geometria

1.
28/05/14

2. Alguna vez te has puesto a
pensar y te has preguntado
¿que forma tiene una caja
de galletas?, ¿y un tubo?,
¿y una pelota?, ¿y un
lapicero?, ¿y un cono de
helado?,... Todos los
objetos que nos rodean son
cuerpos. Tienen tres
dimensiones: altura, ancho
y espesor.
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3. Estos ocupan un lugar en el
espacio. Dentro de este mundo,
hay una clase especial: Los
sólidos geométricos.
No creo que nunca hayas
escuchado hablar de ellos. De
hecho que te suenan los
prismas, cubos o cilindros.
Pero otros te preguntaras que
son: tetraedro, octaedro,...,
pero en el planeta en el que nos
movemos vivimos rodeados y
manipulando consecutivamente
sólidos geométricos.
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4. Según las características de los elementos
de los sólidos geométricos, se pueden
clasificar en dos grandes grupos los
poliedros y los cuerpos redondos … creo
que me estoy adelantando. Eso lo veremos
después.
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5. Los poliedros son sólidos cuyas caras son
polígonos regulares.
En los poliedros distinguimos:
Vértices: puntos donde concurren tres aristas
Aristas: lados de los polígonos regulares
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6. Caras: polígonos regulares
Además podemos fijarnos en:
Ángulos planos: cuyos lados son dos
aristas convergentes.
Ángulos diedros: cuyas caras son dos
polígonos adyacentes.
Ángulos triedros: formados por tres caras
convergentes en un vértice.
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7. Poliedro convexo:: si todo él está en el mismo
semiespacio respecto al plano de cada una de sus
caras.
Poliedro cóncavo: es el que tiene alguna cara cuyo
plano atraviesa a la figura.
Poliedro simple: es el que no tiene orificios que lo
atraviesen. En todo poliedro simple se cumple el
teorema de Euler.
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8. Teorema que relaciona el número de caras, vértices
y aristas de un poliedro simple (sin orificios)
cualquiera.
Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el
número de caras, C, más el número de vértices, V,
es igual al número de aristas, A, más dos. Es decir:
C + V = A + 2
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9. En un vértice pueden concurrir m polígonos
regulares de n lados unidos vértice a vértice. La
suma de los ángulos de cada uno de estos
polígonos no debe ser mayor de 360º, pues de lo
contrario no formarían un “ángulo sólido”.
<360º
Por tanto debe
considerarse que:
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10. Los poliedros más sencillos son aquellos que se
forman a partir de un solo polígono regular. Este
grupo de poliedros ya era conocido por Euclides
(330 a.C.) y estos cinco sólidos estuvieron
acompañados de cierto misticismo. Se asociaban
con los cuatro elementos supuestos y con el
Universo y reciben el nombre de sólidos platónicos.
Los únicos sólidos platónicos son:
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11. Formado por cuatro triángulos equiláteros. Es el que
tiene menor volumen de los cinco en comparación con
su superficie. Representa el fuego. Está formado por 4
caras, 6 aristas y 4 vértices.
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12. Formado por seis cuadrados. Permanece estable
sobre su base. Por eso representa la tierra. Está
formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
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13. Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira
libremente cuando se sujeta por vértices opuestos.
Por ello, representa al aire en movimiento. Está
formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.
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14. Formado por doce pentágonos regulares.
Corresponde al Universo, pues sus doce caras
pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene
12 caras, 30 aristas y 20 vértices.
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15. Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el que
tiene mayor volumen en relación con su superficie y
representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12
vértices.
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16. En todos ellos se cumple la relación:
CARAS + VÉRTICES – ARISTAS = 2
Nombre Nº de
Caras
Nº de
aristas
Nº de
vértices
Nº de
Ángulos
Diedros
Figuras que
forman las
caras
Tetraedro
4 6 4 6 Triángulo
equilátero.
Cubo 6 12 8 12 Cuadrado
Octaedro
8 12 6 12 Triángulo
equilátero
Dodecaedro 12 30 20 30 Pentágono
Icosaedro
20 30 12 30 Triángulo
equilátero
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17. Dos poliedros regulares se llaman conjugados
si cada uno de ellos se obtiene del otro uniendo
mediante segmentos los puntos medios de cada
dos caras contiguas. Así, el tetraedro es
conjugado de sí mismo, el dodecaedro es
conjugado del icosaedro y el cubo lo es del
octaedro:
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18. El prisma es un poliedro limitado por varios
paralelogramos y dos polígonos congruentes llamados
bases, cuyos planos son paralelos.
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19. Bases: dos polígonos congruentes,
cuyos planos son paralelos.
Caras laterales: polígonos regulares.
Arista: lados de los polígonos
regulares.
Vértices: puntos donde concurren
tres aristas.
Altura: distancia entre las dos
bases.
Diagonal: segmento que une dos
vértices que no pertenecen a una
misma cara.
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20. En un prisma, el número de caras laterales es igual
al número de lados del polígono de la base.
Prisma Cuadrangular Prisma Hexagonal
El nombre de un prisma se da según el polígono
de la base.
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21. Es el poliedro convexo cuyas caras son regiones
paralelogramos inclinadas y sus bases son
regiones poligonales pertenecientes a planos
paralelos.
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22. Es el que tiene sus caras laterales perpendiculares
a las bases
En el prisma recto, las caras laterales son todas
rectángulos. Si sus bases son polígonos
regulares, el prisma se llama regular.
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23. Los prismas cuyas bases son paralelogramos se
llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo,
sus seis caras son paralelogramos.
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24. Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se
obtienen al partir un prisma por un plano que corta
a todas sus aristas laterales se llama tronco de
prisma.
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25. Prisma Nº Caras Nº Vértices Nº Aristas
Triangular 3 6 9
Cuadrangular 4 8 12
Pentagonal 5 10 15
Hexagonal 6 12 18
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26. Prisma Triangular
Prisma Cuadrangular
Prisma Hexagonal
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27. Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula:
ALATERAL = (perímetro de la base) (altura del prisma)
Y para obtener el área total del prisma solamente
tendríamos que sumar, al área lateral, el área de las dos
bases del prisma.
ATOTAL = ALATERAL + 2ABASE
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28. Para calcular el volumen de un prisma se deben
multiplicar sus dimensiones.
V = largo x ancho x altura
Observa que el producto de las dos primeras
dimensiones (largo y ancho) es precisamente el área
de la base.
Para hallar el volumen de un prisma, podemos utilizar
la relación:
VPRISMA = [Área de la base] · [Altura del prisma]
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29. Prisma Óptico Sólido Cristalino
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30. La pirámide es un poliedro que tiene por base un
polígono y por caras laterales varios triángulos con
un vértice en común.
La altura de la pirámide es la distancia del vértice
a la base.
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31. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular,
pentagonal … según que su base sea un triángulo,
un cuadrilátero, un pentágono …
Pirámide Triangular Pirámide Cuadrangular
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32. Una pirámide es regular si su base es un polígono
regular y el vértice se proyecta (cae
perpendicularmente) sobre el centro de la base. En
una pirámide regular las caras laterales son triángulos
isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la
pirámide.
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33. Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido
entre la base de la pirámide y un plano que corta a
todas las aristas laterales.
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34. Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que
el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las
bases es la altura del tronco. Un tronco de bases
paralelas de una pirámide regular está formado por
dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias
caras laterales que son trapecios isósceles. Las
alturas de estos trapecios se llaman apotemas de
estos troncos.
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35. Pirámide Cuadrangular
Pirámide Triangular
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36. Pirámide Nº Caras Nº Vértices Nº Aristas
Triangular 3 4 6
Cuadrangular 4 5 8
Pentagonal 5 6 10
Hexagonal 6 7 12
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37. En una pirámide regular se cumple que:
El área lateral es igual al producto del semiperímetro de
la base por la longitud de la apotema de la pirámide.
ALATERAL = semiperímetro · apotema
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38. En una pirámide cualquiera se cumple que :
El área total esta determinada por la suma de las
áreas de las caras laterales y el área de la base
ATOTAL = ALATERAL + ABASE
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39. El volumen de una pirámide es igual a un tercio
del volumen del prisma.
VPIRÁMIDE = 1
/3 VPRISMA
VPIRÁMIDE = 1
/3 (ABASE) (altura)
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40. Las pirámides de Egipto son un ejemplo de
construcciones de pirámides. Los Egipcios, según
lo que se observa en las pirámides sabían algo de
geometría.
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41. En la naturaleza observamos muchos cuerpos
geométricos. En esta sección estudiaremos sobre
los cuerpos redondos. Los cuerpos redondos
tienen algo esférico. Como la esfera por ejemplo, si
se dan cuenta no tiene lados es todo circular. El
cilindro solo tiene bases aunque ups creo que me
estoy adelantado a lo que sigue...bueno...allá
vamos...
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42. Sólido generado por la rotación completa de un
rectángulo alrededor de uno de sus lados, llamado
eje.
Radio
Altura
Generatriz
Bases
AO
BO’
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43. Bases: dos círculos paralelos
Radio (r): AO = BO’
Altura (h): OO’, perpendicular trazada entre
las bases.
Generatriz (g): AB, lado del rectángulo que
gira alrededor del eje.
Área lateral (AL)
AL = 2πr · g
Area Total (AT)
AT = AL + 2ABASE
AT = AL + 2πr2
Volumen (V)
V = ABASE · h
V = πr2 · h
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44. Desarrollo de Cilindro
Tubo de Telescopio
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45. Es el sólido originado por la rotación completa de
un triangulo rectángulo alrededor de uno de los
lados que forman el ángulo recto.
V
O B
Radio
Vértice
Base
Altura
Generatriz
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46. Vértice: V, punto cúspide del sólido
Altura (h): VO, perpendicular trazada del vértice a la
base.
Base: circulo generado por la base del triangulo
rectángulo que rota.
Generatriz (g): VB, lado del triangulo que rota
alrededor del eje.
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47. Área Lateral (AL):
AL =πr · g
Área Total (AL):
AT = AL + πr2
Volumen (V):
V = 1
/3 πr2h
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48. Desarrollo del Cono
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49. El Teide
Fuji-Yama
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50. Es el sólido limitado por una superficie cuyos puntos
están todos a la misma distancia de otro punto interior
llamado centro.
Diámetro
Radio
Centro
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51. Diámetro: segmento que pasa por el centro y
cuyos extremos son dos puntos de la superficie de
la esfera.
Radio (r): segmento que une el centro con
cualquier punto de la circunferencia.
Area (A):
A = 4πr2
Volumen
(V):
V = 4/3πr3
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52. Reactor de una central
eléctrica
La Tierra
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