Επιμέλεια: Εκπαιδευτήρια Δούκα αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

1. lisari.blogspot.gr
Διαγώνισμα εξοικείωσης Άλγεβρας Α’ Λυκείου Ιανουάριος2018 Σελ. 1
Σχολικό έτος 2017 - 2018
Τάξη : Α΄ Λυκείου
Μάθημα : Άλγεβρα
Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Ιανουαρίου
ΘΕΜΑ A Μονάδες 15+2x5 = 25
A1. Να αποδείξετε ότι ισχύει:       με α, β . Πότε ισχύει το = ;
A2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την
ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση:
1. Αν 0   η εξίσωση 2
0, , ,             έχει δύο άνισες πραγματικές
ρίζες .
2. Αν α 0 και 0  ισχύει η ισοδυναμία :    χ α θ d(χ,α) θ .
3. Αν  x y 0 τότε χ 0 και y >0 .
4. Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ με α β και γ δ ισχύει   α γ β δ .
5. Ισχύει  
2
2
α α για κάθε α .
ΘΕΜΑ B Μονάδες 8+9+8 = 25
Μία αυλή σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου έχει
μήκος  μέτρα και πλάτος y μέτρα, τέτοια ώστε να ισχύουν:
6 2 και 2 1y    
Β1. Να αποδείξετε ότι: 4 8 και 1 y 3    .
Β2. Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της περιμέτρου και του εμβαδού της αυλής
αυτής.
Β3. Μετά από αλλαγή στα σχέδια, το μήκος  της αυλής μειώνεται κατά 2 μέτρα και το
πλάτος y διπλασιάζεται (σε σχέση με τις αρχικές διαστάσεις). Να βρείτε το μικρότερο και το
μεγαλύτερο κόστος περίφραξης του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου που προέκυψε, με
δεδομένο ότι το κάθε μέτρο περίφραξης κοστίζει 10 €.

2. lisari.blogspot.gr
Διαγώνισμα εξοικείωσης Άλγεβρας Α’ Λυκείου Ιανουάριος2018 Σελ. 2
ΘΕΜΑ Γ Μονάδες (2+4)+4+8+7 = 25
Δίνεται η εξίσωση : 2
3 4 (1)          με παράμετρο   .
Γ1. (i) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα:      1 4 1         .
(ii) Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου   η εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση ,
της οποίας να γράψετε τη μορφή.
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πάντα λύση στο .
Γ3. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του   ώστε η εξίσωση (1) να έχει μοναδική λύση
5   .
Γ4. Να βρείτε την λύση της εξίσωσης (1) για 2022  .
ΘΕΜΑ Δ Μονάδες 5+7+6+7 = 25
Δίνεται η εξίσωση  2
2 2 0           (1) ως προς χ  με παράμετρο τον
πραγματικό αριθμό  .
Δ1. Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου  η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και
άνισες ρίζες.
 Για τα ερωτήματα Δ2, Δ3 , Δ4 είναι γνωστό ότι η εξίσωση (1) έχει δύο διακεκριμένες
πραγματικές ρίζες 1 2και  .
Δ2. Ονομάζουμε το άθροισμα των ριζών 1 2S    και το γινόμενο των ριζών 1 2P    .
Αν ισχύει 12S P  , να υπολογίσετε την τιμή της παραμέτρου   .
Δ3. Αν 6   να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1 22 2    .
Δ4. Να βρείτε την τιμή του   ώστε να ισχύει:
2 2
1 2
1 2
2 8
+
2
 
   

 
 
Μαρούσι 17 - 01 - 2018
Οι καθηγητές Ο Διευθυντής

3. lisari.blogspot.gr
1
Σχολικό έτος 2017-2018
Τάξη : Β΄ Λυκείου
Μάθημα : Άλγεβρα
Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Ιανουαρίου
ΘΕΜΑ A Μονάδες 15+10=25
Α1. Να αποδείξετε ότι :    

2
2
1 π
συν ω με ω κπ , κ
1 εφ ω 2
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο
απαντήσεών σας τη λέξη «Σωστό» ή «Λάθος» δίπλα στον αριθμό που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
1. Αν ένα γραμμικό σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους έχει
περισσότερες λύσεις από μία τότε θα έχει άπειρες.
2. Υπάρχει α τέτοιο ώστε 
π
ημα
2
3. Η συνάρτηση f : A λέγεται άρτια όταν για κάθε x A ισχύει:
 x A και     f x f x
4. Aν για μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ισχύει, f(2) f(3) τότε
η f είναι γνησίως αύξουσα στο
5. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με   f(x) φ(x) c , c 0
προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της
φ κατά c μονάδες προς τα πάνω.
ΘΕΜΑ Β Μονάδες 7+6+12=25
Δίνεται η συνάρτηση 

2
ημ x
f(x)
1 συνx
Β1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
B2. Nα δείξετε ότι  f(x) 1 συνx
Β3. Να λύσετε την εξίσωση 
1
f(x)
2
στο διάστημα (0,2π) .

4. lisari.blogspot.gr
2
ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 5+7+6+7=25
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο   
1
f(x) x 1
x
Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f .
Γ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της.
Γ3. Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και f(π) .
Γ4. Να λύσετε την ανίσωση    

1 1
3 x 3
x 2 4
ΘΕΜΑ Δ Μονάδες 4+( 6+4+5)+6=25
Έστω    f(x) 4 α ημ(βx) , x όπου α,β 0 . Αν η περίοδος Τ της f είναι
π και η μέγιστη τιμή της f(x) είναι 5 :
Δ1. Να δείξετε ότι α 1 και β 2 .
Για α 1 και β 2:
Δ2. i) Nα βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς επίσης και τις τιμές του
 x 0,π για τις οποίες η f παρουσιάζει την παραπάνω τιμή.
ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο
διάστημα [0,π].
iii) Η ευθεία 
9
y
2
τέμνει τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα
[0,π] στα σημεία Α , Β . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου
ΟΑΒ ( όπου Ο η αρχή των αξόνων)
Δ3. Δίνεται επίσης η συνάρτηση g με τύπο 

3
g(x)
f(x) 2
. Nα βρείτε το
πλήθος των ριζών της εξίσωσης   0
g(x) 2 ημ(2018 )
Μαρούσι 17-01-2018
Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

5. lisari.blogspot.gr
Σχολικό έτος 2017 - 2018
Τάξη : Γ΄ Λυκείου
Μάθημα : Μαθηματικά προσανατολισμού
Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Ιανουαρίου
ΘΕΜΑ Α ( μονάδες 10+5+(2χ5) )
Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση  f x x είναι παραγωγίσιμη στο  0, με
 
1
f ' x
2 x
 .
Α2. Θεωρούμε την παρακάτω πρόταση:
«Αν μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α είναι 1-1 , τότε θα είναι και
γνησίως μονότονη».
Η παραπάνω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής ;
Αν η πρόταση είναι αληθής να την αποδείξετε , αν είναι ψευδής να δώσετε
κατάλληλο αντιπαράδειγμα.
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στο φύλλο
απαντήσεών σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη
Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Αν το σημείο Α είναι κοινό σημείο της γραφικής παράστασης μιας αντιστρέψιμης
συνάρτησης f με την ευθεία  ε : y x τότε η γραφική παράσταση της 1
f 
θα
διέρχεται από το Α.
β. Αν υπάρχει το     0x x
lim f x g x

 τότε υποχρεωτικά υπάρχουν και τα
   
0 0x x x x
lim f x , lim g x
 
γ. Ισχύει α
x 0
limlog x

  , όπου α 1

6. lisari.blogspot.gr
δ. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g είναι επίσης
συνεχής στο 0x , τότε υποχρεωτικά και η συνάρτηση g f θα είναι συνεχής στο
0x
ε. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα
Δ , τότε η συνάρτηση f ' είναι συνεχής στο Δ .
ΘΕΜΑ Β ( μονάδες 6+3+7+9)
Δίνεται η συνάρτηση f με      
x 2
f x ln , x , 2 2,
x 2

     

Β1. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή και «1-1»
Β2. Να λύσετε την εξίσωση:
   f x f 3 0 
Β3. Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση της f
Δίνεται ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο  2,
B4. Για οποιοδήποτε αR , να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ 2 τέτοιο ώστε
  2
f ξ α 1  
ΘΕΜΑ Γ ( μονάδες 8+4+6+7)
Δίνεται η γνησίως μονότονη και συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το
 Α 0,  για την οποία ισχύει:
 
   2
x 1x 0
x 2f 2 x f 3
lim f x 0 και lim 4
x 1
 
 

Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.
Γ2. Να αποδείξετε ότι όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της f βρίσκονται στο
τέταρτο τεταρτημόριο.
Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
      x 2
ln x f x e e f x 2 0    
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα  1,2

7. lisari.blogspot.gr
Γ4. Για τη συνάρτηση  h : 1,  R ισχύει ότι:
    x
f x h x e ln x , x 1   
Να υπολογίσετε το
     
     
x x
x xx
2017 h 3 h 2
L lim
h 1 h 3



Θέμα Δ (μονάδες 6 + 6 + 6 + 7)
Δίνεται η συνάρτηση f με   4
f x x ln x , x>0 
Δ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x 0  έχει μοναδική θετική ρίζα ρ.
Δ2. Να αποδείξετε ότι
4 4 3
2
2x p
1
x ln x ρ lnρ 4x
1xlim 12ρ
x ρ ρ
    
 

όπου ρ η ρίζα του Δ1 ερωτήματος .
Θεωρούμε επίσης τη συνεχή συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το [α,β] και
 1x α,β ώστε :
 1 1g x 3x 2  καθώς και
   1 1
h 0
g x 2h g x
lim 6
h
 

Δ3. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο
0x 1 , εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της g στο σημείο   1 1M x ,g x
Δ4. Aν g (β) 0 g (α)   να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει μέγιστο στο (α,β)
καλή επιτυχία
Μαρούσι 17 – 01 - 2018
Ο Διευθυντής Οι καθηγητές

8. Επικοινωνία – Εγγραφές : https://economu.wixsite.com/mathart
Χορηγός επικοινωνίας: lisari.blogspot.gr