Δημήτριος Ξενίδης για το lisari

1. Ονοματεπώνυμο:
Βαθμός:
ΘΕΜΑ Α
Α1. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέγεται συνεχής; .
Α2. α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα ∆ του πεδίου ορισμού της;
β. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1 ∈ A;
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).
1. Kάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής.
2. Αν lim
x→x0
f(x) = και lim
x→x0
g(x) = m, με , m ∈ R, τότε και το lim
x→x0
f(x)
g(x)
είναι πάντα πραγματικός αριθμός.
3. Ισχύει πάντα ότι το lim
x→x0
ημx = ημx0, lim
x→x0
συνx = συνx0 και lim
x→x0
εφx = εφx0.
4. Συνάρτηση (function) είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου A αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς
στοιχείο ενός συνόλου B.
5. Αν δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο A, τότε ορίζεται και το πηλίκο R =
f
g
για κάθε x ∈ A.
ΘΕΜΑ B
Έστω συνεχής συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει
x · f(x) + 1 = 2 · f(x) +
√
x − 1 για κάθε x ∈ R.
Β1. Να βρείτε τον τύπο της f.
Β2. Aν η Cg της g(x) = x2
− 5 · x + α − 5, α ∈ R διέρχεται από το σημείο (f(2) −
3
√
1
8
, 2 · f(2)), να προσδιορίσετε:
α. τη τιμή α.
β. για ποιες τιμές του x ∈ R η Cg είναι πάνω από την ευθεία y = −x − 2.
ΘΕΜΑ Γ
Έστω α,β,γ ∈ R τέτοια ώστε:
• lim
x→0
√
x + 4 − 2
x
=
α
4
,
• lim
x→−2
x3
+ 4x2
+ x − 6
x + 2
= β,

2. • lim
x→−1
x3
+ x2
− x − 1
x3 + 5x2 + 7x + 3
=
γ
2
,
Γ1. να υπολογίσετε τις τιμές των α,β,γ ∈ R.
Γ2. Aν α=1, β=-3, και γ=-2 να εξετάσετε αν η
f(x) =



x2
− α
x − 1
, x = 1
−2β + 2γ, x = 1
είναι συνεχής στο R.
ΘΕΜΑ Δ
Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ για το οποίο ισχύει ότι η μια πλευρά του είναι κατά πέντε cm μεγαλύτερη από
την άλλη (έστω μήκους x).
Δ1. Να υπολογίσετε το εμβαδό του ορθογωνίου συναρτήση του x.
Δ2. Αν η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 50 cm, να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου καθώς και το
εμβαδόν του.
Δ3. Αν από τα μήκη των πλευρών ονομάσουμε ”α” το μικρότερο από τα δύο, να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της
f(x) =
x2
− 11x + 10
x − 10
διέρχεται από το σημείο (α,α-1).
ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΤΙΜΑ.
ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΔΥΟ (2) ΩΡΕΣ
Page 2