Επιμέλεια: Νίκος Σουρμπής αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ - ΣΟΥΡΜΠΗΣ ΝΙΚΟΣ
1-1-2020
Θέµα Α
Α1) Να δείξετε ότι ( ) lnx x′α = α α για κάθε x∈ℝ με α > 0.
Α2) Ποια σημεία ονομάζουμε κρίσιμα μιας συνάρτησης f;
Α3) Δίνεται ο ισχυρισμός:
«Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και δεν έχει τοπικό
ακρότατο τότε ( ) 0f x′ ≠ για κάθε x∈ℝ ».
Να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος και να αιτιολογήσετε.
Α4) Με βάση το διπλανό σχήμα της f να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος
στις παρακάτω προτάσεις.
α. Ισχύει ότι ( ) 1 1
lim
x
f x f
x
−
→+∞
  
− = +∞  
  
β. Η f έχει κρίσιμο σημείο.
γ. H ανίσωση ( ) ( )2 2
f x f xηµ ≤
αληθεύει για κάθε x∈ℝ .
δ. Η εξίσωση ( )( ) ( )( )( )lnf f x f e f x= ⋅ έχει μοναδική ρίζα x = 0.
ε. Ισχύει ότι ( )( )1
lim 2 0
x
f x x−
→+∞
− = .
x
y
0
y = 2x
1
f
03.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3

2. Θέµα Β
Δίνεται η συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ , όπου όλες οι
εφαπτομένες της σχηματίζουν οξεία γωνία με τον άξονα x΄x και
ικανοποιεί τη σχέση ( )( ) ( )
2 2
2 2x x
f x f x e e′ ′+ = + για κάθε x∈ℝ .
B1) Να δείξετε ότι ( ) , κx
f x e= + κ ∈ℝ.
B2) Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f
B3) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( )
1x
g x
x
κ +
= έχει ένα μόνο κοινό
σημείο με την συνάρτηση f.
Β4) Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f , g έχουν κοινή εφαπτομένη
στο κοινό τους σημείο.
Θέµα Γ
Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′ συνεχής στο ℝ και
( ) 1 x
f x e′ ≠ − για κάθε x∈ℝ και ( ) ( )1 0 0f f> > . Να δείξετε ότι :
Γ1) Να δείξετε ότι υπάρχει ( ) ( )0,1 : 0f ′∈ >ξ ξ .
Γ2) Η συνάρτηση ( ) ( ) x
g x f x e x= + − είναι αύξουσα στο ℝ .
Γ3) Να δείξετε ότι υπάρχει ( ) ( ),0 : 0f aα∈ −∞ = .
Γ4) Να λύσετε την ανίσωση : ( ) ( )ln 2 lnx
f x f x x e x− > − −
03.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3

3. Θέµα ∆
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℝ με f ′′ συνεχή στο ℝ και
ασύμπτωτες στο +∞ και στο −∞ τις ευθείες , yy x x= = − αντίστοιχα.
Δ1) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης ( ) ( )=g x x f x .
Δ2) Να δείξετε ότι η f έχει οριζόντια εφαπτομένη σε σημείο ( )( ), fΑ α α .
Δ3) Να βρείτε το όριο
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 3 3
lim
ln 1 ln→+∞
+ + −
− + + −  
x
f x g x f x
x f x x x x x
.
Δ4) Αν δίνεται ότι α > 0 , να δείξετε ότι υπάρχει ξ∈ℝ τέτοιο ώστε :
( ) ( )
0
α
′′ ′= − ⋅ ξ∫x f x dx a f
03.01.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3