1. Лекция 9
Странные аттракторы.
Аттрактор Лоренца
Малышев А.И.
Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского

2. Как уже известно, хаос в гамильтоновских системах приводит к
беспорядочному и почти однородному заполнению конечных
областей на сечениях Пуанкаре отображающими точками (см.,
примеры в Лекциях 5 и 8).
Для диссипативных систем, перешедших в хаотический режим,
характерно возникновение в их фазовом пространстве странных
аттракторов.
Слово «аттрактор» (от английского “to attract” – притягивать) означает
центр притяжения – «притягиватель».
Обыкновенные аттракторы – асимптотически устойчивые положения
равновесия на плоскости (фокусы, узлы), устойчивые предельные
циклы.
В чем странность странных аттракторов?
2

3. Рассмотрим модель, предложенную метеорологом Э.Лоренцем в
1963 г. для описания конвекции воздушных потоков в атмосфере:
 x   y  x 


 y  rx  y  xz

z  bz  xy

Здесь σ, r и b – некоторые положительные параметры.
Количество положений равновесия зависит от величины параметра r:
 при r < 1 существует одно положение равновесия x1 = y1 = z1 = 0
 при r > 1 появляются еще два положения равновесия с
координатами:
x2,3  y 2,3   br  1, z2,3  r  1.
Выясним теперь их устойчивость.
3

4. Линеаризация вблизи первого положения равновесия (0, 0, 0)
приводит к характеристическим показателям
   1    12  4 r  1 .
1  b, 2,3 
2
При 0 < r < 1 все три значения λ чисто
действительные и отрицательные.
Положение равновесия – устойчивый
трехмерный узел.
При r > 1 это положение равновесия
теряет устойчивость.
На рисунке – эволюция для начальных
условий (10, 15, 30) и (–10, –15, 35) при
σ = 10, b = 8/3 и r = 0.5.
4

5. Линеаризуем систему вблизи положения равновесия
x2  y 2  br  1, z2  r  1,
~ ~ ~
введя новые переменные x  x2  x, y  y 2  y , z  z2  z .
В линейном приближении получим
 x   y  x 

~ ~ ~
~ ~ ~
 y  x  y  br  1 z
 ~
z  bz  b r  1x  y 

~ ~ ~ ~

откуда уравнение на характеристические показатели:
3    b  1 2  b  r    2br  1  0.
Решение уравнения в общем случае затруднительно, но нас
интересует даже не само решение…
5

6. Для определения знаков действительных частей корней уравнения
воспользуемся матрицей Гурвица:
   b 1 1 0 
 
 2br  1 b  r    b 1 
 2br  1
 0 0 
Ее диагональные миноры:
1    b  1  0,  2  br b  1      b    3,
 3   2  2br  1.
Очевидно, что если Δ2 > 0, то и Δ3 > 0.
Для устойчивости положения равновесия необходимо, чтобы было
Δ2 > 0, откуда получаем
 b    3
r .
  b  1
6

7. Общий итог анализа:
 b    3
Здесь rкр.1  1 , rкр.2  .
  b  1
8
Параметры Лоренца: b  ,   10, откуда rкр. 2 ≈ 24.74
3
Каково поведение системы при r > rкр. 2?
7

8. Пример эволюции системы для
начальных условий в точках
(10, 15, 30) и (–10, –15, 35)
при σ = 10, b = 8/3 и r = 20 < rкр. 2.
С течением времени система
приходит к одному из устойчивых
положений равновесия.
8

9. Пример эволюции системы для
начальных условий в точках
(10, 15, 30) и (–10, –15, 35)
при σ = 10, b = 8/3 и r = 28 > rкр. 2.
Режим странного аттрактора:
 область положений
равновесия «притягивает»
траектории;
 траектории не стремятся
асимптотически к этим точкам, а
вращаются вокруг них,
перескакивая с одной спирали
на другую.
9

10. Время, проведенное вблизи того
или другого положения
равновесия является
совершенно случайным.
↓
Система демонстрирует
большую чувствительность к
начальным условиям.
↓
«Эффект бабочки»
10

11. Задания по теме
1. Построить с помощью компьютера аттрактор Лоренца. Задать
разные значения параметра r и разные начальные условия.
Исследовать поведение траекторий.
Каково поведение системы в случае, если rкр. 2 < 1?
2. Прочитать рассказ Р. Брэдбери «И грянул гром»
11