Μάκης Χατζόπουλος

1. Διαγώνισμα 3ο: Επίπεδο Γ΄ (παλιά θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων) 2ο Κεφάλαιο Άλγεβρας – Μιγαδικοί Αριθμοί Παράγραφοι: 2.1 – 2.2 – 2.3 Διάρκεια διαγωνίσματος: … ώρες
Ημερομηνία Εξέτασης: ………. Οκτωβρίου 2014
Στοιχεία μαθητή: ……………………………….…………………………… Βαθμός (100) ………… Βαθμός (20) …………..
2015
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το http://lisari.blogspot.gr 1/1/2015

2. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
………………….. ……. ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2 . Να αποδείξετε ότι: z1 z2  z1  z2 .
Μονάδες 11
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει:
α.
2
z  z z β. 2 2 z  z γ. z  - z δ. z  z ε. i  z  z
Μονάδες 5
Α3. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = α + β i με α, β  R, να γράψετε στο τετράδιό της τα γράμματα
της Στήλης Ι του επόμενου πίνακα, και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που
αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Στ ή λ η Ι Στ ή λ η Ι Ι
A. Re(z)
Β. Im(z)
Γ. -z
Δ. z
Ε. z
ΣΤ. z  z
1. -α – βi
2. α – βi
3. α + β
4. α
5. 2 2 α β
6. α2 + β2
7. β
Μονάδες 9

3. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Β
Δί ν ε τ αι ό τ ι ο μ ι γ α δ ι κ ό ς α ρ ι θ μ ό ς 1
1 i 3
z
2

 ε ί ν αι ρ ί ζ α τ η ς ε ξ ί σω σ η ς z 2 +β z +γ =0 ,
ό π ο υ β κ αι γ πρ αγ μ α τ ι κ ο ί αρ ι θ μ ο ί .
Β1. Να α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι β = – 1 κ αι γ = 1.
Μο ν ά δ ε ς 9
Β2. Να α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι 3
z1  1
Μο ν ά δ ε ς 8
Β3. Να β ρ ε ί τ ε τ ο ν γ ε ωμ ε τ ρ ι κ ό τ ό πο των ε ι κό νω ν τ ο υ μ ι γ α δ ι κο ύ αρ ι θ μ ο ύ w, γ ι α τ ο ν
ο π ο ί ο ι σ χύ ε ι :
1 1 w  z  z
Μο ν ά δ ε ς 8
ΘEMA Γ
Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2
είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς
συντελεστές για τις οποίες ισχύουν
z1 + z2
= –2 και z1⋅z2
= 5
Γ1. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z1, z2
Μονάδες 5
Γ2. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση
|w – z1|2 +|w – z2|2 = |
z1 − z2|2
να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με
εξίσωση  2 2 x 1  y  4
Μονάδες 8
Γ3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Γ2 να βρείτε εκείνους για τους οποίους
ισχύει 2⋅Re(w) + Im(w) = 0
Μονάδες 6
Γ4. Αν w1, w2
είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος Γ2 με την ιδιότητα
|w1 – w2|=4,
να αποδείξετε ότι |w1 + w2|=2.
Μονάδες 6

4. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = α + βi και 1
2
1
2 z
z
2 z



, όπου α, β IR με β  0. Δίνεται επίσης
ότι z2  z1 IR .
Δ1. Να αποδειχθεί ότι z2 z1  1.
Μονάδες 9
Δ2. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z1 στο μιγαδικό επίπεδο.
Μονάδες 8
Δ3. Αν ο αριθμός 2
1 z είναι φανταστικός και αβ  0 , να υπολογισθεί ο z1 και να δειχθεί ότι:
   20 20
1 1 z 1 i  z 1 i  0 .
Μονάδες 8
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο
μάθημα). Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα
χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο, μπορούν να γίνουν και με μολύβι.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων μόλις σας
παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.
Κα τ ά τ η ν α π ο χώ ρ η σ ή σ ας ν α π αρ α δώ σ ε τ ε μ α ζί μ ε τ ο τ ε τ ρ άδ ι ο κ αι τ α
φωτ ο αν τ ί γ ρ αφ α , τ α ο πο ί α κ αι θ α κα τ ασ τ ρ αφ ο ύ ν μ ε τ ά τ ο πέ ρ ας τ η ς ε ξ έ τ ασ η ς .
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.
4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μιάμιση (1 1/2) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ