Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
2018 | Φάση 2 | ιαγωνίσµατα Επανάληψης
Συνεργαζόµενοι Εκπαιδευτικοί–Φροντιστές
ΑΛΓΕΒΡΑ
Α' Γενικού Λυκείου
Σάββατο 21 Απριλίου 2018 | ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες
ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A
Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε
το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι τιμές που επιτρέπεται να πάρει η μεταβλητή x.
Α1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:
i. 2
3( )f x x= −
ii.
5
3 6
( )g x
x
=
−
iii. 4 8( )h x x= −
iv.
7 21
1
( )
x
p x
x
+
=
−
Μονάδες 12
A2. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία έχει κλίση α = –1 και τέμνει τον
άξονα y’y στο σημείο Β(0, 6).
Μονάδες 3
β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α όταν ισχύει x < 6:
2
36 12
6
x x
A
x
− +
=
−
Μονάδες 6
γ) Ποια η σχετική θέση της ευθείας που βρήκατε στο (α) ερώτημα και κάθε
ευθείας που έχει ως συντελεστή διεύθυνσης (δηλαδή κλίση) τον αριθμό που
προέκυψε από την απλοποίηση της παράστασης Α;
Μονάδες 4

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
ΘΕΜΑ B
Β1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή (Λ), αν
είναι λανθασμένες:
i. Ισχύει ότι α3 – β3 = α3 – 3α2β + 3αβ2 – β3.
ii. Η ισοδυναμία α > β ⇔ αν > βν ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό α και β
και ακέραιο ν.
iii. Ισχύει ότι ήx α x α x α= ⇔ = = − .
iv. Ισχύει ότι
2 2
α α=
v. Ισχύει ότι α2 + β2 = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0.
Μονάδες 10
Β2. α) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του x, αν ισχύει 1 < x < 3
(δηλαδή να «διώξετε» τα απόλυτα και στο αποτέλεσμα να μην υπάρχει το x).
3 1 4 2Α x x x= − + − −
Μονάδες 5
β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β.
( ) ( )
3 7
3 77 2 7 2B = − ⋅ +
Μονάδες 4
γ) Αν ισχύει Α < x < Β και 2 < y < 5 (όπου Α και Β οι απαντήσεις σας από τα
προηγούμενα ερωτήματα), να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι
ακόλουθες παραστάσεις:
i) x + y ii) x – y iii) 2x2 + y2
Μονάδες 6

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. α) Γεωμετρική πρόοδος λέγεται η ακολουθία, στην οποία κάθε όρος της
προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο
πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.
Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό να γράψετε τι ονομάζουμε αριθμητική
πρόοδο.
Μονάδες 2
β) Έστω (αν) μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω και (βν) μια γεωμετρική
πρόοδος με θετικούς όρους και λόγο λ. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της
στήλης Α με ένα στοιχείο της στήλης Β κι ένα στοιχείο της στήλης Γ.
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΣΤΗΛΗ Γ
1. 1
1
1
ν
λ
β
λ
−
⋅
−
a. αν
i. Άθροισμα πρώτων ν όρων
γεωμετρικής προόδου.
2. 1
2
( )ν
ν
α α⋅ + b. β2
ii. νος όρος γεωμετρικής
προόδου με λόγο λ.
3. 1 1( )α ν ω+ − ⋅ c. ω
iii. νος + 1 όρος γεωμετρικής
προόδου με λόγο λ.
4. +1ν
ν
β
β
d. Sν
iv. Ορισμός γεωμετρικής
προόδου.
5.
2
α γ+
e. βν
v. Άθροισμα πρώτων ν όρων
αριθμητικής προόδου.
6. 1ν να α+ − f. β
vi. Αριθμητικός μέσος των α
και γ.
7. α · γ g. 1νβ +
vii. Ορισμός αριθμητικής
προόδου.
8. 1
1
ν
β λ −
⋅ h. Sν
viii. Γεωμετρικός μέσος των α
και γ.
9. 1
ν
β λ⋅ i. λ
ix. νος όρος αριθμητικής
προόδου με διαφορά ω.
Μονάδες 9

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Γ2. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) ο δεύτερος και τέταρτος όρος έχουν άθροισμα
60, ενώ ισχύει α3 + α5 = 180. Να βρείτε:
α) Τον πρώτο όρο α1 και το λόγο λ της (αν).
Μονάδες 3
β) Το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της (αν).
Μονάδες 2
Γ3. Δίνεται ακολουθία (βν) της οποίας ο ν-οστος όρος είναι ο βν = 2ν – 3.
α) Να δείξετε ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον
πρώτο όρο β1 και τη διαφορά ω της προόδου.
Μονάδες 4
β) Δίνεται η εξίσωση x2 – β1 · x + ω, όπου β1 και ω ο πρώτος όρος κι η
διαφορά της παραπάνω ακολουθίας αντίστοιχα. Να λυθεί η εξίσωση:
2 2
1 1x β x ω x β x ω− ⋅ − = − + ⋅ +
Μονάδες 5

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
ΘΕΜΑ
Δ1. α) Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα στοιχείο της στήλης Β
σχετικά με τη διακρίνουσα της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0:
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
1. Δ > 0 i. 2 ίσες ρίζες.
2. Δ < 0 ii. πραγματικές ρίζες.
3. Δ ≥ 0 iii. 2 πραγματικές και άνισες ρίζες.
4. Δ = 0 iv. Αδύνατη στους πραγματικούς αριθμούς.
Μονάδες 2
β) Συμπληρώστε τα κενά με τις λέξεις που δίνονται:
(μηδέν, εκτός των ριζών, ομόσημο, ετερόσημο, μεταξύ των ριζών)
Το τριώνυμο αx2 + βx + γ, α ≠ 0 γίνεται:
• του α, μόνο όταν είναι Δ > 0 και για τις τιμές του x,
που βρίσκονται
• , όταν η τιμή του x είναι κάποια από τις ρίζες του
τριωνύμου.
• του α σε κάθε άλλη περίπτωση.
Μονάδες 2
Δ2. Δίνεται η εξίσωση λx2 – 4x – λ = 0, λ ≠ 0 (1).
α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πραγματικές και άνισες ρίζες.
Μονάδες 4
β) Να βρείτε το λ, ώστε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης (1) να είναι ίσο με
το γινόμενό τους.
Μονάδες 5
γ) Έστω λ = – 4. Να λύσετε τις ανισώσεις που δίνονται παρακάτω και να βρείτε
τις κοινές τους λύσεις:
2
1 7 3 0λx και λx x− ≤ + + ≤
Μονάδες 6
δ) Να κατασκευάσετε τριώνυμο της μορφής x2 + βx + γ, το οποίο να έχει ως
ρίζες τις δύο αρνητικές κοινές ακέραιες λύσεις των παραπάνω ανισώσεων.
Μονάδες 6

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
ΘΕΜΑ Γ
Εναλλακτικό θέμα αντί για τις προόδους.
Γ1. α) Να λύσετε την εξίσωση: 3
4 0x x− =
Μονάδες 6
β) Αν ω είναι η μεγαλύτερη ρίζα (λύση) της παραπάνω εξίσωσης , να αποδείξετε
ότι Α = Β, όταν:
1 1
1 1
Α
ω ω
= −
− +
και
5 9 10
Β ω ω= ⋅
Μονάδες 12
Γ2. Να λυθεί η εξίσωση: 2 2
2 2x x x x+ − = − − +
Μονάδες 7

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.1/8
ΑΛΓΕΒΡΑ
Β' Γενικού Λυκείου
Γενικής Παιδείας
ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A
Α1. Στο επόμενο σχήμα βλέπετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τους άξονες ημιτόνων,
συνημιτόνων, εφαπτομένων, συνεφαπτομένων και τους τριγωνομετρικούς
αριθμούς της γωνίας ω.

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.2/8
Να αποδείξετε ότι 2 2
1ημ ω συν ω+ = .
(6 μονάδες)
A2. Αν ημ συν 2x x+ = , τότε:
1. Να δείξετε ότι:
a.
1
ημ συν
2
x x⋅ = .
(3 μονάδες)
b. 3 3 2
ημ συν
2
x x+ = .
(4 μονάδες)
2. Αν, επιπλέον, ισχύει ημ συνx x= , τότε:
a. Να βρείτε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου x
( ημ συν εφ σφ, , ,x x x x ).
(3 μονάδες)
b. Αν γνωρίζετε ότι ( ),x π π∈ − , να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει το
τόξο x.
(5 μονάδες)
c. Βρείτε (αν υπάρχουν), τις τιμές που μπορεί να πάρει το τόξο x, αν,
επιπλέον, ισχύει ( )
2019
συν συν 2019
2
π
x π x
 
+ = − + 
 
και ( )0,x π∈ − .
(4 μονάδες)

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.3/8
ΘΕΜΑ Β
Β1. Δίνεται το πολυώνυμο ( ) 3
2q x x x= + − . Να αποδείξετε τα επόμενα:
1. Η διαίρεση ( ) ( )1:q x x − είναι τέλεια.
2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) ( )1:q x x − είναι μηδέν.
3. Το ( )1x − είναι παράγοντας του ( )q x .
4. Το 1 είναι ρίζα του ( )q x .
5. Ισχύει ( )1 0q = .
6. Το ( )1x − διαιρεί το ( )q x .
(3 μονάδες)
Β2. Δίνεται πολυώνυμο ( )p x , βαθμού 2ν ≥ και k ∈ℝ . Θεωρούμε τις επόμενες
προτάσεις:
1. Η διαίρεση ( ) ( ):p x x k− είναι τέλεια.
2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) ( ):p x x k− είναι μηδέν.
3. Το ( )x k− είναι παράγοντας του ( )p x .
4. Το k είναι ρίζα του ( )p x .
5. Ισχύει ( ) 0p k = .
6. Το ( )x k− διαιρεί το ( )p x .
Ποιες από τις 6 προηγούμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους (που
σημαίνει ότι λένε το ίδιο πράγμα) και ποια – ή ποιες – λένε κάτι διαφορετικό;
(3 μονάδες)

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.4/8
Β3. Θεωρούμε πολυώνυμο ( )p x για το οποίο ισχύει
( ) ( ) ( ) ( )4 4 3 3 2 2
2 2 1 1 2 1 6 2p x α x α x α x αx b⋅ = ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ − ⋅ − + , όπου ,α b ∈ℝ .
1. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς a, b, αν γνωρίζετε ότι το ( )p x είναι
τρίτου βαθμού και ότι το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το x–1 είναι ίσο με
–4.
(4 μονάδες)
2. Αν ( ) ( )1 2, ,α b = − , τότε:
a. Να γράψετε αναλυτικά τη διαίρεση ( ) ( )1:p x x − , να δείξετε ότι έχει
πηλίκο 2
2x x+ − , υπόλοιπο –4 και, μετά, να γράψετε την ταυτότητά της.
(Υπενθύμιση: Η ταυτότητα κάθε ευκλείδειας διαίρεσης περιγράφεται
λεκτικά από την πρόταση: «Διαιρετέος = διαιρέτης επί πηλίκο συν
υπόλοιπο»).
(2 μονάδες)
b. Παρατηρήστε προσεκτικά την προηγούμενη ταυτότητα της διαίρεσης
και, αξιοποιώντας κατάλληλα την παρατήρησή σας, να λύσετε την
εξίσωση ( ) 2
4 1p x x+ = − .
(4 μονάδες)
c. Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
( ) ( )
2
1 2
( )
p x
f x
x x
=
− ⋅ +
i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
(2 μονάδες)
ii. Να αξιολογήσετε ως «σωστό» ή «λάθος» κάθε έναν από τους
επόμενους ισχυρισμούς:
(3 μονάδες)

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.5/8
1. Στις ασκήσεις που ζητούν επίλυση ανισότητας, δεν μπορούμε να
κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών (όπως κάνουμε στην επίλυση
εξισώσεων), εκτός αν γνωρίζουμε το πρόσημο του ΕΚΠ με το
οποίο πολλαπλασιάζουμε.
2. Αν ( )( ),f x g x δύο πολυώνυμα με ( ) 0g x ≠ , ισχύει η ισοδυναμία:
0 0
( )
( ) ( )
( )
f x
f x g x
g x
≤ ⇔ ⋅ ≤ .
3. Αν ( )( ),f x g x δύο πολυώνυμα, η ανισότητα 0( ) ( )f x g x⋅ ≤ δεν
επιλύεται παίρνοντας ανισότητες για κάθε πολυώνυμο χωριστά,
αλλά με πίνακα προσήμων, στον οποίο, σε διαδοχικές γραμμές,
φαίνονται ο άξονας των πραγματικών με τις ρίζες των
πολυωνύμων, τα πρόσημα κάθε πολυωνύμου και τα πρόσημα του
γινομένου τους.
iii. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων (δηλαδή τις τιμές του x), για τα
οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν βρίσκεται κάτω
από την ευθεία με εξίσωση y = 1.
(4 μονάδες)
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Γνωρίζετε ότι: «Φυσικός λογάριθμος του θετικού αριθμού θ, είναι ο εκθέτης
στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον αριθμό e, για να βρούμε τον αριθμό θ».
Συμβολικά: ln x
θ x e θ= ⇔ = .
Με δεδομένη αυτήν τη γνώση, να γράψετε, λεκτικά και συμβολικά, τον ορισμό
του δεκαδικού λογάριθμου ενός θετικού αριθμού α.
(3 μονάδες)

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.6/8
Γ2. Στο επόμενο σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
( ) lnf x x= , ( ) x
g x e= , ( ) ln( )p x x= − , ( ) x
q x e−
= και ( )h x x= .
Με βάση τους τύπους των συναρτήσεων, τις γνώσεις σας από τη θεωρία, αλλά
και τις πληροφορίες που παίρνετε από το σχήμα, να απαντήσετε αν κάθε ένας
από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι σωστός ή λανθασμένος:
(10 μονάδες)
1. Η f έχει πεδίο ορισμού το ( )0,+∞ και σύνολο τιμών το ℝ.
2. H g έχει πεδίο ορισμού το ℝ και σύνολο τιμών το ( )0,+∞ .
3. Ισχύει ( )( )f x p x= − .
4. Η h είναι άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των f, g.
5. Οι ,g qC C είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x’x.

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.7/8
6. Η εξίσωση ( )ln x
x e− = είναι αδύνατη.
7. Για οποιαδήποτε 1 2 0,x x < , ισχύει ( ) ( )1 2 1 2x x q x q x< ⇔ < .
8. Η συνάρτηση p έχει πεδίο ορισμού το ( )0,+∞ .
9. Αν το σημείο (α, β) ανήκει στη fC , τότε το σημείο (β, α) ανήκει στη gC .
10.Ο άξονας y’y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη των ,f pC C .
Γ3. Αξιοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων (τις οποίες γνωρίζετε από τη
θεωρία που έχετε μελετήσει), αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης
του επόμενου πίνακα με το ίσο του στη δεύτερη στήλη.
(4 μονάδες)
Στήλη Α Στήλη Β
1 log30 2 log 7⋅
2 log2018
10 log 6 log5+
3 log 49 48
log
6
4 log8 2018
Γ4. Δίνεται η συνάρτηση ( )( ) lnf x x e= − .
1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
(3 μονάδες)
2. Αφού δείξετε ότι 5
100 5log
= , να λύσετε την εξίσωση
( )32 2 3 5 44
4 9 100 3 0( ) ( ) logf x f x
e e e e e⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ = .
(5 μονάδες)

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.8/8
ΘΕΜΑ
Θεωρούμε το πολυώνυμο ( ) ( ) ( )3 2 2
1 9 1
ln
( ) ln ln
b
p x α x α x α x= − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + , όπου a, b
θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Γνωρίζουμε ότι το ( )p x έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα.
Δ1. Να δείξετε ότι ( ) ( )2
5, ,α b e= .
(7 μονάδες)
Δ2. Αν 2018
( ) ,x
g x e x R−
= ∈ , να λύσετε την ανίσωση ( )( ) 11( )p g x g x> + και να
δείξετε ότι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που συμπεριλαμβάνεται στις λύσεις
της ανίσωσης, δηλώνει τη χρονιά που (εφόσον όλοι δουλέψουμε όπως πρέπει),
θα πανηγυρίσουμε την εισαγωγή σας στην τριτοβάθμια εκπαίδευση.
(5 μονάδες)
Δ3. Αν 3
0
2
( ) , ,
π
h x συν x x
 
= ∈ 
 
, να βρείτε, εάν υπάρχουν, τα κοινά σημεία της
γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) ( )( )x p h x=φ με τον άξονα x’x.
(7 μονάδες)
Δ4. Αν f είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το 0[ , )+∞ και τύπο ( ) ( )f x p x= , να
μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξετε ότι ισχύει
0( )f x > , για κάθε 0[ , )x ∈ +∞ .
(6 μονάδες)

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.1/4
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Β' Γενικού Λυκείου
Θετικών Σπουδών
Σάββατο 14 Απριλίου 2018 | ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ Α
Α. Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση c: x2 + y2 = p2 κι ένα σημείο του Α(x1, y1). Να
αποδείξετε ότι η εφαπτομένη στο Α είναι της μορφής: ε: xx1 + yy1 = p2.
(μόρια 12)
Β. Να σημειώσετε τη σωστή (Σ) και τη λανθασμένη (Λ) απάντηση στα παρακάτω:
i. Tο μη μηδενικό διάνυσμα 0( , )δ α= είναι κάθετο στον yy΄.
ii. Όλες οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων είναι της
μορφής:
y = λx.
iii. Δίνεται ο κύκλος στη γενική του μορφή c: x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0.
α) όταν Α = 0 το κέντρο του βρίσκεται στον yy΄.
β) όταν Γ = 0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
γ) το κέντρο του είναι της μορφής
2 2
,
Α Β
Κ
 
 
 
.
(μόρια 5)
Γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στα παρακάτω:
i. Η ευθεία ε που διέρχεται από το σημείο Α(0, 4) και είναι παράλληλη στην
ευθεία 3x – 4y = 8 έχει εξίσωση:
α. 3x – 4y = 4 β. 3x – 4y= –16
γ. 3x + 4y = 4 δ.
4
4
3
y x= +

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.2/4
ii. Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη στην ευθεία
3
6
4
y x= + και απέχει από
αυτήν απόσταση 4, είναι της μορφής:
α.
3
1
4
y x= + β.
3
4
y x=
γ.
3 2
4 3
y x= − δ.
3
1
4
y x= −
iii. Αν ο κύκλος c: (x – 1)2 + (y – 3)2 = p2 εφάπτεται στον άξονα xx΄, η ακτίνα
του είναι ίση με:
α. 1 β. 3 γ. 4 δ. 9
iv. Αν το κέντρο του κύκλου c: x2 + y2 + Ax + By + 2 = 0 είναι το Κ(4, –8) τότε
το Α + Β είναι ίσο με:
α. –4 β. 4 γ. 8 δ. –8
(μόρια 8)
ΘΕΜΑ B
Α. i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α , αν ( )2 2 2,α α α= − − .
(μόρια 5)
ii. Αν 1 0 και 3 1( , ) ( , )α β= − = να εκφράσετε το διάνυσμα 1 2( , )γ = ως
γραμμικό συνδυασμό των α και β .
(μόρια 4)
Β. i. Δίνεται παραβολή με εστία Ε( α , 0), όπου α το διάνυσμα του Αii, το
σημείο Κ(2, –1) και η χορδή της ΑΒ με μέσο το σημείο Κ. Βρείτε την
εξίσωση της ευθείας ΑΒ.
(μόρια 7)
ii. Αν η παραβολή διέρχεται από το σημείο Μ (1, 2), να βρείτε σημείο Ν της
παραβολής διαφορετικό της αρχής των αξόνων, ώστε 90ΜΟΝ = °
(μόρια 5)
iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΕΝ.
(μόρια 4)

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.3/4
ΘΕΜΑ Γ
Α. Δίνονται τα διανύσματα α και β με ( ) 2
3
,
π
α β = για τα οποία ισχύουν
2 2 και 5( ) ( )α α β α α β⋅ + = ⋅ − = .
i. Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτωνα και β .
(μόρια 6)
ii. Αν τα διανύσματα 2 και vu α β α κβ= + = − είναι κάθετα, να
υπολογίσετε τον αριθμό κ.
(μόρια 4)
Β. Δίνεται η εξίσωση (λ – 1) x + (λ + 2)y – 3 = 0 (1).
i. Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθείες για κάθε λ∈R, οι οποίες
διέρχονται από το ίδιο σημείο Α, το οποίο και να βρείτε.
(μόρια 5)
ii. Θεωρούμε ευθεία ε της οικογένειας (1) η οποία είναι παράλληλη στην
ευθεία η: x – 2y + 1 = 0.
α. Να βρείτε τον αριθμό λ.
(μόρια 3)
β. Να βρείτε την μεσοπαράλληλη ευθεία των ε και η.
(μόρια 7)
ΘΕΜΑ
Δίνεται η εξίσωση x2 + y2 – 10 + λ(3x + y – 10) = 0 (1).
Α. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ∈R με λ ≠ –2. Τι παριστάνει η
(1) για λ = –2;
(μόρια 4+1)
Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων.
(μόρια 3)

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.4/4
Γ. Αν λ = 1 τότε:
i. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου ΜΝ με μέσο το σημείο
Β(1,2).
(μόρια 4)
ii. Να υπολογίσετε το μήκος του αποστήματος από το κέντρο Κ προς τη
χορδή ΜΝ του κύκλου.
(μόρια 3)
Δ. Αν λ = 0 τότε:
i. Να βρείτε τις εφαπτόμενες που άγονται από το σημείο Γ(5,5) προς τον
κύκλο.
(μόρια 5)
ii. Να υπολογίστε το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν οι παραπάνω
εφαπτόμενες ευθείες.
(μόρια 5)

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.1/4
ΕΠΑ.Λ.
Σάββατο 21 Απριλίου 2018 | ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και c πραγματική σταθερά, να
αποδείξετε ότι:
( )( ) ( ),c f x c f x x′ ′⋅ = ⋅ ∈ℝ .
Μονάδες 10
Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f
παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1∈A;
Μονάδες 5
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η
πρόταση είναι σωστή ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Σε μία κανονική κατανομή, στο διάστημα ( ),x s x s− + βρίσκεται το 95%
των παρατηρήσεων.
β) Για κάθε x ≠ 0 ισχύει: 2
1 1
.
x x
′ 
= 
 

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.2/4
γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μιας ποιοτικής
μεταβλητής.
δ) Η διακύμανση είναι μέτρο θέσης.
ε) Η παράγωγος της f στο x0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = f (x) ως προς
x, όταν x = x0.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Στον παρακάτω πίνακα δίνεται ο αριθμός λογοτεχνικών βιβλίων που διάβασαν 50
μαθητές κατά τη διάρκεια των διακοπών
xi vi fi% Ni xi ∙ vi
0
1 12 18
2
3 40
4 2
Σύνολο
B1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα.
Μονάδες 6
B2. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο.
Μονάδες 6

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.3/4
Β3. Να βρεθεί η διακύμανση και η τυπική απόκλιση.
Μονάδες 6
Β4. Να εξετάσετε εάν είναι ομοιογενές το παραπάνω δείγμα.
Μονάδες 3
Β5. Να βρεθεί το ποσοστό παιδιών που διάβασε τουλάχιστον 2 λογοτεχνικά βιβλία.
Μονάδες 4
Δίνεται 1 28 1 13, , .≈
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f: ℝ → ℝ με τύπο f(x)=x3+αx2 +κx+2018.
Γ1. Να υπολογίσετε το
2
21
2 3
1
lim .
x
x x
α
x→
+ −
=
−
Μονάδες 7
Γ2. Για α=2 και γνωρίζοντας ότι f΄(–1)=0, να βρείτε το κ.
Μονάδες 4
Γ3. Για α=2, κ=1 να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο Κ(1, f(1)).
Μονάδες 8
Γ4. Για α=2, κ=1 να υπολογίσετε το Α= 4f΄(2) – 8f΄΄(–1) + f(0).
Μονάδες 6

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.4/4
ΘΕΜΑ
Ένα τουριστικό γραφείο εκτιμά ότι ο αριθμός των τουριστών Ν (Ν σε χιλιάδες) που
επισκέπτονται ένα ελληνικό νησί μεταβάλλεται με τον χρόνο t (t σε έτη) σύμφωνα με
τη συνάρτηση:
3 23
N 6 30
2
( ) ,t t t t= − − + 0 ≤ t ≤ 10
Δ1. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του αριθμού των τουριστών.
Μονάδες 6
Δ2. Ποιά χρονική στιγμή ο αριθμός των τουριστών γίνεται ελάχιστος;
Μονάδες 8
Δ3. Να αποδείξετε ότι N(t) ≥ 20.
Μονάδες 5
Δ4. Ποιά χρονική στιγμή ο ρυθμός μεταβολής του αριθμού των τουριστών γίνεται
ελάχιστος;
Μονάδες 6

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.1/4
Γ' Γενικού Λυκείου
Θετικών Σπουδών / Σπουδών Οικονοµίας & Πληροφορικής
ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A
Α1. Να αποδειχθεί ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα [ ],α β και G
είναι μια αρχική της f στο [ ],α β , τότε ( ) ( ) ( )d
β
α
f t t G β G α= −∫ .
Μονάδες 7
Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα Fermat.
Μονάδες 5
Α3. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται 1-1;
Μονάδες 3
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα
στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση
είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύει
( )
( )0
lim
x x
f x
g x→
= +∞ , με { }0 ,x ∈ ∪ −∞ +∞R ,
τότε
( )
( )0
0lim
x x
g x
f x→
= .
Μονάδες 2
β) Για κάθε συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( ) 0f x′ = για κάθε *
x ∈R , ισχύει
ότι ( )f x c= για κάθε *
x ∈R .
Μονάδες 2

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.2/4
γ) Αν f παραγωγίσιμη συνάρτηση και 1-1 στο R , τότε ( ) 0f x′ ≠ για κάθε
x ∈R .
Μονάδες 2
δ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα [ ],α β , τότε δεν έχει
ασύμπτωτες.
Μονάδες 2
ε) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο [ ]α,β , ισχύει ότι:
( ) ( )d d
β β
α α
f x x f x x=∫ ∫ .
Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β
Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )
( )
3 2
αν 1
x , αν > 1
,
ln
αx x x
f x
βx x
 − ≤
= 

όπου α,β∈ℝ και β>0 η οποία
είναι παραγωγίσιμη στο ℝ .
Β1. Να αποδείξετε ότι α = β =1.
Μονάδες 8
Β2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 8
Β3. Θεωρούμε σημείο ( ) ( )( ),Α x t y t , με t > 0 το οποίο κινείται πάνω στην γραφική
παράσταση της f με ( ) 1x t > και ( )
μονάδες
4
sec
x t′ = . Αν Μ είναι το σημείο τομής
της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α με τον άξονα
x΄x, να βρείτε την ταχύτητα του Μ την χρονική στιγμή t0 κατά την οποία το Α
διέρχεται από το σημείο ( ),e e .
Μονάδες 9

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.3/4
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f, ορισμένη στο Α με σύνολο τιμών
( ) [ )0,f A = +∞ για την οποία ισχύει: ( )
( )f x
e f x x+ = , για κάθε x A∈ .
Γ1. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη
συνάρτηση.
Μονάδες 6
Γ2. Να δείξετε ότι [ )1,Α = +∞ , να βρείτε το πεδίο ορισμού της σύνθεσης f f και
έπειτα να βρείτε την μονοτονία της.
Μονάδες 6
Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης της
f, του άξονα x΄x και της ευθείας 1x e= + .
Μονάδες 7
Γ4. Να δείξετε ότι για κάθε 1x > ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )2 3
1x f x f x x f x+ ⋅ > + ⋅ .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ
Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( )1,− +∞ , για την οποία ισχύουν:
• ( ) ( ) ( ) ( )1 2x
x f x e x f x′′ ′+ = ⋅ + − , για κάθε 1x > − .
• ( )0 1f =
• ( )x
e f x x− ≤ , για κάθε 1x > −
Δ1. Να αποδείξετε ότι ( )0 0f ′ = .
Μονάδες 4
Δ2. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )1 x 1ln ,x
f x e x= − + > − .
Μονάδες 5

ÅÉÌÁÓÔÅ
ÌÅÓÁ
Σελ.4/4
Δ3. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f και να δείξετε ότι η εξίσωση
( ) 2f x = έχει ακριβώς δύο ρίζες ( )1 1 0,ξ ∈ − και ( )2 0,ξ ∈ +∞ .
Μονάδες 4
β) Να δείξετε ότι αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής
παράστασης της f και της ευθείας 2y = , τότε 2 1Ε ξ ξ< − .
Μονάδες 7
Δ4. Να υπολογίσετε το
( )
( )1
1
lim ln
x
ημ f x
f x
+
→−
 
 ⋅
 
 
.
Μονάδες 5
Να έχετε επιτυχία!

Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."

Ähnlich wie Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..." (20)

Mehr von Μάκης Χατζόπουλος

Mehr von Μάκης Χατζόπουλος (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (14)

Τα διαγωνίσματα προσομοίωσης του "Είμαστε μέσα..."