1. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com
ΔΟΑΜΑΚΖΟΤΘΙΔΣ ΟΑΜΔΚΚΖΜΘΔΣ ΔΝΔΤΑΣΔΘΣ
Γ΄ ΤΑΝΖΣ ΖΛΔΠΖΣΘΞΥ ΓΔΜΘΙΞΥ ΚΥΙΔΘΞΥ
ΣΑΒΒΑΤΞ 4 ΘΞΥΜΘΞΥ 2011
ΔΝΔΤΑΕΞΛΔΜΞ ΛΑΗΖΛΑ: ΛΑΗΖΛΑΤΘΙΑ ΙΑΘ
ΣΤΞΘΧΔΘΑ ΣΤΑΤΘΣΤΘΙΖΣ ΓΔΜΘΙΖΣ ΟΑΘ∆ΔΘΑΣ
ΘΔΜΑ Α
A1. Γηα δύν ελδερόκελα Α θαη Β ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω λα απνδεηρζεί όηη:
Ρ(Α⋃Β)=Ρ(Α)  P(B)  Ρ(Α⋂Β).
Μονάδερ 7
A2. Έζησ έλαο δεηγκαηηθόο ρώξνο Ω={σ1, σ2, . . . , σλ} κε πεπεξαζκέλν πιήζνο ζηνηρείσλ. Να
δηαηππώζεηε ηνλ αμησκαηηθό νξηζκό ηεο πηζαλόηεηαο.
Μονάδερ 4
A3. Πόηε ιέκε όηη κία ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζε έλα ζεκείν x0 ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο Α;
Μονάδερ 4
A4. Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ πος ακολοςθούν, γπάθονηαρ ζηο ηεηπάδιό ζαρ δίπλα, ζηο γπάμμα
πος ανηιζηοισεί ζε κάθε ππόηαζη, ηη λέξη Σωζηό, αν η ππόηαζη είναι ζυζηή, ή Λάζνο, αν η
ππόηαζη είναι λανθαζμένη.
 1
 
a) Αλ x>0, ηόηε x 
x
.
b) Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζηκε ζε έλα δηάζηεκα ∆ θαη ηζρύεη f΄ (x)>0 γηα θάζε
εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ ∆, ηόηε ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην ∆.
c) Η αζξνηζηηθή ζπρλόηεηα Νi κίαο θαηαλνκήο εθθξάδεη ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ πνπ είλαη
κηθξόηεξεο ή ίζεο ηεο ηηκήο xi.
d) ΢ηελ θαλνληθή θαηαλνκή ην 95% πεξίπνπ ησλ παξαηεξήζεσλ βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα ( x 
s, x  s), όπνπ x ε κέζε ηηκή θαη s ε ηππηθή απόθιηζε.
e) Η δηάκεζνο (δ) ελόο δείγκαηνο λ παξαηεξήζεσλ, νη νπνίεο έρνπλ δηαηαρζεί ζε αύμνπζα ζεηξά,
νξίδεηαη πάληα σο ε κεζαία παξαηήξεζε.
Μονάδερ 10
ΘΔΜΑ Β
Τπνζέηνπκε όηη νη ζεξκνθξαζίεο (ζε νC) ζε κηα πεξηνρή θαηά ηε δηάξθεηα ελόο 24ώξνπ
πξνζεγγίδνληαη από ηηο ηηκέο ηεο ζπλάξηεζεο ζ(t)=t 4 t α, όπνπ α∈ℝ θαη t∈(0,24] ν ρξόλνο
ζε ώξεο.
B1. Να απνδείμεηε όηη γηα t∈(0,4] ε ζεξκνθξαζία κεηώλεηαη θαη γηα t∈(4,24] ε ζεξκνθξαζία
απμάλεηαη.
Μονάδερ 7
B2. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ α, αλ γλσξίδεηε όηη ε ειάρηζηε ζεξκνθξαζία ηεο πεξηνρήο εληόο
ηνπ 24ώξνπ είλαη 1νC.
Μονάδερ 6
B3. Γηα α=3 λα βξείηε ηηο ώξεο πνπ ε ζεξκνθξαζία ηεο πεξηνρήο είλαη 0 νC.
Μονάδερ 5
[1]

2. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com
θ(t)
B4. Να ππνινγίζεηε ην lim
t4 t2  16
Λονάδες 7
ΘΔΜΑ Γ
Οη ειηθίεο ησλ εξγαδνκέλσλ ζε κηα εηαηξεία έρνπλ νκαδνπνηεζεί ζε 4 θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο,
όπσο εκθαλίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα ζπρλνηήησλ.
Γ1. Να βξεζνύλ νη ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο fi % i=1,2,3,4 Μονάδερ 6
Γ2. Αλ ε δηάκεζνο ηεο θαηαλνκήο ησλ ειηθηώλ είλαη δ=50 ρξόληα, λα απνδείμεηε όηη ην πιάηνο
ηεο θιάζεο είλαη c=10. Μονάδερ 8
Γ3. Αθνύ κεηαθέξεηε ζην ηεηξάδηό ζαο ηνλ παξαπάλσ πίλαθα ζπκπιεξσκέλν θαηάιιεια, λα
ππνινγίζεηε ηελ κέζε ηηκή x ησλ ειηθηώλ. Μονάδερ 6
Γ4. Πόζνη εξγαδόκελνη, ησλ νπνίσλ νη ειηθίεο αλήθνπλ ζηελ πξώηε θιάζε, πξέπεη λα
πξνζιεθζνύλ, ώζηε ε λέα κέζε ειηθία λα είλαη 40 ρξόληα; Μονάδερ 5
ΘΔΜΑ Γ
Δμαθόζηνη απόθνηηνη Γεπηεξνβάζκηαο Δθπαίδεπζεο, νη νπνίνη έρνπλ ηα ίδηα ηππηθά θαη
νπζηαζηηθά πξνζόληα, ππνβάιινπλ αίηεζε πξόζιεςεο ζε δύν εηαηξείεο Α θαη Β.
Γίλεηαη όηη ε πηζαλόηεηα, έλαο ηπραία επηιεγκέλνο από απηνύο:
λ1
 λα θξηζεί θαηάιιεινο γηα πξόζιεςε ζε κηα κόλν από ηηο εηαηξείεο Α θαη Β είλαη , ι≠0
3λ
3λ  1
 λα θξηζεί θαηάιιεινο γηα πξόζιεςε ην πνιύ ζε κηα από ηηο εηαηξείεο Α θαη Β είλαη , ι≠0
3λ
1
 λα κελ θξηζεί θαηάιιεινο γηα πξόζιεςε ζε θακία από ηηο δύν εηαηξείεο είλαη , ι≠2
λ2
Γ1. Να απνδείμεηε όηη ι=4. Μονάδερ 8
Γ2. Από ηνπο 600 απνθνίηνπο πνπ ππέβαιαλ αίηεζε πξόζιεςεο ζηηο εηαηξείεο Α θαη Β, ε
εηαηξεία Α έθξηλε θαηάιιεινπο γηα πξόζιεςε 50 ιηγόηεξνπο από όζνπο έθξηλε ε εηαηξεία Β.
α) Πόρξι απότξιςξι κοίθηκαμ καςάλληλξι για ποόρληψη μόμξ από ςημ εςαιοεία Α,
πόρξι κοίθηκαμ καςάλληλξι για ποόρληψη μόμξ από ςημ εςαιοεία Β και πόρξι
[2]

3. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com
απότξιςξι θα βοεθξύμ ρςξ δίλημμα μα επιλένξσμ ρε πξια από ςιπ δύξ εςαιοείεπ ρςιπ
ξπξίεπ κοίθηκαμ καςάλληλξι για ποόρληψη, επιθσμξύμ μα εογαρςξύμ; Λονάδες 7
β) Να απξδείνεςε όςι 300 απότξιςξι κοίθηκαμ καςάλληλξι για ποόρληψη, από ςιπ
εςαιοείεπ Α ή Β. Λονάδες 6
Δ3. Στους αποφοίτους που δεμ κρίθηκαμ κατάλληλοι για πρόσληψη δίμεται η
δυματότητα παρακολούθησης προγράμματος επιμόρφωσης. Αμ η πιθαμότητα εύρεσης
εργασίας για αυτούς που θα παρακολουθήσουμ το πρόγραμμα είμαι διπλάσια από τημ
αμτίστοιχη εκείμωμ που δεμ θα το παρακολουθήσουμ, μα υπολογίσετε πόσοι απόφοιτοι
από αυτούς, που δεμ κρίθηκαμ κατάλληλοι για πρόσληψη, θα βρουμ εργασία.
Λονάδες 4
[3]

4. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com
Θέμα Α
Α1. Απόδεημε νξηζκόο ζειίδα 151
Α2. Οξηζκόο ζειίδα 149
Α3. Οξηζκόο ζειίδα 22
Α4. α)Λ β) ΢ γ) ΢ δ) Λ ε) Λ
Θέμα Β
Β1. Γηα t  (0,24] έρνπκε όηη ε ζπλάξηεζε (t) είλαη ζπλερήο σο πξάμεηο ζπλερώλ κε
2 t 2
(t)  1   , t  (0, 24] άξα ην πξόζεκν ηεο παξαγώγνπ θαζνξίδεηαη από ην πξόζεκν ηνπ
t t
αξηζκεηή επνκέλσο,
(t)  0  t  2  0  t  4
(t)  0  t  2  0  t  4
Ο πίλαθαο κεηαβνιώλ
t 0 4 24
(t) – +
ζ(t)
> <
Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε (t) είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα (0, 4] θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην [4,
24] νπόηε ε ζεξκνθξαζία κεηώλεηαη ζην πξώην δηάζηεκα θαη απμάλεηαη ζην δεύηεξν.
Β2. Πξέπεη ζ(t) = – 1 δειαδή α – 4 = – 1 νπόηε α = 3
Β3. Αλαδεηνύκε ηα t ηέηνηα ώζηε ζ ( t ) = 0, νπόηε έρνπκε δηαδνρηθά,
  
t  1  0  t  9 ή t  1
2
(t)  0  t  4 t  3  0  t  4 t  3  0  t 3
Β4. Έρνπκε,
2
1
 t  t 2 t4 1
lim 2  lim 2 t  lim 2  lim 
t  4 t  16 t  4 t  16 t 4
 
t  16 t t 4  t  4   t  4  t  t 2  64
Θέμα Γ
4
Γ1. Έρνπκε,  f %  100  x  x  20  2x  x
i 1
i
2
 6x  100  x 2  2x  80  0
νη ιύζεηο είλαη – 8 θαη 10.
[4]

5. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com
Η ιύζε -8 απνξξίπηεηαη αθνύ ε πηζαλόηεηα είλαη αξλεηηθή ( f1 %  8 )
Η ιύζε x = 10 είλαη δεθηή θαη καο δίλεη:
f1 %  10, f 2 %  30, f3 %  20, f 4 %  40
Γ2. Δύθνια βξίζθνπκε ηηο αζξνηζηηθέο ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο
ηνηο εθαηό, F %  10, F2 %  40, F3 %  60, F4 %  100
1
Αλ θάλνπκε ην πνιύγσλν αζξνηζηηθήο ζρεηηθήο ζπρλόηεηαο
ηνηο εθαηό βξίζθνπκε κε νκνηόηεηα ηξηγώλσλ ΔΓΑ θαη ΑΒΓ:
AB  20 c
    50  4c  c  c  10
A  10 50   25  2c 
Β΄ ηπόπορ: Παξαηεξνύκε όηη ην 50% αλήθεη
Γ3. Ο πίλαθαο ζπκπιεξσκέλνο θαίλεηαη παξαθάησ
Κιάζεηο x i vi fi % Ni Fi % x i vi
[25, 35) 30 5 10 5 10 150
[35, 45) 40 15 30 20 40 600
[45, 55) 50 10 20 30 60 500
[55, 65) 60 20 40 50 100 1200
΢ύλνια 50 100 - - 2450
4
x v i i
2450
Άξα ε κέζε ηηκή είλαη: x  i 1
  49
v 50
Γ4) Έζησ όηη πξνζιεθζνύλ y άηνκα ζηελ πξώηε θιάζε, ηόηε v1  5  y ελώ v  50  y νπόηε,
4
30  5  y   40 15  50 10  60  20 x v i i  30y
2450  30y
x'   40  i 1
 40   y  45
50  y 50  y 50  y
άξα πξέπεη λα πξνζιεθζνύλ 45 άηνκα από ηελ πξώηε θιάζε, γηα λα έρνπκε λέα κέζε ηηκή ηα 40 ρξόληα.
Θέμα Γ
Έρνπκε από ηα δεδνκέλα,
 1
P  A  B    B  A   
  ,   0 1
3
3  1
P  A      , 0  2

 
 3
       
1
  2
,2  3
 
[5]

6. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com
3  1 3  1
Γ1. Έρνπκε, P  A     
1
 1                4

 
 3 3 3
 3
θαη        
1 1
 1                5

  2
 2 2
Οπόηε,
 1  1
P  A  B    B  A   
             
3 3
 1  1
                             
3 3
   
 4
 3 1  1   3   2
   2  3 
 
5 3

2

3
 2 2  9  4  0
1
Οη ιύζεηο είλαη   πνπ απνξξίπηεηαη αθνύ δίλεη αξλεηηθή πηζαλόηεηα θαη ε   4 πνπ είλαη δεθηή.
2
Γ2. Σα ελδερόκελα είλαη ηζνπίζαλα θαη έρνπκε από ηα δεδνκέλα,
    600,        50,       , όκσο γηα ι = 4 παίξλνπκε,
1 1 5
      ,        , P  A  B    B  A   
  12
12 2
α) Άξα,
1 1   50  1 1
                           200
2 2 600 600 12 2
1      1      1
θαη                    50
12    12 600 12
Μόλν γηα ηελ εηαηξεία Α θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε:
                  150  50  100
Μόλν γηα ηελ εηαηξεία Β θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε::
                   200  50  150
Καη γηα ηηο δύν εηαηξείεο θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε:        50
β) Οη ππνςήθηνη πνπ θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε από ηηο εηαηξίεο Α ή Β είλαη
                       150  200  50  300
Γ3. Δδώ ππάξρεη ππόβλημα ζηην διαηύπωζη ηηρ άζκηζηρ, αλάινγα ηη ζεσξεί θαη πσο θαηαλνεί ν
θαζέλαο ηα δεδνκέλα ηεο άζθεζεο ιύλεηαη θαη δηαθνξεηηθά ή δελ ιύλεηαη! Γείηε ηηο δηαθνξεηηθέο
πξνζεγγίζεηο θαη βγάιηε ηα ζπκπεξάζκαηά ζαο!
[6]

7. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com
1η ανηιμεηώπιζη: Η ιύζε πνπ δώζακε θαη ζεωξεί δεδνκέλν όηη όινη νη ελαπνκείλαληεο ζα
πξνζιεθζνύλ (θάηη πνπ δελ εμαζθαιίδεηαη από ηα δεδνκέλα)θαη ινγηθά απηό ήζειε ην πξόβιεκα (εμ’
νπ θαη νη 4 κνλάδεο)
Α΄ ηπόπορ επίλςζηρ:
Οη ππνςήθηνη πνπ δελ θξίζεθαλ θαηάιιεινη είλαη            600  300  300 άηνκα
Έζησ ηα ελδερόκελα: Κ: «Δύξεζε εξγαζίαο αηόκσλ πνπ παξαθνινύζεζαλ πξόγξακκα επηκόξθσζεο»
Λ: «Δύξεζε εξγαζίαο αηόκσλ πνπ δελ παξαθνινύζεζαλ πξόγξακκα επηκόξθσζεο», πξνθαλώο    
Γίλεηαη,      2    άξα      2           2 1            
2
θαη επεηδή ηα
3
   2
ελδερόκελα είλαη ηζνπίζαλα έρνπκε        200 ελώ      100
300 3
Β΄ λύζη: Έζησ Ν(Κ) = x θαη Ν(Λ) = y ηόηε από ηα δεδνκέλα έρνπκε,
x y
P  K   2P     2  x  2y , όκσο x  y  300 άξα 2y  y  300  3y  300  y  100
300 300
νπόηε x  200
Δηλαδή από ηοςρ 300 ςποτήθιοςρ, οι 200 πος θα πποζληθθούν έσοςν παπακολοςθήζει ηο επιμοπθυηικό
ππόγπαμμα, ενώ οι 100 πος ςπολείπονηαι, πάλι θα πποζληθθούν (εδώ είναι ηο παπάδοξο‼!) και δεν έσοςν
παπακολοςθήζει ηο εν λόγυ ππόγπαμμα.
2η ανηιμεηώπιζη: Βαζίληρ Κοςγιοςμηζιάδηρ
Έζησ x ο απιθμόο απηώλ πνπ βξήθαλ επγαζία έσονηαρ παπακολοςθήζει ηο ππόγπαμμα θαη y ν
αξηζκόο απηώλ πνπ βπήκαν επγαζία σωπίρ να έσοςν παπακολοςθήζει ην επηκνξθσηηθό πξόγξακκα
όπνπ ηα ελδερόκελα θαίλνληαη ζην δηπιαλό
δηάγξακκα ηνπ Venn
Δπεξηγήζειρ
1:    παξαθνινύζεζαλ ην πξόγξακκα
αιιά δε βξήθαλ εξγαζία
2:    βξήθαλ εξγαζία έρνληαο
παξαθνινπζήζεη ην πξόγξακκα
3:    βξήθαλ εξγαζία ρσξίο λα έρνπλ
παξαθνινπζήζεη ην πξόγξακκα
4:    δε βξήθαλ εξγαζία θαη δελ έρνπλ
παξαθνινπζήζεη ην πξόγξακκα
[7]

8. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com
Σνλίδεηαη όηη Ω ηώξα είλαη νη 300 απόθνηηνη πνπ δελ θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε
x y
Γίλεηαη όηη        2       2 , x, y  *
 x  y  300
300 300
x  2y  x  y  300 νπόηε 2y  y  300  3y  300  y  100 άξα 1  y  100  2  x  200
θαη έηζη παξάγνληαη ηα 100 δεπγάξηα ιύζεσλ
(x,y)=(2,1) άξα βξήθαλ δνπιεηά 3,
(x,y)=(4,2) άξα βξήθαλ δνπιεηά 6 θ.ν.θ.
………………………..
(x,y)=(200,100) άξα βξήθαλ δνπιεηά 300.
Παξαζηαηηθά θαίλνληαη παξαθάησ
Σημείωζη: Με ηελ ιύζε απηή ν Βαζίιεο ζεσξεί όηη ε άζθεζε ππνλνεί:
«αν επιλέξοςμε ζηην ηύση ένα από αςηούρ πος θα παπακολοςθήζοςν ηο ππόγπαμμα και ένα από αςηούρ πος
δεν ηο παπακολοςθήζοςν και η πιθανόηηηα εύπεζηρ επγαζίαρ για ηοςρ ππώηοςρ είναι διπλάζια από ηοςρ
δεύηεποςρ» ηόηε ν δεηγκαηηθόο ρώξνο ζα ήηαλ θνηλόο θαη γηα ηηο δύν πεξηπηώζεηο νπόηε ε ιύζε είλαη ε
νξζή!
3η ανηιμεηώπιζη (σωπίρ να έσοςν ηοςρ ίδιοςρ δειγμαηικούρ σώποςρ)
Από ηνλ Νίκο Εανηαπίδη πνπ ζέηεη ην πξόβιεκα ζηηο ζσζηέο δηαζηάζεηο, απνδεηθλύεη κε απηή ηελ
δηαηύπσζε ην πξόβιεκα πξαθηηθά δεν λςνόηαν‼
Έρνπκε 300 άηνκα, έζησ α παπακολοςθούν ηο ππόγπαμμα θαη νη 300 - α όσι.
Δπίζεο από απηνύο ηνπο α πνπ παξαθνινπζνύλ ην πξόγξακκα ζα πξνζιεθζνύλ νη ρ θαη από απηνύο ηνπο
[8]

9. Δπηκέιεηα: Υαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com
x y
300 - α πνπ δελ παξαθνινύζεζαλ ην πξόγξακκα y, άξα έρνπκε:  2 ,   0    300
 300  
άξα έρνπκε 3 αγλώζηνπο πνπ ηειηθά δελ ιύλεηαη.
Η πξνθύπηνπζα εμίζσζε κε αγλώζηνπο ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο α, x, y κε 0  x  , 0  y  300  
θαη 0    300 ιύλεηαη παίξλνληαο 299 πεπιπηώζειρ γηα ην α θαη γηα θάζε πεξίπησζε ηνπ α ηηο δςναηέρ
ηιμέρ ηων x, y. Γειαδή ν καζεηήο έπξεπε λα είρε έλα ειεθηξνληθό ππνινγηζηή θαη θαηάιιειν
πξόγξακκα γηα λα γξάςεη ηηο ιύζεηο. Πξαθηηθά ε άζθεζε δελ κπνξνύζε λα απαληεζεί.
Σεκείωζε: Τελικά η εκθώνηζη δεν ήηαν η ππέποςζα, είηε ζηην δεύηεπη είηε ζηην ηπίηη πεπίπηυζη, αθού οι
Μαθημαηικοί δώζανε διαθοπεηικέρ λύζειρ, ανάλογα ηην δικήρ ηος επμηνεία για ηην διαηύπυζη ηηρ
άζκηζηρ.
[9]