2. Matemáticas 2
Estructura de la serie
El proyecto Los Caminos del Saber Secundaria y media es un programa
de educación con soluciones tecnológicas que apoyan el libro de texto
para que docentes y estudiantes enriquezcan sus experiencias de enseñan-
za y aprendizaje.
Este proyecto ofrece:
1. Libro del estudiante
Responde a las exigencias planteadas por el Mi-
nisterio de Educación Nacional y que promueve
el desarrollo de competencias.
2. Edición para el docente
Incluye una guía de planeación con una gran va-
riedad de recursos, para apoyar la planeación y
la práctica diaria en el aula.
Allí encuentra:
• Competencias generales para el grado
• Estándares básicos de competencias
• Escala de valoración
• Plan de trabajo por bimestres
• Matrices de desempeño
• Organizadores conceptuales
• Sugerencias metodológicas
24
usa
cuyos
pasos
incluye
n como
que son
El métod
ocientífi
co
estudia
a
Indust
ria
Eubact
eria
Partícu
lassubató
micas
Campo
s
Reinos
Los seres vivos
Nivele
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Observ
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Células
Medio
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LA BIOLO
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EL UNIV
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Galaxia
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Sistem
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que se agrupa
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que se agrupa
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75% H
20% He
5% otros
El Big Bang (H, He)
alreded
orde las cuales
giranComet
as
Planet
as
Astero
ides
Nebulo
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Satélite
s
por
Contra
cción
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Organizador conceptualUNIDAD 1
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como
Funcio
nes
vitales
Reprod
ucción
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-48).indd
24
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13:18
8
ENTORNO VIVO
Saberysaberhacer
Logros
Indicado
res de desempe
ño
Tiempo estimado
en semanas
• Comprend
e y explica, con exac-
titud, las distintas teorías sobre
el origen del universo y del sis-
tema solar.
• Explica la teoría del Big Bang mediante
un
modelo.
• Compara los postulado
s de las teorías sobre el
origen del universo.
• Explica cómo está organizad
o el sistema solar.
• Plantea hipótesis para explicar la posibilidad
de existencia
de seres vivos en otros planetas.
• Reconoce
los principale
s acon-
tecimiento
s que dieron origen a
las primeras formas de vida y la
manera en que estas evolucio-
naron para el surgimien
to de las
células.
• Describe las teorías sobre el origen de la vida.
• Explica la teoría de la generació
n espontáne
a.
• Explica el origen de la vida, a partir de la sopa
primitiva y la sustenta con el trabajo realizado
por Stanley Miller.
• Explica las teorías de la evolución
y de la se-
lección natural.
• Reconoce
que la tecnología
le ha permitido
al ser humano viajar al espacio y conocer más
acerca de nuestro sistema solar y de su origen.
• Escribe sus argumentos a favor y en contra de
la exploració
n espacial.
• Comprueb
a, explicacio
nes cien-
tíficas, utilizando
procedimi
en-
tos experimen
tales rigurosos.
• Comprueb
a, a través de experimen
tos, algu-
nas característ
icas de los seres vivos.
• Registra, de manera ordenada,
los resultados
obtenidos
durante los laboratorio
s.
• Propone explicacio
nes a los resultados
obte-
nidos y los relaciona con los conceptos
vistos.
• Observa células animales y elabora ilustracio-
nes científicas
de estas.
• Registra, de manera ordenada,
los resultados
obtenidos
durante los laboratorio
s.
Matriz de desempeño
Del universo a los seres vivos
Temas de la unidad
• El universo
• Caracterís
ticas de los seres vivos
• El interior celular
• Niveles de organizac
ión de los seres vivos
• Tejidos
• Clasificac
ión de los seres vivos
• Exploran
do la diversida
d biológica
• Plantas y animales
1
Calendario A
Febrero
1 2 3 4
Marzo
1 2 3 4
Calendario B
Septiembr
e
1 2 3 4
Octubre
1 2 3 4
CN6-6(2-48).in
dd 8
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13:18
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3. Matemáticas 3
3. Tics para el estudiante y para el docente
Caminos del Saber Matemáticas Secundaria ofrece un Libromedia en
DVD para cada grado que:
• No requiere conectividad, facilita la práctica docente y se puede perso-
nalizar.
• Contiene una amplia variedad de recursos virtuales de aprendizaje y
ofrece múltiples alternativas de estrategias didácticas.
• Se vincula a las aulas como una oportunidad para aumentar la eficacia
en el aprendizaje, a la vez facilita la comprensión de algunos temas difí-
ciles o complejos.
• Cuenta con recursos digitales asociados a los contenidos y herramien-
tas que permiten destacar información, incluir imágenes y desplegar
otras funciones de gran utilidad.
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4. Matemáticas 4
• Además, ofrece un sitio web: Santillana plus
www.santillanaplus.com.co con:
− Más recursos interactivos y multimedia, en permanente ac-
tualización que agregan valor a los procesos educativos.
− Una aplicación Appes (aplicación de pruebas y planeación
Escolar Santillana).
− Acceso al CES (constructor de evaluaciones Santillana) que
permite al docente personalizar las pruebas con las que eva-
luará a sus estudiantes.
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5. Matemáticas 5
Estructura de una unidad
Página inicial
Al comienzo de cada unidad se encuentra una página de apertura,
que presenta al estudiante los temas que se abordarán y los logros
que debe alcanzar. Se enumeran los contenidos, las actividades y
las evaluaciones que se encuentran en el libromedia.
Desarrollo de contenidos
El desarrollo de los contenidos está acompañado de ejercicios y
de situaciones en contexto, cuya solución se explica paso a paso.
Además se encuentran actividades para desarrollar competencias.
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6. Matemáticas 6
En el desarrollo de las temáticas también se encuentran:
En estos recuadros se
encuentran datos acerca
de los acontecimientos
históricos relacionados
con la temática que se
está trabajando.
En estos cuadros se encuentra
una pregunta acerca del tema
siguiente para que se prepare
para la próxima clase.
Este recuadro recuerda
información clave para que
los estudiantes puedan
comprender mejor la teoría.
Propone
preguntas acerca
de la teoría que se
está trabajando.
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7. Matemáticas 7
Al final de la unidad se encuentran
Ejercicios para repasar
Es una selección de actividades de cada tema para que el estudian-
te repase y responda allí mismo.
Problemas para repasar
Presenta un problema de alguna de las temáticas y propone más
problemas para que el estudiante resuelva. Contiene espacios para
responder ahí mismo.
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8. Matemáticas 8
Secciones especiales
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
Presenta una lectura para que el estudiante lea y analice situacio-
nes que tienen aplicación con la temática estudiada.
Trabaja con…
Presenta diferentes programas informáticos para que el estudian-
te desarrolle los temas de la unidad. Propone programas que no
necesitan licencias, se pueden descargar libremente y tampoco
tienen límite de tiempo para su uso.
− Geogebra
− Wirirs
− Stadis 1.05
− Excel
− Geonext
− Winplot
− Smart Studio
158
Figura 1. Trayectoria espiral del protón sobre el ciclotrón.
Ciclotrón de Medical Systems utilizado
para el tratamiento de tumores cancerosos.
Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?
…Para saber cómo se genera
una radiografía.
Una radiografía es una imagen que se toma del cuerpo
humano, se registra en una placa fotográfica o de forma
digital y sirve para analizar partes del sistema óseo del
cuerpo especialmente. Esta imagen se genera cuando se
expone el receptor de imagen radiográfica a una fuente
de radiación de alta energía procedente de isótopos ra-
diactivos. Las sustancias radiactivas que se necesitan para
tomar una radiografía se producen con un dispositivo
denominado ciclotrón.
El ciclotrón es un dispositivo de tipo circular que permi-
te acelerar partículas subatómicas a grandes velocidades
hasta hacerlas chocar con un blanco, produciendo una
reacción nuclear, y así generar elementos radiactivos.
Su funcionamiento inicia con el ingreso de un protón
(partícula subatómica con carga eléctrica positiva) en
dos semicírculos llamados D’s por su forma de “d ma-
yúscula”. Gracias a la interacción de campos eléctricos y
magnéticos la partícula se mueve en forma espiral como
se muestra en la figura 1.
Cuando alcanza la energía necesaria, la partícula choca
con el blanco y la energía de la partícula subatómica se
puede calcular de acuerdo con la siguiente expresión:
K
m
q B R
2
5
2 2 2
La energía (K) del protón cuando sale del ciclotrón de-
pende del cuadrado del radio (R) de los semicírculos. (q)
es la carga del protón equivalente a 1,6 3 1029 C, (B) es
el campo magnético al cual se somete el protón cuando
viaja por el ciclotrón y (m) es la masa del protón equiva-
lente a 1,67 3 10227 kg.
1. Calcula la energía con que sale un protón al pasar por
un ciclotrón de campo magnético de 0,4 T y radio
1,2 m.
2. Completa la tabla con la energía de cada protón para
los diferentes radios y realiza la gráfica de K respecto
a R para un campo magnético de 0,52 T.
3. ¿Cuál es el radio requerido de un ciclotrón para ace-
lerar protones hasta una energía de 7,06 3 10210 J
utilizando un campo magnético de 4,8 T?
Radio (m) 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
Energía (J)
Galería de
imágenes
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159
…También sirve para
determinar la velocidad
en las montañas rusas.
La montaña rusa debe su nombre a los grandes tobo-
ganes de madera que se construían en Rusia para lanzar
trineos deslizables sobre nieve. Posteriormente, apareció
en Francia un modelo de montaña rusa en el que se
adaptaron rieles y vagones. Esta idea de montaña rusa
se introdujo en Estados Unidos como una atracción po-
pular llamada Roller coaster. En la actualidad, la montaña
rusa es una de las atracciones mecánicas más llamativas
para las personas y se utiliza en ferias o parque temáticos
alrededor del mundo, donde se pueden encontrar las más
rápidas, extensas, vertiginosas o altas.
Básicamente la montaña rusa consiste en el desplaza-
miento de uno o más vagones por medio de un riel que
tiene altibajos, de tal forma que los vagones alcanzan,
en algún punto del riel, una altura máxima desde la que
caen libremente aprovechando la energía potencial gra-
vitacional que alcanzan.
A continuación se relacionan las montañas rusas más
altas del mundo.
Figura 1. La montaña rusa Kingda ka ubicada en Jersey
tiene 139 metros de altura.
Existe una expresión proveniente de la energía cinética y
la energía potencial que relaciona la velocidad y la altura
a la que cae libremente un objeto como sucede en las
montañas rusas más altas del mundo.
La relación es:
v2 5 2gh
Donde v es la velocidad final del objeto, g es la constante
gravitacional cuyo valor aproximado es 9,8 m/s2 y h es la
altura de la cual cae libremente el objeto.
1. Calcula la velocidad máxima que se alcanza en cada
una de las montañas rusas mencionadas en la tabla.
2. La energía cinética es la energía en movimiento que
poseen los cuerpos y se halla mediante la expresión:
2
E mv5
2
C
Si un vagón de la Kingda ka con 10 personas tiene
una masa aproximada de 1.200 kg, ¿cuál es su energía
cinética máxima?
Nombre Ubicación Altura
Tower of terror II dreamword Australia 115 metros
Superman Escape of krypton California, Estados Unidos 126,5 metros
Top thrill dragster Ohio, Estados Unidos 128 metros
Kingda ka Jersey, Estados Unidos 139 metros
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Trabaja con Winplot
sinnombre1.wp2
Archivo Ecua Ver Btns Una Dos Anim Misc
4
y
x
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y = x 2 + 2x - 3
y = f(x)
f(x) =
x inf
x sup
ancho de lápiz densidad de dibujo
bloquear el intervalo hacer periódica
-5.00000
5.00000
ax 2+bx+c
1 1 color
ayudacancelarok
x = -1.00000
y = -4.00000
siguiente extremo de Y
guardar
como
X
A
Coordenadas
del vértice.
valores extremos
y = x 2 + 2x - 3
cerrar
160
Objetivo: analizar la gráfica de la función f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a partir de la variación de los parámetros a, b y c,
reconociendo los elementos de la función cuadrática.
Descripción: representar una función cuadrática particular y después la familia de funciones f(x) 5 ax2 1 bx 1 c,
en el programa Winplot. Luego, hacer variar los parámetros a, b y c para encontrar generalidades y formular
conclusiones acerca de las características de la gráfica de una función cuadrática.
y = f(x)
f(x) =
x inf
x sup
ancho de lápiz densidad de dibujo
bloquear el intervalo hacer periódica
-5.00000
5.00000
x 2+2x-3
1 1 color
ayudacancelarok
inventario [sinnombre1.wp2]
editar
gráfico
borrar
ecuación
dupl
nombre
copiar
derivar
tabla
red
familia
cerrar
y = x 2 + 2x - 3
ceros
y = x 2 + 2x - 3
-3.00000 siguiente
guardar x como
graficar punto
cerrarA
Ceros
Para acceder a Winplot, ingresa y descarga
el programa en winplot.softonic.com
6 Observa en la herramienta tabla, los cortes de
la función f(x) 5 x2 1 2x 2 3 con los ejes e iden-
tifica el vértice. Luego, confirma con la gráfica
de la función que sean los mismos.
7 Activa la opción Una, en el menú, y selecciona
Ceros. Luego, en la ventana que se despliega,
identifica los ceros de f(x) 5 x2 1 2x 2 3. Haz
clic en siguiente para encontrar otros ceros,
como se ve en la figura.
8 Activa la opción Una, en el menú, y selecciona
Extremos. Luego, en la ventana que se des-
pliega aparecen las coordenadas del vértice de
la gráfica de la función f(x) 5 x2 1 2x 2 3, como
aparece en la figura.
9 Repite el paso 3 con f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, como
se observa en la ilustración.
1 Haz doble clic en el icono wplotsp.exe.
2 Activa la opción Ventana y selecciona 2-dim.
3 Activa la opción Ecua, en el menú y selecciona
Explicita. Luego, en la ventana que se desplie-
ga, escribe la expresión x2 1 2x 2 3, como se
observa en la ilustración.
4 Haz clic en ok y observa dos ventanas: la gráfi-
ca de la función y otra que se denomina inven-
tario.
5 En la ventana inventario observa qué pasa
cuando haces clic en las herramientas editar,
gráfico, ecuación y tabla. Describe en tu cua-
derno lo que ves en cada una.
MAT 9-1(128-161)U5.indd 160 28/02/12 10:01
Archivo Ecua Ver Btns Una Dos Anim Misc
4
y
x
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
valor actual de A
Flechas
Parámetro
0.00000
23
A
def l
automostrar diapositivas
auto rev auto cicl def D
cerrar
0,8 m
x
Archivo Ecua Ver Btns Una Dos Anim Misc
Función cuadrática.wp2
4
y
x
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
161
10 Haz clic en ok y observa que la gráfica es una
línea recta. Esto sucede porque el programa
asigna los valores de a, b y c igual a cero (por
defecto).
11 Despliega la herramienta Anim del menú, se-
lecciona la opción Parámetros A-W. En ella
podrás cambiar los valores de a, b y c seleccio-
nando cada parámetro y moviendo las flechas
hacia la derecha o la izquierda.
12 Utiliza Winplot para analizar las siguientes fun-
ciones cuadráticas:
f(x) 5 ax2
f(x) 5 ax2 1 c
f(x) 5 ax2 1 bx
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c
Para ello, cambia los parámetros de a, b y c,
según corresponda.
13 Responde las siguientes preguntas a partir de
las gráficas de funciones cuadráticas.
a. ¿Cuál es el color de la gráfica de la función
cuadrática si a . 1?
b. ¿Cuál es el color de la gráfica de la función
cuadrática si a , 0?
c. ¿Qué diferencias encuentras entre las grá-
ficas de las funciones representadas en
Winplot? Escribe dos.
14 Determina por ensayo y error en Winplot, la
ecuación de la función cuadrática que aparece
en la siguiente figura. Luego, encuentra las
coordenadas exactas del vértice.
15 Realiza la representación gráfica de cada fun-
ción en el programa Winplot. Luego, halla los
ceros de la función y encuentra las coorde-
nadas exactas del vértice.
a. f(x) 5 x2 1 4x 1 3
b. f(x) 5 2x2 1 6x 1 4
c. f(x) 5 2x2 2 20x 1 57
d. f(x) 5 26x2 2 12x 2 5
16 Resuelve el siguiente problema aplicando el
programa de Winplot.
Se lanza una pelota de béisbol a través de un
campo de juego a partir de una altura de 0,8
metros sobre el suelo, en un ángulo de 45°
respecto a la horizontal, a una velocidad de
8,5 m/s. Aplicando las leyes de la física sobre
la trayectoria de la pelota es posible establecer
una función para la altura (y) de la pelota en
términos de la distancia recorrida (x), así:
( )
72,25
9,8
0,8f x x x� � � �2
Encuentra la altura máxima que alcanza la pe-
lota de béisbol.
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9. Matemáticas 9
Hiperpágina
Propone la ampliación de uno de los temas de la unidad, de una
manera visual para facilitar su comprensión.
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10. Matemáticas 10
Fortalezas de Caminos del Saber Matemáticas
Secundaria
• En la serie se maneja con propiedad el lenguaje propio de las
matemáticas.
• Los Caminos del Saber traen una cronología (línea de tiempo)
que cuenta a los estudiantes la historia de cada una de las te-
máticas trabajadas en cada unidad.
• Contiene mayor cantidad de ejercicios (para cada temáti-
ca explicada y en general por unidad). Y las actividades que
se proponen inmediatamente después de la teoría están de
acuerdo con la temática tratada y el nivel de los estudiantes.
• Las actividades en Caminos del Saber Matemáticas se encuen-
tran ordenadas de menor a mayor dificultad, y son clasificadas
según los procesos de matemáticas: ejercitar, razonar, modelar
comunicar y solucionar problemas con el fin de que los profe-
sores puedan evaluar esos procesos en sus estudiantes, tam-
bién en las competencias interpretar, argumentar y proponer.
• En la serie se proponen ejercicios y problemas con espacio para
responder allí mismo (se pueden utilizar como taller de re-
paso).
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11. Matemáticas 11
• Se enseña un procedimiento claro y sistemático para resolver
problemas mediante pasos, en el cual se plantea un problema y
se explica cómo se resuelve de principio a fin.
• En la sección Trabaja con, se proponen programas que no tie-
nen necesidad de utilizar licencia.
• Integra de manera efectiva los contenidos impresos con los
contenidos digitales. El libro del estudiante indica los objetos
digitales que se relacionan con los contenidos del libro y se
pueden encontrar en el Libromedia o en la página web.
• Las evaluaciones que hay por unidad están relacionadas en la
página inicial y tienen el estilo de las que propone el estado,
esto hace que los estudiantes se enfrenten a una prueba lo más
real posible, y no se limiten a responder un cuestionario de se-
lección múltiple.
• Se ofrece un gran número de objetos digitales de aprendiza-
je que favorecen la consolidación y apropiación de los cono-
cimientos. En el libromedia encuentran: galerías de imagen,
actividades interactivas, recursos imprimibles, ampliaciones,
enlaces web y audios.
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