Επιμέλεια: lisari team για το lisari.blogspot.com

1. ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΛ
ΠΕΜΠΤΗ
17 Ιουνίου 2021
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
lisari team
ΛΥΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2021
1η έκδοση
Βελαώρας Γιάννης
Βοσκάκης Σήφης
Μανώλης Ανδρέας
Σίσκας Χρήστος
Συντονισμός
Χατζόπουλος Μάκης

2. Οι απαντήσεις - λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς
των μελών της lisari team
1η έκδοση: 17 – 6 – 2021 (συνεχής ανανέωση)
Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά
από το μαθηματικό blog
lisari.blogspot.com

3. Πρόλογος
Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων 2021 στο
μάθημα Μαθηματικά για τα ΕΠΑΛ. Η παρουσίαση των λύσεων είναι πλήρης και
αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να μπορούν να μελετήσουν
και να επεξεργαστούν εύκολα το αρχείο.
Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα
Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team. Φέτος εστιάσαμε στη
ποικιλία των λύσεων και όσο στο χρόνο που θα αναρτηθούν οι λύσεις.
Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και
βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και πιο ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε
συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει
της προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών
περιθωρίων. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα
βελτιωθεί, ίσως εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια,
παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην
ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.
Με εκτίμηση
lisari
team
17 Ιουνίου 2021

4. lisariteam
1. Αντωνόπουλος Νίκος (3ο
ΓΕΛ Άργους)
2. Αυγερινός Βασίλης (Φροντιστήριο "Διάταξη" - Ν. Σμύρνη)
3. Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο "Βελαώρας" - Λιβαδειά Βοιωτίας)
4. Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο "Ευθύνη" - Ρέθυμνο)
5. Γιαννόπουλος Μιχάλης (Θεσσαλονίκη - Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή)
6. Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο "Λύση" - Άρτα)
7. Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης)
8. Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια "Πουκαμισάς" Γλυφάδας)
9. Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο "Ώθηση" - Μαρούσι)
10. Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο "Παπαπαναγιώτου – Κάκανος" - Σέρρες)
11. Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ – Αναπληρωτής)
12. Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων)
13. Κουλούρης Ανδρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου)
14. Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο "Στόχος" - Περιστέρι)
15. Κοπάδης Αθανάσιος (Φροντιστήριο 19+ στο Πολύγωνο)
16. Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο "Ρηγάκης" - Κοζάνη)
17. Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς)
18. Μπαδέμης Δημήτρης (Φροντιστήριο "Πουκαμισάς" - Γλυφάδας)
19. Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας)
20. Νικολόπουλος Αθανάσιος (2ο ΓΕΛ Ζάκυνθος)
21. Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο "Εις τη ν" - Αγρίνιο)
22. Παπαδομανωλάκη Μαρία (Καθηγήτρια Μαθηματικών - Ρέθυμνο)
23. Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός "Ρόμβος")
24. Ποδηματάς Θωμάς ( Σπουδαστήριο Μαθηματικών Θωμάς και Ρόζα Ποδηματά - Βόλος)
25. Πολύζος Γιώργος (τ. πάρεδρος στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, συγγραφέας)
26. Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου)
27. Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο "Μπαχαράκης" - Θεσσαλονίκη)
28. Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας – 1ο Λύκειο Χαλκίδας)
29. Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο "Ορίζοντες" - Ηράκλειο Κρήτης)
30. Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα)
31. Σταυρόπουλος Σταύρος (Πρόεδρος Ε.Μ.Ε Κορινθίας - ΓΕΛ Ζευγολατιού)
32. Τσακαλάκος Τάκης (συνταξιούχος αλλά ενεργός μαθηματικός)
33. Χαραλάμπους Σταύρος (Διάθεση Δ ΠΥΣΔΕ Αθήνας)
34. Χασάπης Γεώργιος (Ιδιωτικός υπάλληλος)
35. Χατζόπουλος Μάκης (3o ΓΕΛ Κηφισιάς)

5. Μαθηματικά ΕΠΑΛ http://lisari.blogspot.com
Γ΄ Λυκείου 17 – 6 – 2021
ΕΠΑΛ: Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
1
lisari team / Σχολικό έτος 2020 – 21
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΕΜΠΤΗ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2021
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. (Σχολικό βιβλίο σελ. 65)
Στην τιμή i
x αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα i
ν , δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει
πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή i
x της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των
παρατηρήσεων.
Α2. (Σχολικό βιβλίο σελ. 28)
Έχουμε,
( ) ( )
f x h f x c c 0
+ − = − =
και για h 0
 ,
( ) ( )
f x h f x
0,
h
+ −
=
οπότε
( ) ( )
h 0
f x h f x
0
h
lim
→
+ −
= .
Άρα ( )
c 0
 = .
Α3. α. Λ (σελ. 59) β. Σ (σελ. 67) γ. Λ (σελ. 13)
Α4. α. 2
1 1
x x

 
= −
 
 
(σελ. 29) β. ( )
ν ν 1
x ν x −
 =  (σελ. 29) γ. ( )
( ) ( )
c f x c f x
 
 =  (σελ. 30)

6. Μαθηματικά ΕΠΑΛ http://lisari.blogspot.com
Γ΄ Λυκείου 17 – 6 – 2021
ΕΠΑΛ: Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
2
ΘΕΜΑ Β
Β1. Αρχικά, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το R. Η γραφική παράσταση της f τέμνει
τον άξονα x x
 στο σημείο με τετμημένη ίση με 1, δηλαδή στο σημείο ( )
1,0 άρα:
( ) 2
f 1 0 1 α 1 2 0 1 α 2 0 α 1 2 α 3 α 3
=  −  + =  − + =  − = − −  − = −  = .
Β2. Για α 3
= έχουμε:
( ) 2
f x x 3x 2, x
= − + R
και
( )
( ) 2
2 2
f x x 3x 2
g x
x 1 x 1
− +
= =
− −
η οποία ορίζεται όταν:
2 2
x 1 0 x 1 x 1 και x 1
−       − .
Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το σύνολο:
  ( ) ( ) ( )
g
D 1,1 , 1 1,1 1,
= − − = − −  −  +
R
Β3. Το τριώνυμο 2
x 3x 2
− + έχει διακρίνουσα ( )
2
Δ 3 4 1 2 9 8 1 0
= − −   = − =  οπότε έχει δύο
άνισες ρίζες τις:
( )
1,2
3 1 4
2
3 1 3 1 2 2
x
3 1 2
2 1 2
1
2 2
+

= =

− −   
= = = 
−
  = =


οπότε για κάθε xR έχουμε ( )( )
2
x 3x 2 x 1 x 2
− + = − − . Τελικά,
( )
( )( )
( )( )
2
2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 2
x 3x 2 x 2 1 2 1
limg x lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 2
→ → → →
− −
− + − −
= = = = = −
− − + + +
Β4. Είναι,
( ) 2
f 0 0 3 0 2 2
= −  + = .
Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με
( ) ( )
2
f x x 3x 2 2x 3

 = − + = − άρα ( )
f 0 2 0 3 3
 =  − = − .
Έστω ε : y λx β
= + με λ,βR η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο
σημείο ( )
( )
Μ 0,f 0 ή ( )
Μ 0,2 . Όμως
( )
λ f 0 3

= = − , οπότε ε : y 3x β
= − +

7. Μαθηματικά ΕΠΑΛ http://lisari.blogspot.com
Γ΄ Λυκείου 17 – 6 – 2021
ΕΠΑΛ: Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
3
Επίσης, η ε διέρχεται από το ( )
Μ 0,2 όταν και μόνο όταν:
2 3 0 β β 2
= −  +  =
Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( )
( )
Μ 0,f 0
είναι:
ε : y 3x 2
= − + .
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Με βάση το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων και τον τύπο 0
i i
α 360 f
=  έχουμε:
Γ2. Οι εκπαιδευτικοί που έχουν συμπληρώσει 8 έτη υπηρεσίας είναι:
2 3 4
ν ν ν 15 10 20 45
+ + = + + =
Γ3. Το ποσοστό των εκπαιδευτικών που έχουν συμπληρώσει λιγότερο από 16 έτη υπηρεσίας
είναι:
1 2 3
f % f % f % 10 30 20 60
+ + = + + =
Σημείωση: Η αρχική διατύπωση ήταν «το πολύ 16 έτη υπηρεσίας», τελικά έγινε διόρθωση στην εξής
έκφραση «λιγότερο από 16 έτη υπηρεσίας».
Γ4. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων και τον
οριζόντιο άξονα ισούται όσο με το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων, δηλαδή με 1.
Επομένως, E 1
= .
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι
Π 2x 2y
= +
Έχουμε,
Έτη υπηρεσίας
[ , )
Κεντρική
τιμή
i
x
Συχνότητα
i
ν
Σχετική
Συχνότητα
i
f
i
α
 )
4,8 6 5 0,1 0
36
 )
8,12 10 15 0,3 0
108
 )
12,16 14 10 0,2 0
72
 )
16,20 18 20 0,4 0
144
Σύνολο 50 1 0
360

8. Μαθηματικά ΕΠΑΛ http://lisari.blogspot.com
Γ΄ Λυκείου 17 – 6 – 2021
ΕΠΑΛ: Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
4
2x 2y 80 x y 40 y 40 x
+ =  + =  = −
όμως
x 0
 και y 0 40 x 0 x 40
  −   
Επομένως, το εμβαδό του ορθογωνίου είναι
( ) ( ) 2
E x x 40 x x 40x
= − = − + , με 0 x 40
 
Δ2. Η συνάρτηση Ε είναι παραγωγίσιμη στο ( )
0,40 με
( )
E x 2x 40
 = − +
οπότε
• ( )
E x 0 2x 40 0 x 20
 =  − + =  =
• ( )
E x 0 2x 40 0 x 20
   − +   
Το πρόσημο της ( )
E x
 και η μονοτονία της E φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:
x 0 20 40
( )
E x
 + −
E < .
>,
Η E είναι γνησίως αύξουσα στο ( 
0,20 και γνησίως φθίνουσα στο  )
20,40 .
Δ3. Το εμβαδόν του οικοπέδου , γίνεται μέγιστο , για x 20 m
= . H μέγιστη τιμή του εμβαδού του
οικοπέδου είναι:
( ) 2 2
Ε 20 20 40 20 400 800 400 m
= − +  = − + = .
Δ4. Το εμβαδόν Ε του οικοπέδου, ως συνάρτηση του μήκους x , είναι γνησίως φθίνουσα στο
διάστημα  )
20,40 και  )
A B
x ,x 20,40
 .
Έχουμε,
 )
( ) ( )
Ε 20,40
A B A B
x x Ε x Ε x
  
2σ
Επομένως το εμβαδόν του οικοπέδου Α , είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν του οικοπέδου Β.