Κωνικές τομές - Πλήρες φυλλάδιο (βιβλίο)

Τακης Τσακαλακος
2018

Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ
󠄀 Κυκλος
󠄀 Παραβολη
󠄀 Ελλειψη
󠄀 Υπερβολη
󠄀 Επαναληψη

Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς4
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2018
Κυκλος ειναι ο γεωμετρικος το τοπος των σημειων του επιπεδου που
ισαπεχουν απο ενα δεδομενο σημειο Κ αποσταση ρ.
Συμβολιζεται C(Κ,ρ)
Ειναι μια καμπυλη που προκυπτει απο τη τομη ενος κωνου και ενος επι -
πεδου παραλληλου στη βαση του.
 Με εξισωση x 2
+ y 2
= ρ 2
(*)
Η απλουστερη μορφη κυκλου
Χαρακτηριστικα :
 Κεντρο το σημειο Ο(0,0)
(αρχη των αξονων)
 Ακτινα ρ
(*)
Εστω τυχαιο σημειο του κυκλου Μ(χ,y)
Tοτε
2 2 2 2 2
(OM)=ρ` x +y =ρ`x +y =ρ
 Ε ι δ ι κ η μ ο ρ φ η τ η ς x2
+ y2
= ρ2
Μοναδιαιος κυκλος : x 2
+ y 2
= 1
 Κεντρο το σημειο Ο(0,0) (αρχη των αξονων)
 Ακτινα ρ = 1
 Π α ρ α μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Κ υ κ λ ο υ
Αν Μ(x, y) ειναι σημειο του κυκλου
c : x 2
+ y 2
= ρ 2
και
φ [0, 2π)ειναι η γωνια που σχηματι-
ζει το διανυσμα ΟΜ με τον αξονα x’x,
τοτε ισχυει :
 x = ρ ∙ σ υ ν φ
 y = ρ ∙ η μ φ
Ο ρ ι σ μ ο ς
Μ ο ρ φ η Κ υ κ λ ο υ

Κ υ κ λ ο ς 5
 Ε ξ ι σ ω σ η Ε φ α π τ ο μ ε ν η ς
Κ υ κ λ ο υ
Αν Α(x1 , y1 ) ειναι σημειο του κυκλου
c : x 2
+ y 2
= ρ 2
απ’το οποιο διερχεται
μια εφαπτομενη του,
τοτε η εξισωση της δινεται απο :
x1 ∙ x + y1 ∙ y = ρ2
 Με εξισωση ( x - x 0 ) 2
+ ( y - y 0 ) 2
= ρ 2
(**)
Με κεντρο διαφορετικο απ’την αρχη των
αξονων
 Κεντρο το σημειο Κ(x0 ,y0 )
 Ακτινα ρ
(**)
Εστω τυχαιο σημειο του Μ(χ,y) κυκλου
με κεντρο Κ(x0 ,y0 ) και ακτινα ρ
Tοτε
2 2
0 0
2 2 2
0 0
(ΚM)= ρ` (x-χ ) +(y-y ) = ρ
(x-χ ) +(y-y ) = ρ
 Με εξισωση x 2
+ y 2
+ Α ∙ x + Β ∙ y + Γ = 0 (***)
Η γενικη μορφη κυκλου
 Προυποθεση η παρασταση να αποτελει
εξισωση κυκλου :
Α 2
+ Β 2
- 4 ∙ Γ > 0
 Κεντρο το σημειο
A B
K - , -
2 2
 Ακτινα
2 2
A 4
ρ=
2
(***)

Ειναι
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
(x-χ ) +(y-y ) = ρ `x +χ -2x χ +y +y -2y y = ρ
`x +y -2x χ-2y y+χ +y -ρ = 0
2 2
x +y χ y+ = 0
Α ν τ ι σ τ ρ ο φ α
2
2 22 2
2 2 2
2 2
x +y +Α× χ+Β× y+Γ= 0`x +Α× χ+y +Β× y=-Γ
Α Β
`x +2 × χ +y +2 × y =-Γ
2 2
` x
Α Β Β
+ +
4
Α
+ +
4 44
2 2 2 2
22 2 2 2
Α Β Α +Β -4Γ
+ + y+ =
2 2 4
Α Β Α +Β -4Γ
` x+ + y+ =
2 2 2
που για 2 2
Α +Β -4Γ>0 παριστανει κυκλο με κεντρο
A B
K - , -
2 2
και
ακτινα
2 2
A 4
ρ=
2
Tοτε
2 2 2 2 2
0 0 0 0
(ΚM)=ρ` (x-χ ) +(y-y ) =ρ (x-χ ) +(y-y ) =ρ
Εστω
 κυκλος c: (x–x0 )2
+(y–y0 )2
=ρ2
με
 κεντρο Κ(χ0 , y0 )
 ακτινα ρ
 σημειο Μ(χ1 , y1 )΄
και
 d η αποσταση του σημειου Μ απ’το κεν-
τρο του κυκλου Κ
Διακρινουμε περιπτωσεις
 αν d<0, δηλαδη (ΚΜ)<ρ
το σημειο Μ ειναι ε σ ω τ ε ρ ι κ ο του
κυκλου
 αν d=0, δηλαδη (ΚΜ)=0
το σημειο Μ ειναι σ η μ ε ι ο τ ο υ κ υ κ λ ο υ
 αν d>0, δηλαδη (ΚΜ)>ρ
το σημειο Μ ειναι ε ξ ω τ ε ρ ι κ ο του κυκλου
Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Κ υ κ λ ο υ - Σ η μ ε ι ο υ

Κ υ κ λ ο ς 7
Εστω κυκλος c: (x–x0 )2
+(y–y0 )2
=ρ2
(1)
και ευθεια ε: Α∙x+Β∙y+Γ=0 (2)
 Αν το συστημα των εξισωσεων (1), (2)
 εχει δυο πραγματικες λυσεις, τοτε η
ευθεια τ ε μ ν ε ι τον κυκλο σε
δ υ ο σ η μ ε ι α .
 εχει μια πραγματικη λυση, τοτε η ευ -
θεια ε φ α π τ ε τ α ι στον κυκλο .
 δεν εχει πραγματικες λυσεις, τοτε η
ευθεια δ ε ν ε χ ε ι κ ο ι ν α σ η μ ε ι α
με τον κυκλο .
 Αν κυκλος c: (x–x0 )2
+(y–y0 )2
=ρ2
και ευθεια ε: Α∙x+Β∙y+Γ=0
οπου Κ το κεντρο του κυκλου και d η αποσταση του απ’την ευθεια ε και
 Αν d < ρ , τοτε η ευθεια τ ε μ ν ε ι τον κυκλο σε δ υ ο σημεια.
 Αν d = ρ , τοτε η ευθεια ε φ α π τ ε τ α ι στον κυκλο .
Εστω οι κυκλοι
c1 : (x-x1 )2
+(y-y1 )2
=ρ2
c2 : (x-x2 )2
+(y-y2 )2
=ρ2
οπου Κ1 , Κ2 τα κεντρα τους
και ρ1 , ρ2 οι ακτινες τους,
αντιστοιχα.
Για δ = Κ1 Κ2 τοτε
 Αν δ > ρ1 + ρ2 , τοτε
οι κυκλοι ειναι
ο ε ν α ς ε κ τ ο ς τ ο υ
α λ λ ο υ
 Αν δ = ρ1 + ρ2 , τοτε
οι κυκλοι ε φ α π τ ο ν τ α ι ε ξ ω τ ε ρ ι κ α
 Αν | ρ1 - ρ2 | < δ < ρ1 + ρ2 , τοτε
οι κυκλοι τ ε μ ν ο ν τ α ι
 Αν δ = | ρ1 - ρ2 | , τοτε
οι κυκλοι ε φ α π τ ο ν τ α ι ε σ ω τ ε ρ ι κ α
 Αν δ < | ρ1 - ρ2 | , τοτε
οι κυκλοι ειναι ο ε ν α ς ε ν τ ο ς τ ο υ α λ λ ο υ
Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Δ υ ο Κ υ κ λ ω ν
Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Κ υ κ λ ο υ - Ε υ θ ε ι α ς

Να βρεθει η εξισωση του κυκλου με κεντρο την αρχη των αξονων και
διερχεται απ'το σημειο Α(-3,4).
Α π α ν τ η σ η
Να βρεθει η εξισωση του κυκλου με κεντρο Κ(-3,4) και διερχεται απ'την
αρχη των αξονων.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ 1
Τροπος Λυσης :
Με γνωστο το κεντρο Κ του κυκλου και ενα σημειο του Α
● Αρκει να βρουμε ακτινα ρ
● Χρησιμοποιουμε τη σχεση:
● Οι συντεταγμενες του σημειου του κυκλου (γνωστου) επαλη -
θευουν την εξισωση του κυκλου :
x 2
+ y 2
= ρ 2
η ( x - x 0 ) 2
+ ( y - y 0o ) 2
= ρ 2
Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η . . .
2 2 2 2 2
Η εξισωση του κυκλου ειναι της μορφης:
Αφου το Α ειναι σημειο του κυκλου, οι συν-
τεταγμενες του επαληθευουν την εξισω-
ση του κυκλου.
Ετσι
(-3) +4 = ρ 9 +16 = ρ ρ = 25
2 2 2
x +y = ρ
ρ=
Δηλαδη η εξισωση του κυκλου ειναι:
2 2
5
x +y = 25

Κ υ κ λ ο ς 9
2 2
Το κεντρο του κυκλου ειναι Κ(-3,4) και η
εξισωση του
Ο κυκλος διερχεται απ'το σημειο Ο(0,0).
Οποτε ΚΟ ειναι ακτινα του.
Ετσι
| ΚΟ|= ρ (0+3) +(0-4) = ρ 9 +16 = ρ
2 2 2
(x+3) +(y-4) = ρ
ρ= 25
Δηλαδη η εξισωση του κυκλου ειναι:
2 2
ρ= 5
x+3) +(y-4) = 25(
Να βρεθει η εξισωση του κυκλου με διαμετρο ΑΒ, οπου Α(-1,4) και Β(3,2).
ΒΑ
Κ Κ
Κ
ΒΑ Κ
ΚΚ
2 2 2
Α Κ Α Κ
Αν Κ το κεντρο του κυκλου, τοτε το Κ ει-
ναι το μεσο της διαμετρου ΑΒ.
Ετσι
x +x -1+3
x = x =
x = 12 2
y +y 4+2 y = 3
y =y =
22
| ΚΑ| =(x -x ) +(y -y )
=
2
Κ(1,3)
ρ =
2 2
(-1-1) +(4-3) = 4+1= 5
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Με γνωστα δυο αντιδιαμετρικα σημεια Α(x1 ,y1 ) και Β(x2 ,y2 )
● Το κεντρο του Κ ειναι το μεσο της ΑΒ, δηλαδη
● Για την ακτινα του ισχυει:

Οποτε η εξισωση του κυκλου ειναι: 2 2
(x-1) +(y-3) = 5
Β
Αν Μ(x,y) ειναι ενα τυχαιο σημειο του κυκλου, τοτε η γωνια ΑΜΒ= 90
(εγγεγραμενη που βαινει σε διαμετρο)
και ισχυει:
ΑΜ ΒΜ ΑΜ ΒΜ= 0
Μια αλλη αντιμετωπιση
ΑΜ=(x+1,y-4)
Μ=(x-3,y-2)
2 2
2 2
2 2
(x+1)(x-3)+(y-4)(y-2)= 0
x -3x+x-3+y -2y-4y+8= 0
x +y -2x-6y+5= 0
(x -2x+1)+(y -6y+9)= 5
2 2
(x-1) +(y-3) = 5
Να βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχεται απ'τα σημεια Α(0,1),
Β(0,-3) και εχει ακτινα ρ=2.
2 2 2
0 0
Οι συντεταγμενες των σημειων Α και Β επαληθευουν τηνεξισωση
(x-x ) +(y-y ) = ρ
Ειναι
Με γνωστα τα σημεια που τεμνει ο κυκλος τον αξονα x’x η y’y δηλα -
δη τα σημεια Α(0,y1 ),Β(0,y2 ) η Α(x1 ,0),Β(x2 ,0) και την ακτινα του ρ
● Οι συντεταγμενες των σημειων επαληθευουν την εξισωση του κυ -
κλου (x–x0 )2
+(y–y0 )2
=ρ2
. Η λυση του συστηματος των εξισωσε -
ων που προκυπτει, προσδιοριζει τα x 0 , y0
● Αν Κ (x0 , y0 ) το κεντρο ισχυει: . Η λυση του συστημα-
τος των εξισωσεων που προκυπτει, προσδιοριζει τα x 0 , y0

Κ υ κ λ ο ς 11
2 2 2
0 0
2 2 2
0 0
2 2
(-)
0 0 0
2 2
0 0 0
2 2
0 0 0
0
2 2
0 0 0
0
22 2
000
000
(0-x ) +(1-y ) = 2
(0-x ) +(-3-y ) = 2
x +y -2y +1= 4
x +y +6y +9 = 4
x +y -2y +1= 4
8y =-8
x +y -2y +1= 4
y =-1
x = 0x = 0x +(-1) -2 (-1)+1= 4
y =-1y =-1y =-1
Ετσι, η εξισωση του κυκλου ειναι: 2 2 2
x +(y+1) = 2
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 22 2
00 0 00 0
(x -0) +(y -1) = 2 x +y -2y +1= 4 x = 0| KA|= ρ
...
y =-1x +y +6y +9 = 4(0-x ) +(y +3) = 2| KB|= ρ
Ετσι, η εξισωση του κυκλου ειναι: 2 2 2
Aλλιως
x +(y+1) = 2
Με γνωστα τρια σημεια του κυκλου Α(x1 ,y1 ), Β(x2 ,y2 ) και Γ(x3 ,y3 )
● Ευρεση του κεντρου Κ απ’τις μεσοκαθετες των χορδων
● Το κεντρο του κυκλου ειναι το σημειο τομης των μεσοκαθετων
των χορδων ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ
● Ευρεση του κεντρου Κ απ’τις αποστασεις του απ’τα σημεια Α, Β και
Γ
● Δυο οποιεσδηποτε ισοτητες απ’τη σχεση απο-
τελουν συστημα με αγνωστους τις συντεταγμενες του κεντρου
του κυκλου
● Η ακτινα βρισκεται απ’τη σχεση:

Να βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχεται απ'τα σημεια
Α(6,-1), Β(4,3), Γ(-3,2)
ΒΑ
Μ
ΒΑ
Μ
Το κεντρο Κ ειναι το σημειο τομης των με-
σοκαθετων των χορδων ΑΒ και ΑΓ.
Αν Μ το μεσο της χορδης ΑΒ και Ν το μεσο
της χορδης ΑΓ, τοτε
x +x 6 +4
x = = = 5
2 2
y +y -1+3
y = = = 1
2 2
Α Γ
Ν
Α Γ
Ν
ΚΜ
ΑΒ
ΚΝ
ΑΓ
και
x +x 6-3 3
x = = =
2 2 2
y +y -1+2 1
y = = =
2 2 2
Ειναι (Κ(α,β))
ΑΒ ΚΜ
11 1
λ = ~ = ~ α-2β= 33+1
2 5 2λ = =-2
4-6
1ΑΓ ΚΝ
2λ = 3~ = 3~ 3 = 42+1 1 3λ = =-
-3-6 3 2
Ετσι
α-2β= 3
Μ(5,1)
3 1
Ν ,
2 2
2 2 2
α-2β= 3 α-2β= 3 1-2β= 3 β=-1
` ` ` `
3α-β= 4 -6α+2β=-8 -5α=-5 α= 1 α= 1
Ακομα
| ΚΑ| =(6-1) +(-1-(-1)) =
Αρα η εξισωση του κυκλου ειναι:
2 2
2 2 2
Κ(1,-1)
ρ = 5
(x-1) +(y+1) = 5
ΣΧΟΛΙΟ
Αυτος ο τροπος, συνηθως βολευει αν δυο τουλαχιστο απ’τα σημεια ειναι
της μορφης (0,α) η (β,0)
Α λ λ ι ω ς

2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
Εστω Κ(α,β) το κεντρο του κυκλου.
| ΚΑ|=| ΚΒ| | ΚΑ| =| ΚΒ|
(6-α) +(-1-β) =(4-α) +(3-β)
...
α-2β= 3 (1)
| ΚΑ|=| ΚΓ| | ΚΑ| =| ΚΓ|
(6-α) +(-1-β) =(-3-α) +(2-β)2
2 2
...
3α-β= 4 (2)
Λυνουμε το συστημα των (1) και (2)
α-2β= 3 α-2β= 3 α-2β= 3 1-2β= 3 β=-1
3α-β= 4 -6α+2β=-8 -5α=-5 α= 1 α= 1
Ακομα:
=| ΚΑ| =(6-1) +(-1+1)2
Κ(1,-1)
ρ 2
=
Οποτε η εξισωση του κυκλου ειναι:
2
2 2 2
5
(x-1) +(y+1) = 5
Να βρεθει η εξισωση του κυκλου που το κεντρο του ειναι σημειο της
ευθειας (ε):2x-3y-3= 0 και διερχεται απο το σημειο Α(2,-2) και την
αρχη των αξονων.
Με γνωστα δυο σημεια του κυκλου και η ευθεια που διερχεται απ’το
κεντρο του
● Εστω τα δυο σημεια του κυκλου Α(x1 ,y1 ), Β(x2 ,y2 )
● Το κεντρο ειναι το σημειο τομης της δοσμενης ευθειας και της με -
σοκαθετης του τμηματος ΑΒ.
Βρισκουμε τη μεσοκαθετη και λυνουμε το συστημα των εξισωσεω ν
της μεσοκαθετης και της δοσμενης ευθειας
● Η ακτινα βρισκεται απ’τη σχεση:

Ο Α
Μ
Ο Α
Μ
ΟΑ
ΚΜ
Αν Μ το μεσο της χορδης ΟΑ τοτε
x +x 0+2
x = = = 1
2 2
y +y 0-2
y = = =-1
2 2
Ο συντελεστης διευθυνσης της ΟΑ ειναι
-2-0
λ = =-1
2-0
και αφου ΟΑ ΚΜ τοτε λ = 1 και
το Κ ειναι
Μ(1,-1)
σημειο της ευθειας ΟΜ=(δ) με
εξισωση y-1= 1(x+1)
Δηλαδη το Κ ειναι σημειο των ευθειων (ε) και (δ),
οποτε
αν Κ(α,β) τοτε τα α,β επαληθευουν τις εξισωσεις των δυο
(δ): x-y-2= 0
2 2
ευθειων.
Ετσι
Κ (ε) 2x-3y-3= 0 2y+4-3y-3= 02(y+2)-3y-3= 0
x-y-2= 0 x= y+2x= y+2Κ (δ)
Ακομα
| ΟΚ|=(3-0) +(1-0) = 9 +1
Αρα η εξισωση του κυκλου ειναι:
2
2
y= 1
Κ(3,1)
x= 3
ρ = = 10
(x-3) +(y 2
-1) = 10
Με γνωστα το κεντρο Κ του κυκλου και εξισωση μιας εφαπτομενης
● Ισχυει d(Κ,ε) = ρ και αφου Κ γνωστο ευκολα βρισκεται η εξισωση
του κυκλου.
Δηλαδη ρ = .

Να βρειτε την εξισωση του κυκλου, που εχει κεντρο το σημειο Κ(2, - 1)
και εφαπτεται της ευθειας ε : 3x-4y+5=0
d(Κ,ε) = ρ
2 2
| 3× 2-4×(-1)+5|
= ρ
3 +(-4)
| 6 +4+5| 15
= = =
525
ρ 3
Αρα η εξισωση του κυκλου ειναι :
2 2 2
(x–2) +(y+1) =3
Να βρειτε την εξισωση του κυκλου, που εφαπτεται στις ευθειες
ε1 : 3x+4y-24 = 0 ε2 : 4x-3y+18 = 0,
οταν ενα απ’τα σημεια επαφης ειναι το σημειο Α ( -3, 2)
Ειναι
4∙(-3) - 3∙2 +18 = -12-6+18 = 0, οποτε Α ε2 .
Με γνωστα δυο εφαπτομενες του κυκλου και ενα σημειο επαφης
● Ισχυει d(Κ,ε1 ) = d(Κ,ε2 ) ( = ρ ), οποτε δημιουργω εξισωση με α γνω-
στους τις συντεταγμενες του κεντρου Κ
● Η ευθεια ΚΑ ειναι καθετη στην ε1 (αν Α ε1 ) η στην ε2 (αν Α ε1 ) ο-
ποτε δημιουργω εξισωση με αγνωστους τις συντεταγμενες του
κεντρου Κ
● Λυνω το συστημα των πιο πανω εξισωσεων

Δηλαδη το κεντρο Κ βρισκεται στην ευθεια
ΚΑ.
Ακομη
2εΚΑ ΚΑ ΚΑ
4 3
λ × λ =-1`λ × =-1`λ =-
3 4
Αρα η ευθεια ΚΑ εχει εξισωση :
3
y-2=- (x+3)`...`3x+4y+1= 0
4
Aν Κ(α,β) τοτε
 3α+4β+1 = 0 (1) (αφου Κ ΚΑ)
 d(Κ,ε1 ) = d(Κ,ε2 )`
2 2 2 2
| 3α+4β-24| | 4α-3β+18|
= `
3 +4 4 +(-3)
3α+4β-24 4α-3β+18
| 3α+4β-24| | 4α-3β+18|` `
3α+4β-24 4α+3β-18
α-7β+42 0 (2)
7α+β-6 0 (3)
3α+4β=-1 3α+4β=-1 3α+4β=-1 α=-7
α-7β=-42 -3α+21β= 126 25β= 125 β= 5
1
Κ (-7,5)
2 2 2 2
2 2
2
3α+4β=-1 3α+4β=-1 3α+4β=-1 α= 1
7α+β= 6 -28α-4β=-24 -25α=-25 β= 5
Επισης
| 4 1-3 (-1)+18| | 4+3+18| 25
=d(Κ ,ε )|= = = =
5253 +(-4)
η αλλιως:
=| Κ Α|= (-3-1) +(2+1) = 16 9 = 25 =
2
Κ (1,-1)
ρ 5
ρ 5
Εχουμε δυο εξισωσεις κυκλου
 Για Κ(-7 , 5) και ρ = 5 : 2 2 2
(x+7) +(y-5) =5
 Για Κ(1, -1) και ρ = 5 : 2 2 2
(x-1) +(y+1) =5
ΣΧΟΛΙΟ
Μια παραλλαγη ειναι να δινονται τρεις εφαπτομενες ε 1 , ε2 , ε3 ...
λυνουμε το συστημα
1 2
1 3
d(K,ε )=d(K,ε )
d(K,ε )=d(K,ε )
(η αλλο συνδυασμο) προκειμενου
να προσδιορισουμε τις συντεταγμενες του κεντρου Κ και ...

2 2
Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης του κυκλου c:x +y = 5 που
διερχεται απο το σημειο Α(5,0).
Η εφαπτομενη διερχεται απο το σημειο
Α(5, 0)
ετσι
1 1
5x +0 y = 5
Επομενως 1
x = 1
Λυνουμε το συστημα
1
2 2
1 12 2
1 1
x = 1
1 +y = 5 y = 2
x +y = 5
οποτε
υπαρχουν δυο σημεια επαφης, τα
1
M (1,2) και 2
M (1,-2) και οι αντιστοιχες
εφαπτομενες ειναι οι:
x+2y= 5 και x-2y= 5
ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΥΚΛΟΥ
Με γνωστα, την εξισωση του κυκλου (μορφης χ2
+y2
=ρ2
) και σημειο
απ’το οποιο διερχεται η εφαπτομενη
● Αν γνωριζουμε το σημειο επαφης Α(x1 ,y1 ), απλα χρησιμοποιουμε
τη σχεση : x1 ∙x+y1 ∙y=ρ2
● Αν δεν γνωριζουμε το σημειο επαφης Α(x 1 , y1 ), αλλα σημειο
Β(x2 , y2 ) που διερχεται η εφαπτομενη ε, χρησιμοποιουμε τις
σχεσεις προκειμενου να βρουμε το σημειο Α :
x1
2
+y1
2
=ρ2
(1) (Α c) και x2 ∙x1 +y2 ∙y1 =ρ2
(2) (Β ε) .

2 2
Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης (ε) κυκλου c: x +y = 4, που
ειναι παραλληλη στην ευθεια (δ): 4x-3y= 5.
0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
0ε δ
0
2
2 2
0 0 0
0 0
0 0
Αν Μ(x ,y ) ειναι το σημειο επαφης και
επειδη (ε)||(δ), τοτε
x +y = 4 x +y = 4
xx +yy = 4 xx +yy = 4
xλ = λ 4
- =
y 3
4 16
- y +y = 4 y +y
3 9
xx +yy = 4
4
x =- y
3
2
0
0 0
0 0
2 0
0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
= 4
xx +yy = 4
4
x =- y
3
6
y =± 6 825y = 36 5 y = ,x =- και
5 5
xx +yy = 4 xx +yy = 4
6 8
y =- ,x = και4 4
5 5x =- y x =- y
3 3
1
2
(ε ): 4x-3y=-10
(ε ): 4x-3y= 10
Α λ λ ι ω ς
Με γνωστα, το κεντρο του κυκλου Κ(0,0) και η εφαπτομενη (ε)
παραλληλη (καθετη) σε γνωστη ευθεια (δ)
● Αν το σημειο επαφης ειναι Α(x0 ,y0 ), τοτε ισχυουν:
x0
2
+y0
2
=ρ2
(1) (Α c), x0 ∙x+y0 ∙y=ρ2
(2) (Β ε) και λε = λδ (3)
Λυνοντας το συστημα των (1) και (3) βρισκουμε τα x 0 , y0
● Αλλη αντιμετωπιση
Αν η ευθεια (δ) ειναι της μορφης α x + β y + γ = 0 και (ε) || (δ)
(η (ε) ⊥ (δ)), τοτε η ευθεια (ε) ειναι της μορφης α x + β y + κ = 0
( η β x - α y + κ = 0 ).
Απ’τη σχεση d ( Κ , ε ) = ρ προσδιοριζουμε την τιμη του κ

2 2
Αφου (ε)||(δ) τοτε η (ε) ειναι της μορφης
Η (ε) εφαπτεται στον κυκλο (c) αν:
| 4× 0+(-3)× 0-κ| |-κ|
d(K,ε)= ρ = 2 = 2 | κ|= 10
254 +(-3)
Οποτε η εξισωση της εφαπτομενης
(ε): 4x-3y= κ
κ=±10
ειναι:
η1 2
(ε ): 4x-3y=-10 (ε ): 4x-3y=10
2 2
Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης (ε) κυκλουc:(x-3) +(y+1) = 25,
στο σημειο Α(-1,2).
0 0
0 0
2 2
Αν Μ(x ,y ) ενα τυχαιο σημειο της (ε),τοτε:
ΑΜ=(x +1,y -2)
κεντρο Κ(3,-1)
c:(x-3) +(y+1) = 25
ακτινα ρ= 5
και ΚΑ=(-4,3)
Ομως
ΚΑ ΜΑ ΚΑ× ΜΑ= 0
(-4,3) ( 0 0
x +1,y -2)= 0
Με γνωστα, την εξισωση του κυκλου c: (x–x0 )2
+(y–y0 )2
=ρ2
και το
σημειο επαφης Α(x1 ,y1 )
● Θεωρουμε τυχαιο σημειο Μ(α, β) της εφαπτομενης (ε)
Δημιουργουμε τα διανυσματα .
Χρησιμοποιουμε τη σχεση:
● Μετασχηματιζουμε την εξισωση της εφαπτομενης (ε): y = λ x + β
στη μορφη Αx+By+Γ=0, οπου Α = λ , Β = - 1 και Γ = β.
Στη συνεχεια λυνουμε το συστημα των εξισωσεων :
Α ( ε ) (1) και d ( Κ , ε ) = ρ (2)

0 0 0 0
-4×(x +1)+3×(y -2)= 0 -4x -4+3y -6 = 0
Οποτε η εξισωση της εφαπτομενης ειναι:
0 0
4x -3y +10= 0
(ε): 4x-3y+10= 0
2 2 2 22 2
Αν (ε): y= αx+β (δηλαδη Α= α, Β=-1, Γ= β αν(ε): Αx+Βy+Γ= 0)
2=-α+β 2+α= β 2+α= β
Α (ε)
| α× 3+(-1)×(-1)+β| | 3α+1+β| | 3α+1+2+α|
5= 5=5=ρ= d(K,ε)
α +(-1) α +1α +1
2+α= β
Αλλιως
2 22 2
2 2
2 2
2+α= β 2+α= β
| 4α+3|
5= 25α +25= 16α +24α+925(α +1)=(4α+3)
α +1
10
2+α= β β=
2+α= β2+α= β 3 4 10
y= x+4
3 34α=9α -24α+16 = 0 (3α-4) = 0
α=3
3
(ε): 4x-3y+10= 0
2 2
Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης (ε) κυκλου c:(x-3) +(y+1) = 25,
που διερχεται απ'το σημειο Α(2,6).
Αν(ε): y= αx+β
(δηλαδη Α= α, Β=-1, Γ= β αν (ε): Αx+Βy+Γ= 0)
Με γνωστα, την εξισωση του κυκλου c: (x–x0 )2
+(y–y0 )2
=ρ2
και το
σημειο Α(x1 ,y1 ) απ’οπου διερχεται η εφαπτομενη (ε) του κυκλου
● Μετασχηματιζουμε την εξισωση της εφαπτομενης (ε): y = λ x + β
στη μορφη Α x + B y + Γ = 0 , οπου Α = λ , Β = - 1 και Γ = β.
Στη συνεχεια λυνουμε το συστημα των εξισωσεων :
Α (ε) (1) και d (Κ , ε) = ρ (2)

2 2
2
2 2
6 = 2α+β
Α (ε)
| α× 3+(-1)×(-1)+β|
5=ρ= d(K,ε)
α +(-1)
6 = 2α+β
| 3α+1+β|
5=
α +1
6 = 2α+β 2+α= β
| 3α+1+2+α| | 4α+3|
5= 5=
α +1 α +1
2 2
2 2 2
2
6 = 2α+β
25(α +1)=(4α+3)
6 = 2α+β 6 = 2α+β
25α +25= 16α +24α+9 9α -24α+16 = 0
6 = 2α+β β=
2+α= β
4
α=(3α-4) = 0
3
10
3 4 10
y= x+
3 34
α=
3
(ε): 4x-3y+10= 0
2 2
Δινεται ο κυκλος c:(x-2) +(y+1) = 9 και το σημειο Μ(1,1).
Να βρεθει η εξισωση της χορδης ΑΒ του κυκλου που εχει μεσο το Μ.
Eστω Α(χ,y)
ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΚΥΚΛΟΥ
Με γνωστα, την εξισωση του κυκλου μορφης: (x–x0 )2
+(y–y0 )2
=ρ2
και το μεσο Μ της χορδης του Α, Β
● Η ΚΜ τεμνει καθετα την ΑΒ (Γεωμετρια)
●

H KM τεμνει καθετα την ΑΒ (Γεωμετρια)
ΑΜ=(1-χ,1-y)
KΜ=(1-2,1-(-1))=(-1,2)
Ετσι
ΑΜ `ΑΜ 0`(1-χ,1-y)(-1,2) 0
` 1 (1-χ) 2 (1-y) 0`-1+x+2-2y= 0
`
Δηλαδη η ζητουμενη
x-2y+1= 0
εξισωση: x-2y+1= 0
2 2 2 2
1 2
Να βρεθει η εξισωση της κοινης χορδης των κυκλων:
c :(x+1) +(y-3) = 9 και c :(x-2) +(y+1) = 16
2 2
2 2
2
Αν Μ(α,β) ενα κοινο σημειο των κυκλων,
τοτε οι συντεταγμενες του επαληθευουν
τις εξισωσεις των δυο κυκλων. Ετσι
(α+1) +(β-3) = 9
(α-2) +(β+1) = 16
α 2
+2α+1+ β
2
-6β+9 = 9
α 2
-4α+4+ β
(-)
+2β+1= 16
3α-4β+6 = 0
Δηλαδη το κοινο σημειο Μ (ενα τυχαιο
απ'τα κοινα) ανηκει στην ευθεια:
ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΟΙΝΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΚΥΚΛΩΝ
Με γνωστα, τις εξισωσεις δυο κυκλων μορφης : (x–x0 )2
+(y–y0 )2
=ρ2
● Θεωρουμε οτι ενα απ’τα κοινα σημεια ειναι τ ο Μ(α,β), οι συντεταγ-
μενες του οποιου επαληθευουν τις εξισωσεις των δυο κυκλων.
Η λυση του συστηματος των εξισωσεων ως προς α, β που προκυ -
πτει, δινει το ζητουμενο

, που αποτελει την εξισωση της κοινης χορδης.3x-4y+6 = 0
Ν εξετασετε τη θεση των σημειων Α(1,1), Β(5,2) και Γ(2, -4) ως προς
το κυκλο 2 2
x +y -4x+2y-4= 0.
Ο κυκλος γραφεται 2 2 2
(x-2) +(y+1) = 3 ,
επομενως εχει κεντρο το σημειο Κ(2,-1)
και ακτινα ρ = 3 .
Η αποσταση του κεντρου Κ απ ’τα σημεια
ειναι ιση με
2 2
1
d =(KM)= (1-2) (1 1) = 5 3
το σημειο Α ειναι εσωτερικο του κυκλου
2 2
2
d =(KΒ)= (5-2) (2 1) =3 2 3
το σημειο Β ειναι εξωτερικο του κυκλου
2 2
1
d =(KM)= (1-2) (1 1) = 5 3
το σημειο Α ειναι εσωτερικο του κυκλου
Αποδειξτε οτι η ευθεια xσυνφ+yημφ= 4ημφ-2συνφ+4 εφαπτεται του
κυκλου 2 2
x +y +4x-8y+4= 0.
ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ (ΚΥΚΛΟΥ-ΕΥΘΕΙΑΣ)
● Με δοσμενες τις εξισωσεις του κυκλου και της ευθειας β ρισκουμε
τη σχεση της αποστασης d του κεντρου του κυκλου απ’την ευθεια
ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ (ΚΥΚΛΟΥ-ΣΗΜΕΙΟΥ)
● Με δοσμενη την εξισωση του κυκλου και σημειο Μ, βρισκουμε
τη σχεση της αποστασης d του κεντρου του κυκλου απ’το σημειο

Ο κυκλος γραφεται 2 2 2
(x+2) +(y-4) = 4 ,
επομενως εχει κεντρο το σημειο Κ(- 2, 4)
Η αποσταση του κεντρου Κ απο την ευθεια
συνφ× x+ημφ× y-4ημφ+2συνφ-4= 0 ειναι
ιση με
2 2
|-2συνφ+4ημφ-4ημφ+2συνφ-4|
d=
ημ φ+συν φ
=|-4|= 4= ρ
Αρα, η ευθεια εφαπτεται στον κυκλο.
2 2 2 2
1 2
Δειξτε οτι οι κυκλοι: c : x +y = 9 και c : x +y -6x-8y+21= 0
εφαπτονται εξωτερικα και στη συνεχεια να βρειτε το σημειο επαφης Α.
2 2
2 2
1
2
x +y -6x-8y+21= 0
(x -6x+9)+(y -8y+16)= 4
(
(c ) κεντρο Ο(0,0) και ακτινα R= 3
(c ) κεντρο Κ(3,4) και ακτινα ρ= 2
Για να εφαπτονται εξωτερικα πρεπει:
ΟΚ= R+ρ= 3+2= 5
Πραγ
2 2
x-3) +(y-4) = 4
2 2
ματι,
(3-0) +(4-0) = 9 +16 = 25| ΟΚ|= = 5
ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ (ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)
● Με δοσμενες τις εξισωσεις των κυκλων, αν Ο, Κ τα κεντρα των
κυκλων, εξεταζουμε τη σχεση του τμηματος ΟΚ με τις ακτινες
των δυο κυκλων

2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 22
2
Ακομη
x +y = 9
x +y = 9 x +y = 9
15-4y
9-6x-8y+21= 0x +y -6x-8y+21= 0 x=
3
15-4y
225-120y+16y +9y = 81 25y -120y+144= 0+y = 9
3
15-4y 15-4y
x= x=15-4y
x= 3 3
3
(5y) -2 12 2 2
5y+12 = 0 (5y-12) = 0
15-4y 15-4y
x= x=
3 3
12
y=
5 9 12
Α ,
5 59
x=
5
2 2
Να βρεθουν οι εξισωσεις των κυκλων, οι οποιοι εφαπτονται στο κυκλο
c:(x-3) +(y-2) = 16 στο σημειο Α(-1,2) και εχουν ακτινα ρ= 2.
0 0
Ο κυκλος (c) εχει κεντρο Ο(3,2) και ακτινα R= 4
Εστω Κ(x ,y ) το κεντρο ενος απ'τους ζητουμενους κυκλους, οποτε:
ΟΑ=(-1-3,2-2)=(-4,0)
0 0
0 0
ΑΚ=(x +1,y -2)
ΟΑ=(-4,0)
ΟΚ=(x -3,y -2)
Κ,Α,Ο συνευθειακα
ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ (ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ)
Με γνωστα, την ακτινα του ζητουμενου κυκλου, το σημειο επαφης
και την εξισωση του αλλου κυκλου
Αν Ο το κεντρο του δοσμενου κυκλου και Κ του ζητουμενου:
● Τα σημεια Κ, Ο, Α ειναι συνευθειακα
● Δημιουργουμε τα διανυσματα: .
● Εφαπτονται εξωτερικα αν:
● Εφαπτονται εσωτερικα αν:

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Αν οι κυκλοι εφαπτονται εξωτερικα:
ΟΚ= ΟΑ+ΑΚ= R+ρ= 4+2= 6 = 3ρ= 3ΑΚ
(x -3,y -2)= 3(x +1,y -2)
(x -3,y -2)=(3x +3,3y -6)
x -3= 3x +3 2x =-6 x =-3
y -2= 3y -6 2y = 4 y = 2
ΟΚ= 3ΑΚ
2 2
1
c :(x+3) +(y-2) = 4
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0
0
Αν οι κυκλοι εφαπτονται εσωτερικα:
Ειναι: ΟΚ= ΟΑ-ΚΑ= R-ρ= 4-2= 2= ρ= ΚΑ
Ετσι
x -3=-x -1 2x = 2
(x -3,y -2)=-(x +1,y -2)
y -2= 2-y 2y = 4
x = 1
y = 2
2
2
ΟΚ= ΚΑ
c :(x-1) +(y- 2
2) = 4
2 2
Να βρεθει το κεντρο και η ακτινα του κυκλου με εξισωση:
x +y -6x-4y-3= 0
Ειναι, Α=-6, Β=-4 και Γ=-3
Αφου
ΕΥΡΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΥ - ΑΚΤΙΝΑΣ ΚΥΚΛΟΥ
Με γνωστη, την εξισωση του κυκλου Αx + Βy + Γ = 0
● Δειχνω οτι Α 2
+ Β 2
– 4 Γ > 0 και παιρνουμε:
Κεντρο το σημειο Κ Ακτινα
● Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη εξισωση σε μορφη
(x–x0 )2
+(y–y0 )2
=ρ2

2 2 2 2
2 2
Α +Β -4Γ=(-6) +(-4) -4 (-3)
= 36 +16 +12= 64> 0
η εξισωση παριστανει κυκλο με:
Α +Β -4Γ 64
ακτινα: =
2 2
-Α -Β 6 4
κεντρο: Κ , = Κ , =
2 2 2 2
ρ= = 4
Κ(3,2)
2 2
2 2
2 2
x +y -6x-4y-3= 0
x -6x +y -4y -3=
(x -6x+9)+(y -4y+4)= 16
η εξισωση παριστανει κυκλο με: ακτινα
+
και
4
κε
9
ντρο
4+ + 9
2 2
Αλλιως
(x-3) +(y-2) = 16
ρ= 4 Κ(3,2)
Δινονται οι κυκλοι c: x2
+ y2
+ λ x – (3λ + 1 0)y = 0 , λ .
Na δειχτει οτι ολοι οι κυκλοι αυτης της οικογενειας διερχονται απο δυο
σταθερα σημεια.
ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΥΚΛΩΝ
Με γνωστη, την εξισωση του κυκλου που περιεχει πραγματικη παρα-
μετρο
● Πρωτα δειχνουμε οτι η δοσμενη εξισωση παριστανει εξισωση κυ-
κλου
● Βρισκουμε τα σταθερα σημεια:
● Ειτε δινοντας δυο τυχαιες τιμες στην παραμετρο, οποτε το συ -
στημα που προκυπτει δινει το ζητουμενο σημειο.
Πρεπει να δειξουμε οτι οι συντεταγμενες του σημειου επαλη -
θευουν την αρχικη εξισωση
● Ειτε μετασχηματιζοντας τη δοσμενη σαν πολυωνυμο ως προς
την παραμετρο.
Απαιτουμε ολοι οι συντελεστες του πολυωνυμου να ειναι ισοι με
μηδεν

2 2
2 2 2 2 2 2
2
Για να παριστανει η x +y +λx-(3λ+10)y= 0 (1)
εξισωση κυκλου πρεπει:
A +B -4Γ> 0 +(3λ+10) > 0 +9λ +60λ+100> 0
λ +6λ+10> 0
Η τελευταια αληθευει αφου:
Δ= 36-4× 10=-
2 2
4< 0 οποτε τριωνυμο ομοσημο του α(= 1)
Για λ= 0 η (1) γινεται:
x +y -10y= 0 (2)
2 2
Για λ= 1 η (1) γινεται: x +y +x-13y= 0 (3)
2 2 2 2
2 2
2 2 2
Λυνουμε το συστημα των (2),(3)
x +y -10y= 0 x +y = 10y
10y+x-13y= 0x +y +x-13y= 0
9y +y = 10y 10y -10y= 0
x= 3y x= 3y
y= 0
y= 0
x= 0y(y-1)= 0
~ y= 1
x= 3y y= 1
x= 3y
x=
και
3
A(0,0)
B(3,1)
2 2
2 2
2 2 2 2
Α: 0 +0 +λ× 0-(3λ+10)× 0= 0
Β: 3 +1 +λ× 3-(3λ+10)× 1= 9 +1+3λ-3λ-10= 0
Δηλαδη οι συντεταγμενες των σημειων Α και Β επαληθευουν την (1).
x +y +λx-(3λ+10)y= 0 x +y +λx-3λy-10y= 0
(x-3y
Αλλιως
2 2
2 2 2 2 2
)λ+x +y -10y= 0
Πρεπει
x-3y= 0 x= 3y x= 3y y(y-1)= 0
x +y -10y= 0 9y +y -10y= 0 10y -10y= 0 x= 3y
y= 0
καιy= 1
x= 3y
A(0,0)
B(3,1)

Εστω σημειο Α(3-3ημφ,1+3συνφ), με 0 φ< π. Να αποδειχτει οτι το ση-
μειο Α κινειται σε κυκλο, του οποιου να βρειτε το κεντρο και την ακτινα.
2 2
ημ φ+συν φ=1
Α Α
Α Α
2 2
Α Α
Ειναι
x = 3-3ημφ 3ημφ= 3-x
y = 1+3συνφ 3συνφ= y -1
(3-x ) +(y -1) = 9
Δηλαδη το σημειο Α κινειται στον κυκλο
που εχει κεντρο το
2 2
Α Α
2 2
(x -3) +(y -1) = 9
c:(x-3) +(y-1) = 9
σημειο και
ακτινα
Κ(3,1)
ρ= 3
2 2
Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων των κυκλων με εξισωση
x +y +(λ-2)x-λy+λ-5= 0, λ
Ειναι
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ
Με γνωστο, σημειο με συντεταγμενες τριγωνομετρικους αριθμους
η συνδεονται με παραμετρο εξισωση του κυκλου που περιεχει
πραγματικη παραμετρο
● Αν οι συντεταγμενες x, y του σημειου Μ συνδεονται με παραμε-
τρο λ (η τριγωνομετρικους αριθμους) τοτε απαλειφουμε την πα -
ραμετρο μεταξυ των συντεταγμενων ( τους τρ.αριθμους χρησι -
μοποιωντας καποια σχεση) και καταληγουμε σε εξισωση που ειναι
συναρτηση των x, y

2 2 2 2
2 2
2
Α +Β -4Γ=(λ-2) +(-λ) -4(λ-5)
=λ -4λ+4+λ -4λ+20
=λ -4λ+12> 0
Αφου Δ= 16-48=-32< 0
Αν τα κεντρα ειναι της μορφης Κ(x,y)
A
x=-
2
y=-
λ-2
x=-
λ=-2x+22
B -λ λ= 2y
y=-
2 2
-2x+2=2y
H (1) ειναι ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος.
x+y-1= 0 (1)
2 2
Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των μεσων των χορδων του κυκλου
c:(x-1) +(y-2) = 5, οι οποιες διερχονται απ'το σημειο Α(3,-4).
Αν Μ(x,y) το μεσο μιας χορδης ΒΓπου
διερχεται απ'το σημειο Α(3,4) και αφου
Κ(1,2) το κεντρο του κυκλου, τοτε:
ΚΜ=(x-1,y-2) και ΑΜ=(x-3,y+4)
Ομως,
η ακτινα του κυκλου ειναι καθετη στη
χορδη στο μεσο της.
Ετσι
Με γνωστη, σχεση που αναγεται σε καθετες ευθειες, οπως
’’... φαινεται υπο ορθη γωνια ...’’’, ’’... μεσα χορδων ...’’ κλπ
● Χρησιμοποιουμε τη σχεση των καθετων διανυσματων

2 2
2 2
ΚΜ ΑΜ= 0 (x-1,y-2) (x-3,y+4)= 0
(x-1)(x-3)+(y-2)(y+4)= 0
x -3x-x+3+y +4y-2y-8= 0
x -4x+y +2y-5= 0
2 2
(x -4x+4)+(y +2y+1)= 10
Οποτε τα μεσα των χορδων κινουνται σε
κυκλο με κεντρο και ακτινα
2 2
(x-2) +(y+1) = 10
Ο(2,-1) ρ= 10
ο
Δινονται τα σημεια Α(-1,2) και Β(5,10).
Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ, για τα οποια ΑΜΒ= 90 .
ο
2 2
Αν Μ(x,y) ειναι ενα τυχαιο σημειο του
γεωμετρικου τοπου, τοτε:
και
Ετσι
ΑΜΒ= 90 ΑΜ ΒΜ= 0
(x+1,y-2)(x-5,y-10)= 0
(x+1)(x-5)+(y-2)(y-10)= 0
x -5x+x-5+y -10y-2y+
ΑΜ=(x+1,y-2) ΒΜ=(x-5,y-10)
2 2 2 2
20= 0
x -4x+y -12y+15= 0 (x -4x+4)+(y -12y+36)+15= 4+36
Οποτε
Τα σημεια Μ κινουνται σε κυκλο με κεντρο και ακτινα
2 2
(x-2) +(y-6) = 25
Κ(2,6) ρ= 5

Εστω τριγωνο με κορυφες A(3,5), B(2,-4) και Γ(-5,-1).
Να αποδειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ για τα οποια
ισχυει 2 2 2
ΜΑ +ΜΒ +ΜΓ =107 ειναι κυκλος με κεντρο το κεντρο βαρους
του τριγωνου ΑΒΓ
Ενα σημειο M(x, y) ειναι σημειο του γεωμε-
τρικου τοπου,
αν και μονο αν ισχυει
2 2 2
MA +MB +MΓ =107
2 2 2 2 2
2
(x-3) +(y-5) +(x-2) +(y+4) +(x+5)
+(y+1) = 107
2 2
3x +3y = 27
2 2 2
x +y = 3
Αρα,
ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ
ειναι ο κυκλος με κεντρο το σημειο Ο(0, 0)
Το κεντρο του κυκλου αυτου ειναι το κεντρο βαρους του τριγωνου ΑΒΓ,
αφου
3+2-5
= 0
3
και
5-4-1
= 0
3
Με γνωστη, σχεση ευθυγραμμων τμηματων
● Με χρηση του μετρου τμηματων για τη δοσμενη σχεση καταλη-
γουμε σε εξισωση των συντεταγμενων x, y του Μ, που αποτελει
τον γεωμετρικο τοπο

2 2
Εστω ο κυκλος c: x +y -8x+2y+8= 0 και το σημειο Μ(1,3).
Bρειτε τα σημεια του κυκλου c, που απεχουν την ελαχιστη και τη με-
γιστη αποσταση απ'το σημειο Μ.
2 2
2 2
2 2
min
Ειναι
x +y -8x+2y+ = 0
x -8x+ +y +2y+ =
Αρα το κεντρο του κυκλου ειναι Κ(4,-1)
και η ακτινα του ρ= 3
d d(Κ,Μ)= (1-4) (3+1) = 9 16 5
d(Κ,c
8
16 1 9
2 2
x-4) +(y+1) = 9(
max
)= d 5 3 2
d(Κ,c)= d 5 3 8
ΣΧΟΛΙΟ
Αναλογα λυνουμε, αν ζητουμε μεγιστη -ελαχιστη αποστασης ευθειας ε
απο κυκλο.
Βρισκουμε την αποσταση του κεντρου Κ απ ’την ευθεια ε και ...
ΜΕΓΙΣΤΗ - ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ
Με γνωστη, την εξισωση του κυκλου και το σημειο Μ
● Βρισκουμε την αποσταση d του κεντρου του κυκλου Κ απ’το ση-
μειο Μ
οπου ρ η ακτινα του κυκλου

Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η . . .
01.
1
Να βρεθει η εξισωση κυκλου με κεντρο την αρχη των αξονων αν:
διερχεται απ'το σημειο Α( 2, 2)
διερχεται απ'το σημειο Β(2α-3β,3α+2β)
εφαπτεται στην ευθεια (ε ): x+y
2
2 2
1
= 1
εφαπτεται στην ευθεια (ε ): αx+βy= αβ
Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης κυκλου c: x +y = 10, αν:
ειναι παραλληλη στην ευθεια(ε ): x+3y= 4
ειναι καθετη στην ευθει 2
1
α (ε ): y= x
3
διερχεται απ'το σημειο Α(-10,0)
02.
Να βρεθει η εξισωση του κυκλου σε καθεμια απο τις περιπτωσεις:
 εχει κεντρο το σημειο Κ(- 3, 2), και εφαπτεται στον αξονα y΄y
 εχει κεντρο το σημειο Κ(3, 3) και εφαπτεται των αξονων x ΄x και y΄y
 εχει κεντρο την αρχη των αξονων και εφαπτεται της ευθειας
3x + y = 10
 εχει κεντρο το σημειο Κ(- 3, 1) και εφαπτεται στην ευθεια
4x - 3y + 5 = 0
 εχει ακτινα 4, εφαπτεται στον αξονα x΄x και διερχεται απο το ση-
μειο Α(5, 4)
 διερχεται απο τα σημεια Α(3, 1), Β(- 1, 3) και εχει κεντρο πανω
στην ευθεια y = 3x – 2
 περνα απο τα σημεια Α(2,1), Β(1,2), Γ (
15
2
,
1
2
)

04.
2 2
2 2
2 2
2 2
Να βρεθει το κεντρο και η ακτινα του κυκλου που εχει εξισωση:
x +y -2x-4y= 0
x +y -2y-1= 0
3x +3y +6x-4y-1= 0
x +y +2αx-2βy-2αβ= 0
06.
Να βρειτε την εξισωση του κυκλου, ο οποιος ειναι εγγεγραμμενος
στο τριγωνο που σχηματιζει η ευθεια ε: x + y - 6 = 0 με τους αξονες
x΄x και y΄y
03.
Να βρειτε την εξισωση του κυκλου που εφα πτεται στην ευθεια
ε: y = x και ειναι ομοκεντρος του κυκλου x 2
+ y 2
- 2x + 4y +1 = 0
05.
Να βρεθει η εξισωση κυκλου αν:
εχει κεντρο Κ(1,1) και διερχεται απ'την αρχη των αξονων.
εχει διαμετρο το ευθυγραμμο τμημα ΑΒ με Α(1,4) και Β(-3,2).
εχει ακτινα ρ= 5 και τεμνει τον y'y στα σημεια Α(0,-3) και Β(0,5).

07.
Δινεται ο κυκλος x 2
+ y 2
- 2x - 1 = 0 και η ευθεια ε: y = x - 3.
Να αποδειξετε οτι η ευθεια εφαπτεται του κυκλου και στη συνεχεια να
βρειτε το σημειο επαφης
08.
2 2
Δινεται κυκλος με εξισωση x +y -2x+2y-7= 0
Να βρεθει το μηκος της χορδης του που εχει μεσο το Μ(0,-1)
Να προσδιοριστει ο λ , ωστε το κεντρο του κυκλου να βρισκετ
2 2 2 2
1 2
αι
στην (λ-1)x+y-2λ+1= 0
Δινονται οι κυκλοι c : x +y +αx+βy= 0 και c : x +y +βx+αy= 0, α β
2
Να δειχτει οτι τομηκος της κοινης τους χορδης ειναι: | α+β|.
2
09.
Να βρεθει η εξισωση κυκλου αν διερχεται απ'τα σημεια Α(2,1),Β(-1,4)
και το κεντρο του βρισκεται στην ευθεια (ε): 4x-5y+11= 0
10.
Να βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχεται απ'τα σημεια
Α(-1,5), Β(5,5) και Γ(-2,-2)

11.
Να βρειτε τις εξισωσεις των κυκλων, οι οποιοι εφαπτονται στο κυκλο:
x 2
+ y 2
= 25 στο σημειο Α(3, 4) και εχουν ακτινα ρ = 1 0
12.
Να βρεθει η εξισωση της κοινης χορδης δυο κυκλων με κεντρα Κ(1,2)
και Λ(3,1) που εχουν ακτινες 3 και 2 αντιστοιχα.
13.
Να βρεθει η εξισωση του κυκλου που εχει το κεντρο του στην ευθεια
(ε): 2x + y + 1 = 0 και διερχεται απο τα σημεια Α(- 1, 2) και Β (3, - 1)
14.
Να αποδειχτει οτι καθως το θ διαγραφει το διαστημα [0,2π) το σημειο
Μ(α+ρημθ,β+ρημθ) διαγραφει τον κυκλο με κεντρο Κ(α,β) και ακτινα ρ.
15.
Εστω κυκλος C: x2
+y2
+4y=0 και σημειο Α(-1,-1). Να βρεθει η εξισω-
ση της ευθειας ε που οριζει στον κυκλο χορδη, με μεσο το σημειο Α
16.
2 2
Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης κυκλου c: x +y = 10, αν διερ-
χεται απ'το σημειο Α(-10,0).

17.
Απο τυχαιο σημειο Μ του επιπεδου Οxy φερνουμε τη ΜΑ y'y και τη
ΜΒ καθετη στην ευθεια ε: y = x.
Αν (ΑΒ) = 4 να βρειτε το γεωμετρικο τοπο του σημειου Μ
18.
Να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των
 σημειων Μ για τα οποια ισχυει | ΜΑ|= 2, οπου Α(2, 1),
 σημειων Μ για τα οποια ισχυει ΜΑ ΜΒ, οπου Α(1, 0) και Β(- 1, 0),
 μεσων Μ των ευθυγραμμων τμηματων ΑΒ μηκους 8, των οποιων
τα ακρα Α και Β κινουνται στους αξονες x'x και y'y αντιστοιχα .
19.
Δινεται κυκλος c: x 2
+ y 2
= 4 και σημειο Κ(5,0). Απο το Κ φερνουμε
τυχαια ευθεια που τεμνει τον C στα σημεια Α και Β.
Να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των με σων των χορδων ΑΒ.
20.
2 2
1
2
Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης κυκλου c: x +y = 10, αν:
ειναι παραλληλη στην ευθεια (ε ): x+3y= 4
1
ειναι καθετη στην ευθεια (ε ): y= x
3

21.
Δινεται η εξισωση (Cλ ): x2
+y2
+(λ-2)x-2(λ+2)y+13λ-20=0, λ
 Να αποδειξετε οτι η εξισωση παριστανει κυκλο για καθε λ
 Να βρειτε το κεντρο του παραπανω κυκλου και να δε ιξετε οτι αυτο
κινειται σε ευθεια για καθε λ
 Να αποδειξετε οτι ο κυκλος (C λ ) διερχεται απο δυο σταθερα σημεια
22.
2 2
2 2 2 2
Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης του κυκλου, αν:
c: x +y -2x-4y+1= 0 στο σημειο Α(-1,2)
c: x +y +2αx-4βy-3α +4β = 0 στο σημειο Α(α,2β)
μεγιστη τιμή της συναρτησης h με τύπο
h(x)=
23.
Δινεται η ευθεια ε: y = x + 2 και ο κυκλος C: x 2
+ y 2
+ λ x – λ y = 0.
Να προσδιορισετε το λ ωστε
 η ε να τεμνει τον κυκλο C,
 η χορδη που οριζει η ε στον κυκλο C να φαινεται απο την αρχη των
αξονων υπο ορθη γωνια.
24.
2 2
Να βρεθει ο γ.τ. των μεσων των χορδων του κυκλου c: x +y -2αx= 0
που διερχονται απο την αρχη των αξονων.

25.
Να βρεθουν οι εξισωσεις των κυκλων, οι οποιοι εφαπτονται στον κυ-
κλο με κεντρο Ο(0,0) και ακτινα R= 5, στο σημειο Α(3,4) και εχουν
ακτινα ρ= 10.
Δειξτε οτι οικυκλο
2 2 2 2
1 2
ι:
c : x +y -2x-4y-4= 0 και c : x +y -8x-12y+48= 0
εφαπτονται εξωτερικα και στη συνεχεια να βρειτε το σημειο επαφης.
26.
 Να αποδειξετε οτι η εξισωση x2
+ y2
- 4x - 2αy + 2α = 4 παριστανει
κυκλο για καθε α . Να βρειτε το κεντρο και την ακτινα του.
 Για ποια τιμη του α ο παραπανω κυκλος εφαπτεται:
α) του αξονα x'x , β) της ευθειας y = - x
27.
Δινονται η ευθεια ε: 5x+3y+2= 0 και ο κυκλος 2 2
c: x +y -x-2= 0,
που τεμνονται στα σημεια Μ και Ν.
 Να δειξετε οτι για καθε λ , η εξισωση:
2 2
x +y -x-2+λ(5x+3y+2)= 0 παριστανει εναν κυκλο Cλ , ο οποιος
διερχεται απο τα σημεια Μ και Ν.
Για ποια τιμη του λ ο κυκλος περνα απο την αρχη των αξονων;
 Να δειξετε οτι τα κεντρα των κυκλων Cλ ανηκουν σε μια ευθεια ε ’,
της οποιας να βρειτε την εξισωση.
28.
Να βρεθει ο γ.τ. των σημειων Α που ειναι κορυφες ορθης γωνιας ορθο-
γωνιου τριγωνου με υποτεινουσα ΒΓ, οπου Β(α,β) και Γ(β,α) (α β).

29.
Θεωρουμε τον κυκλο C: x 2
+ y 2
= 4 και την ευθεια ε: y = 2x + 5.
 Να δειξετε οτι ο κυκλος και η ευθεια δεν εχουν κοινο σημειο.
 Απο ενα σημειο Μ της ευθειας ε φερνουμε τις εφαπτομενες στον
κυκλο και Α και Β τα σημεια επαφης. Να δειξετε οτι, οταν το σημειο
Μ διαγραφει την ευθεια ε, η ευθεια ΑΒ διερχεται απο ενα σταθερο
σημειο .
30.
2 2 2 2
1 2
Δινονται οι κυκλοι c : x +y = 1 και c :(x-2) +(y-2) = 5.
Να δειχτει οτι οι δυο κυκλοι τεμνονται στα σημεια Α και Β.
Να βρεθει η εξισωση της κοινης χορδης τους ΑΒ.
Αν 2
η παραλληλη προς την ΑΒ απ'το κεντρο του κυκλου c τεμνει
τους αξονες x'x και y'y στα σημεια Α' και Β' αντιστοιχα, να υπολογι-
στει το εμβαδον του τραπεζιου ΑΒΒ'Α'.
h(x)=
31.
2 2 2 2
1 2
1 2
Δινονται οι κυκλοι c : x +y = 1, c : x +y -4x= 0 και η ευθεια
ε: y= λx+β, λ,β
Να βρειτε τις αποστασεις των κεντρων των κυκλων c , c απ'την
ευθεια ε
Για ποιες τιμες των
1 2
λ,β η ευθεια ε ειναι κοινη εφαπτομενη των
κυκλων c , c ;
Να δειξετε οτι οι κοινες εφαπτομενες των δυο κυκλων τεμνονται
στον αξονα x'x και να βρειτε την οξεια γωνια των εφαπτομενων

32.
Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων τομης των ευθειων
(ε1 ): 2λx–(λ+1)y = 3λ–1 και (ε2 ): (3λ+1)x+(λ–1)y = 6λ-2, λ
33.
2 2
Δινεται το σημειο Ρ(10,7) και ο κυκλος (c):x +y -4x-2y-20= 0.
Nα βρεθει η μεγαλυτερη και η μικροτερη αποσταση που μπορει να εχει
ενα σημειο του κυκλου απ'το σημειο Ρ.
34.
2 2
Δειξτε οτι η ευθεια (ε): x+y-7= 0 εφαπτεται στοκυκλο
c: x +y -4x-2y-3= 0
και στη συνεχεια βρειτε το σημειο επαφης.

Παραβολη ειναι ο γεωμετρικος το τοπος
των σημειων του επιπεδου που ισαπεχουν
απο ενα σταθερο σημειο Ε (εστια) και μια
σταθερη ευθεια δ (διευθετουσα).
Ετσι, ενα σημειο Μ ειναι σημειο της παρα -
βολης με εστια Ε και διευθετουσα δ, αν:
d(Μ, δ)=ΜΕ
Ειναι μια καμπυλη που προκυ-
πτει απο τη τομη ενος κωνου
και ενος επιπεδου παραλληλου
σε μια γενετειρα του.
(Γενετειρα κωνου ειναι η ευ-
θεια που, αν περιστραφει γυρω
απ’τον αξονα του κωνου, παραγει την επιφανεια του κωνου)
 Αξονας της παραβολης ειναι η ευθεια που διερχεται απ’την εστια Ε και
ειναι καθετη στη διευθετουσα δ
 Παραμετρος της παραβολης ειναι η αποσταση της εστιας Ε απο τη δι -
ευθετουσα δ και συμβολιζεται με p (ΟΕ=p)
 Κορυφη της παραβολης ειναι το μεσο της αποσταση της εστιας Ε απο
τη διευθετουσα δ (αρχη των αξονων)
 Χορδη της παραβολης ειναι το ευθυγραμμο τμημα που τα ακρα του βρι -
σκονται πανω στη παραβολη
 Διαμετρος της παραβολης ειναι μια ευθεια παραλληλη στον α ξονα της
 Ο αξονας της παραβολης ειναι αξονας συμμε-
τριας της παραβολης
Πραγματι,
απ’ το τυχαιο σημειο Μ της παραβολης φερνουμε
καθετη στον αξονα που τεμνει τη παραβολη στο
Μ’. Ευκολα (απο Γεωμετρια) ΠΜ=ΠΜ’ και ...
 Η παραβολης βρισκεται εξ’ολοκληρου στο ημιεπι -
πεδο της καθετης ε του αξονα στο Ο που περιε-
χει την εστια
Ι δ ι ο τ η τε ς - Σ υ ν ε π ε ι ε ς

Π α ρ α β ο λ η 45
Πραγματι,
για το τυχαιο σημειο Κ του αντικειμενου επιπεδου (και σημειο της καθε -
της ε του αξονα στο Ο, εκτος του Ο) ειναι
ΚΛ<ΚΑ<ΚΕ (ευκολα απο Γεωμετρια ...)
δηλαδη ΚΕ ΚΛ που σημαινει οτι Κ δεν ειναι σημειο της παραβολης
ΣΧΟΛΙΟ
Αν Κ Ο
C
ε εφαπτομενη της παραβολης στη κορυφη
 Καθε σημειο εντος παραβολης, απεχει απο την
εστια Ε λιγοτερο απο οσο απεχει απ’τη διευθε -
τουσα δ, ενω αν το σημειο βρισκεται εκτος της
παραβολης, απεχει περισσοτερο
Πραγματι,
 για το τυχαιο σημειο Κ εκτος της παραβολης
(και σημειο της ε εκτος του Ο) ειναι
ΚΛ<ΚΑ<ΚΕ ΚΛ<ΚΕ (... απο Γεωμετρια ...)
 για το τυχαιο σημειο Μ εντος της παραβολης
ME E (...Γεωμετρια)
ME< ΠΝ ME< ΜΝ
C EΠ= ΠΝ
ΣΥΝΕΠΕΙΑ
 Η ευθεια που εχει κοινο σημειο με τη παραβολη ειναι εφαπτομενη της,
αν και μονο αν η αποσταση καθε σημειου της (εκτος του σημειου επα -
φης) απο την εστια Ε ειναι μεγαλυτερη απο την αποσταση του απ’τη
διευθετουσα δ
 Απο σημειο που βρισκεται εντος της παραβολης δεν αγεται εφαπτο -
μενη της παραβολης
 Καθε διαμετρος παραβολης εχει μονο ενα κοινο σημειο με αυτην
Σε συστημα συντεταγμενων Οxy με αρχη Ο (κορυφη της παραβολης)
και αξονα x'x τον αξονα της παραβολης θετουμε:
p p
τη τετμημενη της εστιας Ε και x=- την εξισωση τη
2 2
ς διευθετουσας δ
p p
Η εξισωση της παραβολης με εστια Ε( ,0) και διευθετουσα δ: x=- ειναι:
2 2
βρισκεται δεξια του y'y αν p> 0 και αριστερα αν p< 0
2
y = 2× p× x
Ε ξ ι σ ω σ η Π α ρ α β ο λ η ς

Σε συστημα συντεταγμενων Οxy με αρχη Ο (κορυφη της παραβολης)
και αξονα x'x τον αξονα της παραβολης θετουμε:
p p
τη τετμημενη της εστιας Ε και y=- την εξισωση τη
2 2
ς διευθετουσας δ
p p
Η εξισωση της παραβολης με εστια Ε( ,0) και διευθετουσα δ: y=- ειναι:
2 2
βρισκεται πανω του x'x αν p> 0 και κατω αν p< 0
2
x = 2× p× y
 Γ ε ν ι κ η Μ ο ρ φ η
2 2
αx +βxy+γy +δx+εy+ζ= 0
Η παραπανω εξισωση παριστανει παραβολη αν
2
4 και ισχυει ενα τουλαχιστον απ’τα a 0, γ 0
 Σ υ ν α ρ τ η σ η Π α ρ α β ο λ η
2
f(χ)= αx +βx+γ

ΣΧΟΛΙΟ
Στη περιπτωση που ο αξονας της παραβολης δεν ειναι ο χ’χ η y’y (η
κορυφη ειναι Κ(χ0 , y0 )
 Eξισωσεις: (y - y0 ) 2
= 2p(x - x0 ) η (x - x0 ) 2
= 2p(y - y0 )
 Eστια: 0 0
p
Ε x + , y
2
Διευθετουσα: η0 0
p p
x=- +x y=- +y
2 2
1 1
2
2
H εφαπτομενη στο σημειο Μ(x ,y ) της παραβολης:
y = 2× p× x εχει εξισωση
x = 2× p× y εχει εξισωση
1 1
1 1
y× y = p×(x+x )
x× x = p×(y+y )
Eστω η παραβολη c, με κορυφη Ο, εστια Ε
και ε η εφαπτομενητης στο σημειο Μ.
Τοτε:
Η καθετη ευθεια η στην εφαπτομενη ε στο
σημειο επαφης Μ, διχοτομει την γωνια ΕΜt,
οπου Mt η διαμετρος που διερχεται απ'το Μ
Ε φ α π τ ο μ ε ν η Π α ρ α β ο λ η ς
Α ν α κ λ α σ τ ι κ η Ι δ ι ο τ η τ α

 Αν δυο σημεια Μ, Μ’ της παραβολης ισαπε -
χουν απ’την εστια Ε, τοτε ειτε συμπιπτουν
ειτε ειναι συμμετρικα ως προς τον αξονα
της
 Αν Μ ειναι σημειο της παραβολης και Ε η ε -
στια της, τοτε ο κυκλος με διαμετρο ΜΕ ε-
φαπτεται στηνε εφαπτομενη της στη κο -
ρυφη Ο
 Αν Κ ειναι σημειο της παραβολης με κορυ-
φη Ο και η ΚΟ τεμνει τη διευθετουσα στο Λ
τοτε ΛΕ||ε, οπου ε η εφαπτομενη της παραβολης στο σημειο Κ
 Αν η χορδη ΚΛ εχει μεσοκαθετη τον αξονα
της παραβολης, τοτε οι εφαπτομενες της
παραβολης στα Κ, Λ τεμνονται πανω στον
αξονα και αντιστροφα
 Αν η χορδη ΒΓεχει τεμνει καθετα τον αξο -
να της παραβολης και οι εφαπτομενε της
παραβολης στα Β, Γ τεμνονται καθετα, το -
τε τοσημειο τομης τους ειναι το Α (σημειο
τομης αξονα και διευθετουσας) και η χορ -
δη ΒΓ διερχεται απ’την εστια Ε
 Αν δυο παραβολες εχουν ιδια εστια, ιδιο α -
ξονα και αντιθετες παραμετρους, τοτε τε -
μνονται σε σημεια που το καθενα δεχεται
εφαπτομενες καθετες (μια για καθε παρα -
βολη)
 Οι εφαπτομενες της παραβολης (C1 ) που
αγονται απο σημειο Ρ της διευθ ετουσας
της δ ειναι καθετες μεταξυ τους
Π ρ ο τ α σ ε ι ς

Να βρεθει η εξισωση της παραβολης με:
εστια το σημειο Ε(4,0)
διευθετουσα την ευθεια (δ): y=-2
ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 1
Με γνωστα την εστια η την διευθετουσα
● Προσδιοριζουμε τη θεση της παραβολης ως προς τους αξονες :
● Εστια μορφης Ε(α, 0) η (δ): x = β, αξονας x’x και τυπος παραβο-
λης y 2
= 2px
● Εστια μορφης Ε(0, α) η (δ): y = β, αξονας y’y και τυπος παραβο-
λης x 2
= 2py
● Προσδιοριζουμε τo p :
● Εστια μορφης Ε(α, 0) η (δ): x = β, τοτε p = 2α η p = - 2β
αντιστοιχα
● Εστια μορφης Ε(0, α) η (δ): y = β, τοτε p = 2α η p = - 2β
Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η . . .
2
Το σημειο Ε βρισκεται πανω στον αξονα
x'x οποτε η εξισωση της παραβολης ειναι
τηςμορφης:
y = 2px
p
Αφου Ε(4,0) τοτε = 4 p= 8
2
Αφου (δ): y=-2 τοτε η εσ
2
y = 16x
2
τια Ε βρισκεται
πανω στον αξονα y'y και η εξισωση της
παραβολης ειναι της μορφης:
x = 2py
p
Ακομη: - =-2 p= 4
2
2
x = 8y

Να βρειτε την εξισωση της παραβολης, με:
εστια το σημειο Ε(-1,2) και διευθετουσα (δ): x= 3
κορυφη το σημειο Κ(-1,2) και διευθετουσα (δ): x=-3
0
0
0
Η εξισωση ειναι της μορφης:
αφου (δ)|| y'y
p
x + =-1
2
Ε(-1,2)
y = 2
(δ): x= 3
p
- +x = 3
2
2
0 0
0
0
2
(y-y ) = 2p(x-x )
x = 1
y = 2
p=-4
(y-2) =-8(x-1)
2 2 2 2 2 2
2 2
Για τυχαιο σημειο Μ(x,y) της παραβολης:
d(M,ε)= d(M,δ) (x+1) +(y-2) =| x-3| (y-2) =(x-3) -(x+1)
(y-2) =(x-3-x-1)(x-3+x+1) (y-2) =-4(2x-2)
2
Aλλιως
(y-2) =-8(x-1)
ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 2
Με γνωστη την εστια (εκτος των αξονων x’x η y’y) η την κορυφη
και την διευθετουσα
● Προσδιοριζουμε τη θεση της παραβολης ως προς τους αξονες :
● Διευθετουσα (δ): x = β, αξονας x’x, τυπος παραβολης
(y - y0 ) 2
= 2p(x - x0 )
● Διευθετουσα (δ): y = β, αξονας y’y, τυπος παραβολης
(x - x0 ) 2
= 2p(y - y0 )
● Προσδιοριζουμε τo p, x0 , y0 :
● Εστια μορφης Ε(α, β), τοτε
● Διευθετουσα μορφης (δ): x = κ η y = λ , τοτε
● Κορυφη μορφης Κ(μ, ν), τοτε x0 = μ και y0 = ν

0
Η εξισωση ειναι της μορφης:
αφου η κορυφη ειναι Κ(-1,2)
Ομως
p p
(δ): x=-3 - +x =-3 - -1=-3
2 2
2
2
(y-2) = 2p(x+1)
p= 4 (y-2) = 8(x+1)
2
Να βρεθει η εστια και η διευθετουσα της παραβολης που εχει εξισωση:
4y =-16x
2 2
2 2
Eιναι
4y =-16x y =-4x
2p=-4 p=-2
y = 2px y = 2px
Ετσι
Εστια:
p -2
E ,0 E ,0
2 2
Διευθετουσα:
p -2
x=- χ=-
2 2
E(-1,0)
x= 1
ΕΥΡΕΣΗ ΕΣΤΙΑΣ - ΔΙΕΥΘΕΤΟΥΣΑΣ - ΚΟΡΥΦΗΣ
Με γνωστη την εξισωση της παραβολης (εστια πανω στους αξονες)
● Προσδιοριζουμε το p απ’το τυπο της παραβολης
y 2
= 2px η x 2
= 2py
●
●

2
Να βρειτε τις συντεταγμενες της κορυφης και της εστιας της παραβο-
λης καθως και την εξισωση της διευθετουσας, αν η εξισωση της παρα-
βολης ειναι: x= y +1 2 2
x= y +2y y= x +3
2 2
0 0
0
x= y +1 y = x-1
p 1
Ε(x + ,y ) Ε(1+ ,0)
2 4
1
p 1p=
(δ): x=- +1(δ): x=- +x2
42
2
Κ(1,0)
4
1
5
Ε ,0
3
(
2
δ):
(
x=
1
4
(y-0) = × × x- )
2
2 2
0 0
0
x= y +2y y +2y+1= x+1
p 1
Ε(x + ,y ) Ε(-1+ ,-1)
2 4
1
p 1p=
(δ): x=- -1(δ): x=- +x2
42
2
Κ(-1,-1)
3
Ε( ,-1
1
)
4
5
(δ
1
): x=-
(y+1) = 2× ×(
4
x+ )
2
ΕΥΡΕΣΗ ΕΣΤΙΑΣ - ΔΙΕΥΘΕΤΟΥΣΑΣ - ΚΟΡΥΦΗΣ
Με γνωστη την εξισωση της παραβολης (εστια εκτος των αξονων)
● Προσδιοριζουμε το p απ’το τυπο της παραβολης
(y - y0 ) 2
= 2p(x - x0 ) η (x - x0 ) 2
= 2p(y - y0 )
● ●
● Κορυφη μορφης Κ(x0 , y0 )

2 2
0 0
0
y= x +3 x = y-3
p 1
Ε(x , +y ) Ε(0, +3)
2 4
1
p 1p=
(δ): y=- +3(δ): y=- +y2
42
2
Κ(0,3)
13
Ε(0, )
4
3
11
(δ)
=
: y=
1
(x-0) 2× (y-
4
)
2
2
Να βρεθουν οι εφαπτομενες της παραβολης (c): y = 2x που ειναι πα-
ραλληλες στην ευθεια (δ): x-3y+5= 0.
1 1
1
Αν Μ(x ,y ) ειναι το σημειο επαφης, τοτε η
εξισωση της εφαπτομενης ειναι:
1 1
Αφου =
y 3
Το σημειο Μ ανηκει στην παραβολη, οποτε
οι συντεταγμενες του επαληθευο
1 1
ε δ 1
(ε): yy = x+x
λ = λ y = 3
υν την
εξισωση της
Ετσι
ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ
Με γνωστη την εξισωση της παραβολης και ευθεια παραλληλη (κα -
θετη) στην εφαπτομενη
● Η ζητουμενη ευθεια εχει ιδιο συντελεστη διευθυνσης με τη δοσμε -
νη ευθεια
● Οι συντεταγμενες του σημειου επαφης επαληθευουν την εξισωση
της παραβολης
● Απ’τις εξισωσεις, που προκυπτουν, προσδιοριζουμε τα x1 , y1

2
1 1 1
y = 2x 9 = 2x
Αρα η εξισωση της εφαπτομενης ειναι:
9
3y= x+ 6y= 2x+9
2
1
9
x =
2
2x-6y+9 = 0
2
Να δειξετε οτι ηευθεια (ε):x-3y+9 = 0 εφαπτεται στην παραβολη
(c): y = 4x και να βρεθει το σημειο επαφης της.
2 2
2
Για να εφαπτεται η (ε) στην (c) πρεπει να
εχει μια λυση το συστημα των εξισωσεων
τους
Πραγματι
y = 4x y = 4(3y-9)
x-3y+9 = 0 x= 3y-9
y -12y+36 = 0
x= 3y-9
2
(y-6) = 0
x= 3y-9
Η πιο πανω λυση ειναι μοναδικη, οποτε η (ε) εφαπτεται στην (c) στο σημειο
y= 6
x= 9
Μ(9,6)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ
Με γνωστη την εξισωση της παραβολης και της εφαπτομενης ευ-
θειας
● Για να ειναι η δοσμενη ευθεια εφαπτομενη της παραβολης πρεπει
το συστημα των εξισωσεων της παραβολης και της ευθειας να
εχει μ ο ν α δ ι κ η λυση
● Η λυση του πιο πανω συστηματος ειναι οι συν τεταγμενες του ση-
μειου επαφης

2
Να βρειτε τις εφαπτομενες της παραβολης (c):(y-1) =-4x που διερ-
χεται απ'το σημειο Α(1,1).
1 2
1
Οι ευθειες που διερχονται απ'το σημειο Α
ειναι οι:(ε ): x= 1 και (ε ): y-1= λ(x-1)
(παραλληλη στη διευθετουσα)
p=-2 διευθετουσα ... δ: χ= 1 ε
Δηλαδη η ευθεια χ= 1 ει
1
(ε ): x= 1
2
2
2 2 2 2
ναι η διευθετου-
σα, επομενως δεν ειναι εφαπτομενη
(y-1) =-4x
(λx-λ) +4x= 0
y-1= λ(x-1)
λ x -2λ x+λ +4x= 0
Για να εφαπτεται η (
2
2 2 2 2
(ε ): y-1= λ(x-1)
λ x -2(λ -2)x+λ = 0 (1)
2
2 2 2 2 2
ε ) στην (c), πρεπει η (1) να εχει διπληριζα
(το συστημα των εξισωσεων να εχει λυση), δηλαδη:
Δ= 0 [-2(λ -2)] -4λ × λ = 0 ... λ = 1
μια
λ=±1
Ετσι, οι εφαπτομενες ειναι:
y-1=1(x-1) και y-1=-1(x-1)y= x y=-x+2
ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ
Με γνωστη την εξισωση της παραβολης και σημειο απ’το οποιο διερ-
χεται η εφαπτομενη (οχι σημειο επαφης). Αν το γνωστο σημειο ει-
ναι το Α(x0 , y0 ), τοτε απ’αυτο διερχονται οι ευθειες με εξισωσεις :
x = x 0 (1) και y - y 0 = λ ∙ ( x - x 0 ) (2)
● Ελεγχουμε αν η ευθεια με εξισωση x = x0 ειναι εφαπτομενη (λυ-
νουμε το συστημα ε εξισωσεις την (1) και την εξισωση της παρα -
βολης)
● Λυνουμε το συστημα με εξισωσεις την (2) και την εξισωση της
παραβολης. Προσδιοριζουμε τον συντελεστη διευθυνσης λ της
εφαπτομενης, απαιτωντας ο τριωνυμο που προκυπτει να εχει μια
λυση (δηλαδη Δ = 0)

Εστω η παραβολη 2
y = 4x και το σημειο Ρ(1,3).
Αν οι εφαπτομενες απ’το Ρ στην παραβολη , εφαπτονται στα σημεια Α και
Β, μα βρειτε την εξισωση της ευθειας που διερχεται απ’τα σημεια Α και Β
Ειναι p = 2
Εστω A(x1 , y1 ) και Β(x2 , y2 ) τα σημεια επα-
φης
Οι εφαπτομενες ΡΑ, ΡΒ εχουν εξισωσεις
αντιστοιχα:
y 1 ∙ y = 2 ∙ ( x + x 1 )
και
y 2 ∙ y = 2 ∙ ( x + x 2 )
To σημειο Ρ(1, 3) ειναι σημειο των ΡΑ και
ΡΒ,
οποτε
y 1 ∙ 3 = 2 ∙ ( 1 + x 1 )
και
y 2 ∙ 3 = 2 ∙ ( 1 + x 2 )
Απ’τις πιο πανω εξισωσεις προκυπτει οτι οι συντεταγμενες των σημειων
Α και Β επαληθευουν την εξισωση :
3 ∙ y = 2 ∙ ( 1 + x ) .
Αρα,
η ζητουμενη ευθεια ειναι :
3 ∙ y = 2 ∙ ( 1 + x ) η 2x-3y+2= 0
ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ
Με γνωστο, σημειο απ’το οποιο διερχονται δυο εφαπτομενες και η
εξισωση παραβολης
● Αν το γνωστο σημειο ειναι Ρ(x 0 ,y0 ) τοτε οι συντεταγμενες του
επαληθευουν την εξισωση της εφαπτομενης στα σημεια επαφης
και πρoκυπτει εξισωση της μορφης y 0 ∙ y = p ∙ ( x + x 0 )

2 2
Να αποδειχτει οτι oι: y -2y+4x+9 = 0 και x +6x-2y+7= 0 παριστανουν
εξισωσεις παραβολων,των οποιων να βρειτε τη κορυφη και τον αξονα .
2
2
2
2
Ειναι
y -2y+4x+9 = 0
y -2y=-4x-9
y -2y+1=-4x-9 +1
(y-1) =-4x-8
που παριστανει παραβολη με
κορυφη και
αξονα συμμετριας την
2
(y-1) =-4(x+1)
Κ(-1,1)
ευθεια με
εξισωση y= 1
2
2
2
2
Ειναι
x +6x-2y+7= 0
x +6x= 2y-7
x +6x+9 = 2y-7+9
(x+3) = 2y+2
που παριστανει παραβολη με
κορυφη και
αξονα συμμετριας την ευθει
2
(x+3) = 2(y+1)
Κ(-3,-1)
α με
εξισωση x=-3
ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ
Με γνωστες εξισωσεις ως προς x, y
● Μετασχηματιζουμε τις παραστασεις σε μορφη
( y - y 0 ) 2
= 2 p ( x - x 0 ) η ( x - x 0 ) 2
= 2 p ( y - y 0 )

2
Δειξτε οτι το σημειο Μ(1,2) ειναι εσωτερικο της παραβολης c: y = 6x
0
2 2
0 0
(1)
2 2
0 0
Θεωρουμε σημειο Α(1,y ) της παραβολης
Τοτε
y = 6 × 1 y = 6 (1)
Για να ειναι το σημειο Μ(1,2) εσωτερικο
της παραβολης πρεπει:
| 2|<| y | 2 < y 4< 6 που αληθευει
Λι
0
2 2
0 0
Θεωρουμε σημειο Α(1,y ) της παραβολης
Τοτε
y = 6 1 y = 6 (2)
Για να ειναι το σημειο Μ(1,2) εσωτερικο της παραβολης πρεπει:
d(M,x'x)< d(A,x'x)
| 0 1+1 2+
γο αλλιως
0
2 2 2 2
(2)
2 2
0 0
| 0 1+1 y +0|0|
<
0 +1 0 +1
| 2|<| y | 2 < y
4< 6 πουαληθευει.
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ
Με γνωστα, την εξισωση της παραβολης και σημειο
● Αν Α(x1 , y0 ) σημειο πανω στη παραβολη και Μ(x 1 , y1 ) (ιδια τετμημε-
νη) τοτε το Μ ειναι εσωτερικο της παραβολης αν και μονο αν
y1
2
< 2px (για c : y2
= 2px)
Πραγματι
Αν Α c, τοτε y0
2
= 2px (1)
Για να ειναι το Μ εσωτερικο της c, πρεπει |y1 |<|y0 | η y1
2
<y0
2
(2)
Απο (1) και (2) προκυπτει : y1
2
< 2px
Ομοια,
Αν Α(x0 , y1 ), Μ(x1 , y1 ), c : x 2
= 2py τοτε x1
2
< 2py

2
Δινεται κυκλος με κεντρο Κ(3,0) που εφαπτεται στην παραβολη y =2x.
Να βρεθει η εξισωση του κυκλου.
Ο κυκλος εχει εξισωση:
Για να εφαπτεται ο κυκλος στην παραβολη
πρεπει το συστημα των εξισωσεων τους
να εχει λυση
2 2 2
(x-3) +y = ρ (1)
μια
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
Ετσι
(x-3) +y = ρ
(x-3) +2x= ρ
y = 2x
x -6x+9 +2x= ρ
Η τελευταια για να εχει μιαλυση πρεπει:
Δ= 0 4 -4(9-ρ )= 0
16-36 +4ρ = 0 4ρ = 20
Οποτε η (1) δινει:
2 2
2
2 2
x -4x+9-ρ = 0
ρ = 5
(x-3) +y = 5
ΜΕ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΚΥΚΛΟ
Με γνωστα, την εξισωση της παραβολης και το κεντρο του κυκλου
● Απαιτουμε το συστημα των εξισωσεων κυκλου και παραβολης να
εχει μ ο ν α δ ι κ η λυση
ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ - ΚΥΚΛΟΥ
Με γνωστα, τις εξισωσεις της παραβολης και του κυκλου
● Η ζητουμενη ειναι της μορφης y = λ x +β (1)
● Δημιουργουμε τα συστηματα με την (1) και καθεμια απ’τις εξισω -
σεις κυκλου - παραβολης
● Προκυπτει συστημα με αγνωστους τα λ, β που λυνοντας το βρι-
σκουμε το ζητουμενο μεσω της (1)

Δινονται : ο κυκλος c1 : (x + 1) 2
+ y 2
= 1 και η παραβολη c2 : y 2
= 6x .
Na βρεθουν οι κοινες εφαπτομενες του κυκλου και της παραβολης
2 2 2
2
2 2 2
Εστω (ε): y= λx+β η ζητουμενη ευθεια
Ειναι
y= λx+β
λ x +2λβx+β = 6x
y = 6x
λ x +2(λβ-3)x+β = 0
Η πιο πανω εξισωση πρεπει να εχει μια λυ-
ση αφου η ευθεια (ε) εφαπτεται 2
2 2 2
2 2
της c
Aρα
Δ= 0 [2(λβ-3)] -4λ β = 0
4λ β 2 2
-24λβ+36- 4λ β = 0 24λβ= 36 2λβ= 3 (1)
2
2 2
y= λx+β
x +2x+ 1
(x+1) +y = 1
2 2 2
+λ x +2λβx+β = 1
(1)
2 2 2
1
2 2 2 2 2 2 2
9
(λ +1)x +5x+β = 0
Η πιο πανω εξισωση πρεπει να εχει μια λυση γιατι η ευθεια (ε) εφαπτεται
της c
Aρα
Δ= 0 5 -4(λ +1)β = 0 25-4λ β -4β = 0 25-9-4β = 0
4β 2 2
= 16 β = 4 β= 2
Ετσι
Για β= 2 τοτε
3
2 λ 2= 3 λ= = και
4
3
η (ε): y= x+2 η
4
Για β=-2 τοτε
3
2 λ (-2)= 3 λ=- και
4
3
η (ε): y=- x-2 η
4
3x-4y+8= 0
3x+4y+8= 0

Να αποδειχτει οτι ο κυκλος 2 2
(x-3) +y = 8 εφαπτεται της παραβολης
2
y = 4x.
(Δηλαδη, εχουν τις ιδιες εφαπτομενες στα κοινα σημεια τους)
Τα κοινα σημεια του κυκλου και της παρα -
βολης βρισκονται απο τη λυση του συστη -
ματος των εξισωσεων τους.
Εχουμε
2 2 2
2 2
2
(x-3) +y = 8 (x-3) +4x= 8
y = 4x y = 4x
x= 1
Α(1,2)
y= 2
x= 1
η
y = 4x
x= 1
Β(1,-2)
y=-2
.
 Η εξισωση εφαπτομενης της παραβολης στο Α ειναι
y ∙ 2 = 2 ∙ (x + 1 ) ⟺ x-y+1= 0
Η ευθεια αυτη εφαπτεται και του κυκλου, αφου η αποσταση του κεν-
τρου Κ(3, 0) του κυκλου απο αυτη ειναι ιση με την ακτινα του ρ= 8
Πραγματι,
2 2
| 3-0+1| 4
d= = = 8
21 +1
 Επειδη ο αξονας x’x ειναι αξονας συμμετριας και του κυκλου και της
παραβολης και το Β(1,-2) ειναι συμμετρικο του Α(1,2) ως προς τον x'x
ο κυκλος και η παραβολη εχουν κοινη εφαπτομενη και στο Β.
Η εξισωση της εφαπτομενης αυτης ειναι η x+y+1= 0
ΠΑΡΑΒΟΛΗ - ΚΥΚΛΟΣ ΠΟΥ ΕΦΑΠΤΟΝΤΑΙ
Με δοσμενες τις εξισωσεις της παραβολης και του κυκλου
● Λυνουμε το συστημα των εξισωσεων του κυκλου και της παρα -
βολης και βρισκουμε τα κοινα σημεια
● Για καθε κοινο σημειο βρισκουμε την εφαπτομενη της παραβολης
και ελεγχουμε αν ειναι και εφαπτομενη του κυκλου

2
Εστω ενα σημειο Α της παραβολης y = 4x. Να βρεθει ο γεωμετρικος
τοπος των κεντρων των κυκλων διαμετρου ΑΕ (Ε η εστια )
0 0
2 2
0 0
0 0
Εστω Α(x ,y ).
y = 4x y = 2× 2× x,oποτε
p= 2
p
Ε ,0 η Ε(1,0)
2
p
(ΑΕ)= x + = x +1
2
To κεντρο του κυκλου διαμετρου ΑΕ ειναι
το μεσο της ΑΕ, δηλαδη
x +1 y
Κ , και η ακ
2 2
0
0
0
0 0
0 0
(1)
2 2
0 0
x +1
τινα ρ= =
2 2
x +1
x=
x = 2x-12
K(x,y) τοτε (1)
y y = 2y
y=
2
Οι συντεταγμενες του σημειου Α, x ,y επαληθευουν την εξισωση της
παραβολης. Ετσι
y = 4x (2y) = 4×(2x-1)~ 4 2
× y = 4 ×(2x-1) 2 1
y = 2× x-
2
Με δοσμενη την εξισωση της παραβολης και ιδιοτητα χαρακτηριστι -
κου σημειου
● Απο συνδυασμο των δοσμενων σχεσεων καταληγουμε σε εξισωση
των συντεταγμενων x0 , y0 του Μ, που αποτελει τον γ.τ.
● Αν οι συντεταγμενες x0 , y0 του σημειου Μ συνδεονται με παραμε-
τρο λ, τοτε απαλειφουμε την παραμετρο μεταξυ των συντεταγ -
μενων και καταληγουμε σε εξισωση που ειναι συναρτηση των x 0 ,
y0

2
Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κορυφων των παραβολων με
εξισωση: y= x +(λ+3)x+λ-1, λ
2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
Η δοσμενη εξισωση γινεται
y= x +(λ+3)x+λ-1
λ+3
y= x +2× × x +λ-1
2
λ+3 λ +6λ+9 4λ 4
y= x+ - + -
2 4 4 4
λ+3 λ +6λ+9-4λ+4
y= x+ -
2 4
λ+3 λ +2λ+13
y= x+ -
2 4
y+
λ+3 λ+3
+ -
2 2
22
λ +2λ+13 λ+3
= x+
4 2
Δηλαδη,
2
2
2
2
οι κορυφες των παραβολων ειναι της μορφης
λ+3 λ +2λ+13
Κ - ,-
2 4
Για τυχαια κορυφη Κ(x,y) της παραβολης ισχυει:
λ+3
λ=-2x-3x=-
2
-4y=(-2x-3) +2(-2x-3λ +2λ+13
λ +2λ+13 y=-
y=- 4
4
2 2 2
2
)+13
-4y= 4x +12x+9-4x-6 +13 -4y= 4x +8x+16 y=-x -2x-4
y+3=-x -2x-1
H πιο πανω παραβολη ειναι ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος.
2
y+3=-(x+1)

Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η . . .
01.
Να βρεθει η εξισωση της παραβολης με κορυφη την αρχη των αξο-
νων, αξονα συμμετριας τον x'x, και διερχεται απ'το σημειο Α(-1,2).
Να βρεθει η εξισωση της παραβολης με εστια Ε(3,0) και διευθετου-
σα δ:x+3= 0.
Να βρεθει η εξισωση της παραβολης με κορυφη την αρχη των αξο-
νων, αξονα συμμετριας τον x'x και εφαπτεται στην ευθεια ε: y= 4x+1.
02.
Απο το σημειο (- 2, 3) προς την παραβολη y 2 = 8x γραφονται δυο
εφαπτομενες ευθειες.
 Να βρειτε τις εξισωσεις των εφαπτομενων αυτων ευθειων.
 Να αποδειξετε οτι οι εφαπτομενες αυτες ευθειες ειναι καθετες.
03.
Να βρεθει η εξισωση της παραβολης με κο ρυφη το (0, 0) οταν:
 ειναι συμμετρικη ως προς το θετικο ημιαξονα Οx και εχει παραμετρο
p = 5
 ειναι συμμετρικη ως προς τον αξονα Οx και διερχεται απο το σημειο
(- 1, 4)
 ειναι συμμετρικη ως προς τον αξονα Οy και διερχεται απο το σημειο
(2, 2)
 εχει αξονα συμμετριας τον Οy και εστια Ε(0,-4)
 εχει εστια Ε (- 2, 0) και διευθετουσα δ: x - 2 = 0

04.
Δινεται η παραβολη y 2
= 4x
 Να βρεθουν η εστια και η διευθετουσα της παραβολης
 Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης της παραβολης, που σχημα -
τιζει γωνια 135 0
με τον αξονα x΄x.
06.
2
2
Nα εξετασετε αν η ευθεια ε: 3x+2y+6 = 0 ειναι εφαπτομενη της πα-
ραβολης y = 18x
Να βρεθει η θεση της ευθειας ε: x+y+1= 0 ως προς την παραβολη
c: y = 2x
Για ποια τιμη το
2
2
υ κ η ευθεια ε: x+y+1= 0 εφαπτεται στη παραβολη
c: y = κx
Να βρεθει η συνθηκη ωστε η ευθεια ε: y= αx+β, α 0 να εφαπτεται
στηπαραβολη c: y = 2px
05.
2
2
Εστω η παραβολη y = 4x. Να βρεθειη εξισωση της εφαπτομενης
της παραβολης που ειναι καθετη στην ευθεια ε: 3x+y+3= 0
Εστω η παραβολη c: y = 2x και το σημειο Α(2,4). Να βρεθει:
η εξισωση της εφαπτομενης της c στο σημειο Α
η εξισωση της καθετης στην εφαπτομενη της c στο σημειο Α

07.
Να βρεθουν οι εξισωσεις των εφαπτομενων της παραβολης
C: y 2
= 4x που περνουν απο το σημειο Μ(- 1, 3/2).
Κατοπιν να βρεθει η γωνια που σχη ματιζουν.
08.
Δινεται η ευθεια ε: y = λx + κ και η παραβολη c: y 2
= 2px .
Nα δειξετε οτι η ευθεια ε ειναι εφαπτομενη της παραβολης οταν
p = 2κλ (λ 0)
09.
Να βρειτε την εξισωση της παραβολης, με:
εστια το σημειο Ε(-3,2) και διευθετουσα (δ): x=-5
κορυφη το σημειο Κ(-3,2) και διευθετουσα (δ): x= 5
10.
Να βρεθει η εξισωση της παραβολης που εχει κορυφη την αρχη των
αξονων και αξονα συμμετριας τον y ΄y οταν:
 Εχει εστια το σημειο Ε(0,- 4)
 Εχει διευθετουσα την ευθεια y = 2
 Διερχεται απο το σημειο Α(4,2)

11.
Βρειτε την εξισωση της παραβολης που εφαπτεται στην ευθεια
ε: y = x - 2. Δειξτε οτι οι εφαπτομενες που φερονται απο τυχαιο ση-
μειο της διευθετουσας ειναι καθετες.
12.
Να βρειτε την εστια και την διευθετουσα των παραβολων:
 y 2
= 6x  y 2
= - 4x  y 2
= 8αx  y 2
=
1
2α
x  x 2
= 5y
 x 2
= - y
13.
Δινεται η παραβολη c: y 2
= 2ρx, η χορδη αυτης ΑΒ και η εφαπτομενη
(ε) της παραβολης παραλληλη στην ΑΒ. Αν Κ(xo,yο) το σημειο επα -
φης της εφαπτομενης και Μ το μεσο της ΑΒ , να αποδειξετε οτι η ΚΜ
ειναι παραλληλη στον αξονα x΄x.
14.
2 2
Να βρειτε τις συντεταγμενες της κορυφης και της εστιας τηςπαρα-
βολης καθως και την εξισωση της διευθετουσας, αν η εξισωση της
παραβολης ειναι:
x = y-1 x +2x= y 2
y = x+3

15.
Δινεται η παραβολη c: y 2
= 12x. Να βρειτε τις συντεταμενες του με-
σου Μ της χορδης που οριζεται απο την ευθεια ε: 3x – 2y = 1
16.
Να βρεθει η σχετικη θεση της ευθειας x + y + 1 = 0 ως προς την παρα-
βολη y 2
= 2x
17.
Απο ενα σημειο Μ της διευθετουσας της παραβολης y 2
= 2ρx φερ-
νουμε εφαπτομενες στην παραβολη.
 Αν Α και Β τα σημεια επαφης, να βρεθει η εξισωση της ευθειας ΑΒ
 Δειξτε οτι τα Α, Β και η εστια Ε ειναι σημεια συνευθειακα
18.
Να βρεθει το σημειο της παραβολης y 2
= 4x που απεχει απο την εστια
της αποσταση ιση με 2
19.
2
Να βρειτε τις εφαπτομενες της παραβολης (c): y = 36x που διερχεται
απ'το σημειο Α(2,9)

20.
2
2 2 2
Δινεται κυκλος με κεντρο Κ(0,-4) που εφαπτεται στην παραβολη
y=-x
Να βρεθει η εξισωση του κυκλου
Δινεται ο κυκλος x +y = 2 και η παραβολη y = 8x
Να βρεθουν οι κοινες εφαπτομενες του κυκλου και της παραβολης
και να δειξετε οτι ειναι καθετες
21.
Δινεται η παραβολη c1 : y 2
= 12x και ο κυκλος c2 : (x - 3) 2
+ y 2
= 36
Δειξτε οτι:
 κυκλος και παραβολη τεμνονται σε δυο ση μεια Α και Β
 οι εφαπτομενες της παραβολης στα Α και Β τεμνονται πανω στον
κυκλο c2
22.
Αν α 0, να αποδειξετε οτι το σημειο Μ 2
2α 2α
,
λ λ
, με α σταθερο, κινει-
ται σε παραβολη, οταν το λ μεταβαλλεται στο *
h(x)=
23.
Δινονται ο κυκλος 2 2
1
C : x y 6x 1 0 και η παραβολη 2
2
C : y 4x
 Για τον κυκλο 1
C να βρειτε το κεντρο και την ακτινα του και για
την παραβολη 2
C την εστια και την διευθετουσα της.
 Να βρειτε τα κοινα σημεια Α και Β των 1
C και 2
C .
 Να βρειτε τις εφαπτομενες 1
και 2
της 2
C στα Α και Β αντιστοιχα
και να αποδειξετε οτι οι 1
και 2
εφαπτονται και στον κυκλο 1
C

24.
Δινεται σταθερο σημειο A και ευθεια (ε) που δεν διερχεται απο το A .
Να αποδειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων των κυκλων
που διερχονται απο το Α και εφαπτονται στην (ε), ειναι παραβολη

Ελλειψη ειναι ο γεωμετρικος το τοπος
των σημειων του επιπεδου που οι αποστα-
σεις τους απο δυο σταθερα σημεια Ε’, Ε
(εστιες) εχουν σταθερο αθροισμα, που
συμβολιζεται 2α.
Ετσι, ενα σημειο Μ ειναι σημειο της ελλει-
ψης με εστιες Ε’, Ε και εχουν σταθερο α-
θροισμα 2α, αν: (ΜΕ’)+(ΜΕ)=2α
 Ε’Ε: ειναι η εστιακη αποσταση
και συμβολιζετα 2γ
Ειναι γ<α , β2
=α2
-γ2
Ειναι μια καμπυλη που προκυπτει
απο τη τομη ενος κωνου και ενος
επιπεδου που τον τεμνει πλαγιως
ως προς τον αξονα του.
(Ειδικη περιπτωση της αλλειψης ειναι ο κυκλος,
που προκυπτει αν το επιπεδο που τεμνει τον αξονα
του κωνου ειναι καθετο σ’αυτον)
 Εκκεντροτητα της ελλειψης ειναι ο λο-
γος
γ
ε=
α
2 2 2
Ισχυουν:
ε< 1 (αφουγ< α)
β
= 1-ε (αφουγ= )
α
β
Αν ε 0 1, δηλαδη ο μικρος αξονας
α
τεινει να γινει ισος με το μεγαλο που σημαι-
νει οτι η ελλειψη τεινει να γινει κυκλος
β
Αν ε 1 0, δηλαδη ο μικρος αξονας τει
α
νει να γινει απειρως μικροτε-
ρος του μεγαλου που σημαινει οτι η ελλειψη τεινει να γινει ευθυγραμμο
τμημα
 Μεγαλος αξονας (κυριος αξονας) της ελλειψης ειναι το τμημα Α’Α με
μηκος 2α
 Μικρος αξονας της ελλειψης ειναι το τμημα Β’Β με μηκος 2β

Κωνικές τομές - Πλήρες φυλλάδιο (βιβλίο)

Κωνικές τομές - Πλήρες φυλλάδιο (βιβλίο)

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Κωνικές τομές - Πλήρες φυλλάδιο (βιβλίο)

Ähnlich wie Κωνικές τομές - Πλήρες φυλλάδιο (βιβλίο) (20)

Mehr von Μάκης Χατζόπουλος

Mehr von Μάκης Χατζόπουλος (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (9)

Κωνικές τομές - Πλήρες φυλλάδιο (βιβλίο)