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01 lois-à-densité

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les probabilités , la loi continue

Veröffentlicht in: Wirtschaft & Finanzen
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01 lois-à-densité

  1. 1. Probabilités 2 : Lois à densité ou Lois de probabilités continues « I » : Grandes binomiales 1/ Evolution d'une loi binomiale en fonction du nombre d'essais n X est la loi binomiale B (0,4 ; n). Ci-dessous, l'histogramme des probabilités pour n Î {5;10;15;20;25;60} n = 5 n = 10 n = 15 n = 20 n = 25 n = 60 2/ Du calcul de probabilité à un calcul d'intégrale ►Dans les cas où n est assez grand par exemple n = 60, on peut approximer l' histogramme par la fonction f représentée en rouge. ► La probabilité p(20 ≤ X ≤ 30) représentée en bleu interprétée 30 comme une aire peut être approximée par l’intégrale ∫ f (x)d x 20 ►C'est ce principe que l'on va généraliser. On va ainsi être amené à calculer des intégrales pour déterminer des probabilités. ► On reviendra sur les lois binomiales plus tard pour les lois normales. 3/ Historique La célèbre courbe en cloche a été définie au début du XIXième siècle par la mathématicien allemand Karl Friedrich Gauss (1777-1855) lorsqu'il étudia la distribution des erreurs d'observation de l'astéroïde Cérès. A la même époque elle fut aussi décrite par la scientifique français Laplace (1812) qui repris et compléta les travaux du mathématicien Abraham de Moivre (1167-1754) en calculs de probabilité. La loi associée à la courbe en cloche est appelée loi normale ou loi Laplace-Gauss. On qualifie la loi de normale car elle modélise des situations normales ou naturelles. Par exemple sur une population de 1000 personnes dont la taille moyenne est 1m 70, a un histogramme des tailles proche de la courbe en cloche de Gauss. 1 Lycée de Font Romeu SC
  2. 2. « I I » : Introduction, v ariables aléatoires discrètes ou continues 1/ Remarque : ► Si on choisit au hasard un nombre entier entre 3 et 6 compris, Ω = {3 ; 4 ; 5 ; 6}, on obtient un univers fini composé de 4 entiers. On dit que l'univers est un univers discret et fini ►Si on choisit au hasard un nombre entier, Ω = N, on obtient un univers infini dont les éléments sont des valeurs isolés. On dit que l'univers est un univers discret et infini ► Si on choisit au hasard un nombre réel entre 3 et 6 compris, Ω = [3 ; 6], on obtient un univers infini dont les valeurs ne sont pas isolées mais continues. On dit que l'univers est un univers continu. 2/ Définitions Une variable aléatoire discrète est une variable aléatoire dont les valeurs sont isolées, ou discrète. Exemples : 1) Lancer un dé parfaitement équilibré et définir la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si c'est un nombre pair, la valeur 2 si c'est 3 et 0 si on obtient 1 ou 5. X( Ω) = {0 ; 1 ; 2} 2) Lancer une pièce de monnaie équilibré et définir la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si c'est F et la valeur 0 si c'est P. X( Ω) = {0 ; 1} Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire qui prend toutes les valeurs d'un intervalle. Exemples : 1) Appeler un opérateur mobile, attendre moins de 5 minutes et noter le temps d'attente en minutes, X( Ω) = [0; 5] 2) Théoriquement un composant électronique peut durer indéfiniment. On note sa durée de vie. X( Ω) = [0 ; +∞[. 3/ Vers la densité de probabilité ► Dans la suite on va étudier des lois de probabilités de variables aléatoires continues telles que X( Ω) = I Avec I = [a ; b] avec a < b ou I = [a ; + ∞ [ ou I = R ► Il est clair que pour tout réel k qui n' appartient pas à I, p(k) = 0. L'événement {k} est impossible et la probabilité de l’événement « choisir un nombre voisin de k » reste nulle De même, il paraît évident que pour tout réel k de I, p(k) = 0 car il y a une infinité de nombres dans I. Mais l'événement {k} n'est pas impossible, et la probabilité de l'événement « choisir un nombre voisin de k » n'est plus nulle puisque qu'une infinité de nombre conviennent. ► On ne s’intéresse donc pas à la probabilité d'un nombre mais à la probabilité d'un minuscule intervalle contenant ce nombre, cette probabilité f(k) est alors appelée densité de probabilité de ce nombre k . On distingue les deux cas précédents en disant que : Si k Ï I alors k est affectée d'une densité de probabilité nulle Si k Î I alors est affectée d'une densité de probabilité f(k) non nulle. c ► Si ∫on veut calculer la probabilité d'un intervalle [c ; d] de I, on doit calculer la somme infinie de toutes les densité de probabilité des nombres x de l'intervalle [c ; d] d On va donc utiliser un intégrale, et calculer p ([c ; d ])=f ( x)d x , ► p([c ; d]) = p(X Î [c ; d]) est l'aire sous la courbe sur l'intervalle [c ; d] de la fonction densité de probabilité f. p([c ; d]) est l'aire coloriée en rose 2 Lycée de Font Romeu SC
  3. 3. « II I »: Densité de probabilité f sur un intervalle I avec I = [a ; b] ou I = [a ; + ∞ [ ou I = R 1/ Définition On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de R toute fonction f continue et positive sur I pour laquelle l'aire sous la courbe sur l'intervalle I vaut 1 ua 2/ Conséquences b f (x )dx=1 Si I = [a ; b] avec a < b ∫a Si I = [a ; + ∞ [ lim t f (x )dx=1 qui peut se noter ∫a t→+∞∫a +∞ f ( x)dx=1 Si I = R lim 0 f ( x)dx+ lim t→−∞∫t t f (x )dx=1 qui peut se noter ∫−∞ t→+∞∫0 +∞ f (x )dx=1 Exercice 0 1 1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 1 est une densité de probabilité sur [0 ; 1] 2/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 12 est une densité de probabilité sur [1; 3] 3/Montrer que la fonction f définie par f(x) = 0,2 e -0,2 x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[ 4/ 1/ Déterminer le réel k pour que la fonction f définie sur [0;1] par : f ( x ) = k 1+x soit une densité de probabilité sur [1 ; 2] 1/ f est continue et positive sur [0 ; 1] 1 1dx=[ x ]10 ∫0 =1 2/ f est continue et positive sur [1 ; 3] 3 12 ∫1 dx=[ x 2 ]31 =32 −12 =1 3/ f est continue et positive sur [0 ; + ∞[ lim t f (x )dx=lim t→+∞∫a t 0,2 e−0,2 x dx=lim t→+∞∫a t→+∞ [−e−0,2x ] y 0 =lim t→+∞ (−e−0,2 t+1)=0+1=1 2 k 1+ x 4/ 1/ f est continue et positive sur [0;1] si k > 0 et on doit avoir ∫1 dx=1 2 k 1+ x Or ∫1 dx=[k ln(1+ x)]21 =kln3−kln2=kln32 Donc k ln32 =1 et k= 1 ln32 qui est bien positif « I V »: Loi de probabilité de densité f sur l'intervalle I 1/ Définition X est la variable aléatoire qui donne les valeurs de I On appelle loi de probabilité sur I de densité f la probabilité définie de la manière suivante: Pour tout intervalle J de I, p(J) est l'aire sous la courbe de la fonction f sur l' intervalle J. Ainsi : pour tout intervalle [c ; d] de I, p ([c ; d] = p(X Î [c ; d]) = p (c ≤ X ≤ d) = ò d c f (x)dx 3 Lycée de Font Romeu SC
  4. 4. 2/ Illustrations Si I = [a ; b] p([c ; d]) est l'aire sous la courbe coloriée Si I = [a ; + ∞ [ p([c ; d]) est l'aire sous la courbe en vert foncé D'après la définition de la densité de probabilité, Si I = [a ; b] P([a ; b]) = 1 , c'est l' aire du domaine teinté. Si I = [a ; + ∞ [ p([a ; + ∞ [ ) = 1 , c'est l' aire du domaine teinté. Si I = [a ; + ∞ [ alors pour tout c ≥ a : p( [c ; + ∞ [ ) = p(X Î [c ; + ∞ [) = p( X ≥ c ) = lim t f (x )dx t→+∞∫c Remarque : p( [c ; + ∞ [ ) = 1 – p([a ; c] p([c ; + ∞ [) est l'aire coloriée en vert foncé Si I = R L'aire totale sous la courbe est 1. p(]-∞ ; c[) est colorié en vert p ([c ; d]) est colorié en gris p([d ; + ∞ [) est en blanc. t→−∞∫t Si I = R alors pour c réel, p( ]-∞ ; c] ) = p(X Î ]-∞ ; c] ) = p( X ≤ c ) = lim c f ( x)dx t→+∞∫c pour d réel, p( [d ; + ∞ [ ) = p(X Î [d ; + ∞ [) = p( X ≥ d ) = lim t f (x )dx L'interprétation d'un probabilité comme une aire induit des propriétés évidentes. ( p(X > d) = 1 – p(x < d) ) 4 Lycée de Font Romeu SC
  5. 5. 0 Exercice 0 2 12 ∫1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = x est une densité de probabilité sur [0 ; √2 ] 2/Déterminer alors p([0,5 : 1]) √2 1/ est continue et positive sur [0 ; 2 ]. De plus x dx = [ x2]√2 = 1 0 2/ p ([0,5 ; 1]= ò1 x.dx = [ 12 0,5 =12 x2] √1 0,5 −1 2 14 =12 −18 =38 =0,375 Exercice 0 3 1/ Déterminer le réel k pour que la fonction f définie sur [0;1] par : f ( x ) = kx 1+x2 soit une densité de probabilité sur [0 ; 1] 2/ Déterminer alors p([0,5 : 1]) 1/ f est continue et positive sur [0;1]. On doit avoir ∫0 1 kx 1+ x2 dx=1 1 kx 1+ x2 dx=[ k Or ∫0 2 ln(1+ x2)]10 =k 2 ln(2)−k 2 ln(1)= k 2 ln(2) Donc k 2 ln2=1 et k= 2 ln2 2/ f (x)= 1 kx 1+ x2 dx=[ k kx 1+ x2 et p([0,5 : 1]) = ∫ 0,5 2 ln (1+ x 2)] 1 = k 2 0,5 ln(2)− k 2 ln( 54 )=k 2 ln (85 ) Mais k= 2 ln2 donc p([0,5 : 1]) = 1 ln2 ln( 85 )=ln8−ln5 ln2 ≈0,678 Exercice 0 4 Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire continue X, en tonnes, qui prend 0 ∫ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une densité de probabilité f définie par : f (x) = 0,015x – 0,00075 x2 1/ Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20]. 2/ Calculer la probabilité de l'événement E "La production quotidienne est supérieure ou égale à 12 tonnes". 20 3/ Par définition, l'espérance de X vaut xf (x )dx . Calculer l'espérance mathématique de X. 1/ f est une fonction trinôme du second degré avec a < 0 sa concavité est tournée vers le bas de plus, f(0) = 0 et f(20) = 0 donc sur [0 ; 20] f(x) ≥ 0 . Elle est continue comme toute fonction polynôme. 20 f (x )dx=∫0 ∫0 20 (0,015 x−0,00075 x2)dx=[0,0075 x2−0,00025 x3]20 0 =1 La fonction f est donc une densité de probabilité sur [0 ; 20] 2/ On cherche p(X > 12) = p(12 < X < 20) = ∫ 20 0,015 x−0,00075 x2 dx=[0,0075 x2−0,00025 x3 ]20 12 12 = (0,0075× 20 2 – 0,00025× 20 3) - (0,0075× 12 2 – 0,00025× 12 3) = 0,352 20 xf (x )dx=∫0 3/ E(X) = ∫0 20 (0,015 x2−0,00075 x3)dx=[0,005 x3−0,0001875 x4]20 0 =10 5 Lycée de Font Romeu SC
  6. 6. Exercice 0 5 1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 3e−3 x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[ 2/ Calculer alors p ([1 ; 2]) 3/ Calculer alors p ([3 ; + ∞[) 1/ f est continue et positive su[0 ; + ∞[. t De plus lim 3 e−3x dx = lim t →+∞∫0 t →+∞ [−e−3x ]t0 = lim t →+∞ (−e−3t+ 1) = 1 2 3 e−3x dx=[−e−3x ]21 2/ p ([1 ; 2]) = ∫1 = - e -6 + e -3 = 1 e3− 1 e6=0,047 3/ p ([3 ; + ∞[) = lim t 3 e−3x dx = lim t →+∞∫3 t →+∞ [−e−3x ]t3 = lim t →+∞ (−e−3t+ e−9) = e - 9 Exercice 0 6 1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 1 10 e −1 10 x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[ 2/ a) p est la loi de probabilité sur [0 ; + ∞[ de densité f. Déterminer p([ 1 ; 5]) et p ( 0 ≤ X ≤ 1 ). Donner la valeur exacte puis la valeur approchée à 10 -3 près 3/ On note en minutes la durée X d'une conversation téléphonique. On suppose que X suit la loi de probabilité sur [0 ; + ∞[ de densité f ( x ) = 1 10 e −1 10 x . Quelle est la probabilité que la conversation dure : a) Plus de 10 minutes ? Donner la valeur exacte puis approchée à 10 3 près b) Entre 10 et 20 minutes ? Donner la valeur exacte puis approchée à 10 3 près 1/ f est continue et positive su[0 ; + ∞[. De plus lim t 1 10 t →+∞∫0 e −1 10 x dx = lim t →+∞ [−e −1 10 x ]t0 = lim t →+∞ (−e −1 10 x + 1) = 1 5 1 10 2/ a) p([ 1 ; 5]) = ∫1 e −1 10 x dx = [−e −1 10 x ]51 =−e −1 2 + e −1 10≈0,298 1 1 10 p ( 0 ≤ X ≤ 1 )= ∫0 e −1 10 x dx = [−e −1 10 x ]10 =−e −1 10 + 1≈0,095 10 1 10 3/ a) p ( X > 10 ) = 1 – p([0 ; 10]) = 1 - ∫0 e −1 10 xdx = 1 - [−e −1 10 x ]10 0 = 1−−e−11=e−1 ≈ 0,368 1 1 = e- 1 - e- 2 ≈ 0,233 b) p(10 < X < 20) = ò 20 e - t 10 dx 10 10 6 Lycée de Font Romeu SC

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