Tema 8.- PROTECCION DE LOS SISTEMAS DE INFORMACIÓN.pdf
Num reales
1. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
1.1 – Clasificación de los números reales 4º ESO y 1º Bach.
1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS
• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....
• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....
• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b
• Decimales exactos: a,bc
• Decimales periódicos puros: a,bcbcbc.....
• Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....
• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios
• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales
no periódicos Π , 2 , 7 ,...
3
2. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.1 – Clasificación de los números reales 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
3. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa 4º ESO y 1º Bach.
1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
Se efectúa la división:
8
= 2 ⇒ Natural
4
9
= 2,25 ⇒ Decimal exacto
4
4
= 1,3333... ≈ 1,3 ⇒ Decimal periódico puro
3
7 ˆ
= 1,16666... ≈ 1,16 ⇒ Decimal periódico mixto
6
4. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa ESO 4º 1º Bach.
4º y E.S.O.
1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
• Números decimales exactos
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero
N = 2,38
100N = 238 Despejar N
238 119
N= Simplificar la fracción, si es posible N=
100 50
5. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa ESO 4º 1º Bach.
4º y E.S.O.
Números decimales periódicos puros
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el
N = 2,383838... mismo periodo
100N = 238,3838...Restarlos
Despejar N
99N = 236
236 236
N= Simplificar la fracción, si es posible N=
99 99
6. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa ESO 4º 1º Bach.
4º y E.S.O.
Números decimales periódicos mixtos
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro
N = 2,3888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con
10N = 23,888... el mismo periodo.
100N = 238,888... Restarlos
90N = 215 Despejar N
215 215
N= Simplificar la fracción, si es posible N=
90 90
7. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.3 – Números aproximados 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS
SIGNIFICATIVAS
Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con
una cantidad adecuada de cifras significativas.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número
aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.
Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras
significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos
es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra
significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.
8. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.3 – Números aproximados 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO
Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.
El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición
Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|
El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real
Error absoluto
Error relativo =
Valor Real
Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los
errores con menor o igual número de cifras significativas.
9. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.4 – Notación científica 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.4.1 – DEFINICIÓN
Un número puesto en notación científica consta de:
• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las
unidades).
• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.
• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número .
N = a , bcd......x10 n
Si n es positivo, el número N es “grande”.
Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
10. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.4 – Notación científica 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para
poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).
• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las
potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
10 a.10 b = 10a + b 10 : 10 = 10
a b a −b
• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10,
teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
(10 )
a b
= 10 a .b
11. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.4 – Notación científica 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA
- Notación científica con 3 cifras significativas:
MODE + 8 + 3
- Quitar la notación científica
MODE + 9
Parte entera
Parte decimal
Exponente de
base 10
12. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.4 – Notación científica 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD
Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños),
existen algunos prefijos:
Giga 10 9
Nano 10 −9
Mega 10 6 Micro 10 −6
Kilo 10 3
Mili 10 −3
Hecto 10 2 Centi 10 −2
Deca 10 1 Deci 10 −1
13. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.5 – Números no racionales 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se
pueden poner como cociente de dos números enteros:
2 es irracional
p es irracional, si p no es un cuadrado perfecto
n p es irracional, si p no es una potencia n - ésima
π es irracional
Los números decimales no periódicos son irracionales
En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos
números irracionales.
14. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.6 – Los números reales 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.6.1 - DEFINICIÓN
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le
llama conjunto de números reales y se designa por R
1.6.2 – LA RECTA REAL
Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número
irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.
15. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.7 – Representación de números sobre la recta real ESO 4º 1º Bach.
4º y E.S.O.
1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
2,6 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,7
16. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.7 – Representación de números sobre la recta real ESO 4º 1º Bach.
4º y E.S.O.
1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS
Se divide cada unidad en tantas
partes como tenga el
denominador y se toman tantas
como tenga el numerador.
1 u.
1 u.
1 u.
1 u.
1 u.
O 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5
U
17. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.7 – Representación de números sobre la recta real ESO 4º 1º Bach.
4º y E.S.O.
1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS
Se utiliza el teorema de
Pitágoras, donde la hipotenusa
es lo que queremos dibujar.
( 2) 2
= 12 + 12 2
2
18. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.7 – Representación de números sobre la recta real ESO 4º 1º Bach.
4º y E.S.O.
1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
2,6 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,7
19. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.8 – Intervalos y semirrectas 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS
• Intervalo abierto: (a, b) = {x∈R / a < x < b}
a b
Números comprendidos entre a y b
• Intervalo cerrado: [a, b] = {x∈R / a ≤ x ≤ b}
a b
Números comprendidos entre a y b, incluidos a y
b
20. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.8 – Intervalos y semirrectas 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS
• [a, b) = {x∈R / a ≤ x < b}
a b
Números comprendidos entre a y b, incluido a
• (a, b] = {x∈R / a < x ≤ b}
a b
Números comprendidos entre a y b, incluido b
21. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.8 – Intervalos y semirrectas 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.8.3 – SEMIRRECTAS
• (∞, a) = {x∈R / x < a} Números menores que a
a
• (∞, a] = {x∈R / x ≤ a} Números menores o iguales que a
a
• (a, ∞) = {x∈R / a < x} Números mayores que a
a
• [a, ∞) = {x∈R / a ≤ x} Números mayores o iguales que a
a
22. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
1.8 – Entornos 1º Bach. CN
1.8.4 – Entornos
• E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r)
a-r a+r
• E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a}
a-r a a+r
• E − (a , r ): Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a)
a-r a
• E + (a , r ) : Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r)
a a+r
23. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.9 – Valor absoluto de un número real 1º 4º E.S.O.
Bach.
1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio
número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.
a si a ≥ 0
a =
- a si a < 0
1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se
iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
x − a = b x = a + b
| x − a |= b ⇒ ⇒ ⇒ x ∈ { a − b, a + b}
x − a = −b x = a − b
x − a = b x = a + b
| x − a |< b ⇒ ⇒ ⇒ x ∈ ( a − b, a + b )
x − a = − b x = a − b
x − a = b x = a + b
| x − a |≥ b ⇒ ⇒ ⇒ x ∈ (−∞, a − b] [a + b,+∞)
x − a = −b x = a − b
24. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.10 – Potencias 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS
a =1
0
a .b = (a.b)
n n n
a : b = ( a : b)
n
a =a
1 n n
a .a = a
m n m+n
1 1
a =
−1
a −n
= n
a a
a :a = a
m n m−n
−n n
a b bn
(a )
m n
=a m.n
b
= = n
a a
25. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.11 – Raíces 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.11.1 – DEFINICIÓN
n Índice
b= a ⇔b = a
n
radical radicando
1.11.2 – PECULIARIDADES
Si a ≥ 0 ⇒ n a existe cualquiera que sea n.
Si a < 0 ⇒ n a sólo existe si n es impar.
1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES
1 m
n
a =a n n
a =a m n
26. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
Matemáticas
1.11 – Raíces 4º ESO 4º 1º Bach.
y E.S.O.
1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA
Raíces cuadradas :" "
180 ⇒ " " "180" " =" ⇒ 13,41640786
Potencias : " x y "
264 ⇒ "2" " x y " "64" " =" ⇒ 1,84467440719 ⇒ 1,844674407.1019
Raíces con la tecla : " x y "
2
5
483 ⇒ 483 ⇒ "483" " (" "2" ":" "5" " )" " =" ⇒ 11,84619432
2 5
Tecla " x y " o " x "
1 1
5
350 = 350 ⇒ "350" " x ""5"" =" ⇒ 3,227108809
5 y
27. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces 4º ESO y 1º Bach.
1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
a = n a (Se puede simplificar)
np p
n
a .n b = n ab
n
a n a
=
n
b b
( a)n
p
= n ap
m n
a = m.n a
28. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces 4º ESO y 1º Bach.
1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES
Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales
iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)
Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo
índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común)
Racionalizar : Quitar las raíces del denominador
• Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para
que se vaya la raíz del denominador.
• Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.
29. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
1.13 – Logaritmos 1º Bach.
1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P,
al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
log a P = x ⇔ a x = P
1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
log a a = 1 log a (P n ) = n. log a P
log a 1 = 0 log b P
log a P =
log a (P.Q) = log a P + log a Q log b a
log a (P / Q) = log a P − log a Q
30. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas
1.13 – Logaritmos 1º Bach.
1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS
Logaritmo decimal o en base 10 :
log10 P = log P
Logaritmo neperiano o en base e :
log e P = ln P