conjunto, plano cartesiano.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
BARQUISIMETO; EDO- LARA
INTEGRANTE: María C. Flores O.
CEDULA: V-2.299.986.
SECCION: 0401.
PNF: CONTADURIA.
BARQUISIMETO, MARZO DE 2021

2. Un conjunto lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades
o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de
otros conjuntos, ciertas relaciones. Es habitual representar los conjuntos en
forma gráfica mediante los Diagramas de Venn . En estos diagramas el conjunto
se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su
interior se colocan los elementos del conjunto. Se escribe una coma para
separar los elementos.

3. Existen dos formas de
determinar un conjunto.
Conjuntos por extensión.
Decimos que un conjunto se
determinar por extensión
cuando se conocen y se da
una lista de todos y cada uno
de los elementos de un
conjunto.
Determinar por
extensión, el conjunto de
los días de la semana.
Este conjunto estará constituido por
los siguientes elementos: Lunes,
Martes, Miércoles, Jueves, Viernes,
Sábado, Domingo. Y su
representación simbólica es:
S={Lunes, Martes, Miércoles, Jueves,
Viernes, Sábado, Domingo}
Conjuntos por compresión.
Decimos que un conjunto se determina por
compresión cuando se describe una o
varias características o propiedades que lo
define, y no se da una lista de cada uno de
sus elementos.
Determinar por
compresión el
conjunto de los
días de la
semana.
Al determinar por
compresión el conjunto, la
propiedad será la frase :
“un día de la semana”. Y
simbólicamente su
representación será: S={x
: x es un día de la
semana}
en donde x:x se debe leer como
“x tal que x ”, a veces se suele
cambiar el símbolo : por la barra
invertida. del siguiente modo:
S={x/x es un día de la semana}

4. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS
Los conjuntos se pueden clasificar por la cantidad de elementos que estos pueden tener:
Conjunto vacío:Es aquel conjunto que no contiene elementos. Se suele representar por el siguiente símbolo Ø.
Ejemplos:
Ø ={ x/x ∈ y 10 < x < 11 }
Conjunto unitario: Es aquel conjunto que esta compuesto por un sólo elemento. Ejemplos:
A={x/x es la vocal “a” de la palabra “amor”}
B={x/x ∈ y 10<x<12}
C={Ø}
El conjunto C es un caso particular, muchos pueden pensar que es un conjunto vació pero eso no es cierto, el conjunto C, es un
conjunto que tiene como único elemento el conjunto vacío representado por su símbolo Ø.
Conjunto finito: Es aquel conjunto que tiene una cantidad exacta de elementos. Ejemplos:
A={x/x es un día de la semana}
A={x/x todos los granos de arena de una playa}
B={x/x ∈ y 10<x<18} c={x/x ∈ y x<15}
Conjunto infinito: Es aquel conjunto que no tiene una cantidad exacta de elementos, o mejor dicho no se puede
determinar la cantidad exacta de elementos que tiene el conjunto. Ejemplos.
A={x/x ∈ y es un número par}
B={x/x ∈ y es un número primo}
C={x/x ∈ y es un número divisible con 7}
D={x/x ∈ y x>18}

5. Conjunto universal: Es el conjunto que contiene o incluye a otros conjuntos que mantienen una característica en
común. También se les conoce como conjuntos de Referencia. Un conjunto universal puede ser infinito o finito. Este conjunto
se usa generalmente para poder clasificar otros conjuntos que tengan algo en común. A los conjuntos universales se les
representa generalmente con la letra U. Otra definición es decir que un conjunto universal es el conjunto que engloba o
encierra a otros conjuntos que tengan algo en común. Ejemplos.
U={x/x ∈ es un número par}
A={x/x ∈ es un número par y x<15}
B={x/x ∈ es un número par y x<10}
El conjunto universal se representa gráficamente como un rectángulo que encierra a los conjuntos que forman parte de él.
Ejemplos.
U={x/x ∈ es un número par y x <40}
A={x/x ∈ es un número par y x<15}
B={x/x ∈ es un número par y x<10}
C={x/x ∈ es un número par y 16<x<25}
con diagramas de Venn tenemos:

6. Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones
sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
 Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los
elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir
ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno
nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar del
siguiente modo:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

7.  Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de
B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de
intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la intersección será
F∩B={x/x estudiantes que juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

8.  Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos
los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos
entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación
es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente:
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será B-A={6,7,8,9}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:

9. Diferencia de simetrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado
por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia simétrica será
F △ B={x/x estudiantes que sólo juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

10.  Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están
en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A
es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al
conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo
como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo 1.
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes
elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dado el conjunto Universal U={x/x estudiantes de un colegio} y el conjunto V={x/x estudiantes que juegan voley}, el conjunto
V' estará formado por los siguientes elementos V'={x/x estudiantes que no juegan voley}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

11. Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen
expansión decimal no periódica. Por ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2= 1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π = también es real.
Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica (a,b,c) y otros tienen expansión decimal no periódica
(d,e,f,g). Los números que tienen expansión decimal periódica se llaman números Racionales (denotados por Q) y los
números que tienen expansión decimal no periódica se llaman Irracionales (denotados por I). En consecuencia a, b y c
son números racionales y d, e, f y g son números irracionales. Claramente, la propiedad de tener expansión decimal
periódica para los racionales y la propiedad de tener expansión decimal no periódica para los irracionales define dos
tipo de números muy distintos. Lo que significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos.

12. Conjunto de los números Reales
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números,
a saber; los números racionales, los números irracionales. A su vez, los números racionales se clasifican en:
Números Naturales (N)
Son los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …
Números Enteros (Z)
Son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
Números Fraccionarios
Son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma a/b
con a, b enteros y b ≠ 0.

13. Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo
que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser
comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como
"estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que“
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de
magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son
comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando;
didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es
recordando que el signo señala/apunta al elemento menor. Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no
será nunca una inecuación porque no contiene ninguna incógnita. Por lo tanto, una desigualdad es una
proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos.

14. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto de un
número es su distancia desde cero en una recta numérica .
Por ejemplo: 4 y –4 tienen el mismo valor absoluto (4). Así, el valor absoluto de un número positivo es justo el
mismo número, y el valor absoluto de un número negativo es su opuesto. El valor absoluto de 0 es 0.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
Propiedades del valor absoluto
Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7

15. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable
dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b
Ejemplo :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

16. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es
.
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

17. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto.
La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y);
el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o
pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente,
esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa
como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o
hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia
abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

18. Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar
las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).
De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes
en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo,
según sean positivas o negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad . Supongamos que deseamos saber la
ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para
que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la
farmacia.La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano
cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado , el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la
ubicación de la farmacia.

19. Funciones lineales:
Esta clase de funciones tienen dos características esenciales:
Las variaciones entre dos valores de la variable independiente y la de sus correspondientes de la variable dependiente son
uniformes.
Todos los puntos de su gráfica están alineados.
Funciones de proporcionalidad directa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad directa dividimos la ordenada por la abscisa, obtenemos
siempre el mismo número. Ese valor se llama constante de proporcionalidad, y se escribe habitualmente k.
Funciones de proporcionalidad inversa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad inversa multiplicamos la ordenada por la abscisa, obtenemos
siempre el mismo número, que es la constante de proporcionalidad, y habitualmente se escribe k.

20. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en
que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la
distancia entre ellos, esta equivale a la longitud del segmento de recta que los une,
expresado numéricamente.
Distancia entre dos puntos.
Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos,
d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.
Formula para las distancias ; Teorema de Pitágoras.

21. Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemáticas ,es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos
geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc.
La fórmula del punto medio
En una dimensión En una recta numérica , el número a la mitad entre x 1 y x 2 es
Ejemplo :
Encuentre el punto medio entre –1 y 4.
Use la fórmula. El punto medio es
(–1 + 4)/2
= 3/2 o 1.5.

22. En dos dimensiones
Suponga que se le dan dos puntos en el plano ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), y se le pide encontrar el punto a la mitad entre
ellos. Las coordenadas de este punto medio serán:
Una forma fácil para pensar en esto es que la coordenada en x del punto medio es el promedio de las coordenadas
en x de los dos puntos, y de la misma forma con la coordenada en y .
Ejemplo :
Encuentre el punto medio entre (–2, 5) y (7, 7).
Use la fórmula. Las coordenadas del punto medio son:
Simplifique.

23. Ejemplo :
Si Q (2, -2) es el punto medio de y P tiene las coordenadas (-6, -6), encuentre las coordenadas de R .
Use la fórmula para escribir y resolver las dos ecuaciones para las coordenadas de R
Primero, encuentre la coordenada en x .
Luego, encuentre la coordenada en y .
Así, las coordenadas de R son (10, 2).
En tres dimensiones
Es bastante fácil predecirlo basado en la fórmula para dos dimensiones!
En el espacio tridimensional, el punto medio entre ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) es

24. Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta , que llamamos generatriz, alrededor de otra recta , eje, con el
cual se corta en un punto , vértice.
• = la generatriz
• = el eje
= el vértice
Elementos de las cónicas
Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija,
llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la
relación existente entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono , pueden obtenerse
diferentes secciones cónicas.

25. Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al
eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que
forman eje y generatriz.
La elipse es una curva cerrada.
La Circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
La circunferencia es un caso particular de elipse.
Circunferencia

26. La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito
Parábola
Hipérbola
La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un
plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz,
por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos
ramas separadas.