Este documento describe el método algebraico para resolver problemas de programación lineal. Introduce variables de holgura para transformar las desigualdades en igualdades y obtener un sistema de ecuaciones lineales. A través de sustituciones sucesivas, se despejan las variables hasta obtener una función objetivo en términos de las variables de decisión, cuya maximización determina la solución óptima. Se ilustra el método con un ejemplo de maximización de beneficios sujeto a restricciones de recursos.

1. PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO ALGEBRAICO

2. Método algebraico Permite la solución de un problema de programación lineal cuando es necesario resolver casos de “n” variables y se trabaja con espacios n-dimensionales. Los espacios vectoriales no tienen limite en cuanto al número de variables. Para efectos de representación del problema, se parte de los siguientes supuestos: El número de incógnitas es n El número de restricciones es m

3. Método algebraico Por lo anterior, la función objetivo se representa de la siguiente forma: Z=C1X1+C2X2+…+CnXn Donde: C1, C2…, Cn son los coeficientes de las incógnitas y por lo tanto datos conocidos. Como se tienen m desigualdades es necesario agregar (m) variables de holgura, las cuales deben agregarse a la función objetivo.

4. Método algebraico: Grupo I Planteamiento del problema 1) Max U= 120 x1 + 100 x2 x1; producir M1 x2; producir M2 2) T; 2x1 + 1x2 ≤90 3) R; 1x1 + 2x2 ≤ 80 4) C; 1x1 + 1x2 ≤ 50 Restricciones de no negatividad x1≥0 x2 ≥0

5. Método algebraico: Grupo II Es necesario transformar las inecuaciones en igualdades. Tomando la inecuación del primer componente se le añade una variable de holgura cuyo valor se desconoce. Las variables de holgura pueden interpretarse como el saldo de inventario del componente, su coeficiente de transformación es 1 y cero en la función objetivo. Este paso debe hacerse en todas las inecuaciones.

6. Método algebraico: Grupo II Añadir variables de holgura: 12) T; 2x1 + 1x2 + x3 =90 13) R; 1x1 + 2x2 + x4 = 80 14) C; 1x1 + 1x2 + x5 = 50 11) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5

7. Método algebraico: Grupo III Se debe despejar de cada una de las ecuaciones las variables de holgura y el sistema adquiere la siguiente forma: 22) x3 =90 - 2x1 - 1x2 23) x4 = 80 - 1x1 - 2x2 24) x5 = 50 - 1x1 - 1x2 21) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 En donde: X1=0 x3=90 X2=0 x4=80 x5=50

8. Método algebraico: Grupo III Observando la función objetivo se verifica cual es el producto que nos da el mayor beneficio y se hará la evaluación del mismo. Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 El valor que se escogerá es el menor, en virtud de que se trabaja con recursos escas0s dentro de la empresa.

9. Método algebraico: Grupo IV Evaluar a x1 de 22) para obtener la función de producción de M1 y debe dar la producción 32) 22) x3 =90 - 2x1 - 1x2 2x1 =90 - 1x2 - x3 x1 = 90/2 - 1/2 x2 – 1/2x3 32) x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3

10. Método algebraico: Grupo IV Sustituir la función de producción 32) en 23) para obtener 33) 23) x4 = 80 - 1x1 - 2x2 x4 = 80 – 1(45 - 1/2 x2 – 1/2x3) - 2x2 x4 = 80 – 45 + 1/2 x2 + 1/2x3 - 2x2 33) x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3

11. Método algebraico: Grupo IV Sustituir 32) en 24) para obtener 34) 24) x5 = 50 - 1x1 - 1x2 x5 = 50 – 1(45 - 1/2 x2 – 1/2x3) - 1x2 x5 = 50 – 45 + 1/2 x2 + 1/2x3 - 1x2 34) x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3

12. Método algebraico: Grupo IV Sustituir 32) en 21) para obtener 31) 21) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 U= 120 (45 - 1/2 x2 – 1/2x3) + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 U= 5400 - 60 x2 – 60x3+ 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 31) U= 5400 + 40 x2 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5 Interpretación numérica Max U= 5400 por la producción de x1 x1 = 45 x2= 0 x3= 0 x4= 35 x5= 5

13. Método algebraico: Grupo IV Evaluar a x2 de: 32) x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3 1/2 x2 =45 x2 =45(2)/1 x2 =90/1 =90 33) x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3 3/2 x2 = 35 x2 = 35 (2)/3 x2 = 70/3 = 23.33 34) x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3 1/2 x2 = 5 x2 = 5 (2)/1 x2 = 10/1 = 10

14. Método algebraico: Grupo V Despejar a x2 de 34) para obtener 44) 34) x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3 1/2 x2 = 5 +1/2x3 - x5 x2 = (5 +1/2x3 - x5 ) 1/2 44) x2 = 10 +x3 - 2x5

15. Método algebraico: Grupo V Sustituir x2=44) en 32) para obtener 42) 32) x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3 x1 = 45 - 1/2 (10 +x3 - 2x5 )– 1/2x3 x1 = 45 - 5 -1/2x3 +1x5 – 1/2x3 42) x1 = 40 -x3 +1x5

16. Método algebraico: Grupo V Sustituir x2=44) en 33 para obtener 43) 33) x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3 x4 = 35 - 3/2 (10 +x3 - 2x5 )+ 1/2x3 x4 = 35 - 15 -3/2x3 + 3x5 + 1/2x3 43) x4 = 20 -1x3 + 3x5

17. Método algebraico: Grupo V Sustituir x2=44 en 31) para obtener 41) 31) U= 5400 + 40 x2 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5 U= 5400 + 40 (10 +x3 - 2x5 )– 60x3+ 0 x4 + 0 x5 U= 5400 + 400 + 40x3 - 80x5 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5 U= 5800 – 20x3+ 0 x4 + 0 x5 Interpretación numérica Max U= 5800 por la producción de x1 x1 = 40 x2= 10 x3= 0 x4= 20 x5= 0 Solución óptima