1. ΣΜΗΜΑ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ
ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ :
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :
ΘΕΜΑ Α
Να ςχεδιάςετε ςε διαφορετικό ςφςτημα αξόνων τη γραφική παράςταςη των ςυναρτήςεων:
α. x
f x e 1
β. g x x
γ.
1
h x
x 2
δ. x ln | x 1|
ε. 2
x 2 , x 0
k x
x , x<0
Μονάδες 20
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι ςυναρτήςεισ
2
2
x 9
f x
x 3| x |
και
3
g x 1
| x |
.
Β1. Να αποδείξετε ότι οι ςυναρτήςεισ f και g είναι ίςεσ.
Μονάδες 15
Β2. Να βρείτε τισ τιμζσ του x για τισ οποίεσ η fC βρίςκεται πάνω από τον άξονα x΄x.
Μονάδες 10
Β3. Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη 2
f x 2f x 0 είναι αδφνατη για x 3 ή x>3
Μονάδες 15
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 6
2. ΘΕΜΑ Γ
Στο παρακάτω ςχήμα φαίνεται η γραφική παράςταςη δφο ςυναρτήςεων f,g.(Διακόπτεται μόνο η
γραφική παράςταςη τησ f)
Γ1. Να βρείτε τα πεδία οριςμοφ των f,g.
Γ2. Να βρείτε το ςφνολο τιμών των f,g.
Γ3. Να βρείτε για ποιεσ τιμζσ του x οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f και g είναι ίςεσ.
Γ4. Να βρείτε για ποιεσ τιμζσ του x η γραφική παράςταςη τησ g είναι πάνω από την γραφική παράςταςη
τησ f.
Γ5. Να βρείτε το πλήθοσ των λφςεων τησ εξίςωςησ f x , για τισ διάφορεσ τιμζσ τησ παραμζτρου,
.
Γ6. Να βρείτε το πλήθοσ των λφςεων τησ εξίςωςησ g x 1 .
Μονάδες 40
(4+4+7+7+15+3)
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 6
3. ΘΕΜΑ Α
α. x
f x e 1
β. g x x
γ.
1
h x
x 2
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 6
4. δ. x ln | x 1|
ε. 2
x 2 , x 0
k x
x , x<0
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 6
5. ΘΕΜΑ Β
Β1.
Έχουμε f gD D 0
2 2
2 2
| x | 3 | x | 3x 9 | x | 9 3
f x 1 g x
x 3| x | | x | 3| x | | x | | x | 3 | x |
Άρα f=g
B2.
Για να είναι η fC πάνω από τον άξονα x΄x θα πρζπει f x 0 για x 0 .
Από το ερώτημα Β1 ζχουμε f=g οπότε αρκεί g x 0 για x 0 .
3
g x 0 1 0 | x | 3 δηλαδή x<-3 ή x>3
| x |
Β3.
Στο ερώτημα Β2 αποδείξαμε ότι g x f x 0 για x<-3 ή x>3.
Άρα f x 0 οπότε 2
f x 0 και 2f x 0 .
Για κάθε x<-3 ή x>3 2
f x 2f x 0 οπότε η εξίςωςη 2
f x 2f x 0 είναι αδφνατη
για κάθε x<-3 ή x>3.
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 6
6. ΘΕΜΑ Γ
Γ1.
fD 4, 1 0,4 και gD
Γ2.
ff D 2,4 και gg D 3,
Γ3.
Οι ςυναρτήςεισ είναι ίςεσ για x 2, 1 1 3,4
Γ4.
Η γραφική παράςταςη τησ g είναι πάνω από τη γραφική παράςταςη τησ f αν ιςχφει
g x f x ,για x 4, 1 0,4 .
Άρα x 4, 2 1,3
Γ5.
Αν α<-2 ή α>4 η εξίςωςη δεν ζχει λφςη
Αν α=-2 ή 3<α≤4 η εξίςωςη ζχει 1 λφςη
Αν -2<α≤-1 ή 2<α≤3 η εξίςωςη ζχει 2 λφςεισ
Αν -1<α≤2 η εξίςωςη ζχει 3 λφςεισ
Γ6.
Η εξίςωςη ζχει 3 λφςεισ
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 6