Utilicemos las funciones en nuestra vida diaria

1. Jorge lanza una pelota hacia arriba, cogiéndola sin permitir que caiga. Después de meditar
sobre el movimiento que describe la pelota, llegó a la conclusión que usando una fórmula
podía calcular la altura que alcanza la pelota.
la ecuación que describe este movimiento es:
y= 15x - 5x2,
donde en el eje y queda representada la altura (en metros) y en el eje x el tiempo (en
segundos).
Graficamos la trayectoria le la pelota, hallando valores de y dando valores positivos a x, ya
que las distancias siempre son positivas.
X 0 1 1,5 2 2,5 3
Y
Dibujamos el plano cartesiano y ubicamos los puntos obtenidos para graficar la función, es
decir la trayectoria de la pelota.
Contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Qué altura máxima alcanzó aproximadamente la pelota que lanzó Jorge?
2. ¿En qué tiempo lo hizo?
3. ¿En qué tiempo llega nuevamente la pelota a las manos de Jorge?
FUNCIÓN CUADRÁTICA
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función
polinómica definida como:
.
en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo
eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo
de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene
numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo lacaída libre o el tiro
parabólico.

2. Raíces
Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los
cuales . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas
habitualmente como: y , dependiendo del valor del discriminante Δ definido
como .
• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:
.
• Una solución real doble si el discriminante es cero:
• Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:
Representación analítica
Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le
quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una
interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.
Forma desarrollada

3. La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del
polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:
con .
Forma factorizada
Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:
siendo a el coeficiente principal de la función, y y las raíces de . En el caso de que
el discriminante Δ sea igual a 0 entonces por lo que la factorización adquiere la forma:
En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente
manera:
siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la
parábola.
Representación gráfica
Corte con el eje y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje ycuando x vale
cero (0):

4. lo que resulta:
la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.
A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen
Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:
se tiene que:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje
x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:
.
Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).
[
Extremos
Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si
la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función;
mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.
Dada la función en su forma desarrollada: , la coordenada x del
vértice será simplemente: . La coordenada y del vértice corresponde a la
función f evaluada en ese punto.
Dada la forma canónica: , las coordenadas explícitas del vértice
son: (h,k).
http://www.educatina.com/video/algebra/funcion-cuadratica-1?gclid=CNa6rMbGibQCFQ-
f4AodJgoATQ
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/funciones/teo
riafuncioncuadratica/teoriafunciones.htm
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO DE FUNCIONES
1) Hallar xy, para que el conjunto de pares ordenados representen una función.

5. F = {(2 ; 4) , (3 ; x + y) , (5 ; 6), (3 ; 8) , (2 ; x – y )}
2) Calcular a y b, para la siguiente función de pares ordenados:
f = {(2; a -4) , (5; 6), (2; 7), (5; b -2), (3; 9)}
3) Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función, señalar su dominio y rango.
f = {(2;4a-b), (3;b),(2;3),(5;6),(3;1)}
4) Construir la gráfica de las siguientes funciones, y hallar dominio y rango.
a) f(x) = 2x + 6 b) f(x) = 5x – 10 c) f(x) = x − 5 + 9 d) h(x) = |x-2|; x ∈ [− 3; 3]
e) r(x) = 7 f) y = 10 − 2 x g) f(x) = |x+3| h) f(x) = x2 + 5x + 6
i) f(x) = 3x2 – 12x j) f(x) =–x2 – 3 k) f(x) = 4x2 – 24x + 38 l) f(x) = -3x2
5) Si f(x) = 2x + 6. Hallar la grafica de f(x – 3)
6) De los gráficos:
f Y
g
3 5 3
2
4 8 f (3 ) + g(3 )
Calcule:
f ( 4 ) + g( 2)
1 2 3 X
7) Indicar si las siguientes graficas son funciones.
y y y
y
x x
x x 9
8) De la figura
Y f
4 Calcule (Dom f) g (Ran f)
1
X
-2 7
y
9) De la figura: f
3
f (1) + f ( 4; 2 ) 2
calcule: f (5) 1
x
1 5
10) Hallar la función que corresponde a los siguientes gráficos