Βασίλης Αυγερινός, Πιθανότητες Α΄ Λυκείου

1. 1
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
Άλγεβρα
Α΄ Λυκείου
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ
2014-2015

2. 2
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΣΕΛΙΔΕΣ 3-7
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ
ΣΕΛΙΔΕΣ 7-15
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΣΕΛΙΔΕΣ 16-22

3. 3
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Τι καλείται πείραμα τύχης ;  Πείραμα τύχης (random experiment) ονομάζεται το πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες. 2. Τι καλείται δειγματικός χώρος ;
 Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Αν δηλαδήω1,ω2,...,ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω={ω1,ω2,...,ωκ} .
3. Τι καλείται ενδεχόμενο ; Τι βέβαιο ενδεχόμενο ; Τι αδύνατο ενδεχόμενο και πως συμβολίζουμε το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου ;  Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο (event) ή γεγονός.  Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω. Γι’ αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο.  Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο ∅ που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’ αυτό λέμε ότι το ∅ είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.  Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α θα το συμβολίζουμε με N(Α)

4. 4
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
4. Ποιες είναι οι βασικές πράξεις με ενδεχόμενα ; Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα, έχουμε:  Το ενδεχόμενο A ∩ B , που διαβάζεται “Α τομή Β” ή “Α και Β” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β.  Το ενδεχόμενο Α∪Β, που διαβάζεται “Α ένωση Β” ή “Α ή Β” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β.
 Το ενδεχόμενο A', που διαβάζεται “όχι Α” ή “συμπληρωματικό του Α” και πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α. Το A' λέγεται και “αντίθετο του Α”.
 Το ενδεχόμενο A - B, που διαβάζεται “διαφορά του Β από το Α” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Είναι εύκολο να δούμε ότι A-B = A ∩ B' .

5. 5
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
5. Ποιες είναι οι διάφορες σχέσεις για ενδεχόμενα Α και Β διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα, και διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων.;
 Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται Συμβολικά ω∈ Α
 Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται Συμβολικά ω ∈ Α' (ή ω Α)
 Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται
Συμβολικά ω ∈ A ∩ B
 Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β Συμβολικά ω ∈ A ∩ B
 Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β
Συμβολικά ω ∈ (Α∪Β)'
 Πραγματοποιείται μόνο το Α Συμβολικά ω ∈ A - B (ή ω ∈ A ∩ B ')
 Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β Συμβολικά Α ⊆ B
6. Τι καλούμαι Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα ;  Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν A∩B=∅ . Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα. 7. Να διατυπώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας και τις άμεσες συνέπειες του ορισμού αυτού ;  Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας σε ένα πείραμα με ισοπίθανα στοιχειώδη αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό:  Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει άμεσα ότι: 3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0≤P(A)≤1 , αφού το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου.

6. 6
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
8. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι Κανόνες Λογισμού των
Πιθανοτήτων ;
 Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β
ισχύει: P(A∪B)=P(A)+P(B)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Αν N(A)=κ και N(Β)=λ, τότε το Α∪Β έχει κ+λ στοιχεία, γιατί αλλιώς
τα Α και Β δε θα ήταν ασυμβίβαστα. Δηλαδή,
έχουμε N(A∪Β)=κ+λ= N(A)+N(Β).
Επομένως:
Ρ(Α) Ρ(Β)
Ν(Ω)
Ν(Β)
Ν(Ω)
Ν(Α)
Ν(Ω)
Ν(Α) Ν(Β)
Ν(Ω)
Ν(A Β)
Ρ(Α Β)    

 


Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος (simply
additive law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα.
Έτσι, αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα
έχουμε P(A∪B∪Γ)=P(A)+P(B)+P(Γ ).
 Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α' ισχύει: P(A')=1 - P(A)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή A∩A'=∅, δηλαδή τα Α και A' είναι ασυμβίβαστα, έχουμε
διαδοχικά, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο:
P(A∪A')=P(A)+P(A') άρα P(Ω)=P(A)+P(A') άρα 1=P(A)+P(A').
Οπότε P(A')=1-P(A).

7. 7
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
 Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε N(A∪B)=N(A)+N(B)-N(A∩B), (1)
αφού στο άθροισμα N(A)+N(B) το πλήθος των στοιχείων του A∩B
υπολογίζεται δυο φορές.
Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε
:
και επομένως P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law).
 Αν A⊆B, τότε P(A)≤P(B)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή A⊆B έχουμε διαδοχικά:
Ρ(Α) Ρ(Β)
N(Ω)
N(Β)
N(Ω)
N(A)
N(A)  N(B)   
 Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:
P(A-B)=P(A)-P(A∩B)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή τα ενδεχόμενα A-B και A∩B είναι ασυμβίβαστα και
(A-B)∪(A∩B)=A, έχουμε:P(A)=P(A-B)+P(A∩B) Άρα P(A-B)=P(A)-P(A∩B)

8. 8
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟ
ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ
1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο
Ω. Να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη
βοήθεια συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται με τις εκφράσεις:
α) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β.
β) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.
Λύση
i) Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο το Α ή
μόνο το Β , γραμμοσκιάζουμε τις επιφάνειες των Α
και Β με εξαίρεση την τομή τους, δηλαδή την κοινή
επιφάνειά τους.
Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή
πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A B και B  A.
Άρα, το ζητούμενο ενδεχόμενο είναι το
(A B)(B  A) ή ισοδύναμα το (AB)(AB) .
ii) Επειδή θέλουμε να μην πραγματοποιείται κανένα
από τα Α και Β , γραμμοσκιάζουμε την επιφάνεια του
Ω που είναι εκτός της ένωσης των Α και Β . Στην
περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι το ζητούμενο
σύνολο είναι συμπληρωματικό του AB , δηλαδή το
(AB) .//
2. Δύο παίκτες θα παίξουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι
αυτός που θα κερδίσει πρώτος δύο παιχνίδια . Αν α είναι το
αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης ένα παιχνίδι και β είναι το
αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι , να βρείτε
τον δειγματικό χώρο του πειράματος.
Λύση
2ο παιχνίδι
α 3ο παιχνίδι
1ο παιχνίδι α
α β
Αρχή β
β α α
β β
Ω = {αα , αβα , αββ , βαα , βαβ , ββ }.//
Α Β Β Α
Ω
A B
(AB)
Ω
A B

9. 9
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
Α Β
Ω
3. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , να
αποδείξετε ότι : αν    τ τ Β ΄ Α ΄
Λύση
Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τυχαίο στοιχείο χ του Β΄ ανήκει και στο Α΄ .
x΄  xΒ και αφού Α  Β  xΑ  x΄ //
4. Έστω Α και Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω . Να
γράψετε το ενδεχόμενο  ως ένωση τριών ξένων μεταξύ τους
ενδεχομένων .
Λύση
Έστω το παρακάτω διάγραμμα του Venn
  ()()() .
Α – Β Α  Β Β – Α .//
5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω δίνονται
P(A)  0,5, P(B)  0,4 και P(A B)  0,2 . Να βρεθεί η πιθανότητα των
ενδεχομένων: i) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.
ii) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.
Λύση
i) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το
(A B) . Επομένως
P((AB)) 1 P(AB)
1 (P(A)  P(B)  P(AB))
1 (0,5  0,4  0,2)
1 0,7
 0,3.
( A B)
Ω
A B

10. 10
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο
ένα από τα Α και Β είναι το (A  B)(B  A) .
Επειδή τα ενδεχόμενα A  B και B  A είναι
ασυμβίβαστα, έχουμε:
P((A B)(B  A))  P(A B)  P(B  A)
 P(A)  P(AB)  P(B)  P(AB)
 P(A)  P(B)  2P(AB)
 0,5  0,4  2 0,2  0,5 .//
6. Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P(A)  0,6
και P(B)  0,5. i) Να εξεταστεί αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.
ii) Να αποδείξετε ότι 0,1 P(A B)  0,5 .
Λύση
i) Αν τα Α και Β ήταν ασυμβίβαστα, από τον απλό προθετικό νόμο των
πιθανοτήτων θα είχαμε: P(AB)  P(A)  P(B)  0,6  0,5 1,1
ισχύει, δηλαδή, P(AB) 1, που είναι άτοπο.
Άρα, τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.
ii) Επειδή AB  B και AB  A ,
έχουμε
P(AB)  P(B) και P(AB)  P(A) ,
επομένως P(AB)  0,5 (1)
Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε:
P(AB)  P(A)  P(B)  P(AB)
P(AB)  0,6  0,5  P(AB) .
Όμως P(AB) 1.
Επομένως: 0,6  0,5  P(AB) 1
0,6  0,5 1 P(AB)
0,1 P(AB) . (2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι: 0,1 P(AB)  0,5 .//
( A B)(B A)
Ω
A B
A B
Ω
A B

11. 11
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
7. Ένα κουτί περιέχει μπάλες : 10 άσπρες (Α), 15 μαύρες (Μ) , 5
κόκκινες (Κ) και 10 πράσινες (Π). Παίρνουμε τυχαίως μια μπάλα. Να
βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων η μπάλα να είναι : i) μαύρη
ii) μαύρη ή άσπρη iii) ούτε κόκκινη ούτε πράσινη
Λύση
Αφού μέσα στο κουτί υπάρχουν 10 + 15 + 5 + 10 = 40 μπάλες , θα είναι
Ν(Ω) = 40
i) Έστω Μ το ενδεχόμενο : η μπάλα να είναι μαύρη . Τότε Ν(Μ) = 15
Άρα
8
3
40
15
()  
ii) Έστω Α είναι το ενδεχόμενο : η μπάλα είναι άσπρη . Τότε Ν(Α) = 10
Άρα
4
1
40
10
()  
Το ενδεχόμενο : η μπάλα να είναι μαύρη ή άσπρη, είναι το  με Α ,
Μ ασυμβίβαστα.
Οπότε
8
5
4
1
8
3
()  ()  ()   
iii) Το ενδεχόμενο : η μπάλα δεν είναι ούτε πράσινη ούτε κόκκινη , σημαίνει
ότι η μπάλα είναι : μαύρη ή άσπρη , που όπως είδαμε έχει πιθανότητα
8
5
.//
8. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω έχουμε ότι
12
1
και Ρ(Α Β)
3
2
, Ρ(Β΄)
2
1
()     . Να βρείτε την Ρ(ΑΒ) .
Λύση
Ρ(Β΄) =  1 – Ρ(Β) =
3
2
Ρ(Β) = 1– 2
3
= 1
3
Ρ()  ()  ()  ()  1 1 1
( )
2 3 12
       = 6 4 1
12 12 12
 
= 9 3
12 4
 .//
3
2


12. 12
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
9. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι
()  ()  ()
Λύση
P(AUΒ) Ρ(Α) + Ρ(Β)
Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)
– Ρ(Α∩Β) 0
Ρ(Α∩Β) 0 ισχύει άρα ισχύει και η αρχική .//
10. Ένα ορισμένο κατάστημα δέχεται πιστωτικές κάρτες D ή V.
Το 25% των πελατών έχει κάρτα D , το 55% έχει κάρτα V
και το 15% έχει και τις δύο κάρτες . Ποια είναι η πιθανότητα ,
ένας πελάτης που επιλέγεται τυχαία να έχει μία τουλάχιστον κάρτα ;
Λύση
Έστω D το ενδεχόμενο, ο πελάτης να έχει κάρτα D. Τότε Ρ(D) =
100
25
,
V το ενδεχόμενο , ο πελάτης να έχει κάρτα V. Τότε Ρ(V) =
100
55
.
Το ενδεχόμενο , ο πελάτης έχει και τις δύο κάρτες είναι το (DV) .
Οπότε 15
Ρ(D V)
100
  .
Το ενδεχόμενο, ο πελάτης έχει μία τουλάχιστον κάρτα , είναι το (D V) .
Οπότε από τον προσθετικό νόμο έχουμε
25 55 15
(D V) (D) (V) (D V) (D V)
100 100 100
              
άρα P(DV ) = 65
100
.//
11. Το 10% των ατόμων ενός πληθυσμού έχουν υπέρταση , το 6%
στεφανιαία καρδιακή ασθένεια και το 2% έχουν και τα δύο . Για ένα
άτομο που επιλέγεται τυχαία ποια είναι η πιθανότητα να έχει
α) τουλάχιστον μία ασθένεια β) μόνο μία ασθένεια

13. 13
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
Λύση
Έστω τα ενδεχόμενα : Υ = το άτομο έχει υπέρταση , οπότε Ρ(Υ) =
100
10
Σ = το άτομο έχει στεφανιαία , οπότε Ρ(Σ) =
100
6
Tο ενδεχόμενο : το άτομο έχει και τις δύο ασθένειες , είναι το  ,
οπότε
100
2
( ) 
α) Το ενδεχόμενο : το άτομο έχει μία τουλάχιστον ασθένεια είναι το  .
Οπότε ()  ()()() = 10 6 2 14
100 100 100 100
  
β) Το ενδεχόμενο : το άτομο έχει μία μόνο ασθένεια είναι το
(Υ – Σ)  (Σ – Υ)
και επειδή τα Υ – Σ , Σ – Υ είναι ασυμβίβαστα , με τον απλό προσθετικό
νόμο θα έχουμε P    ( )() (1)
Αλλά P(Υ – Σ) = Ρ(Υ) – Ρ(Υ  Σ) =
100
10
– 2
100
= 8
100
και Ρ(Σ – Υ) = Ρ(Σ) – Ρ(Υ  Σ) = 6
100
– 2
100
= 4
100
(1)  P   = 8
100
+ 4
100
= 12
100
.//
12. Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει αγγλικά , το
30% γαλλικά και το 20% και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία ένα
μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα, να μη μαθαίνει καμία από τις δύο
γλώσσες
Λύση
Έστω τα ενδεχόμενα Α : μαθαίνει αγγλικά , με Ρ(Α) =
100
80
Γ : μαθαίνει γαλλικά , με Ρ(Γ) =
100
30
Το ενδεχόμενο, μαθαίνει και τις δύο γλώσσες είναι το    με
20
Ρ(Α Γ)
100
 
Το ενδεχόμενο δεν μαθαίνει καμία γλώσσα είναι το
()΄  1()
= 1 – [() ()() ]
=1() () () =
80 30 20 10
1
100 100 100 100
   
.//

14. 14
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
13. Σε μία κωμόπολη το 15% των νοικοκυριών δεν έχουν τηλεόραση ,
το 40% δεν έχουν βίντεο και το 10% δεν έχουν ούτε τηλεόραση ούτε
βίντεο. Επιλέγουμε τυχαία ένα νοικοκυριό. Να βρείτε την πιθανότητα
να έχει τηλεόραση και βίντεο .
Λύση
Έστω Τ = το ενδεχόμενο το νοικοκυριό δεν έχει τηλεόραση με Ρ(Τ) =
100
15
Β = το ενδεχόμενο το νοικοκυριό δεν έχει βίντεο με Ρ(Β) =
100
40
Τότε , το νοικοκυριό δεν έχει ούτε τηλεόραση ούτε βίντεο είναι το ()
με
100
10
() 
Ζητάμε την πιθανότητα , επιλέγοντας ένα νοικοκυριό στην τύχη , να έχει
τηλεόραση και βίντεο. Δηλαδή ζητάμε την Ρ(Τ΄  Β΄ ).
Από διάγραμμα Venn, διαπιστώνουμε ότι (Α  Β)΄ = (Α΄  Β΄ )
Οπότε Ρ(Τ΄  Β΄ ) = Ρ(Τ  Β)΄
= 1 – Ρ(Τ  Β)
= 1 – [Ρ(Τ) + Ρ(Β) - Ρ(Τ  Β)]
= 1 – Ρ(Τ) – Ρ(Β) + Ρ(Τ  Β)
= 1 – 15 40 10 55
100 100 100 100
   .//
14. Αν 0 < Ρ(Α) < 1 να αποδείξετε ότι 4
( )
1
( )
1

 

  ΄
Λύση
Έστω Ρ(Α) = ρ με 0 < ρ < 1, οπότε Ρ(Α΄ ) = 1 – ρ > 0.
Αρκεί να αποδείξουμε 1

+ 1
1 
 4
1 – ρ + ρ  4ρ(1 – ρ)
1  4ρ – 4 2 
4 2  – 4ρ + 1  0
(2ρ – 1 2 )  0 που ισχύει .//

15. 15
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
15. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με
Ρ(Α) = 0,6 και Ρ(Β) = 0,7 , να δείξετε ότι 0,3  Ρ(Α)  0,6
Λύση
 Για την ανισότητα Ρ(Α)  0,6
    Ρ(Α)  Ρ(Α)  Ρ(Α)  0,6
 Για την ανισότητα 0,3  Ρ(Α)
Αφού Ρ(Α) = () () () 
Ρ(Α) = 0,6 + 0,7 – ()
Ρ(Α) = 1,3 – () (1)
Αρκεί να αποδείξουμε 0,3  Ρ(Α)
( 1 )

0,3  1,3 – ()
–1  – ()
()  1 που ισχύει
άρα θα ισχύει και η αρχική .//
16. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου Ω ,
να αποδείξετε ότι () (΄)  ()
Λύση
() (΄)  () 
() (1())  () () ()
Ρ(Β) –1 + Ρ(Α)  Ρ(Α) + Ρ(Β) –()
–1 +  –()
()  1 που ισχύει άρα θα ισχύει και η αρχική .//

16. 16
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1. Ένα λύκειο έχει 50 μαθητές, από τους οποίους 20 είναι στην Α τάξη. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι στην Β τάξη είναι 34%. Να βρεθούν : α) την πιθανότητα ο μαθητής να είναι στην Α τάξη β) Πόσους μαθητές έχει η Β τάξη και γ) την πιθανότητα να είναι στην Γ τάξη .
Λύση
α) P(A)= = = =0,4 άρα 40%
β) P(Β)= άρα = άρα Ν(Β)=17
γ) Ν(Α)+Ν(Β)+Ν(Γ)=50
20+17+Ν(Γ)=50
Ν(Γ)=13 άρα P(Γ)= //
2. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν : Ρ(Α΄)= και Ρ(Β-Α)=0,5 . Βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β.
Λύση
Ρ(Α΄)= άρα 1-Ρ(Α)= άρα Ρ(Α)= άρα Ρ(Α)=0,25
Ρ(Β-Α)=0,5 άρα Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)=0,5
Άρα η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)= 0,25+0,5=0,75 .//
3. Σε μία πόλη 20.000 κατοίκων κυκλοφορούν δύο εφημερίδες Α και Β . Μία ημέρα αγόρασαν 2.000 άτομα την εφημερίδα Α και 1500 την Β. Αν 250 άτομα αγόρασαν και τις δύο εφημερίδες και επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο, βρείτε τις πιθανότητες : α) Να έχει αγοράσει τουλάχιστον μία εφημερίδα β) Να έχει αγοράσει το πολύ μία εφημερίδα και γ) Να έχει αγοράσει μόνον μία εφημερίδα.

17. 17
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
Λύση
α) Ενδεχόμενο Α : «κάτοικος αγοράζει εφημερίδα Α» Ν(Α)=2000
Ενδεχόμενο Β : «κάτοικος αγοράζει εφημερίδα Β» Ν(Β)=1500
Ενδεχόμενο Α∩Β: «κάτοικος αγοράζει και τις δύο εφημερίδες Α και Β»
με Ν(Α∩Β)=250
P(A)=
P(Β)=
Ρ(Α∩Β)= ∩
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)= =0,1625
Ρ(ΑUΒ)=0,1625
β) Ενδεχόμενο (Α∩Β)΄: « κάτοικος να έχει αγοράσει το πολύ μία εφημερίδα »
Ρ((Α∩Β)΄)= 1-Ρ(Α∩Β)= 1-0,1625=0,8375
Ρ((Α∩Β)΄)=0,8375
γ) Ενδεχόμενο (Α-Β)U(Β-Α) :
« κάτοικος να έχει αγοράσει μόνον μία εφημερίδα »
Ρ((Α-Β)U(Β-Α)) = Ρ(Α-Β) + Ρ(Β-Α) =
= Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β) + Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β) =
= Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α∩Β) =
= = .//
4. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν : Ρ(ΑUΒ)= , Ρ(Α΄)= και Ρ(Α∩Β)= . Βρείτε τις πιθανότητες: Ρ(Α) , Ρ(Β) και Ρ(Α-Β).
Λύση
Ρ(Α΄)= άρα 1-Ρ(Α)= άρα
Ρ(Α)=
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)
P(Β)=
Ρ(Α-Β) = Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β) = - =
Ρ(Α-Β) = .//

18. 18
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
5. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν :
Η πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α είναι 1/5
Η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται το Β είναι 3/5
Η πιθανότητα να πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β είναι 1/6
Βρείτε τις πιθανότητες να πραγματοποιείται :
α) ένα τουλάχιστον από τα Α,Β.
β) το πολύ ένα από τα Α,Β.
γ) κανένα από τα Α,Β.
δ) μόνον το Α.
Λύση
Ρ(Α)=
Ρ(Β΄)= άρα 1-Ρ(Β)= άρα Ρ(Β)=
Ρ(Α∩Β)=
α) Ενδεχόμενο ΑUΒ : « πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α,Β »
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β) = = = =
άρα Ρ(ΑUΒ) =
β) Ενδεχόμενο (Α∩Β)΄: «πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α,Β »
Ρ((Α∩Β)΄)= 1-Ρ(Α∩Β)= 1 - =
Ρ((Α∩Β)΄)=
γ) Ενδεχόμενο (ΑUΒ)΄ : « πραγματοποιείται κανένα από τα Α,Β »
Ρ((ΑUΒ)΄)= 1 - Ρ(ΑUΒ) = 1 - =
Ρ((ΑUΒ)΄)=
γ) Ενδεχόμενο Α-Β : « πραγματοποιείται μόνον το Α »
Ρ(Α-Β) = Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β) = = =
Ρ(Α-Β) = .//
6. Η τάξη έχει 8 αγόρια και 12 κορίτσια. Από τα αγόρια το 25% και από τα κορίτσια το 1/3 έχουν μαύρα μάτια. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Βρείτε την πιθανότητα :
α) Να είναι κορίτσι.
β) Να έχει μαύρα μάτια.
γ) Να είναι αγόρι και να μην έχει μαύρα μάτια.
δ) Να είναι κορίτσι ή να μην έχει μαύρα μάτια.

19. 19
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
Λύση
Η τάξη έχει 8 αγόρια και 12 κορίτσια άρα η τάξη έχει 20 άτομα.
Άρα Ν(Α) = 8 , Ν(Κ) = 12 και Ν(Ω)=20
α) Ενδεχόμενο Κ: « το άτομο είναι κορίτσι»
Η πιθανότητα να είναι κορίτσι P(Κ)= = =
β) Από τα 8 αγόρια το 25% έχει μαύρα μάτια άρα 8. = =2
Από τα 12 κορίτσια το 1/3 έχουν μαύρα μάτια άρα 12. = 4
Άρα 2+4=6 άτομα έχουν μαύρα μάτια άρα Ν(Μ)=6
Ενδεχόμενο Μ: « το άτομο έχει μαύρα μάτια »
Η πιθανότητα το άτομο να έχει μαύρα μάτια P(Μ)= =
γ) Από τα 8 αγόρια τα 2 έχουν μαύρα μάτια άρα 8 – 2 = 6 αγόρια δεν έχουν
μαύρα μάτια
Ενδεχόμενο Α : « Να είναι αγόρι και να μην έχει μαύρα μάτια »
με Ν(Α)=6
Η πιθανότητα το άτομο να είναι αγόρι και να μην έχει μαύρα μάτια
P(Α)= =
δ) Από τα 12 κορίτσια τα 4 έχουν μαύρα μάτια άρα 12 - 4 = 8 κορίτσια δεν
έχουν μαύρα μάτια
Ενδεχόμενο Κ∩Μ΄ : « Να είναι κορίτσι και να μην έχει μαύρα μάτια »
με Ν(Κ∩Μ΄)=8
Η πιθανότητα το άτομο να είναι κορίτσι και να μην έχει μαύρα μάτια
P(Κ∩Μ΄) = ∩ =
Ενδεχόμενο ΚUΜ΄: « Να είναι κορίτσι ή να μην έχει μαύρα μάτια »
Η πιθανότητα Ρ(ΚUΜ΄)=Ρ(Κ)+Ρ(Μ΄)-Ρ(Κ∩Μ΄)
Ρ(ΚUΜ΄)=Ρ(Κ)+1-Ρ(Μ)-Ρ(Κ∩Μ΄)
Ρ(ΚUΜ΄) = + 1 - -
Ρ(ΚUΜ΄) = 1 -
Ρ(ΚUΜ΄) = .//

20. 20
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
7. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={1,2,3,4,5}. Η πιθανότητα των απλών ενδεχομένων {2},{3},{4}{5} είναι Ρ(ν)= , με ν=2,3,4,5 . Αν γνωρίζετε ότι Ρ(1) + Ρ(2) + Ρ(3) + Ρ(4) + Ρ(5) = 1 , να βρείτε τις πιθανότητες : α) Ρ(1) και β) Ρ(Α) όπου Α= {1,2,3}.
Λύση
Αφού από υπόθεση Ρ(ν)= , με ν=2,3,4,5 τότε :
Για ν=2 έχω Ρ(2)= =
Για ν=3 έχω Ρ(3)= =
Για ν=4 έχω Ρ(4)= =
Για ν=5 έχω Ρ(5)= =
α) Αφού από υπόθεση : Ρ(1) + Ρ(2) + Ρ(3) + Ρ(4) + Ρ(5) = 1
Ρ(1) + + + + = 1
Ρ(1) = 1 - - - -
Ρ(1) = - - - -
Ρ(1) = - - - -
Ρ(1) =
β) Αφού το ζητούμενο είναι το ενδεχόμενο Α= {1,2,3} και τα {1},{2},{3} είναι ασυμβίβαστα τότε
Ρ(Α)= Ρ(1)+Ρ(2)+Ρ(3)= + + = + + = =
Ρ(Α)= .//

21. 21
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
8. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω αποδείξετε ότι :
2Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) ≤ 1+ Ρ(Α∩Β)
Λύση
2Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β)
Ρ(Α∩Β) + Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β)
Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) - Ρ(Α∩Β)
Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(ΑUΒ) ισχύει ( διότι : Α∩Β ⊆ ΑUΒ τότε Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(ΑUΒ) )
άρα ισχύει και η αρχική 2Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) (1)
Ρ(Α)+Ρ(Β) ≤ 1+ Ρ(Α∩Β)
Ρ(Α)+Ρ(Β) - Ρ(Α∩Β) ≤ 1
Ρ(ΑUΒ) ≤ 1 ισχύει ( διότι : 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 )
άρα ισχύει και η αρχική Ρ(Α)+Ρ(Β) ≤ 1+ Ρ(Α∩Β) (2)
Από (1) και (2) έχω ότι : 2Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) ≤ 1+ Ρ(Α∩Β) .//
9. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(Α)=0,7 , Ρ(Β)=0,6
α) Να εξετάσετε αν Α , Β είναι ασυμβίβαστα
β) Αποδείξτε ότι Ρ(Α∩Β) ≤ 0,7 και Ρ(ΑUΒ) ≥ 0.6
γ) Αποδείξτε ότι : 0,3 ≤ Ρ(Α∩Β) ≤ 0,6
Λύση
α) Έστω ότι Α , Β είναι ασυμβίβαστα άρα Α∩Β = ∅ άρα ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος άρα Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β)
Ρ(ΑUΒ) = 0,7 + 0,6
Ρ(ΑUΒ) = 1,3 άτοπο ( αδύνατο διότι : 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 )
άρα Α , Β δεν είναι ασυμβίβαστα.
β) Αφού Α∩Β ⊆ Α τότε Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α) άρα Ρ(Α∩Β) ≤ 0,7
Αφού Β ⊆ ΑUΒ τότε Ρ(Β) Ρ(ΑUΒ) άρα 0,6 Ρ(ΑUΒ) άρα Ρ(ΑUΒ) ≥ 0.6
γ) Αφού Α∩Β ⊆ Β τότε Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Β) άρα Ρ(Α∩Β) ≤ 0,6 (1)
Αφού : Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β) Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑUΒ)
Τότε 0,3 ≤ Ρ(Α∩Β)
0,3 ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑUΒ)
0,3 ≤ 0,7 + 0,6 - Ρ(ΑUΒ)
Ρ(ΑUΒ) ≤ 0,7 + 0,6 – 0,3
Ρ(ΑUΒ) ≤ 1 ισχύει ( διότι : 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 )
άρα ισχύει και η αρχική 0,3 ≤ Ρ(Α∩Β) (2)
Από (1) και (2) έχω : 0,3 ≤ Ρ(Α∩Β) ≤ 0,6 .//

22. 22
Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
10. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(Β) = και Ρ(Α-Β) = . Βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β .
Λύση
Γνωρίζω ότι από κανόνες λογισμού πιθανοτήτων ότι : Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β)
Έστω το ενδεχόμενο :
« να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β »
Τότε το ενδεχόμενο αυτό είναι το ΑUΒ άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου αυτού είναι : Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Β)+Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β)
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Β)+ Ρ(Α-Β)
Ρ(ΑUΒ)= +
Ρ(ΑUΒ)= .//