Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης, Γιώργος Πολύζος και Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Τι παρατηρείτε στη λύση του ερωτήματος Δ1
των Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019;
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης, Μάκης Χατζόπουλος και Γιώργος Πολύζος
(lisari team)
Η λύση που αναρτήθηκε στο lisari του Ανδρέα Πάτση και Μάκη Χατζόπουλου είναι
η εξής:
Ο Ανδρέας έδωσε ένα υπέροχο Β΄ τρόπο με τον ορισμό της συνάρτησης και μας έβγαλε
από τις περίεργες κακοτοπιές όπως θα δούμε παρακάτω!
Άρα ξανά γυρνάμε στη λύση του Δ1 (με τον α΄ τρόπο)!
Θα δίνατε άλλη λύση;
Νομίζω ότι σας ακούω, λέτε «προφανώς όχι»! Παρόλα αυτά θα συνεχίσω τις επίμονες
ερωτήσεις! Παρατηρείτε κάποιο λάθος; Μήπως είναι ελλιπής η απόδειξη; «Πατάει» η
λύση στο σχολικό βιβλίο; Υπάρχει κάποια ένσταση; Και τελικά είναι ορθή η λύση για την
επιτροπή; Θα χαθούν μόρια αν ο μαθητής την αποδώσει με αυτόν τον τρόπο;
Ας ξεκινήσουμε ανάποδα!
Μέσα στο χρόνο (1/3/2019) ανέβασα «στη στήλη του μαθητή» τις υπέροχες λύσεις που
έδωσε ένας μαθητής από το ΓΕΛ Ζωγράφου σε τρεις απαιτητικές ασκήσεις
(παρεμπιπτόντως διέπρεψε στις εξετάσεις ‘19 με βαθμούς 100 και 97).
Σε μία από αυτές η έκφραση ήταν η εξής:
08.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 4

2. για να την φέρουμε στα μέτρα μας και θα την γράψουμε όσο πιο αναλυτικά και
αυστηρά γίνεται για να μοιάσει στο ερώτημα Δ1 είναι η εξής:
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση R Rf :  τέτοια, ώστε  f x 0  για κάθε
Rx και η f μηδενίζεται σε διακεκριμένα σημεία (δεν στοιχειοθετούν
διάστημα), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα.
Δηλαδή ο πίνακας μεταβολών που δίνει η άσκηση είναι της μορφής (για ν διακεκριμένα
σημεία):
x  1x 2x ……………….. vx 
 f x + + + ……………….. + +
f
,< ,< ,< ……………….. ,< ,<
,<
Θεωρείτε ότι χρειάζεται απόδειξη ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ή είναι φανερή
από τη θεωρία του σχολικού βιβλίου όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα;
Ποια είναι η διαφορά αυτό που γράφει το σχολικό βιβλίο με αυτό που τέθηκε στις
εξετάσεις;
08.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 4

3. Το σχολικό βιβλίο αναφέρεται σ ένα σημείο 0x που ίσως η f δεν είναι παραγωγίσιμη
ενώ η f διατηρεί πρόσημο κατά διαστήματα, άρα συμπεραίνει το θεώρημα ότι η f
είναι γνησίως μονότονη στο  α,β .
Στην άσκηση των εξετάσεων η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται σε δύο σημεία τα 1x 0
και 2x 1 .
Αν δείτε στα σχόλια κάτω από τη λύση του μαθητή ένας μέλος του blog παρατηρεί
αυτό το σημείο! Ο συνάδελφος Κώστας Τσόλκας εξηγεί ότι δεν υπάρχει πρόβλημα
και είναι αποδεκτός τρόπος επίλυσης για τα σχολικά δεδομένα! Και κάπου εκεί ανοίγει
μεγάλος διάλογος! Αφού αφήνω το διάλογο να εξελιχθεί σε κόσμιο επίπεδο,
συμμετέχω στη συζήτηση και τους παραπέμπω σε μια εισήγηση του Γιώργου Πολύζου
στη Λάρισα (δεν κάνω ειδική αναφορά σε αυτή τη εισήγηση για να μην μπερδέψω
τους μαθητές).
Η πρόταση του εξαιρετικού συνάδελφου ήταν η εξής:
Αν η f είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση σ΄ ένα διάστημα Δ, τότε ισχύει η εξής
ισοδυναμία:
f γνησίως αύξουσα στο Δ
 f x 0 για κάθε x Δ
η f δεν μηδενίζεται σ'έναυποδιάστημα τουΔ
  
 

που γενικεύει την πρόταση του σχολικού βιβλίου. Παραθέτω την απόδειξη του
Γιώργου Πολύζου για λόγους πληρότητας.
Ευθύ
Είναι,
 
h 0
f(x h) f x
f (x) 0
h
lim

 
   ,διότι για h 0 ισχύει:
       
   f f x h f x
x x h f x f x h 0 f x h f x 0
h
 
          
,<
,
όμοια αν h 0 .
Έστω ότι υπάρχει υποδιάστημα 1Δ Δ τέτοιο, ώστε να ισχύει f (x) 0  , για κάθε
1x Δ , άρα η f είναι σταθερή στο 1Δ , άτοπο αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
Αντίστροφο
Επειδή, f (x) 0  για κάθε x Δ τότε (από συνέπειες του ΘΜΤ) έχουμε ότι η f είναι
αύξουσα στο διάστημα Δ. Θα αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
Έστω, ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Επειδή, η f είναι αύξουσα στο Δ,
υπάρχουν 1 2x ,x Δ με 1 2x x και    1 2f x f x (1), τότε λόγω ότι η f είναι
αύξουσα στο Δ ισχύει:
     1 2f x f x f x  για κάθε  1 2x x ,x (2)
οπότε λόγω (1) και (2) έχουμε,      1 2f x f x f x  για κάθε  1 2 1x x ,x Δ Δ   .
Άρα f σταθερή στο 1Δ Δ , οπότε:
08.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 4

4.  f x 0  για κάθε 1x Δ Δ  , άτοπο.
Έφτασε η μέρα που τίθεται αυτό το λεπτό σημείο στις εξετάσεις! Δηλαδή η πρώτη
παράγωγος να μηδενίζεται σε δύο (τουλάχιστον) διαφορετικά σημεία και στα υπόλοιπα
να διατηρεί σταθερό πρόσημο!
Οπότε έρχεται το δίλλημα! Ο μαθητής πρέπει να δώσει πλήρη λύση (σαν την
παραπάνω) ή να κάνει μια απλή αναφορά στο θεώρημα του σχολικού βιβλίου και ας
μην είναι ακριβής;
Από τη πρώτη λύση που παρουσιάσαμε με τον Ανδρέα είναι ξεκάθαρο τι πιστεύουμε...
προγανώς και δεν χρειάζεται λέξη παραπάνω να προσθέσει ο μαθητής! Νομίζω, ότι
καμία λύση που προτάθηκε στο διαδίκτυο δεν έχει γίνει καν αναφορά σε αυτό το
σημείο, πόσο μάλλον να δοθεί και η πλήρης λύση. Άρα αν οι καθηγητές ΔΕΝ το
σημειώνουν πόσο μάλλον οι μαθητές!
Όμως, τέτοιες ερωτήσεις που διχάζουν τους καθηγητές και δεν ακολουθούν το σχολικό
βιβλίο είναι λανθασμένες και πρέπει καλύτερα να αποφεύγονται. Εδώ, η επιτροπή είχε
μια άτυχη στιγμή, αν την κρίνουμε πολύ αυστηρά. Ή να το πούμε καλύτερα, έδωσε
δικαιώματα για συζήτηση και αναζήτηση…
Ερωτήματα, που δεν περιμένουν απάντηση, προς την επιτροπή:
1) Σας ενοχλεί που η παράγωγος της f μηδενίζεται σε δύο εσωτερικά σημεία του πεδίου
ορισμού της και στα υπόλοιπα σημεία διατηρεί πρόσημο; Σας πειράζει που η
δικαιολόγηση του σχολικού βιβλίου δεν καλύπτει 100% αυτήν την περίπτωση τον
μαθητή; Αν όχι, θα με έχετε δικαιώσει γιατί έτσι απάντησα στους αναγνώστες του
lisari, αν ναι, δηλαδή σας ξέφυγε, τότε έχω κάνει λάθος και πρέπει να επανορθώσω.
2) Το πρώτο Σωστό – Λάθος, έτσι όπως το θέτει το σχολικό βιβλίο, δεν θεωρείτε ότι
είναι λάθος η διατύπωση; Εσείς περιμένετε από το μαθητή να απαντήσει «Σωστό»
επειδή το γράφει έτσι το σχολικό βιβλίο; Αν ναι, τότε έχουμε δίκιο ως ομάδα που
απαντήσαμε έτσι, αν όχι, τότε πρέπει να διορθώσουμε την απάντησή μας!
08.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 4