Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Επαναληπτικό διαγώνισμα Προσομοίωσης 2017 για τη Γ Λυκείου
1. Σελίδα 1 από 4
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ
ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΝΙΚΟΛΑΚΑΚΗΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα ,
. Αν G είναι
μια παράγουσα της f στο ,
, να αποδείξετε ότι:
( ) ( ) ( )f t dt G G
. (Μονάδες 10)
Α2. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Τι ονομάζουμε τοπικό
ελάχιστο της f στο ox A ; (Μονάδες 5)
Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με
Σωστό(Σ), αν είναι σωστή, ή με Λάθος(Λ), αν είναι λανθασμένη:
1. Αν lim ( )
ox x
f x
, limg( )
ox x
x m
, , m R και ( ) ( )f x g x κοντά
στο ox τότε m .
2. Αν οι συναρτήσεις ,f g είναι συνεχείς στο ox τότε και η
σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο ox .
3. Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο ,
με ( ) ( )f f ,
τότε υπάρχει ,ox τέτοιο, ώστε '( ) 0of x .
4. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα , και
,ox . Αν η ''f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ox τότε
το , ( )o oA x f x είναι σημείο καμπής.
5. Μία παράγουσα της 1f x
x
όταν 0,x , είναι η F(x) lnx
(Μονάδες 10)
2. Σελίδα 2 από 4
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση
2 1 2
( )
2
x x
f x
x
με , R και
2
lim ( ) 5
x
f x
Β1. Να δείξετε ότι 0 και 4 . (Μονάδες 7)
Β2. Να δείξετε ότι υπάρχει 0,1 τέτοιο ώστε:
4 12
f f (Μονάδες 5)
Β3. Έστω η συνάρτηση
( )( ) x
f xg x
e
, 2x
i) Αν η εξίσωση εφαπτομένης της gC στο σημείο ,o ox g x
διέρχεται από το σημείο 1,0 να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες
του A. (Μονάδες 6)
ii) Ν' αποδείξετε ότι 2g x e για κάθε 2x (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση f η οποία ορίζεται στο 3, 3
με (0) 0f . Αν η
γραφική παράσταση της 'f είναι η παρακάτω:
3. Σελίδα 3 από 4
Γ1. α) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως
αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών
ακρότατων και σημείων καμπής. (Μονάδες 6)
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f . (Μονάδες 3)
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2( ) 1f x x έχει το πολύ μία λύση στο
διάστημα 1, 3
2
. (Μονάδες 4)
Γ3. Αν ισχύει
2
f x
x f x
x
για κάθε 3,0x
ή 0,3x
, να βρείτε
τον τύπο της συνάρτησης f . (Μονάδες 5)
Γ4. Αν 2( ) ln( 1)f x x να υπολογίσετε το άθροισμα ολοκληρωμάτων:
0 2 2
1
01
'( ) x f x dxf x x dx
(Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση :f R R , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη,
με συνεχή την δεύτερη παράγωγο και τέτοια ώστε:
0 3f
'(1) (2) (1)f f f
''( ) 0f x , για κάθε x R
2
2
3
lim 1
2
x
x
f x e
x
Να αποδείξετε ότι :
Δ1. '( 2) 2f (Μονάδες 5)
Δ2. η συνάρτηση f είναι κοίλη και να λύσετε την εξίσωση
4. Σελίδα 4 από 4
2 2 22ln 1 2 2 2 2 ln 2 1
f x f x x f x x f x x
(Μονάδες 5)
Δ3. η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο σε σημείο 2, 0ox
(Μονάδες 6)
Δ4. Έστω επιπλέον η παραγωγίσιμη συνάρτηση :g R R , η οποία έχει
συνεχή την 1η
της παράγωγο και ισχύουν οι σχέσεις:
(0) 1g και
3 2
0
'( ) 2 3
xf g x x e dx
τότε να δείξετε ότι :
i)
3 2
0
'( ) 2 0
xg x x e dx και (Μονάδες 5)
ii) 2( ) xg x x e (Μονάδες 4)
Καλή Επιτυχία!