1.corrente contínuaealternada

1
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
PROFESSOR: Methodio Varejão de Godoy
CORRENTE CONTÍNUA E ALTERNADA
1. CORRENTE ELÉTRICA
Toda a matéria é composta de átomos que por sua vez são compostos por
uma combinação de eletrons. Os átomos tem núcleos com os eletrons girando
em torno dele. O núcleo é composto de protons e neutrons (não mostrados na
fig). Muitos dos átomos tem números iguais de eletrons e protons. Eletrons tem
uma carga negativa e os protons tem uma carga positiva. Neturons são
neutros. A carga negativa dos eletrons é equilibrada pela carga positiva dos
protons. Os eletrons estão limitados em sua orbitas pela atração dos protons.
Figura 1 - Átomo
Os eletrons em órbitas mais externas podem se tornar livres de sua órbita
devido a uma aplicação de uma força externa tais como um campo magnético,
atrito ou uma reação química. Esses eletrons são denominados eletrons livres.
Um eletron livre deixa um espaço que pode ser preenchido por outro atomo
forçado a sair da órbita de outro átomo. Com o movimento dos eletrons livres
de um átomo para o vizinho um fluxo de eletrons é produzido. Isto é a base da
eletricidade.

Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada
2
Figura 2 – Movimento de Eletrons
Uma corrente elétrica é produzida quando eletrons livres movem-se de um
átomo para outro. Os materiais que permitem muitos eletrons moverem-se
livremente são denominados condutores. Cobre, prata, alumínio, zinco e ferro
são considerados bons condutores. Cobre e Alumínio são os materiais
condutores mais utilizados.
Figura 3 – Corrente elétrica num material condutor
Os materiais que permitem que apenas alguns eletrons movimentem-se
livremente são os isolantes. Materiais como borracha, plástico, vidro, mica e
porcelana são bons isolantes.
Figura 4 – Corrente elétrica num material isolante
Um cabo elétrico é um bom exemplo de como condutores e isoladores podem
ser empregados. Os eletrons fluem ao longo do condutor de cobre para
fornecer energia para uma televisão, motor ou uma lâmpada. Um material

3
isolante recobrindo o condutor é provido para que os eletrons se mantenha
dentro do condutor.
Figura 5 – Materiais em um cabo
Materiais semi-condutores, tais como silício, germânio, selênio são usados
para produzir dispositivos que podem ter características de ambos condutores
e isoladores. Muitos dispositivos semicondutores atuam como condutores
quando uma força externa é aplicada em uma direção e como isoladores se a
força externa é aplicada na direção contrária. Esse é o princípio básico dos
transistores, diodos e demais dispositivos de estado sólido.
Figura 6 – Simbologia de dispositivos de estado sólido
Como foi descrito anteriormente, a eletricidade é o fluxo de eletrons em um
condutor de um átomo para o átomo vizinho numa mesma direção. O fluxo de
eletrons é referido como uma corrente e é denotada pela letra i. Os eletrons
movem-se através de condutores em diferentes taxas e a corrente elétrica tem
diferentes valores.
Figura 7 – Fluxo de eletrons

4
A corrente é determinada pelo número de eletrons que passam através de uma
seção transversal do condutor numa dada unidade de tempo. A corrente é
medida em Amperes ou A. Uma corrente de 1 A significa que em um segundo
cerca de 6,24 x 1018
eletrons movem-se através da seção transversal do
condutor.
A força que aplicada a um condutor faz com que a corrente circule é a tensão.
Os eletrons são atraídos pelas cargas positivas de uma fonte que tem uma
deficiência de eletrons. A força requerida para fazer a corrente circular é a
denominada diferença de potencial ou força eletromotriz (fem) ou simplesmente
tensão. Tensão é designado pela letra e ou v. A unidade de medida é o volt
designado pela letra V. Uma tensão pode ser gerada de várias maneiras. Uma
bateria usa um processo eletroquímico para produzir uma diferença de
potencial entre seus dois terminais.
Um gerador de automóvel ou um gerador de uma usina utiliza a indução
eletromagnético para produzir diferença de potencial. Todas as fontes
apresentam sempre como a bateria um terminal com excesso de eletrons e
outro com falta de eletrons. Esse fato resulta sempre numa diferença de
potencial entre dois terminais.
Figura 8 - Bateria

5
A representação simbólica de uma bateria é apresentada na fig, onde a linha
reta maior indica o terminal positivo e a linha reta menor o terminal negativo.
Figura 9 – Símbolo de uma bateria
Todo material apresenta uma certa oposição a passagem da corrente elétrica,
isto é ao estabelecimento do fluxo de letrons no material, denominada
resistência. A resistência de um dado material é designada pelo símbolo R e
sua unidade de medida é o ohm, cujo símbolo é Ω.
A resistência depende da própria natureza do material do condutor, isto é da
facilidade que existe de se retirar eletrons de sua órbitas. Essa natureza do
material é caracterizada pela sua resistividade ρ medida em ohm/m.
A resistividade de um dado material é afetada pela têmpera e pela pureza do
material. Quanto maior a têmpera do material, maior é a resistividade e quanto
mais puro for o material condutor menor será a sua resistividade. A Tabela 1
apresenta a resistvidade de alguns materiais metálicos.
Tabela 1 – Resistividade e condutividade de materiais condutores
Metal Condutividade σ (x 10
6
υ/m) Resistividade ρ (x 10
-6
Ωm)
Prata 62,9 0,0159
Cobre 58 0,01724
Ouro 41 0,0244
Alumínio 35,5 0,0282
Níquel 12,8 0,078
Platina 10 0,10
Ferro 10 0,10
Bronze 5,5 0,18
Aço Silício 1,6 0,62

6
A resistência de um dado material depende também de suas dimensões, isto é
a resistência é diretamente proporcional ao comprimento do condutor e
inversamente à área de sua seção transversal. Portanto, a resistência de um
dado material pode ser expressa matematicamente por:
S
l
R ρ=
onde:
ρ – resistividade do material
l - comprimento do material;
S - área da seção transversal do condutor.
Figura 10 – Resistência de um condutor
A resistência de um dado material varia também com a temperatura, isto é
quanto maior a temperatura maior a resistência do material. Essa variação é
expressa matematicamente pela seguinte equação:
)](1[ 12..12 TTRR tTT −α+=
onde: RT1 – resistência elétrica do condutor na temperatura T1
RT2 – resistência elétrica do condutor na temperatura T2
αt – coeficiente do aumento da resistência com a temperatura
T2 – temperatura do condutor onde se deseja obter a resistência
T1 – temperatura do condutor onde se conhece o valor da
resistência.

7
O coeficiente de aumento da resistência com a temperatura tem um valor
relacionado ao material, por exemplo para o cobre duro tomando a temperatura
de 20o
C como referência ele vale 0,00385 (1/0
C), para os cabos de alumínio
pode-se adotar o valor de 0,00403 (1/0
C). Os símbolos empregados para
representar uma resistência estão mostrados na Figura 11.
Figura 11 – Representação de uma resistência
Um simples circuito elétrico mostrado na Figura 12, consiste de uma fonte de
tensão e uma carga e um condutor para que o fluxo de eletrons ocorra da fonte
entre a fonte e a carga. A bateria faz o papel da fonte de tensão, o fio é usado
como condutor e lâmpada é a resistência do circuito. Um componente adicional
foi adicionado ao circuito a chave. Se a chave está na posição aberta o circuito
está aberto e a luz não acende, fechando a chave, completa-se o circuito e os
eletrons fluem da fonte acendendo a lâmpada.
Figura 12 – Circuito resistivo com bateria
A Figura 13 apresenta a representa de um circuito elétrico formado por uma
bateria, um resistor, um voltímetro, e um amperímetro. O amperímetro é
conectado em série com o circuito, irá mostrar a intensidade da corrente que
circula no circuito. O voltímetro conectado em paralelo com a fonte de tensão
irá mostrar o valor da tensão suprida pela bateria.

8
Figura 13 – Circuito resistivo com equipamentos de medição
2. LEI DE OHM
A relação entre tensão, corrente e resistência foi estudada no século 19 pelo
matemático alemão George Simon Ohm. Ohm formulou a seguinte lei: “A
corrente i num elemneto varia diretamente com a tensão e nesse elemento e
inversamente com a resistência R”. Exprimindo matematicamente esta
formulação, obtemos:
R
e
i =
Uma maneira fácil de se relembrar da Lei de Ohm é empregando o “triângulo
de Ohm”(Figura 14), e este triângulo pode ser utilizado para obter a equação
de forma rápida e correta para cada caso. Para usar este triângulo, deve ser
coberto a grandeza que se quer calcular, e os membros restantes deixam a
formúla correta, como pode ser visto na Figura 15.
Figura 14 – Triângulo de Ohm
Figura 15 – Aplicação do triângulo de Ohm

9
3. POTÊNCIA INSTÂNTANEA
A potência fornecida a um dado elemento do circuito p, sendo ele uma fonte ou
uma resistência é dada pelo produto da tensão no elemento v pela corrente i
que circula por ele, isto é:
i.vp =
A unidade da potência é o watts ou de forma abreviada W. No caso do
elemento do circuito para o cálculo da potência ser uma resistência, a relação
entre tensão e corrente definida pela Lei de Ohm, faz com que a equação
assuma a seguinte forma:
2
i.Rp =
A energia consumida ou o trabalho elétrico e efetuado, é dado pela integral da
potência suprida a um dado elemento num dado intervalo de tempo, assim:
∫∫
∆+∆+
==
tt
t
tt
t
dt.i.vdt.pe
Como v e i são fornecidas por uma bateria que fornece tensão e corrente
contínua, a energia suprida a um elemento pode ser obtida realizando o
produto da potência p pelo intervalo de tempo ∆t, durante o qual a bateria
estará ligada. A fórmula que permite calcular este valor é:
t.pe ∆=
4. DIREÇÕES ASSOCIADAS DE TENSÃO E CORRENTE
Quando se diz que a corrente num dado elemento A é 10 A ou que a tensão
nesse elemento é 5V, e se examina um circuito como o da Figura 1, nada se
pode concluir sobre o sentido real da corrente se é da direita para a esquerda
ou vice-versa. Para a completa determinação da corrente e da tensão num
elemento é essencial se arbitrar uma referência para essas grandezas. Assim

10
ao se arbitrar um sentido para a corrente, ao sabermos que a corrente é – 4 A
significa que a corrente é de 4 A em sentido contrário ao arbitrado.
Figura 16 – Direção da corrente no elemento
Nesse texto utilizaremos as direções associadas de tensão e corrente ao
arbitrarmos o sentido da corrente ou da tensão. Utilizando as as direções
associadas de tensão e corrente, ao se arbitrar um sentido para a corrente
estamos também arbitrando um sentido para a tensão, como pode ser visto na
Figura 17.
Figura 17 – Direções associadas de tensão e corrente
Da mesma forma, ao se arbitrar um sentido para a tensão estamos também
arbitrando um sentido para a corrente (Figura 18). Empregando as direções
associadas de tensão e corrente nos cálculos envolvendo os elementos de um
dado circuito elétrico, quando obtemos uma potência instantânea positiva,
estaremos obrigatoriamente diante de um elemento que consome energia, isto
é, diante de um elemento passivo como uma resistência. Por outro lado,
quando obtemos uma potência instantânea negativa, estamos diante de um
elemento ativo, isto é, se trata de um elemento que fornece energia ao circuito,
uma fonte.

11
Figura 18 – Direções associadas de tensão e corrente
5. LEIS DE KIRCHHOFF
Para a solução de circuitos, isto é para a obtenção das correntes, tensões e
potências em cada elemento de um dado circuito, o físico alemão Kirchhoff
formulou duas leis: a Lei das Tensões de Kirchoff e a Lei das Correntes de
Kirchhoff. Um percurso fechado dentro de um circuito é denominado malha
desde que este percurso fechado não contenha nenhum elemento no seu
interior. A cada elemento de um dado circuito está associado um ramo e
define-se nó como o ponto de encontro de dois os mais ramos.
A Lei das das Tensões de Kirchoff tem o seguinte enunciado: “A soma das
tensões ao longo dos elementos de uma malha é sempre igual a zero”.
Figura 19 – Circuito para aplicar a Lei das Tensões de Kirchhoff
Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff para o circuito elétrico da Figura 19
no sentido horário, podemos escrever a seguinte equação:
0vvvve 4321 =−+−+−

12
Figura 20 - Circuito para aplicação da Lei das Correntes de Kirchhoff
A Lei das das Correntes de Kirchhoff tem o seguinte enunciado: “A soma das
correntes que chega e sai de um dado nó é sempre igual a zero”. Aplicando
a Lei das Correntes de Kirchhoff para o nó 1 do circuito elétrico da Figura 20 no
sentido horário, podemos escrever a seguinte equação:
0iii 421 =−+
6. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE
Um circuito elétrico constituído por n resistências em série é formado quando
elas são conectadas uma após a outra formando um único percurso para a
corrente fluir. As resistências podem ser resistores ou outros dispositivos que
tenham resistência.
Figura 21 – Resistências em série
Para um conjunto de n resistências mostradas na Figura 21, podemos escrever
a seguinte equação aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff:
i).RR...RR(e
i.Ri.R...i.Ri.Re
N1N21
N1N21
++++=
++++=
−
−

13
Analisando a equação anterior, pode-se verificar que as n resistências em série
produzem o mesmo efeito de uma única resistência, denominada resistência
equivalente dada por:
∑=
=++++=
n
1i
iN321EQ RR....RRRR
7. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM PARALELO
Uma associação de n resistências em paralelo é obtida quando as n
resistências são conectadas lado a lado, isto é quando as n resistências
dividem a corrente total. Numa ligação em paralelo, todos os terminais de
mesma polaridade são interligados, como pode ser visto na Figura 22.
Figura 22 – Associação de n resistências em paralelo
Para um conjunto de n resistências em paralelo mostradas na Figura 22,
podemos escrever a seguinte equação aplicando a Lei das Correntes de
Kirchhoff:
∑=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++=+++=
+++=
n
1i iN21N21
T
N21T
R
1
R
1
...
R
1
R
1
.e
R
e
...
R
e
R
e
i
i...iii
Analisando a equação anterior, pode-se verificar que as n resistências em
paralelo produzem o mesmo efeito de uma única resistência, denominada
resistência equivalente dada por:
∑=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++=
n
1i iN21EQ R
1
R
1
...
R
1
R
1
R
1

14
QUESTÕES
1. Explique o que significa adotar direções associadas de tensão e corrente.
2. Para o circuito da Figura 23 obtenha a corrente no amperímetro e a tensão
no voltímetro. Dados R1= 2 ohms, R2 = 3 ohms, R3 = 5 ohms, R4 =1 ohm e
E = 10 V.
DC
A
R1
R2 R3
R4
E
V
Figura 23 – Circuito resistivo
3. Para o circuito da figura obtenha as potências instântaneas em cada
elemento. Explique o que significa o sinal negativo da potência na fonte.
4. Obtenha a indicação do amperímetro A e do voltímetro V no circuito da
Figura 24. Assumir : R1 = 2 Ω , R2 = 3 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 1 Ω, R5 = 5 Ω e E =
10 V.
DC
R1 R2
R3
R4
R5E
V
A
5. Os materiais isolantes mais comuns sólidos, líquidos e gasosos são
apresentados na Figura 25. Apresente onde encontramos esses materiais
nos sistemas elétricos.

15
Figura 25 – Materiais isolantes mais empregados
6. Compare as características do cobre e do alumínio mostradas na Figura 26
e apresente comentários.
Figura 26 – Características do cobre e do alumínio
7. Visite o SITE indicado na Figura 27 e explique como é o processo de
fabricação do alumínio?
Figura 27 – Site sobre alumínio
8. Visite o site indicado na Figura 27 e explique como é o processo de
fabricação do cobre?
Figura 28 – Site sobre o cobre
9. Enuncie as Leis de Kirchhoff para solução dos circuitos elétricos.
10.O que faz um material ser denominado material condutor?

16
8. CORRENTE ALTERNADA
O suprimento de corrente para dispositivos elétricos pode ser feito por fonte de
corrente contínua ou por uma fonte de corrente alternada. Em corrente
contínua, os eletrons fluem continuamente em uma direção da fonte de
potência para a carga através de um condutor. A queda de tensão na corrente
contínua é constante. As principais fontes de corrente contínua incluem as
baterias, pilhas e geradores de corrente contínua (Figura 29).
Figura 29 – Fonte de corrente contínua
Na grande maioria dos sistemas elétricos a corrente que flui nos condutores é
alternada e não contínua. As principais razões deste fato são a facilidade que
tem a tensão alternada de ser elevada ou reduzida de acordo com a
conveniencia dos consumidores e o reduzido custo aliado a baixa necessidade
de manutenção dos motores elétricos de corrente alternada em relação aos de
corrente contínua. Portanto a corrente que circula por um equipamento de
utilização de energia conectada numa tomada é alternada (Figura 30).
Figura 30 – Corrente alternada
Tensões e correntes alternadas variam continuamente. Graficamente uma
corrente ou tensão alternada são expressas por ondas senoidais ou senóides.

17
Figura 31 – Onda senoidal de corrente
Matematicamente um gráfico como o mostrado na Figura 31, pode ser descrito
pela equação:
( )θω +tsenim=(t)i
A equação anteriormente apresentada é denominada de equação da função
alternada senoidal ou senóide. O temo Im é o valor de pico ou valor máximo da
senóide, ω é a freqüência angular dessa senóide e θ é a fase da senóide.
Examinando a Figura 31, é fácil visualizar que o valor de pico, Im, é o maior
valor que a corrente atinge ao longo do tempo, tanto no lado positivo como
negativo da corrente elétrica. Analisando ainda a Figura 31, podemos, concluir
que a corrente é formada por uma série de trechos que se repetem ao longo do
tempo. Um trecho destes está destacado na figura 1 entre as retas a e b. Cada
trecho deste é denominado de ciclo. Em cada ciclo temos dois semi-ciclos, um
positivo e outro negativo. A duração de cada ciclo é denominada de período, e
é representado pela letra T. A freqüência elétrica, representada pela letra f, é
definida como o número de ciclos de uma senóide por segundo. Assim temos
que:
T
1
=f

18
A unidade de medida da freqüência elétrica é o ciclos por segundo, que por
homenagem ao cientista Heinrich Hertz, foi denominado de Hertz, e abreviado
por Hz. Portanto, uma freqüência elétrica de 5 ciclos por segundo, corresponde
a uma freqüência de 5 Hz. A Figura 32, mostra uma senóide de freqüência
elétrica de 4 Hz, e de período 0,25 seg.
Figura 32 – Senóide de frquencia de 4 Hz
A freqüência elétrica pode também ser expressa em radianos por segundo,
bastando apenas, relembrar que 1 ciclo corresponde a 2 π radianos (360°), e
assim:
[rad/seg]f2.πw =
O sistema elétrico do Brasil, opera numa freqüência constante, que é 60 Hz, ou
377 radianos por segundos, também bastante empregada nos Estados Unidos.
Outros países da América do sul, optaram pelo uso da freqüência de 50 Hz,
muito comum no continente europeu.
Consideremos as duas senóides apresentadas na Figura 33. Ambas tem a
mesma amplitude ou valor de pico, e a mesma freqüência, porém não são
iguais. Cada uma delas tem uma fase distinta. Quando duas senóides tem
valores de pico ocorrendo em instantes diferentes, como mostrado na Figura
33, dizemos que elas estão defasadas, ou fora de fase.

19
Figura 33 – Senóides defasadas
Esta defasagem é expressa em tempo ou em frações do ciclo, ou em radianos,
ou ainda em graus. Relacionando sempre 1 ciclo a 2 π radianos e a 360°.
Desta forma podemos afirmar que a defasagem entre as correntes i1 e i2 é de ¼
de ciclo ou de π/2 radianos ou ainda de 90°.
Quando os pontos de máximo e mínimo de uma senóide ocorrem antes dos
correspondentes pontos de outra senóide, dizemos que a primeira senóide está
adiantada em relação a segunda. Assim na Figura 33, a corrente i1 está
adiantada em relação a corrente i2. Quando não há defasagem entre duas
senóides se diz que elas estão em fase. Quando duas senóides estão
defasadas de meio ciclo, isto é, quando ocorre o pico positivo de uma a outra
está no seu pico negativo se diz que estas senóides estão em oposição de
fase.
9. VALOR EFICAZ
Sendo as tensões e correntes nos sistemas elétricos senoidais, elas estão
variando continuamente no tempo, fazendo portanto necessário definir um valor
que possa quantificar a intensidade destas grandezas. Este valor que foi
denominado valor eficaz, corresponde ao valor CA que produza a mesma
energia (isto é, dissipe uma mesma quantidade de calor num circuito resistivo)
que um valor contínuo CC. Portanto, uma corrente alternada com valor eficaz
igual a 1 Ampére produz o mesmo calor num resistor de 10 ohms que uma

20
corrente contínua de 1 Ampére. O valor eficaz é também conhecido como rms
(root-mean-square), pois matematicamente ele é definido como sendo a raiz
quadrada do valor médio dos quadrados de todos os valores instantâneos da
corrente ou tensão durante meio ciclo. Para uma dada senóide o valor eficaz
de uma senóide é o valor de pico dividido por raiz de dois, isto é:
pico
pico
rms I0,707=
2
I
=I
É importante salientar que as escalas dos instrumentos de medida
(amperímetro, voltímetro...) são calibrados para indicarem o valor eficaz de
uma corrente ou tensão senoidal. Convém ainda destacar que o valor eficaz
não é igual ao valor médio de meio ciclo. Durante meio ciclo, a tensão ou
corrente varia de zero até o valor de pico e retorna zero novamente; portanto, o
valor médio deve estar situado entre zero e o valor de pico. Para uma dada
senóide, temos:
picoédiom I0,637=I
A Figura 34, apresenta uma senóide onde são indicados o valor de pico ou
valor máximo, o valor eficaz e o valor médio.
Figura 34 – Valores de pico, eficaz e médio de uma senóide
10.MÉTODO FASORIAL
Na solução de circuitos elétricos e na própria operação dos sistemas elétricos
muitas vezes é necessário operar algebricamente com correntes ou tensões
para obter o valor de uma dada grandeza num dado ponto deste sistema

21
elétrico. Como vimos anteriormente as correntes e tensões num sistema
elétrico são senóides e operações algébricas, usando as expressões gerais
seria uma tarefa cansativa.
Para se resolver problemas como este de forma simples e prática, foi
desenvolvido o Método Fasorial. Neste método, cada senóide é representada
por um número complexo denominado de fasor. Portanto, operar com
senóides se torna operar com números complexos. No método fasorial, uma
senóide expressa pela seguinte equação:
( )t +senVm=v θω
é representada por um fasor, que é um número complexo cujo módulo é o valor
eficaz da senóide, e a fase é a própria fase da senóide. O fasor é denotado por
uma letra maiúscula, neste caso V, e é dado por:
jj
eVef=e
2
Vm
=V θθ
Utilizando a igualdade de Euler :
θ+θ=θ
senjcosej
podemos converter este fasor expresso na forma polar para a forma retangular:
( )θ+θ=θ
senjcos.VeV=V EF
j
EF
É muito comum nos cálculos em sistemas elétricos envolvendo fasores se
substituir o e da igualdade de Euler por ∠ ,seguindo este mesmo procedimento
o fasor V pode ser escrito pela seguinte equação:
θ∠θ∠ Vef=
2
Vm
=V

22
ou :
θ∠V0,707=V m
Para o fasor expresso na forma retangular, o termo Vef cos θ, é a parte real do
fasor V, e o termo Vef sen θ, é a parte imaginária do fasor V. Assim:
ir Vj+V=V
onde:
θ=
θ
sen.VVi
.cosV=V
EF
EFr
Para exprimir na forma polar um fasor expresso na forma retangular, utiliza-se
a seguinte equação:
θV+V=Vj+V 22
irir ∠
onde a fase θ é obtida calculando:
r
i
V
V
arctgθ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
As equações anteriores apresentadas para um fasor tensão V, são válidas
também para qualquer fasor corrente I, bastando apenas substituir o fasor V
pelo fasor I.
Empregando o método fasorial, significa que realizar operações com tensões e
correntes, corresponde a realizar operações com números complexos ou
fasores. A adição de dois fasores é efetuada colocando ambos os fasores na
forma retangular. O fasor soma, tem sua parte real dada pela soma da parte
real dos dois fasores a serem adicionados, e sua parte imaginária calculada

23
também somando as partes imaginária dos dois fasores. Isto é, se I1 = Ir1 + Ii1 e
I2 = Ir2 + j Ii2, então:
)II(j)II(III 2i1i2r1r21T +++=+=
Procedendo de forma similar, podemos obter o fasor subtração entre dois
fasores, colocamos ambos os fasores na forma retangular, a parte real do fasor
subtração é obtida subtraindo a parte real de um dos fasores da parte real do
outro. E a parte imaginária do fasor subtração, é obtida subtraindo a parte
imaginária de um dos fasores da parte imaginária do outro. Assim se I1 = Ir1 + j Ij1
e I2 = Ir2 + j Ij2, temos:
)II(j)II(III 2i1i2r1r21T −+−=−=
A multiplicação de dois fasores é determinada com a colocação dos dois
fasores colocados na forma polar. E o módulo do fasor multiplicação é obtido
multiplicando-se o módulo de cada um dos fasores a serem multiplicados. A
fase do fasor multiplicação é obtida somando a fase dos fasores a serem
multiplicados. Assim se I1=⏐I1⏐∠θ1 e I2=⏐I2⏐∠θ2 , o fasor IT = I1 x I2, pode ser
calculado pelas seguintes equações:
( )212121T I.IxIII θ+θ∠==
A divisão de dois fasores é obtida de forma similar a multiplicação. Os dois
fasores a serem divididos são colocados na forma polar. O módulo do fasor
divisão é calculado, dividindo os módulos dos fasores, e a fase do fasor divisão
é calculada subtraindo as fases dos fasores a serem divididos. Assim se
I1=⏐I1⏐∠θ1 e I2=⏐I2⏐∠θ2 , o fasor IT = I1 / I2, pode ser calculado pelas seguintes
equações:
( )21
2
1
2
1
T
I
I
I
I
I θ−θ∠==

24
É importante ressaltar ainda que um fasor não pode ser maior ou menor que
outro, isto é, existe apenas comparações entre módulo, fase, parte real ou
parte imaginária de fasores. Em outras palavras, podemos afirmar que o
módulo de um fasor é maior que outro, ou ainda, que a parte real de um fasor é
menor que a parte real de outro, porém nunca poderemos afirmar que um fasor
é maior que outro.
A representação das tensões e correntes senoidais por fasores, isto é, por
números complexos, ainda permite mais uma facilidade, que é a representação
gráfica. Cada fasor pode ser representado graficamente, num plano, por um
segmento de reta orientado. Neste plano denominado de plano complexo,
temos dois eixos perpendiculares (Figura 35). O eixo horizontal é o eixo real,
onde representamos graficamente a parte real do fasor, e o eixo vertical é o
eixo imaginário, onde representamos graficamente a parte imaginária do fasor.
Cada eixo, é orientado indicando o sentido crescente dos valores a serem
representados. O eixo vertical corta o eixo horizontal no ponto zero, separando
os valores positivos dos valores negativos. Da mesma forma o eixo horizontal
corta o eixo vertical sobre o ponto zero, separando os valores positivos e
negativos do eixo vertical.
Figura 35 – Representação gráfica dos fasores

25
A representação gráfica de um fasor é feita sempre considerando a sua origem
no ponto comum aos dois eixos, e a sua extremidade no ponto do plano
definido pelas suas partes real e imaginária, ou pelo seu módulo e fase. A
Figura 36, mostra a representação gráfica de um fasor I, com sua origem
colocada no ponto comum aos dois eixos, e sua extremidades no ponto, cuja
parte real é Ir, e cuja parte imaginária e Ii. Obviamente, o fasor I, é dado por:
ir Ij+I=I
EIXOIMAGINÁRIO
EIXO REAL
IIi
Ir
Figura 36 – Diagrama Fasorial do fasor I
Ainda, na Figura 36, temos que o fasor representado, tem comprimento
definido pelo módulo do número complexo e ângulo com o eixo real definido
pela fase do número complexo, isto é:
22
ir I+I=I e ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ
r
i
I
I
tgarc=
Exemplos:
Represente graficamente os seguintes fasores: a) V1 = 2 + j3; b) V2 = 3 ∠ 45°;
c) Io = -2 + j; d) V3 = 2 ∠- 60°; e) I2 = 2 - j 2; f) I1 = j2 e g) I3 = -3.
Solução:
Procedendo de forma similar ao exposto anteriormente obtemos:

26
I0
V3I2
V2
V1
I1
I3
Figura 37 – Diagrama fasorial
As operações de soma e subtração podem ser visualizadas e efetuadas
graficamente. A adição de dois vetores pode ser efetuada utilizando o método
do paralelogramo, ou do triângulo. No método do paralelogramo, nós
representamos os dois fasores a serem adicionados com a origem no mesmo
ponto. Em seguida, constrói-se um paralelogramo, usando-se os vetores. A
diagonal deste paralelogramo que parte da origem comum aos dois fasores é o
valor resultante ou soma de dois vetores. A aplicação deste método está
apresentada na Figura 38.
Figura 38 – Soma de fasores graficamente
O método do triângulo também se aplica quando existem mais de dois fasores
envolvidos. Nesse caso, une-se todos os vetores de modo que a extremidade
de um coincida com a origem do outro. A linha que une a origem do primeiro

27
com a extremidade do último é a resultante total da soma de todos os vetores.
(Figura 39).
Figura 39 – Soma vetorial de fasores
11.IMPEDÂNCIA
Define-se impedância de um componente de um sistema elétrico, como sendo
a relação entre o fasor tensão aplicada ao componente, pelo fasor corrente que
circula por ele. A impedância é denotada por Z, e é expressa matematicamente
pela seguinte equação:
I
V
Z =
Para ilustrar o conceito de impedância vamos determinar a impedância de um
resistor, onde é aplicado uma tensão vR dada por:
)wtsen(.VmvR θ−=
A corrente que circula no resistor é obtida pela Lei de Ohm, portanto:
)wtsen(.
R
Vm
R
v
i R
R θ−==
Representando cada um das senóides das equações anteriores pelos
respectivos fasores, encontramos:

28
RZ
R
2.R
Vm
2
Vm
I
V
Z
R
R
=
=
θ−∠
θ−∠
==
Logo, a impedância de um resistor é igual a sua própria resistência. Numa
forma geral, a impedância de um componente é um número complexo qualquer
dado pela seguinte equação:
jXRZ +=
O termo R é a parte real de Z denominada de resitência e X é a parte
imaginária de Z denominada de reatância.
12.INDUTÂNCIA
Os circuitos estudados até agora tem sido apenas resistivos. A resistência não
é a única propriedade que afeta a corrente elétrica, a indutância também.
Indutância é a propriedade que apresenta um circuito elétrico de se opor a
variação de corrente elétrica que circula por ele. Qualquer condutor percorrido
por uma corrente elétrica tem uma indutância. Para tornar mais significativo
esta indutância é comum se enrolar os condutores em forma de bobina. Um
componente elétrico produzido com a propriedade de se opor a variação da
corrente que circula por ele, é denominado indutor. Para se entender
fisicamente o efeito da indutância num circuito, consideremos um circuito em
corrente contínua alimentado por uma pilha de 1,5 V como está mostrado na
Figura 40.

29
A chave é fechado em t = 0, e a corrente sobe rapidamente para o valor de 1A
como está apresentado na Figura 41.
Figura 41 – Corrente no circuito resistivo
Ao colocarmos um indutor no circuito mostrado na Figura 40, a corrente vai
atingir de forma lenta o valor de regime permanente de 1A. A Figura 42 mostra
o novo circuito e a Figura 43, apresenta o gráfico da corrente elétrica com o
tempo.
Figura 42 – Circuito RL

30
Figura 43 – Corrente num circuito RL
Quanto maior a indutância do circuito mais lentamente a corrente atinge o seu
valor de regime. A situação inversa ocorre se em ambos os circuitos, após um
longo intervalo de tempo, no instante de tempo to as chaves são abertas. A
Figura 44, apresenta o gráfico da corrente no tempo para o circuito da Figura
40, e na Figura 45, o gráfico da corrente no tempo para o circuito da Figura 42.
Figura 44 – Fonte num circuito CC
Figura 45 – Resposta do circuito RL
A unidade da indutância de um circuito elétrico é o henry cujo símbolo é H.
Num circuito alimentado em tensão contínua composto por indutâncias e

31
resistências, a corrente varia gradualmente entre zero e o valor de regime, e
entre o valor de regime e zero. Independente dos valores da indutância e da
resistência no circuito, essas variações sempre seguem uma trajetória
semelhante. Inicialmente, a variação é grande, tornando-se cada vez menor,
até a corrente atingir um valor constante que pode ser zero ou o de regime.
Durante essas variações, existe uma relação entre os valores da corrente e o
tempo que leva alcançá-los, e é dada por uma quantidade chamada de
constante de tempo. A constante e tempo é definida como o tempo necessário
para que a corrente atinja 63,2% do valor máximo, ou decresça de 63,2% deste
valor. Em qualquer circuito deste tipo, a constante de tempo depende do valor
da indutância e da resistência. O valor da constante de tempo é diretamente
proporcional à indutância e inversamente proporcional à resistência e é
calculada a partir da equação:
R
L
T =
Nessa equação, se a indutância for dada em henrys e a resistência, em ohms,
a constante de tempo será dada em segundos. Na prática, os valores da
constante de tempo são muito pequenos e, por essa razão, são expressos em
milisegundos (1/1000 de segundo), ou microsegundos (1/1000.000 de
segundos), cujos símbolos são, respectivamente, ms e us. Dada a constante
de tempo de um circuito, podemos avaliar, facilmente o tempo necessário para
que a corrente cresça de zero até o valor de regime ou decresça do valor de
regime até zero. Em cinco constante de tempo a corrente atinge a mais que
99% do seu valor de regime permanente, de modo que com cinco constantes
de tempo após o fechamento da chave em t = 0 a corrente do circuito elétrico
da Figura 42 atinge 1A, e após a abertura da chave o circuito elétrico leva cinco
constantes de tempo para a corrente chegar a zero.

32
Figura 46 – Efeito das constantes de tempo
Enquanto num circuito alimentado em corrente contínua a indutância afeta o
comportamento do circuito somente nos instantes de abertura e fechamento de
chaves, num circuito em corrente alternada como a corrente está sempre
variando e a indutância se opõe a esta variação, ela influencia em todo e
qualquer instante. Consideremos um indutor, ao aplicarmos entre seus
terminais uma tensão senoidal vL do tipo:
( )θω +tsenv=v mL
circula no indutor uma corrente iL dada por:
( )°θω 90-+tsenI=i mL
Na figura 8 estão apresentados os gráficos no tempo de vL e iL, na figura 9 está
o diagrama fasorial, indicando claramente que a corrente no indutor está
atrasada de 90° da tensão aplicada.
Figura 47 – Tensão e corrente numa indutância em corrente alternada

33
Figura 48 – Diagrama fasorial
Os fasores VL e IL mostrados na Figura 48, são expressos por:
)90(
2
Im
I
2
Vm
V
L
L
−θ∠=
θ∠=
A impedância de um indutor é a relação entre os fasores VL e IL, e é expressa
por:
jwL
I
V
Z
L
L
==
Como a impedância é um número imaginário puro, ela é denominada reatância
indutiva.
13.CAPACITÂNCIA
Capacitância é a propriedade que permite um circuito elétrico armazenar
energia através de um campo eletrostático e depois de algum tempo, liberar
essa energia. Os dispositivos fabricados com esta finalidade são denominados
de capacitores. Fisicamente, sempre que um material isolante separa dois
condutores submetidos a uma diferença de potencial, temos uma capacitância.
Num capacitor a energia elétrica é armazenada na forma de um campo elétrico
entre dois condutores, normalmente denominados de placas. O capacitor
também é conhecido como condensador. A Figura 49 mostra um capacitor
didático.

34
Figura 49 – Capacitor teórico
Para se entender fisicamente o efeito da capacitância num circuito,
consideremos um circuito em corrente contínua alimentado por uma pilha de
1,5 V como está mostrado na Figura 50. A chave S1 é fechada em t = 0 e a
corrente sobe rapidamente para o valor 1A, como está mostrado na Figura 51.
Vamos introduzir um capacitor no circuito da Figura 50, acompanhado de uma
chave S2, na posição aberta com uma outra lâmpada L2, como está
apresentado na Figura 52.
Figura 50 – Circuito puramente resistivo
Figura 51 – Corrente no circuito resistivo

35
Figura 52 – Circuito com a introdução da capacitância
Em t = 0 a chave S1 do circuito da Figura 52 é fechada (com a chave S2 na
posição aberta), a corrente alcança o valor de 1A rapidamente e a medida que
o tempo passa esta vai diminuindo de intensidade. A medida que a corrente vai
diminuindo o capacitor vai se carregando. Em t = 0 a tensão entre os terminais
A e B do capacitor é nula e vai aumentando a medida que o capacitor está se
carregando. A Figura 53 apresenta os gráficos da corrente i (t) e da tensão Vc
(t) entre os terminais A e B do capacitor.
Figura 53 – Tensão entre os terminais do capacitor e corrente no circuito
É importante salientar que quando a corrente é nula toda tensão da pilha está
entre os terminais do capacitor isto é 1,5 V. Nesta situação se diz que o
capacitor está carregado. Quando a chave S1 é fechada, os elétrons vão do
terminal negativo da pilha que possui um potencial negativo, para a placa do

36
capacitor em que está ligado. Portanto, essa placa adquire um excesso de
elétrons, ou seja, uma carga negativa. Simultaneamente, o outro terminal da
pilha que possui um potencial positivo, atrai o mesmo de elétrons da outra
placa do capacitor em que está ligado. Esta placa apresenta uma falta de
elétrons, isto é, adquire carga positiva.
Durante a carga do capacitor, os elétrons passam pelos fios do circuito e
através da pilha. Em outra palavras, existe corrente no circuito; observe,
porém, que apesar disso a corrente não atravessa o capacitor. A corrente entra
no capacitor por uma das placas, deixa o mesmo pela outra placa, mas o
isolante impede que exista corrente através do capacitor. À medida que os
elétrons entram na placa negativa e saem da placa positiva do capacitor, o
campo elétrico aumenta, fazendo com que uma tensão se estabelece sobre o
capacitor. Essa tensão inicia no zero, quando o circuito é fechado, e cresce de
acordo com o aumento do número de elétrons que deixam a placa positiva e
entram na placa negativa. A tensão do capacitor tem uma polaridade oposta ao
da corrente fornecida pela pilha. Consequentemente, a tensão do capacitor se
opõe à tensão da pilha.
À medida que a tensão do capacitor aumenta, a tensão efetiva do circuito, que
é a diferença entre as tensões da pilha e do capacitor, diminui. Esse fator
provoca o decréscimo da corrente do circuito. Quando a tensão do capacitor se
igualar à tensão da pilha, a tensão efetiva no circuito é zero, e portanto, a
corrente para de circular. Neste ponto, o capacitor está totalmente carregado e
nenhuma corrente flui pelo circuito. Quanto maior a capaciância mais
lentamente a corrente vai decrescendo até zero e a tensão vai subindo até 1,5
V no circuito da Figura 52, isto é, quando maior a capacitância mais lentamente
a tensão e a corrente atingem seu valor de regime.

37
Figura 54 – Resposta de carga e descarga do capacitor
Consideremos agora no circuito da Figura 52 que num instante de tempo to,
bastante distante do instante inicial a chave S1 é aberta e ao mesmo a chave
S2 é fechada. Assim em t = to a corrente i (t) é nula e a tensão no capacitor é
1,5 V, após as manobras das chaves S1 e S2, a corrente no capacitor se inverte
e vale inicialmente em t = to, 1A. A tensão no capacitor que em t = to vale 1,5 V
decai no tempo até zero junto com a corrente i (t) invertida. A Figura 54, mostra
os gráficos da tensão e da corrente i (t) no capacitor. Salientando que após to, i
(t) tem o sentido contrário do período inicial. Após o instante to se diz que o
capacitor está descarregando e a tensão atingir o valor zero se diz que o
capacitor está descarregado.
A unidade da capacitância de um circuito é o farad ou F, em homenagem ao
cientista Michael Faraday. Na prática, o farad representa uma capacidade
extremamente grande. Por isso, utilizamos os submúltiplos dessa unidade em
quase todos os casos. Os submúltiplos do farad são o microfarad (µF) e o

38
micromicrofarad (µµF), conhecido como picofarad (pF). Assim: 1 µF = 10 -6
F e
1 pF = 10 -12
F.
Quando um capacitor é ligado a uma fonte de tensão contínua, carrega-se
rapidamente. Se não houver resistência no circuito de carga, o capacitor ficará
totalmente carregado quase que instantaneamente. Uma resistência tem a
propriedade de provocar um atraso no tempo exigido para se carregar o
capacitor. Como todo circuito apresenta alguma resistência, para carregar um
capacitor sempre se leva um certo intervalo de tempo definido. O tempo exato
depende tanto da resistência (R) do circuito, como das capacitância (C) do
capacitor. A relação entre essas duas grandezas e o tempo de carga é
expressa pela seguinte equação:
C.RT =
onde T é a constante de tempo capacitiva, que representa o tempo necessário
para que a tensão do capacitor atinja 63,2% da tensão total. A cada constante
de tempo, a tensão sobre o capacitor sofre um acréscimo de 63,2% em relação
ao que falta para atingir a tensão total. Portanto, após a segunda constante de
tempo (2T), o capacitor terá 86,4% de sua tensão máxima; após 3T atingirá
94,9% desse valor; após 4T, 98,1% e após 5T, sua tensão será maior que 99%
do valor máximo. Após cinco constante de tempo, o capacitor será considerado
plenamente carregado.
Figura 55 – Carga do capacitor

39
Analogamente, a constante de tempo capacitiva mostra o tempo exigido,
durante a descarga de um capacitor, para que a tensão atinja várias
porcentagens do valor máximo. É importante ressalvar que existe uma analogia
entre as constantes de tempo capacitiva e indutiva; a tensão sobre um
capacitor cresce e decresce de forma análoga à variação da corrente através
de um indutor.
Enquanto num circuito alimentado em corrente contínua a capacitância afeta o
comportamento do circuito somente nos instantes de abertura e fechamento de
chaves, num circuito em corrente alternada, como as tensões e correntes estão
continuamente variando, ela influencia em qualquer instante de tempo.
Ao aplicarmos num capacitor uma tensão senoidal do tipo:
( )θω +tsenV=v mc
circula no capacitor uma corrente ic, dada por:
( )°θω 90++tsenI=i mc
Na Figura 56 estão apresentados os gráficos no tempo de vc e ic e na Figura 57
o diagrama fasorial, indicando claramente que a corrente no capacitor está
adiantado de 90° da tensão aplicada.
Figura 56 – Tensão e corrente alternada num capacitor

40
Figura 57 – Diagrama fasorial no capacitor
Os fasores Vc e Ic mostrados na Figura 57, são expressos por:
θ∠=
2
Vm
VC
)90(
2
Im
I 0
C +θ∠=
A impedância do capacitor, isto é a relação entre os fasores Vc e Ic é dada por:
CC
C
0
C
C
C
jX
C.w
j
Z
jX
C.w
j
90
2
Im
2
Vm
I
V
Z
=
−
=
=
−
=∠==
Como a impedância do capacitor é imaginária pura, isto é, ela é apenas reativa,
é denominada reatância capacitiva.
14.REATÂNCIA
A reatância como vimos anteriormente é a parte imaginária da impedância de
um componente. A reatância fisicamente, faz com que a corrente não fique em
fase com a tensão aplicada.
Existem dois tipos de reatância num circuito onde as tensões e correntes
estejam em regime permanente senoidal, uma que atrasa a corrente em

41
relação a tensão aplicada que é denominada de reatância indutiva, e outra que
adianta a corrente em relação a tensão aplicada que é denominada de
reatância capacitiva. A reatância indutiva está associada a presença
predominante de uma indutância num dado componente, e é definida pela
seguinte expressão:
L.f..2L.wXL π==
Num indutor a sua impedância é dada apenas pela reatância indutiva, isto é:
L.f..2.jL.w.jX.jZ INDIND π===
e a corrente está 90o
atrasada em relação a tensão aplicada.
A reatância capacitiva está associada a presença predominante de uma
capacitância num dado componente, e é definido pela seguinte equação:
C.f..2
1
C.w
1
XC
π
==
Num capacitor a sua impedância é dada apenas pela reatância capacitiva:
C.f..2
j
C.w
j
X.jZ CAPCAP
π
−
=
−
=−=
e a corrente está 90o
adiantada em relação a tensão aplicada.
A Figura 58 revisa as relações no tempo, e o diagrama fasorial para a tensão e
a corrente num resistor, num indutor e num capacitor.
É importante salientar que a reatância indutiva é positiva, e a reatância
capacitiva é negativa. A relação entre o fasor corrente que circula num
componente pelo fasor tensão aplicada é denominada admitância e é
denotada por Y. Assim:
V
I
Y =

42
E obviamente,
Z
1
Y =
Figura 58 – Tensão e corrente nos resitores, capacitores e indutores em
circuitos em regime permanente senoidal
A parte real da admitância é denominada de condutância, e é denotada por G,
e a parte imaginária da admitância é denominada de suceptância e é
denotada por B. Isto é,
B.jGY +=
De forma similar a reatância, a susceptância para um componente que é
predominantemente indutivo, é denominada de susceptância indutiva, e é
dada por:

43
L.w
j
BL
−
=
A susceptância indutiva é negativa. A susceptância para um componente que é
predominantemente capacitivo é denominado de susceptância capacitiva,
tem valor positivo, e é dada por:
C.w.jBC =
15.CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL
Como foi descrito anteriormente, diz-se que um dado circuito está em regime
permanente senoidal quando as tensões e correntes que circulam por este
circuito são ondas senoidais ou senóides. Circuitos em regime permanente
senoidal são resolvidos usando o método fasorial. Nesse método o circuito
elétrico no domínio tempo é transformado num circuito no domínio da
frequencia.
Para esclarecer o emprego do método fasorial, vamos obter a corrente i(t) no
circuito em regime permanente senoidal
No domínio da frequencia, as fontes de tensão e corrente senoidais (d
equações do tipo são de intensidade
16.POTÊNCIA EM CIRCUITO EM CORRENTE ALTERNADA
Como foi discutido anteriormente, a potência elétrica ou a potência instantânea
fornecida a um componente de um sistema elétrico é definido pela seguinte
equação:
)t(i).t(v)t(p =
Em corrente contínua p(t) é um valor constante, ficando assim, bem
caracterizado, se um dado componente absorve ou fornece potência elétrica de

44
um circuito elétrico. Por exemplo, considere o circuito elétrico apresentado na
Figura 59.
Figura 59 – Circuito resistivo em corrente contínua
No circuito da Figura 59, a corrente elétrica pode ser obtida pela Lei de Ohm:
A2=
2
4
=
R
E
=i
A potência elétrica no resistor e na fonte, são dadas pelas seguintes equações:
W4-2)2.(.ivp
W42.2i.vp
FFFONTE
RRRES
=−==
===
Os resultados obtidos anteriormente mostram que o resistor é um componente
que consome potência fornecida pela fonte de intensidade 2V. Na figura 14,
nós mostramos o gráfico da potência elétrica no resistor em função do tempo.
Figura 60 – Potência instantânea num circuito em corrente contínua
Em corrente alternada como a tensão e a corrente variam no tempo, a potência
elétrica num componente também não é constante. Consideremos um

45
determinado componente num circuito em corrente alternada, onde a tensão
aplicada nele é dada por:
tsenV=(t)v .M ω
E a corrente que circula pelo componente tem a seguinte expressão:
)-t(senI=(t)i .m θω
Da definição de potência instantânea obtemos:
)-t(sentsenIV=(t).i(t)v=(t)p mm θωω
como:
[ ]B)+(Acos-B)-(Acos
2
1
=BA.sensen
encontramos,
[ ])-t+t(cos-)+t-t(cosIV
2
1
=(t)v(t).i=(t)p mm θωωθωω
[ ])-t(2cos-cos.
2
I
.
2
V
=(t)p
mm
θωθ
[ ])-t(2cos-cosIV=(t)p EFEF θωθ
A Figura 61, apresenta o gráfico da potência elétrica instantânea expressa pela
equação anterior.
Potência Instântanea
tempo
Figura 61 - Potência instantânea em circuito em corrente alternada

46
Analisando a expressão geral para a potência ativa instantânea fornecida a um
componente, e a Figura 61, verifica-se como era esperado que esta potência
não é constante, tendo trechos onde a potência elétrica é absorvida da rede
(trechos positivos acima do eixo do tempo), e trechos onde ela fornece a rede
(trechos negativos abaixo do eixo do tempo).
Com a finalidade de destacar estas duas parcelas, vamos expandir a parte
alternada da equação da potência instantânea no componente, usando:
BA.sensen-BA.coscos=B)+(Acos
na expressão geral para a potência ativa instantânea fornecida a um
componente, fazendo com que esta ssuma o seguinte formato:
[ ]t2.sensen+t2.coscos-cosIV=(t)p EFEF ωθωθθ
[ ] t2sen..senIV+t2cos-1cosIV=(t)p EF.EFEFEF ωθωθ
Na equação anterior é possível destacar duas parcelas:
t)2cos-(1cosIV=(t)p EFEFat ωθ
t)2(sensenIV=(t)p EFEFreat ωθ
A parcela pat é denominada de potência ativa instantânea, é sempre positiva,
ou sempre negativa, dependendo do termo Vef.Ief.cosθ. A parcela preat é
denominada de potência reativa instantânea, corresponde a uma senóide de
freqüência dupla, cujo valor máximo é dado por Vef.Ief.senθ. A Figura 62,
apresenta os gráficos das potências ativas e reativas instantâneas.

47
Figura 62 – Potência ativa e reativa instântanea
Analisando a Figura 62 fica caracterizado que a potência ativa instantânea é a
parcela da potência instantânea que é fornecida ao componente, e a potência
reativa instantânea é uma parcela de potência que fica num ciclo sendo
fornecida ao componente e no ciclo seguinte devolvida a rede pelo
componente.
A potência ativa instantânea fica definida e caracterizada pelo valor da potência
média fornecida a um componente. Esta potência média é denominada de
potência ativa, e é dada pela seguinte equação:
)IVcos(.I.VP EFEF ∠−∠=
A potência ativa é aquela que efetivamente realiza trabalho, um valor positivo
indica que o componente consome potência da rede, e um valor negativo indica
que o componente fornece potência a rede. A unidade da potência ativa é o
watt (W). O termo cos θ, é denominado de fator de potência.
)IVcos(FP ∠−∠=

48
onde, ∠V é a fase do fasor tensão e ∠I é a fase do fasor corrente.
A potência reativa instantânea efetivamente não realiza trabalho, ela
corresponde a uma potência que num dado semi-ciclo fornece potência a rede,
e no semi-ciclo seguinte ela devolve a rede. Mesmo assim, ela circula pela
rede, e tem um papel essencial na conversão de energia, pois, sem ela os
campos magnéticos necessários a produção de torque nas máquinas elétricas
não existiriam. Esta potência que é cedida aos enrolamentos das máquinas
elétricas num dado semi-ciclo é devolvido, no seguinte, é caracterizado pelo
valor máximo da potência reativa instantânea e é denominada de potência
reativa, expressa pela seguinte equação:
)I-V(senIV=Q EF.EF. ∠∠
A unidade desta potência reativa é o volt - ampére - reativo (VAR), e tem sua
intensidade positiva ou negativa definida pelo:
)I-V(sen ∠∠
Portanto, a potência reativa pode assumir um valor positivo ou negativo
dependendo do ângulo θ. É importante relembrar que θ é o ângulo resultante
da diferença entre a fase do fasor tensão V e a fase do fasor corrente I, isto é:
IV ∠−∠=θ
Para uma carga de natureza indutiva, a tensão está adiantada em relação a
corrente, isto é, θ é positivo, o coseno de θ é positivo e portanto a potência
reativa “entrando” na carga é positiva. No caso de uma carga de natureza
capacitiva, a tensão está atrasada em relação a corrente, θ é negativo, cos θ é
negativo e a potência reativa “entrando” na carga é negativa indicando que ela
esteja saindo da carga.

49
Esta interpretação de que numa carga indutiva a potência reativa é positiva
indicando que ela esteja “entrando” na carga e o contrário para uma carga
capacitiva conduz às seguintes afirmações, muito comuns na rotina dos
engenheiros de operação dos sistemas elétricos, que são :
• os capacitores são elementos que “fornecem” reativos
• os reatores são elementos que “absorvem” reativos
Durante todo este texto, os termos reativo e potência reativa estarão sempre se
referindo a potência reativa indutiva.
As potências ativa e reativa definidas anteriormente, podem ser obtidas de
forma simples a partir da definição da potência complexa (S). A potência
complexa é definida como sendo o número complexo obtido pelo produto do
fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente, isto é:
*
I.VS =
Como,
VVV ef ∠=
III -ef
*
∠=
então:
)IVsen(.IVj.)IVcos(.IVIV.IVV.IS .efef.efefefef
*
∠−∠+∠−∠=∠−∠==
que resulta em:
jQPS +=
O módulo da potência complexa (N) é denominado potência aparente e tem
como unidade o Volt-Ampére (VA). Esta potência está fisicamente
representando toda a potência transmitida a uma carga. A unidade Volt-
Ampére (VA) é dimensionalmente idêntica às unidades das potências ativa e

50
reativa, a denominação distinta novamente está relacionada à identificação do
tipo de potência que está sendo referida.
Portanto, a potência aparente é dada por:
efef
22
.IVQPN =+=
A potência aparente, por retratar toda a potência transmitida, é utilizada para
especificar a potência nominal dos equipamentos e componentes de um
sistema elétrico. Outra grandeza muito importante nos estudos envolvendo
sistemas elétricos é o fator de potência.
O fator de potência de uma carga é a relação entre a potência ativa fornecida à
carga e a potência aparente transmitida a carga. Ele retrata a eficiência da
potência transmitida à carga e, quantitativamente, é expresso por:
efef
efef
P
IV
cosIV
F
θ
==
N
P
logo:
θcos
N
P
FP ==
Assim um fator de potência de 0,8 para uma carga indica que apenas 80 % da
potência transmitida à carga (potência aparente) é utilizada para realmente
produzir trabalho. O restante é utilizado para carregar os campos elétricos e
magnéticos existentes no sistema. As operações que funcionam com baixo
fator de potência carregam linhas aéreas, cabos e transformadores
desnecessariamente.Atualmente no Brasil a legislação tarifária em vigor
penaliza os consumidores que tiverem um fator de potência indutivo abaixo de
0,92, de 6 às 24 horas, e um fator de potência capacitivo abaixo de 0,92, de 0
às 6 horas.

51
Para melhor caracterizar o que foi dito anteriormente, vamos acrescentar como
exemplo o caso de uma instalação alimentada a partir de um trafo de 100 kVA.
Este transformador é utilizado para alimentar uma carga de 80 kW, caso o fator
de potência da instalação seja 0,8; ele vai operar na sua potência nominal. O
mesmo transformador poderia operar numa potência menor que a nominal
(como por exemplo 90 kVA) para alimentar a mesma carga de 80 kW desde
que o fator de potência fosse maior que 0,8.
Como a grande maioria das cargas existentes tem fator de potência indutivo,
isto é, consomem reativo, a correção do fator de potência para níveis aceitáveis
é realizada conectando-se próximo às cargas fontes de reativo como
capacitores.
A conexão do fator de potência de uma instalação pode ser visualizada a partir
do triângulo das potências. Ele é obtido decompondo o fasor corrente em duas
componentes como está mostrado na Figura 63, com módulos Ief cosθ e Ief
senθ.
θ
Ief. cosθ
Ief. senθ
Ief
Figura 63 - Triângulo das correntes
Multiplicando-se todos os lados do triângulo formado pelo módulo do fasor
tensão Vef, obtemos o triângulo das potências, como está apresentado na
Figura 64. Neste triângulo é importante ressaltar que, embora a potência
reativa Q seja positiva, o sentido é contrário à direção convencionada como
positiva para o eixo imaginária no plano complexo.

52
θ
Vef.Ief. cosθ
Vef.Ief. senθ
Vef.Ief
θ
P
Q
N
Figura 64 - Triângulo das potências
QUESTÕES
11.Obtenha a indicação dos amperímetros A1 e A2, além da indicação do
voltímetro V1 no circuito elétrico da Figura 65.
A1
2 3+j2
Z
Z
Z
Z
A2
1+j2
3+j4
V1
4+j2400 V
Figura 65
12.Apresente o diagrama fasorial para as tensões em cada elemento do
circuito da Figura 65 e para a corrente que sai da fonte de 400 V .

53
Figura 66
13.Explique porque a corrente que alimenta um liquidificador é atrasada em
relação a tensão aplicada. O que significa uma corrente atrasada e uma
corrente adiantada em relação a tensão aplicada?
14.O que ocorre quando ligamos uma lâmpada 40W/220V em 110V? E quando
ligamos uma lâmpada de 40W / 110V em 220 V? Explique (Figura 66)
15.Corrente e tensão são grandezas distintas, a tensão está sempre presente
numa tomada porém a corrente só circula quando conectamos alguma
carga. A circulação da corrente é que leva energia ao dispositivo que está
sendo alimentado. Portanto a tensão é a CAUSA e a corrente o EFEITO.
Explique porque no circuito da Figura 67 não circula corrente.
Figura 67
16.Obtenha a corrente do cabo que alimenta as três tomadas da Figura 68,
quando 220 V é medido num multímetro nos terminais da primeira tomada.

54
Figura 68
17.Obtenha o consumo diário de uma impressora HP Deskjet 640C, que
permaneceu ligada durante 4 horas, sendo que 20 minutos efetivamente
imprimindo. Nas 20 horas restantes com apenas o adaptador conectado. Os
dados técnicos estão na Figura 69.
Figura 69
18.Explique como se obtém o triângulo das potências e conceitue fator de
potência de um componente.

55
19.Um transformador de potência trifásico alimenta no seu enrolamento
secundário três consumidores em 380 V que consomem as seguintes
potências: Consumidor 1 - 70 KVA com fator de potência de 0,88 atrasado,
Consumidor 2 – 45 KW e 39 KVAR com fator de potência de natureza
indutivo e o Consumidor 3 – 30 KW com fator de potência de 0,76
atrasado. Obtenha a carga total alimentada pelo transformador.
20.Obtenha a potência aparente de um consumidor que num dado instante
absorve 200 kW e 72 kVAR. Qual fator de potência deste consumidor neste
instante, considere que o fator de potência deste consumidor tem natureza
indutiva?
21.Os dois pontos de tomada de uso geral (TUG) mostrados na Figura 70
alimentam uma torradeira de 1000 W/220V e uma batedeira de impedância
(8+j6) ohms. Considerando que a tensão no momento da utilização é 220 V,
obtenha a corrente no condutor principal de alimentação das duas cargas.
Figura 70
22.Obtenha a corrente que alimenta uma batedeira em 220 V, valor este
medido na tomada onde ela está conectada. Considere que sua impedância
é de (5+j8)Ω.

56
23.Obtenha a corrente que alimenta o aspirador de pó da Figura 71 quando
220 V é medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele
consome 1000 W e 145 VAR.
Figura 71
24.Apresente a equação geral para associar n impedâncias em série e depois
n impedâncias em paralelo.
25.Conceitue:FASOR, DIAGRAMA FASORIAL, REATÂNCIA, CONDUTÂNCIA,
SUCEPTÂNCIA e ADMITÂNCIA.
26.Mostre o diagrama fasorial indicando os fasores tensão e corrente, para
uma fonte de tensão senoidal alimentando uma carga resistiva pura e
também para uma carga indutiva pura.
27.Mostre o diagrama fasorial indicando os fasores tensão e corrente, para
uma fonte de tensão senoidal alimentando uma carga capacitiva pura e
também para uma carga com resistência e indutância (RL).
28.Procure dentro de sua residência o manual de no mínimo um
eletrodoméstico que mostre seu tipo, modelo e seus dados técnicos como
tensão nominal, consumo, potência .... Anexe cópia das páginas que você

57
usou como fonte de referência ou cópia dos dados obtidos a partir do site
do fabricante na internet com o respectivo endereço.
29.Obtenha a corrente que alimenta o sistema de som da Figura 72 quando
consome 350 VA com fator de potência 0,92 indutivo.
Figura 72
30.Obtenha a corrente que alimenta o micro-computador da Figura 73 quando
consome 330 W com fator de potência 0,89 indutivo.
Figura 73
31.Obtenha a corrente que alimenta a geladeira da Figura 74 quando 220 V é
medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele consome
430 VA e 307 W .

58
Figura 74
32.Obtenha a corrente i(t) no circuito da Figura 75 admitindo que a fonte de
tensão v(t) é dada por 20.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 2
ohms e a indutância L é de 4 H. Esboce o diagrama fasorial deste circuito.
R
L
v(t)
Figura 75
tensão v(t) é dada por 20.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 2
ohms e a capacitância C é de 0,25 F. Esboce o diagrama fasorial deste
circuito.
R
C
v(t)
Figura 76
tensão v(t) é dada por 100.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de
10 ohms, indutância L é de 5 H e a capacitância C é de 0,5 F. Esboce o
diagrama fasorial deste circuito.

59
R
L C
vS
(t)
Figura 77
35.Uma rede formada por uma indutância L e uma resistência R conectadas
em série, tem um voltímetro conectado em paralelo com o resistor R. Ao se
excitar essa rede com uma fonte de corrente contínua de 10 V, o voltímetro
apresenta a leitura de 5V. Quando uma fonte de corrente alternada de 60
Hz é aplicada a mesma rede nas mesmas condições, com valor eficaz de
10 V a leitura do voltímetro é de 4V. Qual a indutancia desta rede RL?

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