Επιμέλεια: Σπυρίδων Δήμου για το ΓΕΛ Άργους Ορεστικού Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com

1. Μαθηματικά Γ’-ΚΑΤ 1.2-Ισότητα - Πράξεις συναρτήσεων
Επιμέλεια: Δήμου Σπύρος ΓΕ.Λ ΑΡΓΟΥΣ ΟΡΕΣΤΙΚΟΥ
ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Α. Ισότητα συναρτήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 1 Στις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε αν f g . Αν f g , να βρείτε το ευρύτερο
δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει (x) g(x)f 
i)
( ) ln ln 1
( ) ln
1
f x x x
x
g x
x
  
 
  
 
ii)
4
( ) ln
( ) 4ln
f x x
g x x


iii)
( ) ( 1)
( ) 1
f x x x
g x x x
 
  
iv)
1
( )
2
1
( )
3
f x
x
g x
x x



v)
( ) 2 4
( ) 2 4
f x x
g x x
  
  
vi)
 
 
( ) ln 1
( ) ln 1
x
x
f x e
g x e x

 
  
( i) ( , ) ( , )x 0 1    , ii) f g , iii) [ , )x 1  , iv) f g , v) [ , ]x 4 2   , vi) f g )
ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται η συνάρτηση  2
(x) ln x x
f e e 
  .
i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
ii. Αν  (x) ln 1 2xx
g e   , να δείξετε ότι οι συναρτήσεις ,f g είναι ίσες.
ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται οι συναρτήσεις
1
( )
x(x 1)(x 2)
f x 
 
και g( )
x x 1 x 2
x
  
  
 
. Να βρείτε τις
τιμές των , ,    ώστε οι συναρτήσεις ,f g να είναι ίσες. ( , ,   α β γ1 2 1 )
Ασκήσεις σχολικού: Α7
Β. Βρίσκω τη σύνθεση δύο συναρτήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρείτε τις συνθέσεις ,f g g f αν:
i. (x) 3f x  και 2
(x) 4g x  . ( f g   , ( )(x) ,g f x x   7 3 7 )
ii. (x) 3 3f x   και 2
(x) 3 (x 3)g    (( )(x) ,f g x x   3 3 , ( )(x) x,g f x  3)
iii. (x) ln(1 e ) xx
f    και 2
(x) ln(1 e )x
g    .
(( )(x) ,f g x x 2 , 2
2 2 2 1 0    ( )(x) ln( e e ),x x
g f x x )
Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις ,f g g f είναι ίσες.
26.09.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 4

2. Μαθηματικά Γ’-ΚΑΤ 1.2-Ισότητα - Πράξεις συναρτήσεων
Επιμέλεια: Δήμου Σπύρος ΓΕ.Λ ΑΡΓΟΥΣ ΟΡΕΣΤΙΚΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 5 Έστω , :f g  , με 2
(x) x 2 2f x   και 2
(x) x 2g x   . Να δείξετε ότι η
εξίσωση ( )(x) ( )(x)f g g f δεν έχει λύση στο .
ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνονται οι συναρτήσεις
1
(x)
1
x
f
x



και
1
g(x)
1
x
x



. Να αποδείξετε ότι
( )(x) ( )(x) 1f g g f   , { 1,0,1}x   ,
αφού πρώτα ορίσετε τις συναρτήσεις ,f g g f .
ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )
x
f x
x



 
1
, της οποίας η γραφική παράσταση
διέρχεται από το σημείο ( 2,3)  .
i. Να δείξετε ότι 1   .
ii. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f f και g είναι ίσες όπου 2
1
(x)
x
g
x x
 


.
Ασκήσεις σχολικού: Α10, Α11, Α12, Β7, Β8, Β9
Γ. Ξέρουμε τη σύνθεση, μία από τις δύο και βρίσκουμε την άλλη συνάρτηση
ΑΣΚΗΣΗ 8 Να βρείτε τη συνάρτηση f στις παρακάτω περιπτώσεις:
i. 1
( )(x) e 2x
g f 
  , x και (x) x 3g   ( (x) ex
f 
 1
1, x )
ii.
1
( )(x)g f
x
 , (0, )x  και (x) lng x ( (x) ex
f 
1
, x  0)
iii. 2
( )(x) 4 2 1g f x x   , x και (x) 2 1g x  ( (x)f x x  2
2 1, x )
iv. 2
( )(x) 4 2 2g f x x   , x και 2
(x) 2g x x   ( (x) (x) xf x ή f   2 1 2 , x )
v. 2
1
( )(x)
2
x
g f
x x



, {0,2}x  και 2
(x)
1
x
g
x


.
(
1
0 1 2
1 1
0 1

 
   
 
, { , , }
(x) (x)
,
x
f x ή f x
x
, x )
ΑΣΚΗΣΗ 9 Ομοίως:
i. 2
( )(x) 1f g x x   , x και (x) x 2g   ( (x)f x x  2
5 7 , x )
ii. 2
( )(x) 3f g x  , ( 2, )x   και (x) ln( 2)g x  ( (x) e x x
f e  2
4 1, x )
iii. ( )(x)
2
x
f g
x
 

, 2x   και
1
(x)
1
g
x


( (x)
x
f
x



1
1
, { , }x  1 0 )
iv.
1
( )(x)f g
x
 , 0x  και (x) x
g e ( (x)
ln
f
x
 2
1 , x 1)
v. 2
( )(x) 2 8 2f g x x   , x και 2
(x) 4g x x  . ( (x)f x 2 2 , x  4 )
Ασκήσεις σχολικού: Β6
26.09.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 4

3. Μαθηματικά Γ’-ΚΑΤ 1.2-Ισότητα - Πράξεις συναρτήσεων
Επιμέλεια: Δήμου Σπύρος ΓΕ.Λ ΑΡΓΟΥΣ ΟΡΕΣΤΙΚΟΥ
Δ. Ψάχνουμε μόνο το πεδίο ορισμού της σύνθεσης
ΑΣΚΗΣΗ 10 Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [ , ]A  1 2 . Να βρείτε το πεδίο ορισμού
των συναρτήσεων:
i) (x) ( 1)g f x  ii) 3
(x) (x 6)h f  iii) (x) (e )x
f  iv) (x) (lnx 1) (3 x)r f f   
( i) [ , ]x 4 9 , ii) [ , ]x 3
7 2 , iii) [ ,ln ]x 0 2 , iv) [ , ]x e 1 , )
ΑΣΚΗΣΗ 11 Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ( , ]A  1 2 . Να βρείτε το πεδίο ορισμού
των συναρτήσεων i)  (x) 2 1g f x  , ii)  2
h(x) f x ( i) ( , / ]x 0 3 2 , ii) [ , ]x  2 2 )
ΑΣΚΗΣΗ 12 Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [ , ]A  1 1 . Να βρείτε το πεδίο ορισμού
της συνάρτησης  2
(x) 1 3g f x x   . ( [ , ] [ , ]x  1 0 3 4 )
ΑΣΚΗΣΗ 13 Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [ , ]A  0 2 . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
συνάρτησης  2
(x) x x
g f e e  . ( [ ,ln ]x 0 2 )
Ε. Από το πρόβλημα στη συνάρτηση – Γενικά θέματα
ΑΣΚΗΣΗ 14 Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f x x    2
1 . Να
εκφράσετε συναρτήσει του x το εμβαδόν του
ορθογωνίου ΑΒΓΔ και να βρείτε το πεδίο ορισμού αυτής
της συνάρτησης.
ΑΣΚΗΣΗ 15 Στο διπλανό σχήμα το μεταβλητό σημείο Β
μπορεί να «κινείται» μεταξύ των σημείων Ο και Γ. Να
εκφράσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ
του διπλανού σχήματος ως συνάρτηση του χ. Στη συνέχεια να
βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να τη
σχεδιάσετε.
26.09.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 4

4. Μαθηματικά Γ’-ΚΑΤ 1.2-Ισότητα - Πράξεις συναρτήσεων
Επιμέλεια: Δήμου Σπύρος ΓΕ.Λ ΑΡΓΟΥΣ ΟΡΕΣΤΙΚΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 16 Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f x ln x   . Για κάθε x  1 θεωρούμε τα σημεία  x, f x   και  x , f x    1 1 .
i. Να αποδείξετε ότι
f x f x x
f
      
  
 
1 2 1
2 2
.
ii. Να εκφράσετε το εμβαδόν του τραπεζίου
ΑΒΓΔ ως συνάρτηση του x και να
ερμηνεύσετε γεωμετρικά την παραπάνω
ανίσωση.
iii. Αν x  η συνάρτηση του ερωτήματος ii,
να αποδείξετε ότι ln
 
       
 
7
2 3
2
.
ΑΣΚΗΣΗ 17 Δίνεται η συνάρτηση f x x   2 . Θεωρούμε επίσης ένα σημείο Α(2,0) του άξονα
χ’χ.
i. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την απόσταση ενός τυχαίου σημείου  x, f x   από
το σημείο Α.
ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της παραπάνω συνάρτησης και την τομή της για x=2.
ΑΣΚΗΣΗ 18 Δίνεται η συνάρτηση f x , x
x
   
1
0 .
i. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την απόσταση ενός τυχαίου σημείου  x, f x   της
fC από την αρχή Ο των αξόνων.
ii. Να δείξετε ότι    2 .
ΑΣΚΗΣΗ 19 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική
παράσταση της συνάρτησης f x x   2
1 .
i. Με τη βοήθεια του σχήματος να βρείτε το
σύνολο τιμών της συνάρτησης f και να
επαληθεύσετε αλγεβρικά το αποτέλεσμά σας.
ii. Να διαπιστώσετε από το σχήμα ότι ισχύουν οι
ανισότητες f x x   και f x x    για κάθε
x και να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τους
ισχυρισμούς σας.
iii. Να λύσετε την εξίσωση x x  2
1 .
ΑΣΚΗΣΗ 20 Έστω οι συναρτήσεις , :f g  με
(x) g(x)
(x) g(x)x x
f
e f e

 
, x . Να δείξετε ότι οι
συναρτήσεις ,gf είναι ίσες.
26.09.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 4