FUNCIONES
CUADRÁTICAS
DÍA 31 * 1º BAD CT

FUNCIONES CUADRÁTICAS
• Todas las funciones que se pueden
expresar de la forma
• f(x) = a.x2
+ b.x + c
• Reciben el nombre de FUNCIONES
CUADRÁTICAS. Su gráfica es una
parábola.
• Para dibujar una parábola
necesitamos conocer:
• 1.- Coordenadas del vértice.
• 2.- Corte con el eje de abscisas y
el eje de ordenadas.
• 3.- El eje de simetría.
• 4.- Una tabla de valores.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
5
-3
-5
f(x) = x2
– 2x – 3

GRÁFICA DE LA PARÁBOLA
• VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
• Como todo punto tendrá dos coordenadas: V(xv , yv)
• Siempre se cumple: xv = - b / 2.a  yv=a.xv
2
+b.xv+ c
• EJE DE SIMETRÍA
• Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv = -b/2.a
• PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
• Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas.
• Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2
+b.x + c = 0 nos
dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay.
• TABLA DE VALORES
• Además de los ya calculados, vértice y cortes, hay que dar dos o cuatro más
de valor de x simétrico respecto al valor del vértice.
• Importante comprobación: Los cortes con el eje de abscisas, si los hay, son
simétricos respecto al valor de xv.
• Muy importante: Si a>0  CÓNCAVA y si a<0  CONVEXA

Ejemplo 1
• Sea f (x) = x2
- 3
• a=1>0  Cóncava
• Dom f(x) = R
• Vértice:
• xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0
• yv= 02
- 3 = - 3
• V(0, - 3)
• Img f(x) = [ - 3, +oo)
• Sea f (x) = - x2
+ x
• a=-1<0  Convexa
• Dom f(x) = R
• Vértice:
• xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2
• yv= - (1/2)2
+ 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25
• V(0’5 , 0´25)
• Img f(x) = (- oo, 0,25]
V
V
-3
0,25
Ejemplo 2

y
f(x) = - 0’5.x2
f(x) = - 2.x2
f(x) = x2
Ejemplos de dilatación
- 3 - 2 - 1 0 1 2
3

y
f(x) = 0’5.x2
f(x) = 2.x2
f(x) = x2
Ejemplos de dilatación
• Sea f(x) = x2
Si debemos representar: f(x) = r.x2
• El efecto es que la parábola se deforma.
• Si r > 0  Conserva la concavidad Si r < 0  Se invierte.
• Si |r| > 1  Se estrecha. Si |r| < 1  Se ensancha.
- 3 - 2 - 1 0 1 2
3

Problema
• El consumo de gasolina en un coche, para velocidades comprendidas entre
30 y 190 km/h, viene dado por la función:
•
• Siendo x la velocidad en km/h y C(x) el consumo en litros/100 km
• a) ¿A qué velocidad se debe conducir para que el consumo sea de 10
litros/100 km?
• b) ¿A qué velocidad consume menos y cuál será dicho consumo?.
• a) 10 = 8 – 0,045.x + 0,00025.x2
• 0,00025.x2
– 0,045.x – 2 = 0  25.x2
– 4500.x – 200000 = 0
• 5.x2
– 900.x – 40000 = 0  x2
– 180.x – 8000 = 0
• x = [180 ±√(180x180 – 4x(-8000))]/ 2 = (180+254)/2 = 217 km/h
• b) El mínimo consumo estará en el vértice de la parábola:
• Xv= -b / 2.a = -(-0,045)/2.0,00025 = 45 / 0,5 = 90 km /h
• El consumo será: Yv = 8 – 0,045.90 + 0,00025.902
= 8 – 4,05 + 2,025 = 6
2
( ) 8 0,045. 0,00025C x x x= − +

• Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3
+ b.x2
+ c.x + d , entonces
podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así:
• f(x) = a.x3
+ b.x2
+ c.x + d
• Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a
un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en
forma de “S”.
• La función cúbica, al igual que la cuadrática o la función lineal, forman parte
de las llamadas funciones polinómicas, pues su característica principal es
que su forma de expresión algebraica es un polinomio.
• Y como toda función polinómica, el dominio es R.
FUNCIÓN CÚBICA

• Sea y = x3
• Tabla de valores
• x y
• -3 -27
• -2 -8
• -1 -1
• 0 0
• 1 1
• 2 8
• 3 27
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
Como se ve al unir los puntos que
hemos llevado al gráfico, lo que se
forma es una curva en forma de “S”.
27
-27
8
1
-8

• Ejemplo 1 Ejemplo 2
•
• f(x) = x3
–3x + 2 f(x) = - x3
+ 4x
• f(0) = 2  Pc(0,2) f(0) = 0  Pc(0,0)
• 0 = x3
–3x + 2 0 = - x3
+ 4x
• Factorizando por Rufinni: Factorizando por Rufinni:
• f(x) = (x + 2)(x-1)(x-1) f(x) = - x (x + 2)(x-2)
• Pc(-2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) Pc(0,0) , Pc(-2, 0), Pc(2, 0)
Pc Pc Pc
Pc Pc
Pc

La Función de
Proporcionalidad Inversa
• Viene dada por f(x) = k / x
• A veces también viene en forma implícita como x.y = k
• La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable.
• También son funciones de proporcionalidad inversa todas aquella funciones
raciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x) que tras efectuar la división de
polinomios indicada quede de la forma:
• P(x) k
• f(x) = ------ = b + --------- , siendo el punto C(a, b) el centro de la hipérbola.
• Q(x) x – a
• Si k es POSITIVA, la hipérbola se dibujará en el 1º y 3º Cuadrante.
• Si k es NEGATIVA, la hipérbola se dibujará en el 2º y 4º Cuadrante.

Función de proporcionalidad
inversa (I).
• Sea y = K / x
• Para k= 4  y = 4 / x
• Tabla de valores
• x y
• - 4 -1
• - 2 -2
• -1 -4
• 0 NO EXISTE
• 1 4
• 2 2
• 4 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
y
Como se ve al unir los puntos que hemos
llevado al gráfico, lo que se forma es una
curva llamada HIPÉRBOLA.
-4-3-2-11234

Función de proporcionalidad
inversa (y II).
• Sea y = K / x
• Para k= - 4  y = - 4 / x
• Tabla de valores
• x y
• - 4 1
• - 2 2
• -1 4
• 0 NO EXISTE
• 1 - 4
• 2 - 2
• 4 - 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
y
Como se ve al unir los puntos que hemos
llevado al gráfico, lo que se forma es una
curva llamada HIPÉRBOLA.
-4-3-2-11234

Ejemplo_1 f (x) = 4 / x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
y
-4-3-2-11234
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
y
-4-3-2-11234
Ejemplo_2 f (x) = - 4 / x

Ejemplo_1
• Sea f(x) = 4 /( x + 2)
• Partimos de la
función:
• f(x) = 4 / x
• Al convertirse x en
x+2 se ha producido
un desplazamiento
horizontal de y=4/x
de 2 unidades a la
izquierda.
• Vemos que la
asíntota vertical es
ahora x=-2
• Pues a=-2
• El centro es (- 2, 0)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
(-2, 0)

Ejemplo_2
• 4 – 2.x
• Sea f(x) = ----------
• x
• O sea:
• 4
• f(x) = – 2 + -----
x
• Partimos de la función:
• f(x) = 4 / x
• A todos los valores de x
se les resta 2 unidades
(b=-2)
• Hay un desplazamiento
vertical de la gráfica
original hacia abajo.
• Vemos que la asíntota
horizontal es ahora y=-2
• El centro es (- 2, 0)
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
(0, -2)