La transformada de Laplace convierte una función dependiente del tiempo en una función dependiente de la variable compleja s mediante una integral. Esta transformación permite resolver ecuaciones diferenciales lineales al convertirlas en ecuaciones algebraicas más simples. La transformada de Laplace es una herramienta importante para resolver circuitos RLC y ecuaciones diferenciales que modelan diversos sistemas físicos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I.U.P. Santiago Mariño
Matemática IV
Realizado por:
Aguilar Mairym
C.I.: 19.177.723
Maracaibo, Diciembre de 2013

2. La transformada de Laplace es una transformación integral de una función f(t) del
dominio temporal al dominio de la frecuencia complejo, lo que da por resultado F(s).
Recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la
presentó dentro de su teoría de la probabilidad en 1779.

3. La definición matemática de la transformada de Laplace es:
Sea una función f(t) dependiente del tiempo, la transformada de Laplace la convierte
en una función F(x) dependiente de la variable compleja s = σ + j ω de la siguiente
forma.
(ec.1)
Siendo:
• f(t): es la función que se desea transformar y que está expresada en el dominio del
tiempo t, tal que f(t) = 0 para t<0.
• s: variable compleja sobre la que opera la función transformada dada por s = σ + j ω .
• L: símbolo operativo de la transformada de Laplace.
• F(s): es la transformada de Laplace de f(t).
La transformada de Laplace en algunas ocasiones se la denomina transformada
unilateral de Laplace, pues la integración se evalúa desde 0 hasta ά. Esto significa
que toda la información contenida en f(t) anterior a t(0) se ignora o se considera
igual a cero. Esto no supone ningún problema para los sistemas lineales, puesto
que cuando se aplica una entrada a un sistema físico cuando t = 0, la respuesta no
empieza antes de t = 0, ya que la respuesta no puede ser anterior a la señal de
entrada.

4. Las propiedades de la Transformada de Laplace ayudan a obtener pares
de transformadas sin utilizar directamente la ecuación principal (ec. 1).
A medida que se deduzcan cada una de estas propiedades, se debe tener
presente la definición de la transformada de Laplace de la ecuación
principal (ec. 1)
Las propiedades son:
-Linealidad.
-Escalamiento.
-Desplazamiento en el Tiempo.
-Desplazamiento de Frecuencia.
-Diferenciación en el Tiempo.
-Integración en el Tiempo.
-Diferenciación en Frecuencia.
-Periodicidad en el Tiempo.
-Valor Inicial
- Valor Final
- Consolación
A continuación, se
explicaran algunas de las
Propiedades mas usadas

5. Si F1 (s) y F2 (s) son, respectivamente, la Transformada de Laplace de f1 (t) y F2 (t),
entonces,
(ec. 2)
Donde:
a1 y a2 son constantes.
Esta ecuación (ec. 2) expresa la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace
y se deduce de inmediato de la definición de la transformada de Laplace de la ecuación
principal (ec. 1).
Por ejemplo: Obtenga la transformada de Laplace de:
Por la propiedad de Linealidad tenemos:

6. La propiedad de escalamiento se da con la siguiente ecuación,
(ec.3)
Donde a es una constante y a> 0.
Por ejemplo: Obtenga la Transformada de Laplace de:
Aplicando la propiedad de escalamiento tenemos que,

7. La propiedad de desplazamiento en el tiempo se da con la ecuación
(ec.4)
Si una función se retarda en el tiempo por a , el resultado en el dominio s es la
multiplicación de la transformada de Laplace de la función (sin el retraso) por
Esto se llama retraso en el tiempo o propiedad de desplazamiento en el tiempo de
la Transformada de Laplace.
Ejemplo: Obtenga la Transformada de Laplace de:
Utilizando la propiedad de desplazamiento en el tiempo (ec.4.), tenemos que

8. La propiedad de desplazamiento de Frecuencia se da con la ecuación
(ec.5)
La transformada de Laplace de
puede obtenerse de la transformada de f(t), si
se reemplaza cada s por s+ a . Esto se conoce como desplazamiento de frecuencia o
traslación de frecuencia.
Por ejemplo: Obtenga la Transformada de Laplace de:
y
Si se utiliza la propiedad de desplazamiento (ec. 5), se obtiene la transformada de
Laplace de las funciones seno amortiguado y del coseno amortiguado, como

9. La propiedad de diferenciación en Frecuencia se da con la ecuación
(ec.6)
Ejemplo: Obtenga la Transformada de Laplace de:
Utilizando la propiedad de Diferenciación en Frecuencia (ec.6), se obtiene

11. La Transformada de Laplace es importante por varias Razones:
1
• Puede aplicarse a una variedad amplia de entradas que el análisis de
frecuencia.
2
• Permite resolver ecuaciones diferenciales y lineales mediante la
transformación en ecuaciones algebraicas, con lo cual se facilita su estudio.
3
• Es capaz de proporcionar, en una sola operación, la respuesta total del
circuito que comprende las respuestas naturales y forzadas
4
• Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y
derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las
ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más
fáciles de resolver.

12. Es una herramienta muy poderosa para la resolución de circuitos RCL. La
ecuación diferencial que esta en el dominio del tiempo mediante la
Transformada de Laplace pasan al dominio en campo s, dominio de Laplace.
Una vez resuelto, efectuando las respectivas operaciones algebraicas, se
aplica la Transformada Inversa de Laplace para obtener la respuesta en el
domino del tiempo.
Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito eléctrico con
resistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones diferenciales
con coeficientes constantes y valores iniciales.
La transformada de Laplace también se aplica para resolver ecuaciones
diferenciales que modelan el movimiento en sistemas masa-resorte, carga o
corriente en un circuito eléctrico y la deflexión de una viga.