Επιμέλεια: ask4math

3. Β Ο Η Θ Η Μ Α
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ
Β ′ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Σ Τ Α Δ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α
Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :
Β ε λ λ ί κ η ς Γ ι ώ ρ γ ο ς
Κ α ρ α τ σ ι ώ λ η ς Δ η μ ή τ ρ η ς
Κ α σ λ ή ς Κ ώ σ τ α ς
Λ α λ ο ύ μ η ς Ν ί κ ο ς
Μ π ί τ ζ α ς Π α ν α γ ι ώ τ η ς
Μ π ο ζ α τ ζ ί δ η ς Β α σ ί λ η ς
Π έ τ σ ι ο υ Χ α ρ ά
Ρ ο κ ί δ η ς Μ ι χ ά λ η ς
Τ ζ ε λ α π τ σ ή ς Θ α ν ά σ η ς
Τ σ ο ύ μ ο ς Κ ώ σ τ α ς

5. Έκδοση 1η
10 Οκτωβρίου 2016
Αναθεώρηση έκδοσης
Σεπτέμβριος 2017
Το μυαλό δεν είναι ένα δοχείο
που πρέπει να γεμίσει, αλλά μια φωτιά
που πρέπει ν’ ανάψει.
ΠΛΟΥΤΑΡΧΟΣ

7. Πίνακας περιεχομένων
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ................................................................................................7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ........................................................................................9
1.1 H ΈΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΎΣΜΑΤΟΣ ....................................................................................................................9
Ορισμός διανύσματος.....................................................................................................................9
Ίσα διανύσματα ............................................................................................................................10
Αντίθετα διανύσματα ...................................................................................................................11
Γωνία δύο διανυσμάτων...............................................................................................................12
1.2 ΠΡΌΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΊΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΆΤΩΝ ..................................................................................................13
1.2.1 Πρόσθεση Διανυσμάτων ..............................................................................................................13
1.2.2 Ιδιότητες της Πρόσθεσης Διανυσμάτων.......................................................................................14
1.2.3 Αφαίρεση Διανυσμάτων...............................................................................................................15
1.2.4 Διάνυσμα Θέσεως.........................................................................................................................15
Μεθοδολογία Νο 1 - Απόδειξη διανυσματικής ισότητας.........................................................................................16
Μεθοδολογία Νο 2 - Μετατροπή ισότητας μηκών σε διανυσματική ισότητα.........................................................18
Μεθοδολογία Νο 3 - Δύο σημεία ταυτίζονται.........................................................................................................19
Μεθοδολογία Νο 4 - Παραλληλόγραμμο- Τραπέζιο ...............................................................................................20
1.2.5 Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων ..............................................................................................21
Μεθοδολογία Νο 5 - Σχέσεις μέτρων ......................................................................................................................22
Μεθοδολογία Νο 6 - Γεωμετρικοί τόποι .................................................................................................................24
Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ λ ε ι σ τ ο ύ τ ύ π ο υ .....................................................................................................27
Ασκήσεις .....................................................................................................................................................33
1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΌΣ ΑΡΙΘΜΟΎ ΜΕ ΔΙΆΝΥΣΜΑ ............................................................................................37
1.3.1 Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα ....................................................................37
1.3.2 Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα ...................................................................37
Μεθοδολογία Νο 7 - Σταθερό διάνυσμα.................................................................................................................38
Μεθοδολογία Νο 8 - Προσδιορισμός σημείου.......................................................................................................39
1.3.3 Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων .........................................................................................40
Μεθοδολογία Νο 9 - Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων ..................................................................................41
1.3.4 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων...........................................................................................43
Μεθοδολογία Νο 10 - Παράλληλα διανύσματα......................................................................................................44
Μεθοδολογία Νο 11 - Συνευθειακά σημεία............................................................................................................46
1.3.5 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος.......................................................................................47
Μεθοδολογία Νο 12 - Διάμεσοι τριγώνου..............................................................................................................48
Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ λ ε ι σ τ ο ύ τ ύ π ο υ .....................................................................................................51
Ασκήσεις .....................................................................................................................................................57
1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΈΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΊΠΕΔΟ.................................................................................................................63
1.4.1 Άξονας...........................................................................................................................................63
1.4.2 Καρτεσιανό Επίπεδο.....................................................................................................................63
1.4.3 Συντεταγμένες Διανύσματος ........................................................................................................64
1.4.4 Ισότητα Διανυσμάτων...................................................................................................................65
Μεθοδολογία Νο 13 - Παραλληλία διανύσματος με άξονες ..................................................................................66
Μεθοδολογία Νο 14 - Μηδενικό διάνυσμα-Ισότητα διανυσμάτων.......................................................................67
1.4.5 Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων ...............................................................68
1.4.6 Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος .................................................................................................68
1.4.7 Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα .............................................................................69

8. 1.4.8 Μέτρο διανύσματος .....................................................................................................................70
1.4.9 Απόσταση Δύο Σημείων................................................................................................................70
1.4.10 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων......................................................................................71
1.4.11 Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος...................................................................................72
Μεθοδολογία Νο 15 - Παραλληλία διανυσμάτων ..................................................................................................73
Μεθοδολογία Νο 16 - Ομόρροπα - Αντίρροπα διανύσματα...................................................................................75
Μεθοδολογία Νο 17 - Γωνία διανύσματος με τον άξονα x'x...................................................................................76
Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ λ ε ι σ τ ο ύ τ ύ π ο υ .....................................................................................................77
Ασκήσεις .....................................................................................................................................................83
1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΌ ΓΙΝΌΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΆΤΩΝ ......................................................................................................89
1.5.1 Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου...................................................................................................89
1.5.2 Φυσική ερμηνεία του εσωτερικού γινομένου..............................................................................89
1.5.3 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου ................................................................................90
Μεθοδολογία Νο 18 - Ομόρροπα-Αντίρροπα Διανύσματα.....................................................................................93
Μεθοδολογία Νο 19 - Κάθετα διανύσματα............................................................................................................95
1.5.4 Συνημίτονο Γωνίας Δύο Διανυσμάτων .........................................................................................96
Μεθοδολογία Νο 20 - Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων ...............................................................................97
Μεθοδολογία Νο 21 - Αποδεικτικές σχέσεις (ταυτότητες) μέτρων διανυσμάτων..................................................99
1.5.5 ..........................................................................................................................................................100
Μεθοδολογία Νο 24 - Γεωμετρικοί τόποι .............................................................................................................101
Ε ρ ω τ ή σ ε ι ς κ λ ε ι σ τ ο ύ τ ύ π ο υ ...................................................................................................105
Α σ κ ή σ ε ι ς .............................................................................................................................................109
1.6 ΛΥΜΈΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΆ ΠΑΡΑΔΕΊΓΜΑΤΑ.................................................................................................115
1.7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΈΣ ΑΣΚΉΣΕΙΣ ....................................................................................................................123
1.8 ΔΙΑΓΩΝΊΣΜΑΤΑ ..................................................................................................................................151
1.9 ΕΥΡΕΤΉΡΙΟ ΌΡΩΝ................................................................................................................................169

9. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 9 από 172
Κεφάλαιο 1ο Διανύσματα
1.1 H έννοια του διανύσματος
Ορισμός διανύσματος
Ορισμός: Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο
ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο
εφαρμογής, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος.
Το διάνυσμα με αρχή Α και πέρας Β συμβολίζεται με ΑΒ

, ενώ μπορούμε να το
συμβολίσουμε και με ένα πεζό ελληνικό ή λατινικό γράμμα βάζοντας πάνω του
ένα βέλος π.χ. α

, β

, v

, u

.
Το διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν λέγεται μηδενικό και
συμβολίζεται 0

ή ΑΑ

. Η εικόνα του είναι ένα σημείο του επιπέδου.
Ορισμός: Μέτρο ενός διανύσματος ΑΒ

λέγεται το μήκος του ευθυγράμμου
τμήματος ΑΒ.
Συμβολίζεται |ΑΒ|

και προφανώς είναι |ΑΒ| 0≥

. Ισχύει |ΑΑ| 0=

.
Αν το μέτρο του ΑΒ

είναι 1, τότε ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα.
Ορισμός: Φορέας διανύσματος είναι η ευθεία πάνω
στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα, π.χ. η ευθεία ε
είναι φορέας του ΑΒ

.
Ορισμός: Παράλληλα ή συγγραμμικά
διανύσματα είναι τα διανύσματα που έχουν
τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, π.χ.
ΑΒ//ΓΔ
 
.

10. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 10 από 172 www.askisiologio.gr
Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα ή αντίρροπα.
Ορισμός: Δύο παράλληλα διανύσματα λέγονται ομόρροπα
(δηλαδή με ίδια φορά):
α) Όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο
ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που ενώνει τις αρχές τους
π.χ. ΑΒ ΓΔ↑↑
 
.
β) Όταν έχουν τον ίδιο φορέα και η μία από τις ημιευθείες
που ορίζουν περιέχεται στην άλλη, π.χ. ΕΖ ΗΘ↑↑
 
.
Ορισμός: Δύο παράλληλα διανύσματα λέγονται
αντίρροπα (δηλαδή με αντίθετη φορά):
α) Όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται σε
διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία που ενώνει
τις αρχές τους π.χ. ΑΒ ΓΔ↑↓
 
.
β) Όταν έχουν τον ίδιο φορέα και καμία από τις
ημιευθείες που ορίζουν δεν περιέχεται στην άλλη π.χ. τα
ΕΖ ΗΘ↑↓
 
.
Ίσα διανύσματα
Ορισμός: Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται
ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπα)
και ίσα μέτρα.
π.χ. Αν ΓΔ ΕΖ↑↑
 
και |ΓΔ||ΕΖ|=
 
, τότε ΓΔ ΕΖ=
 
.
Αν ΓΔ ΚΛ↑↑
 
και |ΓΔ||ΚΛ|=
 
, τότε ΓΔ ΚΛ=
 
.
Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς
• Η ισοδυναμία ΑΒ ΓΔ= ⇔
 
«τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ, ΒΓ έχουν κοινό
μέσο» αποτελεί ένα κριτήριο ισότητας δύο διανυσμάτων.
Άμεση εφαρμογή αυτού του κριτηρίου αποτελούν οι ισοδυναμίες
ΑΒ ΓΔ ΑΓ ΒΔ ΔΒ ΓΑ= ⇔ = ⇔ =
     
.

11. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 11 από 172
• Αν ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο, τότε ΑΒ ΔΓ=
 
και ΑΔ ΒΓ=
 
.
Προσοχή! Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή, αν
ΑΒ ΔΓ=
 
ή ΑΔ ΒΓ=
 
, τότε δεν είμαστε σίγουροι ότι
το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί υπάρχει
περίπτωση τα σημεία Α, Β, Γ και Δ να είναι
συνευθειακά.
Αντίθετα διανύσματα
Ορισμός: Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα όταν έχουν αντίθετη
κατεύθυνση (αντίρροπα) και ίσα μέτρα.
Αν το u

είναι αντίθετο του v

, γράφουμε u v= −
 
( ή v u= −
 
).
π.χ. Αν ΓΔ ΕΖ↑↓
 
και |ΓΔ||ΕΖ|=
 
, τότε
ΓΔ ΕΖ= −
 
.
ΑνΓΔ ΚΛ↑↓
 
και |ΓΔ||ΚΛ|=
 
, τότε ΓΔ ΚΛ= −
 
.
Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, τότε ΑΜ ΜΒ=
 
και ΑΜ ΒΜ= −
 
.
Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς
• Όταν αλλάζουμε τη θέση των άκρων σε ένα διάνυσμα, τότε παίρνουμε το
αντίθετο διάνυσμα, δηλαδή ΓΔ ΔΓ= −
 
.
• Αν ισχύει η ισότητα μηκών ( ) ( )ΑΜ ΜΒ= , τότε το Μ δεν είναι απαραίτητα
μέσο του ΑΒ. Από αυτή την ισότητα καταλαβαίνουμε ότι το Μ ισαπέχει
από τα Α και Β, οπότε είναι κάποιο σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος
ΑΒ.

12. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 12 από 172 www.askisiologio.gr
Γωνία δύο διανυσμάτων
Ορισμός: Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α

και β

. Με
αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ = α
 
και
ΟΒ = β
 
. Η κυρτή γωνία ΑΟΒ
∧
, που ορίζουν οι ημιευθείες
ΟΑ και ΟΒ ονομάζεται γωνία των διανυσμάτων α

και β

.
Τη συμβολίζουμε με α,β
∧
 
  
 
 
ή β,α
∧
 
  
 
 
ή γενικά με θ και παίρνει τιμές
ο ο
0 θ 180≤≤ (ή 0 θ π≤ ≤ ).
Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς
• Για να υπολογίσουμε τη γωνία δύο διανυσμάτων, θα πρέπει αυτά να έχουν
κοινή αρχή. Οπότε με παράλληλη μεταφορά του ενός από τα δύο, τα
διανύσματα αποκτούν κοινή αρχή.
• Τα ομόρροπα διανύσματα σχηματίζουν γωνία o
0 .
• Τα αντίρροπα διανύσματα σχηματίζουν γωνία o
180 .
• Αν o
θ = 90 , τα διανύσματα λέγονται κάθετα ή ορθογώνια.
• Το μηδενικό διάνυσμα 0

σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία θ ( o o
0 θ 180≤≤ )
με κάθε άλλο διάνυσμα.

13. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 13 από 172
1.2 Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων
1.2.1 Πρόσθεση Διανυσμάτων
Ορισμός: Έστω δύο διανύσματα α

και β

. Με αρχή ένα τυχαίο σημείο Ο
παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ = α
 
.
Στη συνέχεια, με αρχή το Α παίρνουμε ένα
διαδοχικό διάνυσμα ΑΜ = β
 
.
Τότε το διάνυσμα ΟΜ

είναι το άθροισμα ή η συνισταμένη των α

και β

,
δηλαδή α +β = ΟΜ
  
.
Ενναλακτικά, για να προσθέσουμε δύο διανύσματα
εφαρμόζουμε τον λεγόμενο κανόνα του
παραλληλογράμμου. Με αρχή ένα τυχαίο σημείο Ο
παίρνουμε διανύσματα ΟΑ = α
 
και ΟΒ = β
 
και
σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο ΟΑΜΒ με
πλευρές τις ΟΑ, ΟΒ.
Τότε το άθροισμα α +β
 
ορίζεται από το διάνυσμα της περιεχόμενης διαγωνίου
ΟΜ

. Δηλαδή α +β ΟΜ=
  
.
Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς
• Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα, τα κάνουμε διαδοχικά (δηλαδή το
πέρας του πρώτου να είναι η αρχή του δευτέρου). Τότε το διάνυσμα που
ορίζεται από την αρχή του πρώτου και από το πέρας του δευτέρου
διανύσματος είναι το άθροισμά τους. Δηλαδή ΟΑ + ΑΜ = ΟΜ
  
. Με τον ίδιο
τρόπο προσθέτουμε και περισσότερα από δύο διανύσματα. Τα διανύσματα
γίνονται διαδοχικά με παράλληλη μεταφορά.
• Όταν έχουμε πρόσθεση διανυσμάτων που το πέρας του ενός είναι η αρχή
του άλλου, τότε το άθροισμα ισούται με το διάνυσμα που προκύπτει αν
διαγράψουμε τα ενδιάμεσα σημεία. Δηλαδή, ΑΒ ΒΓ ΑΓ+ =
  
.
• Ένα διάνυσμα ΑΒ

μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο διανυσμάτων με
άπειρους σε πλήθος τρόπους: ΑΒ ΑΓ ΓΒ ΑΔ ΔΒ ...= + = + =
    
.

14. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 14 από 172 www.askisiologio.gr
1.2.2 Ιδιότητες της Πρόσθεσης Διανυσμάτων
Για την πρόσθεση των διανυσμάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης
πραγματικών αριθμών. Αν α,β,γ
  
είναι τρία διανύσματα, τότε:
α) α +β = β+α
   
(αντιμεταθετική)
β) (α +β)+ γ = α +(β+ γ)
     
(προσεταιριστική)
γ) α +0 = 0 +α
   
(ουδέτερο στοιχείο)
δ) α +(-α) = 0
  
(αντίθετο στοιχείο)
Α π ό δ ε ι ξ η
α) Από το διπλανό σχήμα έχουμε:
α +β = ΟΑ + ΑΜ = ΟΜ
    
και β+α = ΟΒ+ΒΜ = ΟΜ
    
.
Άρα α +β = β+α
   
.
β) Από το διπλανό σχήμα έχουμε:
(α +β)+ γ = (ΟΑ + ΑΒ)+ ΒΓ = ΟΒ+ΒΓ = ΟΓ
        
και
α +(β+ γ) = ΟΑ +(ΑΒ+ ΒΓ) = ΟΑ + ΑΓ = ΟΓ
        
.
Επομένως (α +β)+ γ = α +(β+ γ)
     
.
Οι ιδιότητες (γ) και (δ) είναι προφανείς.
Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς
• Η προσεταιριστική ιδιότητα μας δίνει τη δυνατότητα να προσθέσουμε ν
διαφορετικά διανύσματα. Αφού τα καταστήσουμε διαδοχικά, το άθροισμά
τους θα είναι το διάνυσμα με αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το
πέρας του τελευταίου.
• Κάθε διάνυσμα γράφεται σαν άθροισμα δύο ή περισσοτέρων π.χ.
ΑΒ = ΑΓ + ΓΒ
  
και ΑΒ = ΑΔ + ΔΕ + ΕΒ
   
.

15. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 15 από 172
1.2.3 Αφαίρεση Διανυσμάτων
Ορισμός: Η διαφορά α -β
 
του διανύσματος
β

από το διάνυσμα α

ορίζεται ως το
άθροισμα των διανυσμάτων α

και β−

.
Δηλαδή α -β = α +(-β)
   
.
Εναλλακτικά η διαφορά α -β
 
είναι το διάνυσμα της
δεύτερης διαγωνίου του γνωστού
παραλληλογράμμου της πρόσθεσης διανυσμάτων.
1.2.4 Διάνυσμα Θέσεως
Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου
ορίζουμε το διάνυσμα ΟΜ

, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ (ή
διανυσματική ακτίνα του Μ). Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των
διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου λέγεται σημείο αναφοράς στον
χώρο.
Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για
οποιοδήποτε διάνυσμα AB

έχουμε
OA + AB = OB ΑΒ = ΟΒ- ΟΑ⇒
     
.
Επομένως κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του
πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.
Δηλαδή: ΑΒ = ΟΒ - ΟΑ
  
.
Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς
• Οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί με τον παραπάνω τύπο να γραφεί ως
διαφορά δύο άλλων διανυσμάτων τα οποία έχουν κοινή αρχή ένα
επιθυμητό σημείο π.χ. Ο.
• Αν διαβάσουμε τον παραπάνω τύπο ξεκινώντας από το δεύτερο μέλος προς
το πρώτο, δηλαδή ΟΒ- ΟΑ ΑΒ=
  
, τότε αυτός μας δείχνει πως γίνεται η
αφαίρεση δύο διανυσμάτων τα οποία έχουν κοινή αρχή.

16. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 16 από 172 www.askisiologio.gr
• Ένα διάνυσμα ΑΒ

μπορεί να γραφεί ως διαφορά δύο διανυσμάτων με
κοινή αρχή με άπειρους σε πλήθος τρόπους: ΑΒ ΓΒ ΓΑ ΔΒ ΔΑ ...= − = − =
    
.
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 1 - Α π ό δ ε ι ξ η δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή ς ι σ ό τ η τ α ς
Για να αποδείξουμε μια διανυσματική ισότητα εργαζόμαστε με
κάποιον από τους παρακάτω τρόπους:
α) Μεταφέρουμε τα διανύσματα στο ένα μέλος, κάνουμε τις
πράξεις και καταλήγουμε σε μια σχέση που ισχύει και είναι
ισοδύναμη της αρχικής.
β) Με τη μέθοδο των διανυσματικών ακτίνων. Δηλαδή επιλέγουμε
ως σημείο αναφοράς ένα σημείο Ο και γράφουμε κάθε διάνυσμα
π.χ. ΑΒ

σύμφωνα με τη σχέση ΑΒ ΟΒ ΟΑ= −
  
. Μπορούμε όμως να
επιλέξουμε και ως σημείο αναφοράς κάποιο από τα δοσμένα
σημεία της άσκησης.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ και Δ ισχύει
ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΔΒ+ = −
   
.
Λ ύ σ η
1ος τρόπος
ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΔΒ ΑΔ ΔΒ ΒΓ ΑΓ 0 ΑΒ ΒΓ ΓΑ 0 ΑΑ 0+ = − ⇔ + + − = ⇔ + + = ⇔ =
              
που ισχύει.
2ος τρόπος
α) (με σημείο αναφοράς οποιοδήποτε σταθερό σημείο Ο)
Έστω Ο ένα οποιοδήποτε σταθερό σημείο. Αναλύουμε κάθε διάνυσμα ως
διαφορά δύο διανυσμάτων που έχουν κοινή αρχή το Ο, οπότε έχουμε:
ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΔΒ ΟΔ ΟΑ ΟΓ ΟΒ ΟΓ ΟΑ (ΟΒ ΟΔ)
ΟΔ ΟΑ ΟΓ ΟΒ ΟΓ ΟΑ ΟΒ ΟΔ ΟΔ ΟΒ ΟΒ ΟΔ
+ = − ⇔ − + − = − − − ⇔
− + − = − − + ⇔ − = − +
           
           
που ισχύει.
β) (με σημείο αναφοράς κάποιο από τα δοσμένα σημεία της άσκησης)

17. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 17 από 172
Μπορούμε να εργαστούμε με τη μέθοδο των διανυσματικών ακτίνων, όπως και
προηγουμένως στο α) του 2ου τρόπου επίλυσης, αλλά να επιλέξουμε ως σημείο
αναφοράς κάποιο από τα δοσμένα σημεία της άσκησης π.χ. το Α. Οπότε:
ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΔΒ ΑΔ ΑΑ ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΑ (ΑΒ ΑΔ)
ΑΔ 0 ΑΓ ΑΒ ΑΓ 0 ΑΒ ΑΔ ΑΔ ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΔ
+ = − ⇔ − + − = − − − ⇔
− + − = − − + ⇔ + − = − +
           
             
που ισχύει.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 2
Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε. Να αποδείξετε ότι
ΑΓ ΔΕ ΒΔ ΕΓ ΒΑ− = + −
    
.
Λ ύ σ η
1ος τρόπος
( )
ΑΓ ΔΕ ΒΔ ΕΓ ΒΑ ΑΓ ΔΕ ΒΔ ΕΓ ΒΑ 0
ΑΓ ΔΕ ΕΓ ΒΔ ΒΑ 0 ΑΓ ΔΓ ΔΒ ΒΑ 0
ΑΓ ΓΔ ΔΑ 0 ΑΑ 0
− = + − ⇔ − − − + = ⇔
− + − + = ⇔ − + + = ⇔
+ + = ⇔ =
          
          
     
που ισχύει.
2ος τρόπος
Επιλέγουμε ως σημείο αναφοράς το Α και έχουμε:
ΑΓ ΔΕ ΒΔ ΕΓ ΒΑ
ΑΓ ΑΑ ΑΕ ΑΔ ΑΔ ΑΒ ΑΓ ΑΕ ΑΑ ΑΒ
ΑΓ 0 ΑΕ ΑΔ ΑΔ ΑΒ ΑΓ ΑΕ 0 ΑΒ
ΑΓ ΑΕ ΑΔ ΑΔ ΑΒ
− = + − ⇔
− − + = − + − − + ⇔
− − + = − + − − + ⇔
− + − +
    
         
         
    
ΑΓ ΑΕ ΑΒ 0
0 0
− + − = ⇔
=
    
 
που ισχύει.
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 1.
Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να αποδείξετε ότι ΒΓ ΒΔ ΑΓ ΑΔ− = −
   
.

18. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 18 από 172 www.askisiologio.gr
Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ ισχύει
ΑΔ ΒΖ ΓΖ ΑΕ ΒΕ ΓΔ− + = − +
     
.
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 2 - Μ ε τ α τ ρ ο π ή ι σ ό τ η τ α ς μ η κ ώ ν σ ε
δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ ή ι σ ό τ η τ α
Γενικά μία ισότητα μηκών δεν μετατρέπεται όπως είναι σε
διανυσματική ισότητα. Είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε αν τα
διανύσματα είναι ομόρροπα ή αντίρροπα.
Κάθε ισότητα μηκών (μέτρων) γίνεται διανυσματική, όπως είναι,
αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα, ενώ βάζουμε ένα πλην ( )− , αν
τα διανύσματα είναι αντίρροπα. Ισχύει και αντίστροφα.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
α) Αν ΒΜ ΜΓ↑↑
 
, να μετατρέψετε την ισότητα ( ) ( )BM 2 MΓ= σε
διανυσματική.
β) Αν ΒΜ ΜΓ↑↓
 
, να μετατρέψετε την ισότητα ( ) ( )BM 2 MΓ= σε
διανυσματική.
Λ ύ σ η
α) Αν ( ) ( )BM 2 MΓ= και ΒΜ ΜΓ↑↑
 
, τότε ΒΜ 2ΜΓ=
 
.
β) Αν ( ) ( )BM 2 MΓ= και ΒΜ ΜΓ↑↓
 
, τότε ΒΜ 2ΜΓ= −
 
.
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 2.
Αν ΑΒ ΓΔ↑↑
 
, να μετατρέψετε την ισότητα ( ) ( )
3
2 ΑB ΓΔ
2
= σε
διανυσματική.
Αν ΑΒ ΓΔ↑↓
 
, να μετατρέψετε την ισότητα ( ) ( )
3
2 ΑB ΓΔ
2
= σε
διανυσματική.

19. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 19 από 172
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 3 - Δ ύ ο σ η μ ε ί α τ α υ τ ί ζ ο ν τ α ι
Για να αποδείξουμε ότι δύο σημεία Κ και Λ ταυτίζονται ( )Κ Λ≡ ,
αρκεί να αποδείξουμε ότι ΚΛ 0=
 
, δηλαδή ότι το διάνυσμα ΚΛ

είναι μηδενικό.
Αν ισχύει ΟΚ ΟΛ=
 
, τότε έχουμε ΟΚ ΟΛ 0 ΛΚ 0− = ⇔ =
    
, οπότε πάλι
προκύπτει ότι τα Κ και Λ συμπίπτουν.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε του χώρου, για τα οποία ισχύει
ΑΓ ΔΓ ΕΔ ΕΒ− = −
   
. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β συμπίπτουν.
Λ ύ σ η
1ος τρόπος
Έχουμε:
ΑΓ ΔΓ ΕΔ ΕΒ ΑΓ ΔΓ ΕΔ ΕΒ 0
ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΒ 0 (ΑΓ ΓΔ) (ΔΕ ΕΒ) 0
ΑΔ ΔΒ 0 ΑΒ 0
− = − ⇔ − − + = ⇔
+ + + = ⇔ + + + = ⇔
+ = ⇔ =
        
         
    
Άρα τα σημεία Α και Β συμπίπτουν.
2ος τρόπος
Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των διανυσματικών ακτινών. Έστω ότι Ο σημείο
αναφοράς, τότε:
ΑΓ ΔΓ ΕΔ ΕΒ
(ΟΓ ΟΑ) (ΟΓ ΟΔ) (ΟΔ ΟΕ) (ΟΒ ΟΕ)
ΟΓ ΟΑ ΟΓ ΟΔ ΟΔ ΟΕ ΟΒ ΟΕ
ΟΑ ΟΒ ΑΟ ΟΒ 0 ΑΒ 0
− = − ⇔
− − − = − − − ⇔
− − + = − − + ⇔
− = − ⇔ + = ⇔ =
   
       
       
      
Άρα τα σημεία Α και Β συμπίπτουν.
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 3.
Αν ισχύει ΑΚ ΛΒ ΛΚ+ =
  
, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται.

20. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 20 από 172 www.askisiologio.gr
Αν ισχύει ΑΜ ΑΝ ΒΜ ΒΝ+ = +
   
, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β
ταυτίζονται.
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 4 - Π α ρ α λ λ η λ ό γ ρ α μ μ ο - Τ ρ α π έ ζ ι ο
α) Παραλληλόγραμμο: Όταν δίνεται μια διανυσματική ισότητα,
στην οποία περιέχονται τέσσερα μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ
και Δ και θέλουμε να δείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι
παραλληλόγραμμο, τότε προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι δύο
διανύσματα που ορίζονται από τις απέναντι πλευρές του ΑΒΓΔ
είναι ίσα μεταξύ τους. Δηλαδή, αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ ΔΓ=
 
ή
ΑΔ ΒΓ=
 
.
Προσοχή! Δεν ξεχνάμε ότι ισχύει και ο κανόνας του
παραλληλογράμμου στην πρόσθεση διανυσμάτων, δηλαδή
ΑΒ ΑΔ ΑΓ+ =
  
. Επιπλέον ισχύει και ΑΒ ΑΔ ΔΒ− =
  
από την αφαίρεση
διανυσμάτων.
Για να δείξουμε ότι το ΑΒΓΔ είναι κάποιο άλλο είδος παρ/μου
(ορθογώνιο, ρόμβος κτλ.), δείχνουμε επιπλέον κάποια ιδιότητά
του.
β) Τραπέζιο: Για να αποδείξουμε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο,
αρκεί να δείξουμε ότι δύο διανύσματα που ορίζονται από δύο
απέναντι πλευρές είναι μεταξύ τους παράλληλα π.χ. ΑΒ//ΓΔ
 
.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Αν Α, Β, Γ και Δ είναι μη συνευθειακά σημεία και ισχύει
ΑΒ ΓΜ ΔΜ,+ =
  
να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι
παραλληλόγραμμο.
Λ ύ σ η
Στη δοσμένη διανυσματική ισότητα παίρνουμε σημείο αναφοράς το Α και
έχουμε:
ΑΒ ΓΜ ΔΜ ΑΒ ΑΜ ΑΓ ΑΜ ΑΔ
ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΓ ΑΒ ΑΔ ΒΓ ΑΔ
+ = ⇔ + − = − ⇔
− = − ⇔ − = ⇔ =
       
       
Επειδή ΒΓ ΑΔ=
 
, άρα ( ) ( )ΒΓ // ΑΔ= , επομένως το ΑΒΓΔ είναι
παραλληλόγραμμο.

21. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 21 από 172
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 4.
Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ένα σημείο Κ. Αν ισχύει
ΚΑ ΚΒ ΚΔ ΚΓ− = −
   
να δείξετε ότι είναι παραλληλόγραμμο.
Αν α

, β

, γ

και δ

είναι αντίστοιχα τα διανύσματα θέσεως των σημείων Α,
Β, Γ και Δ ως προς σημείο αναφοράς Ο, τι συμπέρασμα βγάζετε για το
είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ στην κάθε μία από τις παρακάτω
περιπτώσεις;
i. α β δ γ− = −
   
ii. |α γ|=|β- δ|−
   
iii. α β δ γ− = −
   
και |α γ|=|β- δ|−
   
.
1.2.5 Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων
Στο διπλανό τρίγωνο ΟΑΒ και από την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουμε ότι:
ΟΑ - ΑΒ ΟΒ ΟΑ + ΑΒ≤ ≤ .
Επομένως, αν α

, β

είναι οποιαδήποτε μη μηδενικά
διανύσματα του επιπέδου, για τα μέτρα (μήκη) τους
ισχύει:
( )|α|-|β| |α + β||α|+|β| 1≤ ≤
     
.
Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς
• α) Από τη σχέση ( )1 προκύπτει ότι:
α β |α +β|=|α|+|β|↑↑ ⇔
     
α β |α + β|= |α|-|β|↑↓ ⇔
     
α β |α|-|β| |α + β||α|+|β|⇔ < <
       
 (τριγωνική ανισότητα)
Δηλαδή η ισότητα από δεξιά στη σχέση ( )1 ισχύει όταν τα διανύσματα
είναι ομόρροπα, ενώ από αριστερά όταν είναι αντίρροπα. Αν τα
διανύσματα δεν είναι παράλληλα, τότε ισχύει η τριγωνική ανισότητα.

22. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 22 από 172 www.askisiologio.gr
Αν |α|-|β| =|α +β|=|α|+|β|
     
, τότε τουλάχιστον ένα από τα α

, β

είναι
το 0

.
• β) Αν στη σχέση ( )1 βάλουμε όπου β

το β−

, παίρνουμε
|α|-|β| |α β||α|+|β|.≤ − ≤
     
• γ) Ισχύει και |α|-|β| |α β|≤ −
   
.
Α π ό δ ε ι ξ η
Γνωρίζουμε ότι για κάθε κ ∈  ισχύει κ |κ|≤ , άρα για κ |α|-|β|=
 
έχουμε
|α|-|β| ||α|-|β||≤
   
και σύμφωνα με την προηγούμενη παρατήρηση
έχουμε |α|-|β| |α|-|β| |α β|≤ ≤ −
     
. Άρα |α|-|β| |α β|≤ −
   
.
• δ) Για τρία διανύσματα ισχύει |α +β+ γ| |α|+|β|+|γ|≤
     
.
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 5 - Σ χ έ σ ε ι ς μ έ τ ρ ω ν
Χρησιμοποιώντας την ανισοτική σχέση των μέτρων
|α|-|β| |α + β||α|+|β|≤ ≤
     
και τις σχέσεις που προέκυψαν από τις
προηγούμενες παρατηρήσεις, μπορούμε να αποδείξουμε
ανισοτικές σχέσεις μέτρων (μονές ή διπλές), οι οποίες ζητούνται
σε ασκήσεις.
Προσοχή! Αν χρησιμοποιήσουμε κάποια από τις σχέσεις των
προηγούμενων παρατηρήσεων, θα πρέπει πρώτα να την
αποδείξουμε.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Αν |α|= 3

και |β|= 4

, να αποδείξετε ότι 1 |α β| 7≤ − ≤
 
.
Λ ύ σ η
Σύμφωνα με την παρατήρηση (β) (απαιτείται η απόδειξη) ισχύει:
|α|-|β| |α β||α|+|β|≤ − ≤
     
.
Άρα |α β||α|+|β| |α β| 3 4 7− ≤ ⇔ − ≤ + =
     
και
|α β| |α|-|β| |α β||3 4|=1− ≥ ⇔ − ≥ −
     
, οπότε 1 |α β| 7≤ − ≤
 
.

23. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 23 από 172
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 2
Αν |ΟΚ|= 2

και |ΟΛ|= 3

, να αποδείξετε ότι 1 |ΚΛ| 5≤ ≤

.
Λ ύ σ η
Σύμφωνα με την παρατήρηση (β) ισχύει |α|-|β| |α β||α|+|β|≤ − ≤
     
.
Οπότε έχουμε:
|ΚΛ|=|ΛΚ|=|ΟΚ - ΟΛ||ΟΚ|+|ΟΛ|= 2+3 = 5≤
     
και
|ΚΛ|=|ΛΚ|=|ΟΚ - ΟΛ|||ΟΚ|-|ΟΛ||=|2- 3|=1≥
     
.
Άρα 1 |ΚΛ| 5≤ ≤

.
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 5.
Αν |α|= 2

και |β|= 5

, να αποδείξετε ότι 3 |α β| 7≤ − ≤
 
.
Αν ΟΑ = 5

και ΟΒ = 3

, να αποδείξετε ότι 2 |ΑΒ| 8≤ ≤

.

24. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 24 από 172 www.askisiologio.gr
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 6 - Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ί τ ό π ο ι
Όταν ζητάμε να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του
επιπέδου, τότε από τα δεδομένα της άσκησης προσπαθούμε να
καταλήξουμε σε μία σχέση της μορφής:
α) ΜΑ ΒΓ/ /
 
, όπου Α, Β και Γ είναι σταθερά σημεία. Τότε ο
ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία η
οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη προς την
ευθεία ΒΓ.
β) |ΜΑ|= κ

, όπου Α είναι σταθερό σημείο και κ θετικός
πραγματικός αριθμός. Τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των
σημείων Μ είναι είναι κύκλος κέντρου Α και ακτίνας κ.
γ) |ΜΑ|=|ΜΒ|
 
, όπου Α και Β σταθερά σημεία. Τότε ο ζητούμενος
γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η μεσοκάθετος του
ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ
για τα οποία ισχύει:
α) ΑΜ ΒΓ/ /
 
β) ΒΜ ΒΓ/ /
 
.
Λ ύ σ η
α) Η σχέση ΑΜ ΒΓ/ /
 
ισχύει μόνο όταν οι ευθείες ΑΜ και ΒΓ είναι παράλληλες.
Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ( )ε , η οποία διέρχεται από
το Α και είναι παράλληλη προς τη ΒΓ.
β) Οι ευθείες ΒΜ και ΒΓ έχουν το Β κοινό σημείο και επειδή ισχύει ΒΜ ΒΓ/ /
 
,
άρα οι ευθείες αυτές συμπίπτουν. Επομένως το Μ είναι σημείο της ευθείας ΒΓ,
δηλαδή ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ΒΓ.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 2
Έστω Α ένα γνωστό σταθερό σημείο. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο
των σημείων Μ για τα οποία ισχύει:
α) |ΑΜ|= 3


25. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 25 από 172
β) |ΜΑ|= α

, α ∈  .
Λ ύ σ η
α) Το |ΑΜ|

είναι η απόσταση των σημείων Α και Μ. Άρα ζητάμε να βρούμε τον
γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ που απέχουν από το σταθερό σημείο Α σταθερή
απόσταση ίση με 3. Το σύνολο αυτών των σημείων είναι ο κύκλος με κέντρο το
Α και ακτίνα ίση με 3.
β) Επειδή α ∈  , διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:
• Αν α 0> , τότε η περίπτωση είναι παρόμοια με το ερώτημα (α), οπότε ο
ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο το Α και ακτίνα
ίση με α.
• Αν α 0= , τότε έχουμε |ΜΑ|= 0

, δηλαδή ΜΑ = 0

. Άρα το σημείο Μ
ταυτίζεται με το σημείο Α.
• Αν α 0< , τότε η σχέση |ΜΑ|= α

είναι αδύνατη, γιατί γνωρίζουμε ότι
|ΜΑ| 0≥

. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το κενό σύνολο.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 3
Αν Α και Β είναι δύο γνωστά σταθερά σημεία και ισχύει
|ΜΒ+ ΒΑ|=|ΑΒ ΑΜ|−
   
, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.
Λ ύ σ η
Ισχύει|ΜΒ+ΒΑ|=|ΑΒ ΑΜ| |ΜΑ|=|ΜΒ|− ⇔
     
, δηλαδή το σημείο Μ ισαπέχει από
τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος
του Μ είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 6.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα
οποία ισχύει:
i. ΒΜ ΑΓ/ /
 
ii. ΑΜ ΑΓ/ /
 
.
Έστω Α, Β γνωστά σταθερά σημεία. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των
σημείων Μ για τα οποία ισχύει |ΑΒ+ΒΜ|=1
 
.

26. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 26 από 172 www.askisiologio.gr
Αν Α και Β είναι δύο γνωστά σταθερά σημεία και ισχύει
|ΜΑ + ΑΒ|=|ΒΑ ΒΜ|−
   
, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.

27. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 27 από 172
Ερωτήσεις κλειστού τύπου
Ερωτήσεις Κατανόησης
1. Τι λέγεται διάνυσμα;
2. Ποιο διάνυσμα είναι το μηδενικό;
3. Τι λέγεται μέτρο ή μήκος διανύσματος;
4. Ποιο διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο;
5. Τι λέγεται φορέας διανύσματος;
6. Ποια διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά;
7. Πότε δύο διανύσματα λέγονται ομόρροπα;
8. Πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίρροπα;
9. Πότε δύο διανύσματα είναι ίσα;
10. Πότε δύο διανύσματα είναι αντίθετα;
11. Πως ορίζεται η γωνία δύο διανυσμάτων;
12. Ποια η σχέση δύο διανυσμάτων, αν η γωνία τους είναι 0°, 90°, ο
180 ;
13. Να περιγραφούν οι τρόποι με τους οποίους προσθέτουμε δύο διανύσματα.
14. Να περιγραφούν οι τρόποι με τους οποίους αφαιρούμε δύο διανύσματα.
15. Να γραφεί δοσμένο διάνυσμα ΚΛ

ως διαφορά διανυσματικών ακτινών των
άκρων του, με σημείο αναφοράς Ο.
16. Ποια ανισοτική σχέση δίνει το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων;
Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού
1. Δύο διανύσματα λέγονται ομόρροπα όταν …………………………………… .
2. Δύο διανύσματα λέγονται αντίρροπα όταν …………………………………… .
3. Δύο διανύσματα είναι ίσα μεταξύ τους όταν ………………………………… .
4. Δύο διανύσματα είναι αντίθετα μεταξύ τους όταν ……………………… .
5. Έστω τα διανύσματα ΟΑ = α
 
και ΟΒ = β
 
. Ονομάζουμε γωνία των α

, β

την…………………………………………. .
6. Αν θ η γωνία των α

, β

τότε:
α) θ = 0 , αν τα α

και β

είναι ……………………. .
β) θ = π , αν τα α

και β

είναι ………………….… .
γ) Αν α β⊥
 
, τότε θ = ... .

28. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 28 από 172 www.askisiologio.gr
7. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τα διανύσματα:
α) ΑΒ ΒΓ+
 
=… β) ΑΒ ΔΑ+
 
=…
γ) ΑΒ ΒΓ ΓΔ+ +
  
=… δ) ΒΓ ΔΓ−
 
=…
ε) ΑΓ ΑΒ−
 
=… στ) ΒΓ ΓΔ ΒΑ+ −
  
=…
8. Να συμπληρώσετε τα κενά με ένα γράμμα ώστε με βάση το διπλανό σχήμα
να αληθεύουν οι ισότητες:
α) ΒΑ ΔΕ Β...+ =
  
β) ΑΕ ΑΒ Α...+ =
  
γ)ΓΔ ΒΔ Β...+ =
  
δ) ΖΒ ΖΕ Ζ...+ =
  
ε)ΒΔ ΖΕ Β...− =
  
9. Να συμπληρώσετε τα κενά με ένα διάνυσμα ώστε, με βάση το σχήμα της
προηγούμενης άσκησης, να αληθεύουν οι ισότητες:
α) ΔΕ ΔΑ ...− =
 
β) ΑΓ ΑΒ ...− =
 
γ) ΓΖ ΒΔ ΔΖ ...+ − =
  
δ) ΒΔ ΑΔ ΓΖ ...− − =
  
ε) ΓΒ ΔΑ ΓΑ ...+ − =
  
10. Να βρείτε το διάνυσμα x

σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
x ......=

β) x ......=

α)

29. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 29 από 172
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
1. Αν ΑΒ ΓΔ=
 
, τότε ισχύει:
α. ΑΓ ΒΔ=
 
β. ΑΔ ΒΔ=
 
γ. ΑΓ ΔΒ=
 
δ. ΑΔ ΓΒ=
 
ε. τίποτα από τα προηγούμενα
2. Η σχέση |α|-|β| |α +β|≤
   
ισχύει μόνο αν τα α

και β

είναι:
α. παράλληλα β. ομόρροπα γ. αντίρροπα
δ. αντίθετα ε. οποιαδήποτε διανύσματα
3. Αν Κ είναι ένα σημείο του επιπέδου του παλληλογράμμου ΑΒΓΔ, τότε ισχύει:
α. ΚA ΚB ΚΓ ΚΔ+ = +
   
β. ΚA ΚB ΚΓ ΚΔ 0+ + + =
    
γ. ΚA ΚB ΚΔ ΚΓ+ = −
   
δ. ΚA ΚΓ ΚΒ ΚΔ− = −
   
ε. Τίποτα από τα προηγούμενα
4. Αν α β= −
 
, τότε τα διανύσματα α

και β

είναι:
α. κάθετα β. ομόρροπα γ. αντίρροπα
δ. αντίθετα ε. οποιαδήποτε διανύσματα
5. Αν Ο είναι το κέντρο του παλληλογράμμου ΑΒΓΔ, τότε ισχύει:
α. AΟ ΟΓ ΒΓ+ =
  
β. ΟA ΟB ΟΓ ΟΔ 0+ + + =
    
γ. AΟ ΟB ΑΒ+ =
  
δ. ΟA ΟΓ ΑΓ− =
  
ε. Τίποτα από τα προηγούμενα

30. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 30 από 172 www.askisiologio.gr
Ερωτήσεις αντιστοίχισης
1. Να αντιστοιχίσετε κάθε ένα από τα διανύσματα της Α στήλης με το ίσο του της
Β στήλης.
Στήλη (Α) Στήλη (Β)
1α ΒΓ ΓΑ ΑΒ= − +
   
1β 2ΒΓ=
 
2α ΒΓ ΔΓ ΒΑ= − −
   
2β 0=
 
3α ΓΔ ΒΑ ΔΑ ΓΒ= − + −
    
3β ΓΔ=
 
4α ΑΓ ΔΒ ΒΑ ΓΔ= − + −
    
4β 2ΑΓ=
 
5α ΑΓ ΒΑ ΔΓ ΓΒ= + − +
    
5β ΑΔ=
 
2. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = α
 
και ΑΔ = β
 
. Να αντιστοιχίσετε κάθε
διάνυσμα της στήλης Α του παρακάτω πίνακα με το ίσο του της στήλης Β.
Στήλη (Α) Στήλη (Β)
1. ΑΓ

Α. -α

2. ΓΒ

Β. α +β

3. ΓΔ

Γ. β- α
 
4. ΒΔ
 Δ. α -β

Ε. -β


31. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 31 από 172
Στήλη (Α) Στήλη (Β)
Ζ.
α - β
2

Χαρακτηρισμός προτάσεων ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες
(Λ)
1. Αν ΑΒ ΓΔ=
 
, τότε ΒΑ ΔΓ=
 
.
Σ Λ
2. Αν |ΑΒ|=|ΓΔ|
 
, τότε ΑΒ ΓΔ=
 
.
Σ Λ
3. Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν το ίδιο μέτρο.
Σ Λ
4. Διανύσματα με μέτρο 1 λέγονται μοναδιαία.
Σ Λ
5. Δύο ομόρροπα διανύσματα είναι ίσα.
Σ Λ
6. Όταν δύο διανύσματα είναι ίσα, τότε είναι ομόρροπα.
Σ Λ
7. Αν η γωνία δύο διανυσμάτων είναι 0°, τότε είναι ομόρροπα.
Σ Λ
8. Το μηδενικό διάνυσμα είναι παράλληλο προς οποιοδήποτε
άλλο διάνυσμα.
Σ Λ
9. Αν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε είναι είτε ομόρροπα
είτε αντίρροπα.
Σ Λ
10. Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα
της αρχής μείον τη διανυσματική ακτίνα του πέρατός του.
Σ Λ
11. Ισχύει ότι α 0 α+ =
  
.

32. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 32 από 172 www.askisiologio.gr
Σ Λ
12. Ισχύει ότι α β α β+ = − −
   
.
Σ Λ
13. Ισχύει ότι |α β||α| |β|+ = +
   
.
Σ Λ
14. Ισχύει ότι |α| |β||α β|− ≤ +
   
για οποιαδήποτε διανύσματα α

και β

.
Σ Λ
15. Αν |α β| |α| |β|+ = −
   
, τότε η γωνία των α

και β

είναι ο
180 .
Σ Λ

33. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 33 από 172
Ασκήσεις
Έννοια διανύσματος-Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων
1
Να γράψετε με τη μορφή ενός διανύσματος τις παρακάτω παραστάσεις:
α) ΑΒ ΒΓ+
 
β) ΑΒ ΓΑ+
 
γ) ΑΒ ΓΒ−
 
δ) ΑΒ ΑΓ−
 
ε) ΑΒ ΒΓ ΓΔ+ +
  
στ) ΑΒ ΜΝ ΒΜ+ +
  
ζ) ( )ΒΓ ΓΔ ΒΑ+ −
  
η) ΑΒ ΒΑ+
 
Απάντηση
α) AΓ

β) ΓB

γ) AΓ

δ) ΓB

ε) AΔ

στ) AΝ

ζ) AΔ

η) 0

2
Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Μ. Να γράψετε όλα τα
διανύσματα που έχουν ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία από τα Α, Μ, Β
και τα οποία είναι με το ΑΜ

:
α) ίσα β) αντίθετα γ) ομόρροπα
δ) αντίρροπα ε) παράλληλα
Απάντηση
α) ΜB

β) ΜΑ,ΒΜ

γ) AΜ,AB,ΜB
  
δ) ΜΑ,ΒΜ,ΒΑ
  
ε) AB,ΜB,ΒΜ,ΜΑ,ΒΑ
    
3
Έστω τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν.
α) Να συγκρίνετε τα διανύσματα α ΚΝ ΛΜ= +
  
και β ΚΜ ΛΝ= +
  
.
β) Να βρείτε σημείο Α, ώστε να ισχύει ΜΝ ΛΑ ΛΝ ΚΜ+ = −
   
.
Απάντηση
α) Είναι ίσα.
β) Το Α ταυτίζεται με το Κ.
4
Για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ να δείξετε ότι:
α) ΑΒ ΔΓ ΔΒ ΓΑ+ = −
   
β) ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΒΔ+ = +
   
.
Απάντηση
α) Γράφουμε τα διανύσματα με σημείο αναφοράς π.χ. το Α.
β) Όμοια.
5
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.
α) Αν ΒΔ ΑΓ=
 
και ΑΕ ΒΓ=
 
, να αποδείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ΔΕ

.
β) Να βρείτε σημείο Μ στο επίπεδο του τριγώνου τέτοιο ώστε
ΑΒ ΑΓ ΑΜ 0+ + =
   
.
Απάντηση

34. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 34 από 172 www.askisiologio.gr
α) ΓΔ ΓB ΒΔ ...... ΕΓ= + = =
   
β) Αντικαταστούμε AB ΒΔ=
 
και καταλήγουμε AΜ ΔΑ=
 
.
6
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ και Δ, Ε δύο
σημεία στο επίπεδο του τριγώνου τέτοια ώστε ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ+ = +
   
, να
δείξετε ότι:
α) το Μ είναι και μέσο του ΔΕ
β) για οποιοδήποτε σημείο Ν του επιπέδου του τριγώνου ισχύει
ΝΒ ΝΓ ΝΔ ΝΕ+ = +
   
.
Απάντηση
α) AB AΓ AΔ AΕ AB AΔ AΕ AΓ ...+ = + ⇔ − = − ⇔
       
β) Όμοια.
7
Αν τα διανύσματα ΑΒ

και ΓΔ

είναι ίσα, να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΔ
και ΒΓ έχουν κοινό μέσο.
Απάντηση
ΑΒΓΔ #=
8
Αν τα τμήματα ΑΓ και ΒΔ έχουν το ίδιο μέσο, να αποδείξετε ότι τα
διανύσματα ΑΒ

και ΔΓ

είναι ίσα.
Απάντηση
ΑΒΓΔ #=
9
Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα διανύσματα ΒΜ ΓΒ=
 
και
ΒΕ ΔΜ=
 
. Να δείξετε ότι το Μ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος
ΑΕ.
Απάντηση
ΒΑ ΒΕ 2ΒΜ+ =
  
10
Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ανά τρία μη-συνευθειακά. Αν ισχύει
ΟΑ ΟΓ ΟΒ ΟΔ+ = +
   
, να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.
Απάντηση
ΟΑ ΟB ΟΔ ΟΓ ΒΑ ΓΔ− = − ⇔ =
     
11 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ. Αν Μ είναι
σημείο τέτοιο, ώστε ΡΜ ΑΡ ΡΒ ΡΓ= + +
   
, να δείξετε ότι το τετράπλευρο
ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο.
Απάντηση

35. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 35 από 172
ΡΜ ΡB ΡΓ AΡ ΒΜ AΓ− = + ⇔ =
     
12
Δίνονται τρία σημεία Α, Β και Γ. Να βρείτε τα σημεία Μ, για τα οποία
ισχύει:
α) ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΓΒ+ − =
   
β) ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΒΓ− + =
   
γ) ΜΒ ΜΓ ΜΑ ΒΓ+ − =
   
δ) ΜΒ ΜΓ ΜΑ 0+ − =
   
Απάντηση
α) Το Μ ταυτίζεται με το Α. β) Το Μ ταυτίζεται με το Α.
γ) AB ΒΜ=
 
δ) AΓ ΒΜ=
 
13
Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ καθώς και τα Μ, Ν τέτοια, ώστε
ΑΜ ΑΒ ΑΔ ΒΔ= + −
   
και ΑΝ ΑΒ ΑΔ ΑΓ= − +
   
.
α) Να δείξετε ότι ΜΝ ΔΑ ΒΓ= +
  
.
β) Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, τι συμπεραίνετε για τα σημεία Μ
και Ν;
Απάντηση
α) ΜΝ ΜΑ AΝ ...... ΔΑ ΒΓ= + = = +
    
β) Ταυτίζονται.
14
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Μ στο επίπεδο του
παραλληλογράμμου, για το οποίο ισχύει ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ+ + =
   
.
Απάντηση
Το Μ ταυτίζεται με το Β.
15
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο . Να αποδείξετε ότι
|ΑΒ| |ΒΓ| |ΓΑ| 6R+ + <
  
.
Απάντηση
Έχουμε 6 ακτίνες είναι 3 διαμέτρους.
16
Έστω κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας . Για δύο σημεία του επιπέδου
ισχύουν
3
|ΟΑ|
4
≤

και
5
|ΟΒ|
4
<

. Θεωρούμε και το διάνυσμα ΟΜ ΟΑ ΟΒ= +
  
. Να δείξετε ότι το σημείο Μ είναι εσωτερικό του κύκλου.
Απάντηση
|OM||OA +OB| ...... 2= = ≤
  
17 Αν |α β| 0± ≠
 
, να αποδείξετε ότι
α β
1
|α β| |α β|
+ ≥
+ −
 
    .
( )O,R
ρ 2=

36. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 36 από 172 www.askisiologio.gr
Απάντηση
Γνωρίζουμε ότι |α β||α| |β|+ ≤ +
   
και |α β||α| |β|− ≤ +
   
.
Αντιστρέφουμε κατά μέρη- πράξεις-πρόσθεση κατά μέρη.
18
Αν ισχύει |β| 1≤

, να αποδείξετε ότι
( )1 |α| |α β| 1− + ≤
  
.
Απάντηση
|α +β||α|+|β| 1+|α|≤ ≤
    
19
Δίνεται το σημείο Α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του
επιπέδου για τα οποία ισχύει:
α) |ΑΜ| 5=

β) |ΑΜ| λ=

, όπου λ ∈  .
Απάντηση
α) Κύκλος με κέντρο το Α και ακτίνα 5.
β) Αν λ 0< δεν υπάρχει σημείο.
Αν λ 0= το Μ ταυτίζεται με το Α.
Αν λ 0> είναι κύκλος με κέντρο Α και ακτίνα λ.
20
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα
οποία ισχύει:
α) ΑΜ ΒΓ/ /
 
β) ΒΜ ΒΓ/ /
 
.
Απάντηση
α) Η ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στη ΒΓ .
β) Η ευθεία ΒΓ .

37. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 37 από 172
1.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα
1.3.1 Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με
Διάνυσμα
Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ 0≠ και α

ένα μη μηδενικό διάνυσμα.
Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το α

και το συμβολίζουμε ⋅λ α

(ή λα

) ένα
διάνυσμα το οποίο:
• είναι ομόρροπο του α

, αν λ > 0 και αντίρροπο του α

, αν λ < 0
• έχει μέτρο |λ||α|

.
Αν λ = 0 ή α = 0
 
, τότε το λ α⋅

είναι το μηδενικό διάνυσμα.
Για παράδειγμα, εάν το διάνυσμα α

του διπλανού
σχήματος έχει μέτρο 4, τότε το 3α

είναι ομόρροπο στο α

και έχει μέτρο 12, ενώ το 3α−

είναι αντίρροπο του α

και
έχει μέτρο και αυτό 12.
1.3.2 Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με
Διάνυσμα
α) λ(α +β) = λα + λβ
   
β) (λ + μ)α = λα + μα
  
γ) λ(μα) = (λμ)α
 
Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των ιδιοτήτων
έχουμε:
i. λα = 0 λ 0⇔ =
 
ή α 0=
 
ii. ( ) ( ) ( )λα λ α λα− = − = −
  
iii. ( )λ α β λα λβ− = −
   

38. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 38 από 172 www.askisiologio.gr
iv. ( )λ μ α λα μα− = −
  
v. Αν λα λβ=
 
και λ 0≠ , τότε α β=
 
(διαγραφή αριθμού)
vi. Αν λα μα=
 
και α 0≠

, τότε λ μ= (διαγραφή
διανύσματος)
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 7 - Σ τ α θ ε ρ ό δ ι ά ν υ σ μ α
Για να δείξουμε ότι μια παράσταση διανυσμάτων αποτελεί
σταθερό διάνυσμα (ανεξάρτητο αγνώστου σημείου), αρκεί να
αποδείξουμε ότι ισούται με διανύσματα που αποτελούνται από
σταθερά σημεία, δηλαδή δεν υπάρχει το μεταβλητό σημείο
μέσα στην παράσταση.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε
σημείο Μ το διάνυσμα 3ΜΑ 5ΜΒ 2ΜΓ− +
  
είναι σταθερό.
Λ ύ σ η
Με σημείο αναφοράς το Α έχουμε:
3ΜΑ 5ΜΒ 2ΜΓ 3ΑΜ 5(ΑΒ ΑΜ) 2(ΑΓ ΑΜ)
3ΑΜ 5ΑΜ 2ΑΜ 5ΑΒ 2ΑΓ 2ΑΓ 5ΑΒ
− + = − − − + − =
− + − − + = +
       
      
που είναι σταθερό διάνυσμα.
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 7.
Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο
Μ το διάνυσμα 5ΜΑ 8ΜΒ 3ΜΓ− +
  
είναι ανεξάρτητο του Μ.
Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε
σημείο Μ το διάνυσμα 5ΜΑ ΜΒ 2ΜΓ 4ΜΔ+ − −
   
είναι σταθερό.

39. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 39 από 172
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 8 - Π ρ ο σ δ ι ο ρ ι σ μ ό ς σ η μ ε ί ο υ
Όταν μας ζητείται να προσδιορίσουμε ένα σημείο το οποίο
βρίσκεται σε δοσμένη διανυσματική ισότητα, τότε στη δοσμένη
σχέση, παίρνουμε ως σημείο αναφοράς κάποιο από τα γνωστά
σημεία και κάνουμε πράξεις.
Προσπαθούμε να εκφράσουμε το διάνυσμα που ορίζεται από το
ζητούμενο σημείο και από το γνωστό σημείο, συναρτήσει
διανυσμάτων τα οποία δεν περιέχουν το άγνωστο σημείο.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε το σημείο Κ στο επίπεδο του
τριγώνου, για το οποίο ισχύει 4ΚΒ ΚΓ 0+ =
  
.
Λ ύ σ η
Παίρνουμε ως σημείο αναφοράς το Β και έχουμε:
( )4ΚΒ ΚΓ 0 4 ΒΚ ΒΓ ΒΚ 0 5ΒΚ ΒΓ
1
ΒΚ ΒΓ.
5
+ = ⇔ − + − = ⇔ − = − ⇔
=
        
 
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 2
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ, ώστε να ισχύει
ΑΒ ΑΓ ΑΜ 0+ + =
   
.
Λ ύ σ η
Η διανυσματική ισότητα έχει ήδη σημείο αναφοράς το Α, οπότε επιλύουμε ως
προς ΑΜ

και έχουμε ( )ΑΜ ΑΒ ΑΓ= − +
  
.
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 8.
Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ, για το
οποίο ισχύει ΑΓ ΒΜ ΒΔ ΓΔ+ = −
   
.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε στο επίπεδο του τριγώνου το
σημείο Μ, για το οποίο ισχύει 2ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ 0− + =
   
.

40. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 40 από 172 www.askisiologio.gr
1.3.3 Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων
Ορισμός: Γραμμικός συνδυασμός δύο
διανυσμάτων α

και β

λέγεται κάθε διάνυσμα
της μορφής v = κα + λβ

, όπου κ, λ ∈  .
π.χ. το διάνυσμα v = -2α +3β

είναι γραμμικός συνδυασμός των α

και β

.
Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσοτέρων
διανυσμάτων.
Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς
• Για δύο μη συγγραμμικά διανύσματα α

, β

, αν έχουμε κα λβ 0+ =
  
με
κ, λ ∈  , τότε κ λ 0= = .
Α π ό δ ε ι ξ η
Έστω ότι κ 0≠ , οπότε λύνοντας ως προς α

έχουμε:
λ
α β
κ
= −
 
, δηλαδή α //β
 
, που είναι άτοπο. Άρα κ 0= . Όμοια προκύπτει
ότι λ 0= .
• Ένα διάνυσμα x

γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός
δυο μη συγγραμμικών διανυσμάτων α

και β

.
Α π ό δ ε ι ξ η
Έστω ότι το διάνυσμα x

γράφεται με δύο τρόπους ως γραμμικός
συνδυασμός των δυο μη συγγραμμικών διανυσμάτων α

και β

.
Δηλαδή 1 1x κ α λ β= +
  
και 2 2x κ α λ β= +
  
. Θα αποδείξουμε ότι 1 2κ κ= και
1 2λ λ= .
( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 1
κ α λ β κ α λ β κ α λ β κ α λ β 0
κ κ α λ λ β 0 κ λ 0
+ = + ⇔ + − − = ⇔
− + − = ⇔ − =
        
  
και 2 2κ λ 0− = . Δηλαδή 1 2κ κ= και 1 2λ λ= .
• Αν ισχύει κα λβ κ α λ β′ ′+ = +
   
, τότε κ κ′= και λ λ′= .

41. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 41 από 172
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 9 - Γ ρ α μ μ ι κ ό ς σ υ ν δ υ α σ μ ό ς
δ ι α ν υ σ μ ά τ ω ν
α) Αν θέλουμε να εκφράσουμε ένα διάνυσμα x

ως γραμμικό
συνδυασμό δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων α

και β

, τότε
εκφράζουμε το x

ως γραμμικό συνδυασμό των α

και β

με δύο
τρόπους και επειδή η γραφή του ως γραμμικού συνδυασμού
είναι μοναδική, εξισώνουμε τους αντίστοιχους συντελεστές.
β) Αν δίνεται ότι ο γραμμικός συνδυασμός δύο μη
συγγραμμικών διανυσμάτων είναι ίσος με 0

, τότε εξισώνουμε
τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού με 0.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Πάνω στις πλευρές ΑΓ και ΒΓ παίρνουμε τα
σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε
2
ΓΔ ΓΑ
3
=
 
και
1
ΒΕ ΒΓ
4
=
 
. Αν Μ
είναι το σημείο τομής των ΒΔ και ΑΕ, να εκφράσετε το ΓΜ

ως
γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ γ=
 
και ΑΓ β=
 
.
Λ ύ σ η
Σύμφωνα με το σχήμα και τις δοσμένες σχέσεις έχουμε:
( )
( ) ( )
ΓΜ ΓΑ ΑΜ β λΑΕ β λ ΒΕ ΒΑ
1 λ
β λ ΒΓ ΒΑ β β γ λ γ
4 4
λ λ 3λ λ 4
λ γ 1 β γ β.
4 4 4 4
= + = − + = − + − =
 
− + − = − + − − − = 
 
−   
− + − = +   
   
       
      
   
Επίσης έχουμε:

42. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 42 από 172 www.askisiologio.gr
( ) ( )
( ) ( )
ΓΜ ΒΜ ΒΓ μΒΔ ΑΓ ΑΒ μ ΒΑ ΑΔ ΑΓ ΑΒ
1 μ
1 μ ΑΒ μ ΑΓ 1 μ γ 1 β.
3 3
= − = − − = + − + =
 
− + = − + − 
 
         
   
Επειδή η γραφή ως γραμμικού συνδυασμού είναι μοναδική, εξισώνουμε τους
αντίστοιχους συντελεστές και λύνουμε το σύστημα
3λ
1 μ
4
λ 4 μ 3
4 3

= −

− − =

από όπου βρίσκουμε
2
λ
3
= και
1
μ
2
= . Άρα
1 5
ΓΜ γ β
2 6
= −
  
.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 2
Αν για τα μη συγγραμμικά διανύσματα α

και β

ισχύει
( )
λ
μ α λ μ 1 β 0
3
 
− + + − = 
 
  
, να βρείτε τα λ και μ.
Λ ύ σ η
Αφού τα α

και β

δεν είναι συγγραμμικά και ισχύει ( )
λ
μ α λ μ 1 β 0
3
 
− + + − = 
 
  
,
έχουμε:
λ
μ 0
3
− = και λ μ 1 0+ − = . Λύνουμε το σύστημα και προκύπτει
3
λ
4
= και
1
μ .
4
=
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 9.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Πάνω στις πλευρές ΒΓ και ΑΒ παίρνουμε τα σημεία
Κ και Λ αντίστοιχα έτσι ώστε
1
ΒΚ ΒΓ
3
=
 
και
1
ΑΛ ΑΒ
4
=
 
. Αν Μ είναι το
σημείο τομής των ΑΚ και ΑΓ, να εκφράσετε το ΒΜ

ως γραμμικό
συνδυασμό των ΑΓ u=
 
και ΑB v=
 
.

43. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 43 από 172
Αν για τα μη συγγραμμικά διανύσματα u

και v

ισχύει
( )
1
3α 2β u α β v 0
2
 
+ + − = 
 
  
, να βρείτε τα α και β.
1.3.4 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων
Θεώρημα: Δύο διανύσματα α

και β

με β 0≠

είναι παράλληλα, αν και μόνο αν
υπάρχει λ ∈  τέτοιο ώστε α λβ=
 
.
Α π ό δ ε ι ξ η
Αν ισχύει α λβ=
 
με β 0≠
 
, τότε τα διανύσματα α

και β

είναι παράλληλα.
Αντίστροφα
Έστω ότι τα διανύσματα α

και β

είναι παράλληλα με β 0≠
 
. Θέτουμε
|α|
κ =
|β|

 ,
οπότε |α|= κ|β|
 
. Συνεπώς:
• αν α β↑↑
 
, τότε α = κβ
 
• αν α β↑↓
 
, τότε α κβ= −
 
• αν α 0=
 
, τότε α = 0 β⋅
 
.
Σε κάθε περίπτωση υπάρχει μοναδικό λ ώστε α λβ=
 
.

44. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 44 από 172 www.askisiologio.gr
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 1 0 - Π α ρ ά λ λ η λ α δ ι α ν ύ σ μ α τ α
α) Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο διανύσματα α

, β

είναι
μεταξύ τους παράλληλα, αρκεί να δείξουμε ότι α λβ=
 
, λ ∈  .
β) Αν θέλουμε να βρούμε την τιμή κάποιου x ∈  , έτσι ώστε δύο
διανύσματα u

και v

, τα οποία γράφονται ως γραμμικός
συνδυασμός δύο άλλων διανυσμάτων α

και β

, να είναι μεταξύ
τους παράλληλα, τότε αντικαθιστούμε τα u

και v

στη σχέση
u λv=
 
και εξισώνουμε τους αντίστοιχους συντελεστές.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και στο επίπεδό του ορίζουμε τα σημεία Δ και Ε
έτσι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις ΑΔ 5ΑΒ 4ΑΓ= +
  
και ΑΕ 4ΑΒ 5ΑΓ= +
  
. Να
αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ

και ΒΓ

είναι παράλληλα.
Λ ύ σ η
Επιλέγουμε το διάνυσμα ΔΕ

(επειδή είναι ένα από τα διανύσματα για τα οποία
θέλουμε να αποδείξουμε την παραλληλία) και το γράφουμε συναρτήσει των
δοσμένων διανυσμάτων ΑΔ

και ΑΕ

. Οπότε έχουμε:
( ) ( )ΔΕ ΑΕ ΑΔ 4ΑΒ 5ΑΓ 5ΑΒ 4ΑΓ
4ΑΒ 5ΑΓ 5ΑΒ 4ΑΓ ΑΓ ΑΒ ΒΓ.
= − = + − + =
+ − − = − =
      
      
Άρα ΔΕ ΒΓ=
 
, δηλαδή ισχύει ΔΕ λΒΓ=
 
με λ 1= . Επομένως τα διανύσματα ΔΕ

και ΒΓ

είναι παράλληλα.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 2
Δίνονται τα διανύσματα α

και β

. Να βρείτε το x ∈  , έτσι ώστε τα
διανύσματα u xα β= −
  
και
x
v 3α β
3
= −
  
να είναι μεταξύ τους
παράλληλα.
Λ ύ σ η
Αν τα διανύσματα u

και v

είναι παράλληλα, τότε θα ισχύει u λv=
 
. Οπότε:

45. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 45 από 172
2
3λ x
λχ
u λv xα β 3λα β λx
3 1
3
x
λ x3 λ
x 3.3x
x
x 93 1
3
=

= ⇔ − = − ⇔ ⇔
− = −

= 
= 
⇔ ⇔ = ± 
⋅  =− = −

     
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 10.
Αν u 3α 2β= +
  
και v α β= −
  
, να αποδείξετε ότι το διάνυσμα w u 2v= +
  
είναι παράλληλο με το α

.
Δίνονται τα διανύσματα α

και β

. Να βρείτε το x ∈  , έτσι ώστε τα
διανύσματα u 4xα β= +
  
και v α xβ= +
  
να είναι μεταξύ τους παράλληλα.

46. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 46 από 172 www.askisiologio.gr
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 1 1 - Σ υ ν ε υ θ ε ι α κ ά σ η μ ε ί α
Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά,
αρκεί να δείξουμε ότι δύο διανύσματα που σχηματίζονται από
αυτά είναι παράλληλα μεταξύ τους. Δηλαδή αρκεί π.χ. να
δείξουμε ότι ΑΒ = λ ΑΓ⋅
 
, οπότε ΑΒ ΑΓ/ /
 
. Τότε επειδή τα
διανύσματα ΑΒ

και ΑΓ

έχουν ένα κοινό άκρο, το Α και
επιπλέον είναι και παράλληλα, απορρίπτεται η περίπτωση να
είναι σε διαφορετικούς φορείς. Οπότε ανήκουν στην ίδια
ευθεία, δηλαδή τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε ισχύει η σχέση
3ΕΒ 5ΑΒ 7ΕΑ 2ΑΔ 10ΕΓ 0+ + + − =
     
, να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Γ και
Δ είναι συνευθειακά.
Λ ύ σ η
Με σημείο αναφοράς το Β, η δοσμένη σχέση γίνεται:
3ΕΒ 5ΑΒ 7ΕΑ 2ΑΔ 10ΕΓ 0
3ΕΒ 5ΑΒ 7(ΒΑ ΒΕ) 2(ΒΔ ΒΑ) 10(ΒΓ ΒΕ) 0
3ΕΒ 5ΑΒ 7ΑΒ 7ΕΒ 2ΑΒ 10ΒΓ 10ΕΒ 0
2ΒΔ 10ΒΓ ΒΔ
+ + + − = ⇔
+ + − + − − − = ⇔
+ − + + − − = ⇔
= ⇔
     
        
       
   
5ΒΓ.=
 
Άρα ΒΔ ΒΓ/ /
 
, συνεπώς τα σημεία Β, Γ και Δ είναι συνευθειακά.
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 2
Αν για οποιαδήποτε σημεία Ο, Α, Β, Γ ισχύει 3ΟΑ 2ΟΒ ΟΓ 0− − =
   
, να
αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
Λ ύ σ η
( ) ( )
3ΟΑ 2ΟΒ ΟΓ 0 2ΟΑ 2ΟΒ ΟΑ ΟΓ 0
2 ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΓ 0 2ΒΑ ΓΑ 0 ΑΓ 2ΑΒ.
− − = ⇔ − + − = ⇔
− + − = ⇔ + = ⇔ = −
        
         
Άρα ΑΓ ΑΒ/ /
 
, συνεπώς τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 11.

47. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 47 από 172
Αν ισχύει ΑΚ 3ΒΚ 2ΒΑ ΒΛ 3ΑΜ+ − = +
    
, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ,
Μ είναι συνευθειακά.
Δίνονται τα διανύσματα ΟΚ α β γ= + +
   
, ΟΛ 5α 3β 4γ= + +
   
και
ΟΜ 13α 7β 10γ= + +
   
. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι
συνευθειακά.
1.3.5 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος
Η διανυσματική ακτίνα του μέσου ευθυγράμμου τμήματος ισούται με το
ημιάθροισμα των διανυσματικών ακτίνων των άκρων του τμήματος.
Δηλαδή, αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς και Μ είναι το μέσο του ΑΒ, θα ισχύει:
ΟΑ + ΟΒ
ΟΜ =
2
 

.
Απόδειξη
Έστω ένα διάνυσμα ΑΒ

και Ο σημείο αναφοράς. Επειδή ΑΜ = ΜΒ
 
, έχουμε:
ΟΑ + ΟΒ
ΟΜ - ΟΑ = ΟΒ - ΟΜ 2ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ ΟΜ =
2
⇔ ⇔
 
       
.

48. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 48 από 172 www.askisiologio.gr
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 1 2 - Δ ι ά μ ε σ ο ι τ ρ ι γ ώ ν ο υ
Όταν σε τρίγωνο θέλουμε να αποδείξουμε μια διανυσματική
ισότητα που περιλαμβάνει διάμεσο, αντικαθιστούμε το
διάνυσμα της διαμέσου με το διανυσματικό ημιάθροισμα των
προσκείμενων πλευρών της.
Δηλαδή, αν ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε
ΑΒ ΑΓ
ΑΜ .
2
+
=
 

Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 1
Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι
ΑΔ ΒΕ ΓΖ 0+ + =
   
.
Λ ύ σ η
ΑΔ ΒΕ ΓΖ
1 1 1 1 1
(ΑΒ ΑΓ) (ΒΓ ΒΑ) (ΓΑ ΓΒ) (ΑΒ ΒΑ ΑΓ ΓΑ ΒΓ ΓΒ) 0 0.
2 2 2 2 2
+ + =
= + + + + + = + + + + + = ⋅ =
  
             
Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 2
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων
ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Ο
ισχύει ΑΒ ΑΔ ΓΒ ΓΔ 4ΜΝ+ + + =
    
.
Λ ύ σ η
( ) ( )
( ) ( )
ΑΒ ΑΔ ΓΒ ΓΔ ΑΒ ΑΔ ΓΒ ΓΔ 2ΑΝ 2ΓΝ
2 ΑΝ ΓΝ 2 ΝΑ ΝΓ 2 2ΝΜ 4ΝΜ 4ΜΝ.
+ + + = + + + = + =
+ = − ⋅ + = − ⋅ = − =
         
      

49. Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h
www.askisiologio.gr Σελίδα 49 από 172
Εφαρμόστε παρακάτω τη μεθοδολογία 12.
Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Κ το μέσο της ΑΒ. Αν Λ είναι το μέσο
της ΔΚ, να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΛ

και ΓΛ

συναρτήσει των ΑΒ α=
 
και ΑΔ β=
 
.
Έστω Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, ενός
τριγώνου ΑΒΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΔ, να εκφράσετε τα διανύσματα
ΑΔ

και ΑΜ

συναρτήσει των ΑΒ α=
 
και ΑΓ β=
 
.

50. Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ ι αν ύ σ μ ατ α Β ′ Λ υ κ ε ί ο υ
Σελίδα 50 από 172 www.askisiologio.gr