Αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

1. Β ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ Γ4 ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 17/10/2017
ΘΕΜΑ 1Ο
Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο
γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
α. Μία συνάρτηση είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε y η εξίσωση f(x) y έχει ακριβώς μία
λύση ως προς x .
β. Αν g(x) x, x 0  τότε η μοναδική συνάρτηση για την οποία ισχύει
x
(f g)(x) e 2 x, x 0    είναι η x
f(x) e x, x 0  
γ. . Μπορούμε να βρούμε συνάρτηση f «1-1», της οποίας η γραφική της παράσταση να τέμνει την
γραφική παράσταση της 1
f 
σε ένα σημείο Α, το οποίο να μην ανήκει στην (ε): y x 6 μ
Β. Να δώσετε τον ορισμό, πότε μία συνάρτηση f :A  λέγεται 1-1; 7 μ
Γ. Δίνεται ο ισχυρισμός: « Αν μία συνάρτηση είναι 1-1 σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της ,
τότε θα είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό».
Να χαρακτηρίσετε την πρόταση ως Αληθή ή Ψευδή (2 μ) και να δικαιολογήσετε την απάντησή
σας (4 μ).
Δ. Να διαλέξετε την σωστή απάντηση:
1. Αν για μία συνάρτηση f ορισμένη στο ισχύει: f(x) 9 για κάθε x τότε:
α. Έχει μέγιστο κάποιον κ με κ 9 , β. Έχει μέγιστο το 9,
γ. Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν έχει μέγιστο, δ. Έχει μέγιστο κάποιον κ με κ 9 .
2. Δίνονται δύο συναρτήσεις f,g για τις οποίες    f g f gD , D , f D , g D είναι τα πεδία ορισμού τους και
τα σύνολα τιμών τους αντίστοιχα. Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το πεδίο ορισμού της fog να
είναι το gD είναι:
α. f gD D   β.  f gD g D   γ.  f gf D D δ.  g fg D D 3 + 3 μ
22.10.2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3

2. ΘΕΜΑ 2Ο
Στο παρακάτω σχήμα είναι AB 1 , ΑΓ 3 και ΓΔ 2 .
Α . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου εκφράζεται ως συνάρτηση του x ΑΜ ,
όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ εκτός του σημείου Α, από την συνάρτηση:
2
x , 0 x 1
f(x)
2x 1, 1 x 3
  
 
  
. 8 μ
Β. Να παραστήσετε γραφικά την f και με την βοήθεια της fC : 4μ
i. Να μελετήσετε την f ως προς τα ολικά ακρότατα. 4 μ
ii. Να εξηγήσετε γιατί αντιστρέφεται η f και να παραστήσετε γραφικά την 1
f 
. 6 μ
Γ. Να γράψετε, τι εκφράζει, στο παραπάνω σχήμα η 1
f 
. 3 μ
ΘΕΜΑ 3Ο
Δίνονται οι συναρτήσεις: f :( , 0]  , και g(x) ημx 1, x   για τις οποίες ξέρετε ότι:
2
(f g)(x) 6 συν x 4ημx , x    .
Α. Να αποδείξετε ότι 2
f(x) x 2x 2, x 0    . 5 μ
Β. i Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. 2 μ
ii. Να βρείτε τον τύπο της 1
f 
αποδεικνύοντας ότι 1
f
D [2, )   . 6 μ
Γ. Στο παρακάτω σχήμα βλέπετε την γραφική παράσταση μίας συνάρτησης h.
22.10.2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3

3. i. Να γράψετε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της h . 2 μ
ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που είναι η σύνθεση της h με την f . 4 μ
iii.Αν για τους πραγματικούς α,β,γ,δ γνωρίζετε ότι 2 α β γ δ 3     να διατάξετε τους αριθμούς
h(α), lnh(β), lnh(γ), f(2 δ) δικαιολογώντας την απάντησή σας. 6 μ
ΘΕΜΑ 4Ο
Δίνεται η συνάρτηση g(x)= 2
x ln x, x 0  για την οποία ξέρετε ότι   g 0,   .
Α. Να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρεθεί το 1 1
g e
2
  
 
 
. 4 + 2 μ
Β. Να λυθεί στο (0, )  η ανίσωση 2x 1
ln 3x 2x 1
2x
 
   
 
. 5 μ
Γ. Να λυθεί στο η ανίσωση 1 2
g (x 2) x
  . 5 μ
Δ. Αν για την συνάρτηση f :[0, )  γνωρίζετε ότι:
1) f(0) 0 και f(f(x)) 0 για κάθε x 0 .
2)  1
f(f(x)) x ln x ln(f(f(x))
2
   για κάθε x 0 .
Να δείξετε ότι:
i. f(f(x)) x για κάθε x 0 . 4 μ
ii. f(x) x x 0 ή x 1    . 5 μ
Καλή Διασκέδαση
22.10.2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3