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FUNCIONES
CUADRÁTICAS
DÍA 31 * 1º BAD CT
FUNCIONES CUADRÁTICAS
• Todas las funciones que se pueden
expresar de la forma
• f(x) = a.x2
+ b.x + c
• Reciben el nombre...
GRÁFICA DE LA PARÁBOLA
• VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
• Como todo punto tendrá dos coordenadas: V(xv , yv)
• Siempre se cumple: ...
Ejemplo 1
• Sea f (x) = x2
- 3
• a=1>0  Cóncava
• Dom f(x) = R
• Vértice:
• xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0
• yv= 02
- 3 = - ...
y
f(x) = - 0’5.x2
f(x) = - 2.x2
f(x) = x2
Ejemplos de dilatación
- 3 - 2 - 1 0 1 2
3
y
f(x) = 0’5.x2
f(x) = 2.x2
f(x) = x2
Ejemplos de dilatación
• Sea f(x) = x2
Si debemos representar: f(x) = r.x2
• El efec...
Problema
• El consumo de gasolina en un coche, para velocidades comprendidas entre
30 y 190 km/h, viene dado por la funció...
• Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3
+ b.x2
+ c.x + d , entonces
podemos decir que es una función cúbica y la se...
• Sea y = x3
• Tabla de valores
• x y
• -3 -27
• -2 -8
• -1 -1
• 0 0
• 1 1
• 2 8
• 3 27
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
Como se ve al...
• Ejemplo 1 Ejemplo 2
•
• f(x) = x3
–3x + 2 f(x) = - x3
+ 4x
• f(0) = 2  Pc(0,2) f(0) = 0  Pc(0,0)
• 0 = x3
–3x + 2 0 = ...
La Función de
Proporcionalidad Inversa
• Viene dada por f(x) = k / x
• A veces también viene en forma implícita como x.y =...
Función de proporcionalidad
inversa (I).
• Sea y = K / x
• Para k= 4  y = 4 / x
• Tabla de valores
• x y
• - 4 -1
• - 2 -...
Función de proporcionalidad
inversa (y II).
• Sea y = K / x
• Para k= - 4  y = - 4 / x
• Tabla de valores
• x y
• - 4 1
•...
Ejemplo_1 f (x) = 4 / x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
y
-4-3-2-11234
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
y
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Ejemplo_2 f (x) = - ...
Ejemplo_1
• Sea f(x) = 4 /( x + 2)
• Partimos de la
función:
• f(x) = 4 / x
• Al convertirse x en
x+2 se ha producido
un d...
Ejemplo_2
• 4 – 2.x
• Sea f(x) = ----------
• x
• O sea:
• 4
• f(x) = – 2 + -----
x
• Partimos de la función:
• f(x) = 4 /...
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  1. 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS DÍA 31 * 1º BAD CT
  2. 2. FUNCIONES CUADRÁTICAS • Todas las funciones que se pueden expresar de la forma • f(x) = a.x2 + b.x + c • Reciben el nombre de FUNCIONES CUADRÁTICAS. Su gráfica es una parábola. • Para dibujar una parábola necesitamos conocer: • 1.- Coordenadas del vértice. • 2.- Corte con el eje de abscisas y el eje de ordenadas. • 3.- El eje de simetría. • 4.- Una tabla de valores. -3 -2 -1 0 1 2 3 x y 5 -3 -5 f(x) = x2 – 2x – 3
  3. 3. GRÁFICA DE LA PARÁBOLA • VÉRTICE DE LA PARÁBOLA • Como todo punto tendrá dos coordenadas: V(xv , yv) • Siempre se cumple: xv = - b / 2.a  yv=a.xv 2 +b.xv+ c • EJE DE SIMETRÍA • Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv = -b/2.a • PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES • Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. • Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2 +b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. • TABLA DE VALORES • Además de los ya calculados, vértice y cortes, hay que dar dos o cuatro más de valor de x simétrico respecto al valor del vértice. • Importante comprobación: Los cortes con el eje de abscisas, si los hay, son simétricos respecto al valor de xv. • Muy importante: Si a>0  CÓNCAVA y si a<0  CONVEXA
  4. 4. Ejemplo 1 • Sea f (x) = x2 - 3 • a=1>0  Cóncava • Dom f(x) = R • Vértice: • xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0 • yv= 02 - 3 = - 3 • V(0, - 3) • Img f(x) = [ - 3, +oo) • Sea f (x) = - x2 + x • a=-1<0  Convexa • Dom f(x) = R • Vértice: • xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2 • yv= - (1/2)2 + 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25 • V(0’5 , 0´25) • Img f(x) = (- oo, 0,25] V V -3 0,25 Ejemplo 2
  5. 5. y f(x) = - 0’5.x2 f(x) = - 2.x2 f(x) = x2 Ejemplos de dilatación - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
  6. 6. y f(x) = 0’5.x2 f(x) = 2.x2 f(x) = x2 Ejemplos de dilatación • Sea f(x) = x2 Si debemos representar: f(x) = r.x2 • El efecto es que la parábola se deforma. • Si r > 0  Conserva la concavidad Si r < 0  Se invierte. • Si |r| > 1  Se estrecha. Si |r| < 1  Se ensancha. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
  7. 7. Problema • El consumo de gasolina en un coche, para velocidades comprendidas entre 30 y 190 km/h, viene dado por la función: • • Siendo x la velocidad en km/h y C(x) el consumo en litros/100 km • a) ¿A qué velocidad se debe conducir para que el consumo sea de 10 litros/100 km? • b) ¿A qué velocidad consume menos y cuál será dicho consumo?. • a) 10 = 8 – 0,045.x + 0,00025.x2 • 0,00025.x2 – 0,045.x – 2 = 0  25.x2 – 4500.x – 200000 = 0 • 5.x2 – 900.x – 40000 = 0  x2 – 180.x – 8000 = 0 • x = [180 ±√(180x180 – 4x(-8000))]/ 2 = (180+254)/2 = 217 km/h • b) El mínimo consumo estará en el vértice de la parábola: • Xv= -b / 2.a = -(-0,045)/2.0,00025 = 45 / 0,5 = 90 km /h • El consumo será: Yv = 8 – 0,045.90 + 0,00025.902 = 8 – 4,05 + 2,025 = 6 2 ( ) 8 0,045. 0,00025C x x x= − +
  8. 8. • Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3 + b.x2 + c.x + d , entonces podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así: • f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d • Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en forma de “S”. • La función cúbica, al igual que la cuadrática o la función lineal, forman parte de las llamadas funciones polinómicas, pues su característica principal es que su forma de expresión algebraica es un polinomio. • Y como toda función polinómica, el dominio es R. FUNCIÓN CÚBICA
  9. 9. • Sea y = x3 • Tabla de valores • x y • -3 -27 • -2 -8 • -1 -1 • 0 0 • 1 1 • 2 8 • 3 27 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva en forma de “S”. 27 -27 8 1 -8
  10. 10. • Ejemplo 1 Ejemplo 2 • • f(x) = x3 –3x + 2 f(x) = - x3 + 4x • f(0) = 2  Pc(0,2) f(0) = 0  Pc(0,0) • 0 = x3 –3x + 2 0 = - x3 + 4x • Factorizando por Rufinni: Factorizando por Rufinni: • f(x) = (x + 2)(x-1)(x-1) f(x) = - x (x + 2)(x-2) • Pc(-2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) Pc(0,0) , Pc(-2, 0), Pc(2, 0) Pc Pc Pc Pc Pc Pc
  11. 11. La Función de Proporcionalidad Inversa • Viene dada por f(x) = k / x • A veces también viene en forma implícita como x.y = k • La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable. • También son funciones de proporcionalidad inversa todas aquella funciones raciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x) que tras efectuar la división de polinomios indicada quede de la forma: • P(x) k • f(x) = ------ = b + --------- , siendo el punto C(a, b) el centro de la hipérbola. • Q(x) x – a • Si k es POSITIVA, la hipérbola se dibujará en el 1º y 3º Cuadrante. • Si k es NEGATIVA, la hipérbola se dibujará en el 2º y 4º Cuadrante.
  12. 12. Función de proporcionalidad inversa (I). • Sea y = K / x • Para k= 4  y = 4 / x • Tabla de valores • x y • - 4 -1 • - 2 -2 • -1 -4 • 0 NO EXISTE • 1 4 • 2 2 • 4 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva llamada HIPÉRBOLA. -4-3-2-11234
  13. 13. Función de proporcionalidad inversa (y II). • Sea y = K / x • Para k= - 4  y = - 4 / x • Tabla de valores • x y • - 4 1 • - 2 2 • -1 4 • 0 NO EXISTE • 1 - 4 • 2 - 2 • 4 - 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva llamada HIPÉRBOLA. -4-3-2-11234
  14. 14. Ejemplo_1 f (x) = 4 / x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y -4-3-2-11234 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y -4-3-2-11234 Ejemplo_2 f (x) = - 4 / x
  15. 15. Ejemplo_1 • Sea f(x) = 4 /( x + 2) • Partimos de la función: • f(x) = 4 / x • Al convertirse x en x+2 se ha producido un desplazamiento horizontal de y=4/x de 2 unidades a la izquierda. • Vemos que la asíntota vertical es ahora x=-2 • Pues a=-2 • El centro es (- 2, 0) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y (-2, 0)
  16. 16. Ejemplo_2 • 4 – 2.x • Sea f(x) = ---------- • x • O sea: • 4 • f(x) = – 2 + ----- x • Partimos de la función: • f(x) = 4 / x • A todos los valores de x se les resta 2 unidades (b=-2) • Hay un desplazamiento vertical de la gráfica original hacia abajo. • Vemos que la asíntota horizontal es ahora y=-2 • El centro es (- 2, 0) -3 -2 -1 0 1 2 3 y x (0, -2)

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