2. RESUMEN
1. DEFINICIÓN DE ONDA.
2.ECUACIONES DE MAXWELL
3.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
4. ENERGÍA DE UNA OEM.
5. VECTOR DE POYNTING.
6. EL ESPECTRO
ELECTROMAGNÉTICO.
3. 1.ONDAS (1dim.)
Expresión matemática Función oscilante
ξ(x,t) que verifica una ecuación
∂ 2ξ ( x, t ) ∂ 2ξ ( x, t )
v2 =
∂x 2
∂t 2
Solución = onda hacia la derecha con
velocidad v + onda hacia la izquierda con
velocidad -v
ξ ( x, t ) = F 1( x − vt ) + F 2( x − vt )
4. 1.2 Solución general
Función oscilante
ξ ( x, t ) = ξ 0 sen[k ( x − vt ) + ϕ ]
Amplitud velocidad onda Fase
Nº ondas
Longitud de onda λ : distancia entre dos puntos
consecutivos que vibran en fase.
Frecuencia w : nº veces que corta al eje.
Periodo T: tiempo en que la vibración se repite.
Frente de ondas: puntos alcanzados por la onda a un
tiempo fijo.
5. ξ(x,t) λ
ξ0
2π
K=
λ
x
ϖ = Kv = 2π υ
t constante
2π
T=
ξ(x,t) Τ ϖ
ξ0
Velocidad de la onda
t
λυ = v
X constante
6. 1.3 Ondas esféricas
Expresión matemática Función oscilante
ξ(x,t) que verifica una ecuación
∂ 2ξ ( x, t )
v 2∇ 2ξ ( x, t ) =
∂t 2
Laplaciano ∂2 ∂2 ∂2
∇2 = 2 + 2 + 2
– Cartesianas ∂x ∂y ∂z
– Esféricas 1 ∂ 2 ∂
∇ = 2
2
r +
1 ∂
sen θ
∂
+
1 ∂2
r ∂r ∂r r 2 sen θ ∂θ ∂θ r 2 sen 2 θ ∂ϕ 2
7. 1.4 Solución general esférica
Función oscilante
rr
[
ξ ( x, t ) = ξ 0 sen k r − wt + ϕ ]
Amplitud frecuencia onda Fase
Vector
Nº ondas
Si el medio es isótropo sólo depende
de r, kr =kr.
Frente de ondas esférico.
8. 2.ECUACIONES DE
MAXWELL
Leyes de Gauss
r r Q r r
∫ E ⋅ dS = ε
∫ B ⋅ dS = 0
El flujo del vector E a El flujo del vector B a
través de una superficie través de una superficie
cerrada es igual a Q/ε cerrada es nulo
Ley de Faraday r r
r
dB r
dφB ∫ E ⋅ dl = − ∫ dt ⋅dA
fem = − S
dt Circulación del vector E Superficie
La fem inducida en un por una curva cerrada encerrada
circuito cerrado es igual a por la curva
la variación del flujo de B
9. Ley de Ampère generalizada
La circulación del vector H por un circuito cerrado es
igual a la corriente externa + corriente desplazamiento
r
r r ⎛ r dD r ⎞
∫ H ⋅ dl = ∫ ⎜ J + dt dA ⎟
S⎝
⎜ ⎟
⎠
Circulación del vector H Superficie
por una curva cerrada encerrada Corriente de
por la curva desplazamiento
r B0 BT
H= = r dI ext r dQlibre
µ0 µ J= D=
dA dA
En el En el “núcleo
“alambre magnético”.
eléctrico” Tiene cargas
en movimiento
10. 2.1 Algunas nociones
matemáticas
Dada una función F(r)=(Fx, Fy, Fz)
vectorial
r r r r r r r r r
∫ F ⋅ dl = ∫ (∇ × F ) ⋅ dA ∫ F ⋅ dA = ∫ (∇ ⋅ F )dV
Vol
S
Donde se definen las funciones
divergencia y rotacional
ˆ
i ˆ
j kˆ
r r ∂Fx ∂Fy ∂Fz r r ∂ ∂ ∂
∇⋅F = + + ∇× F =
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
Fx Fy Fz
11. 2.2 Forma diferencial de
las ecuaciones de Maxwell
Leyes de Gauss
r r ρ r r
∇⋅E = ∇⋅B = 0
ε
No hay fuentes de
La divergencia del campo magnético
vector E ρ/ε (monopolos)
Leyes de Faraday y Ampère
r r
r r ∂B r r ∂E r
∇× E + =0 ∇ × B − µε = µJ
∂t ∂t
12. 2.3 Ecuaciones de Maxwell
en ausencia de fuentes y
corrientes 1
En un material v = µε
r r r r
∇⋅E = 0 ∇⋅B = 0
r r
r r ∂B r r ∂E
∇× E + =0 ∇ × B − µε =0
∂t ∂t
En el vacío v=c c=
1
µ 0ε 0
13. 3.ONDAS
ELECTROMAGNÉTICAS (planas)
Las ecuaciones de Maxwell aplicadas a
campo E y B ortogonales que se propagan
en la misma dirección (ej. x) admite
soluciones tipo onda.
v2
∂ 2 E ( x, t ) ∂ 2 E ( x, t )
= E ( x, t ) = E0 sen[k ( x − vt )]
∂x 2
∂t 2
v2
∂ 2 B ( x , t ) ∂ 2 B ( x, t )
= B ( x, t ) = B0 sen[k ( x − vt )]
∂x 2
∂t 2 No son
independientes
Satisfacen E0 = cB0
Maxwell
14. Las ondas electromagnéticas planas
son transversales, con los campos E
y B perpendiculares entre sí y a la
dirección de propagación.
15. 4.ENERGÍA DE UNA OEM
Densidad de energía eléctrica y
magnética
– Vacío 1 2
- Medio ue = εE
1
ue = ε o E 2 2
2
1 B2
1B 2
um =
um = 2 µ
2 µo E0 = cB0
Densidad de energía de la OEM
r r
1 2 1B 2 2
B E⋅B
u = ue + um = εE + u = εE =
2
=
2 2 µ µ cµ
16. 5. VECTOR DE POYNTING
El vector de Poynting apunta en la
dirección de propagación de la OEM
E Campo eléctrico
S
B Dirección de
propagación
Campo magnético
r r
Definición r E×B r
S= S = S o cos 2 (kx − wt ) i
ˆ
µ
ejemplo
17. Está relacionado con la densidad de
energía media de la OEM …
r r r
E⋅B S u =
S0
u= =
vµ v 2v
con la potencia de la OEM …
dU EB
P= = uAv = A
dt µ
y con la intensidad (Potencia/Área)
1 E0 B0 1
I media = = S0
2 µ 2
