 1) = f1 (5) = 118 ;
Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 2) = f1 (0) = 23 ;
Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 2) = f1 (1) = 34 ;
Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅2=6; f1 (2 + 2 − 2) = f1 (2) = 55 ;
Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 2) = f1 (3) = 76 ;
Z 2 =2; C 2 (Z 2 )=27; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 2) = f1 (4) = 97 ;
Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 3) - inadmisibil;
Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 3) = f1 (0) = 23 ;
Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅2=36; f1 (2 + 2 − 3) = f1 (1) = 34 ;
Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 3) = f1 (2) = 55 ;
Z 2 =3; C 2 (Z 2 )=37; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 3) = f1 (3) = 76 ;
Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 4) = f1 (− 2) - inadmisibil;
Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 4) = f1 (− 1) - inadmisibil;
Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅2=6; f1 (2 + 2 − 4) = f1 (0) = 23 ;
Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 4) = f1 (1) = 34 ;
Z 2 =4; C 2 (Z 2 )=57; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 4) = f1 (2) = 55 ;
Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅0=0; f1 (0 + 2 − 5) - inadmisibil;
Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅1=3; f1 (1 + 2 − 5) - inadmisibil;
Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅2=6; f1 (2 + 2 − 5) - inadmisibil;
Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅3=9; f1 (3 + 2 − 5) = = f1 (0) = 23 ;
Z 2 =5; C 2 (Z 2 )=77; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 5) = = f1 (1) = 34 ;
Calculăm pentru Z 2 = 6, X 3 = 4; Z 2 =6; C 2 (Z 2 )=97; h 2 X 3 =3⋅4=12; f1 (4 + 2 − 6) = f 1 (0) = 23
f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (0 ) = min (55;51;50;) = 50; Z 2 = 2 ;
∗
f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (1) = min (79;75;64;63;) = 63; Z 2 = 3 ;
∗
f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (2 ) = min (103;99;88;77;86;) = 77; Z 2 = 3 ;
∗
f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (3) = min (123;123;112;101;100;109 ) = 100; Z 2 = 4;
∗
f 2∗ ( X 3 ) = f 2∗ (4 ) = min (151;147;136;125;124;123;132 ) = 123; Z 2 = 5;
∗
27. Iteraţia 3: Necesarul pentru următoarea etapă constituie X 4 = 0, calculele le efectuăm după formula
f 3 (Z 3 X 4 ) = C3 (Z 3 ) + h3 ⋅ X 4 + f 2 ( X 4 + ε 3 − Z 3 ); ε 3 = 4; Z 3 = 0; 1; 2; 3; 4.
Elaborăm tabelul 3.8.
Tabelul 3.8.
C 3 (Z 3 )=0 16 26 36 56 ∗
Z3∗
f 3 (X 4 )
X4 h3. X4 Z 3 =0 1 2 3 4
0 0 0+0+123= 16+0+100= 26+0+77= 56+0+63= 56+0+50= 99 3
=123 =116 =103 =99 =106
Calculele le efectuăm după formula: f 3 (Z3 X 4 ) = C3 (Z3 ) + h3 ⋅ X 4 + f 2 ( X 4 + ε 3 − Z3 );
C 3 (Z 3 ) = C 3 (0 ) = 0 ; h 3 = 2 ; X 4 = 0; h3 X 4 = 0; ε 3 = 4;
f 2 (0 + 4 − 0) = f 2 (4) = 123
C3 (Z 3 ) = C3 (1) = 16;h3 = 2; X 4 = 0; h3 X 4 = 0; ε 3 = 4
f 2 (0 + 4 − 1) = f 2 (3) = 100
C3 (Z 3 ) = C3 (2) = 26; h3 X 4 = 0; ε 3 = 4;
f 2 (0 + 4 − 2) = f 2 (2) = 77
C3 (Z 3 ) = C3 (3) = 36; h3 X 4 0; ε 3 = 4
f 2 (0 + 4 − 3) = f 2 (1) = 63 ;C( Z 3 )=C( Z n )=56; h3 X 4 = 0; ε 3 = 4
f 2 (0 + 4 − 4) = f 2 (0) = 50
f 3∗ ( X 4 ) = min (123;116;103;99;106 ) = 99 .
Răspuns: Firma trebuie să achiziţioneze în perioadele 1; 2; 3 respectiv Z 1∗ = 2; Z 2 = 3; Z 3 = 3;
∗ ∗
Cheltuielile totale constituie 99.
3.15. MODELUL MONOSECTORIAL ÎN N PERIOADE: EXEMPLUL 2
Să examinăm un model monosectorial în 4 perioade. Datele iniţiale sunt prezentate în tabelul 3.9.
Tabelul 3.9.
Perioada i εi hi Ci Ki
1 76 1 2 98
2 26 1 2 114
3 90 1 2 185
4 67 1 2 70
Cheltuielile pentru depozitarea unitară de materii prime pentru fiecare perioadă constituie h = 1,00
lei. Cheltuielile pentru achiziţionarea unei unităţi de materii prime – C = 2 lei în fiecare perioadă.
Rezerva iniţială x 1 = 15 unităţi. Ţinând cont de rezerva de materii prime necesarul va reprezenta 76
– 15 = 61.
Iteraţia 1: Folosim formula: f1 (Z1 X 2 ) = C1 (Z1 ) + h1 X 2 = δ1K1 + c1(Z1 ) + h1 X2 = δ1K1 + c1Z1 + h1 X2; X1 =15;
K1 = 98; Z1 = 61, deci δ 1 = 1 şi f1 (61 X i ) = 1 ⋅ 98 + 2 ⋅ 61 + 1 ⋅ X 2 .
28. Iteraţia 2: Folosim formula: f1 (Z1 X 2 ) = c1 ⋅ Z 1 + K1 + h1 X 2 .(fig. 3.16).
Fig. 3.16
Dacă x 2 = 0, atunci: X 1 + Z 1 = X 2 + ε 1 ; Z 1 = X 2 + ε 1 − X 1 = 0 + 76 − 15 = 61 .
Pentru Z 1 =61 şi X 2 =0, f1 (Z1 X 2 ) = f1 (610) = 2 ⋅ 61+ 98+1⋅ 0 = 220.
Z 1 = 61 este o comandă pentru o singură etapă.
Dacă la etapa 1 comanda se face şi pentru etapele 1 şi 2, atunci Z 1 + 15 = 76 + 26; Z 1 = 87 (fig.
3.17.).
Fig. 3.17
Dacă la etapa 1 comanda se face şi pentru etapele 1, 2 şi 3, atunci
Z 1 + X 1 = 76 + 90 + 26 ; Z 1 = 177 (fig. 3.18).
Fig. 3.18.
Dacă la etapa 1 comanda se face şi pentru etapele 1; 2; 3; 4 atunci
Z1 = 76 + 67 + 90 + 26 − 15 = 244 (fig. 3.19).
Fig. 3.19.
29. În dependenţă, pentru câte perioade se face comandă la prima etapă Z 1 poate avea valorile Z 1 = 61;
87; 177; 244. Să calculăm valorile posibile ale lui X 2 (tabelul 3.10).
Tabelul 3.10
Z1 61 87 177 244
X2 61-61=0 0+ ε 2 =0+26=26 26+ ε 3 =26+90=116 116+ ε 4 =116+67=183
Elaborăm tabelul 3.11.
Tabelul 3.11
Z1
X2 h1 X 2 61 87 177 244 f1∗(X2 ) Z1∗
0 0 98+61·2+0 = 220 61
= 220
26 26 98+87·2+26= 298 87
= 298
116 116 98+177·2+116= 568 177
=568
183 183 98+244·2+183= 769 244
= 769
Iteraţia 2: Folosim formula: f 2 (Z 2 X 3 ) = C 2 Z 2 + K 2 + h2 X 3 + f1 ( X 3 + ε 2 − Z 2 )
Dacă la etapa 2 comanda se face numai pentru etapa 2, atunci (fig. 3.20):
Fig. 3.20.
Dacă la etapa 2 comanda se face pentru etapele 2 şi 3, atunci Z 2 = 26+90 = 116 (fig. 3.21).
Fig. 3.21.
Dacă la etapa 2 comanda se face pentru etapele 2; 3; 4, atunci Z 2 = 26 + 90 + 67 = 183 (fig. 3.22):
30. Fig. 3.22.
Valorile posibile ale lui Z 2 = 0; 26; 116; 183. Calculăm valorile posibile ale lui X 3 (tabelul 3.12).
Tabelul 3.12.
Z2 26 116 183
X3 26 – 26 = 0 0 + 90 = 90 90 + 67 = 159
Elaborăm tabelul 3.13.
Tabelul 3.13.
Z2
X3 h1 X 2 0 26 116 183 f2∗(X3) ∗
Z2
0+0+ 2·26+114+0+
0 0 +f 1 (0+26-0)= +f 1 (0)= 298 0
=f 1 (26)=298 =166+220=
= 386
0+90+ 2·116+114+
90 90 +f 1 (90+26)= +90+f 1 (0)
=90+568= =436+220= 656 116
= 658 = 656
0+157+ 2·183+114+
157 +f 1 (157+26)+ +157+f 1 (0)= 857 183
157 157+f 1 (183)= =637+220=
=157+769= = 857
= 926
Iteraţia 3: Folosim formula f 3 (Z 3 X 4 ) = C3 Z 3 + K 3 + h3 X 4 + f 2 ( X 4 + ε 3 − Z 3 )
Dacă la etapa 3 comanda se face numai pentru această etapa atunci (fig. 3.23)
Fig. 3.23.
Dacă la e tapa 3 comanda se face pentru etapele 3 şi 4 atunci Z 3 = 90 + 67 = 157 (fig. 3.24).
