Matemática basica

MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
Professora: Caren Fulginiti
caren@caren.mat.br

1
Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TÉCNICO – TRT 4ª
Este material foi produzido com o intuito de viabilizar que o candidato consiga aprender técnicas
de resolução de questões com a leitura deste texto. É muito importante seguir em ordem os subcapítulos e efetuar todos os exercícios propostos.
Professora: Caren Fulginiti da Silva
Contato: caren@caren.mat.br
Licenciada em Matemática – UFRGS
Mestre em Educação – UFRGS

PROGRAMA MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
(último concurso TRT9ª-2010)
MATEMÁTICA: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e
operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes
proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas.
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas,
lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as
condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados na
prova, constituídos de elementos conhecidos e significativos, visam analisar as habilidades dos
candidatos para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais:
raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio seqüencial, orientação espacial e temporal, formação
de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova destinam-se a medir a
capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de
forma válida, a conclusões determinadas.
PROGRAMA MATEMÁTICA (último concurso TRT4ª- 2006)
MATEMÁTICA: Números inteiros: operações e propriedades, múltiplos e divisores; problemas. Números
racionais: operações nas formas fracionária e decimal. Números e grandezas proporcionais; razões e
proporções; divisão proporcional; regra de três simples e composta. Porcentagem; Juros simples.
Funções de 1° e 2° Graus; problemas. Sistemas de medidas: decimais e não decimais.

copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA®

citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.

MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

2

MATEMÁTICA
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS:
SOMA
+ com + ou - com - Soma e mantém o sinal
a) (+10) + (+8) = +18
b) (-10) + (-8) =-18

MULTIPLICAÇÃO
Mesmo sinal: +
e) (+10) (+8) = +80
f) (-10) (-8) = +80
Sinal diferente: g) (+10) (-8) = -80

+ com - Diferença e sinal do maior.
c) (+10) + (-8) = +2
d) (-10) + (+8) = -2
Prioridade das Operações :

Prioridade dos Parênteses :

1º

Raiz e Potência

1º

Parênteses

2º

Divisão e Multiplicação

2º

Colchetes

3º

Subtração e Soma

3º

Chaves

( )
[ ]
{ }

ATENÇÃO: ENTRE PARÊNTESES E OPERAÇÕES PREVALECEM OS PARÊNTESES.

Observe a diferença:

SOLUÇÃORÁPIDA:

(4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5 ) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 = (4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 =
− 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 18 =

SOLUÇÃO LENTA:

( 4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 =
− 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 6 × 3 =
− 7 + 24 ÷ 4 − 6 × 3 =
− 7 + 6 − 18 = −19

− 7 + 6 − 18 = −19

Agora sem parênteses...
4 − 32 ÷ 4 + 9 − 5 × 6 ÷ 3 + 1 − 6 × 3 =
4 − 8 + 9 − 30 ÷ 3 + 1 − 18 =
4 − 8 + 9 − 10 + 1 − 18 = −22

TABUADA:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20

3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30

4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40

5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50

6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60

7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70

8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80

9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90

10
10
20
30
45
50
60
70
80
90
100

01. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas:
a) 31 + (- 40) : (+ 2) =
b) – 10 – 20 : (+ 4) =
c) (+ 30) : (- 6) + (- 18) : (+ 3) =
d) (- 91) : 7 + 15 =
e) 7 : (- 7) + 2 . (- 6) + 11 =
f) (- 36) : (- 4) + 3 . (- 3) =
g) 35 – 6 . (+ 6) + (+ 54) : (- 6) =
h) 81 : (- 9) – 3 . (- 3) + (- 9) =
i) 2 + (- 75) : (- 5) – 4 . (-1) =
j) 46 : (- 23) + 7 – 4 . (+ 2) =
l) 8 . (- 11) + 200 : (+ 2) – 12 =
m) 63 – 84 : (- 21) – 3 . (+ 23) =



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

3

MÚLTIPLOS
No conjunto dos NATURAIS, chamamos múltiplo de um número, todos os números obtidos
multiplicando o número dado por todos os outros números naturais.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Exemplo: Múltiplos de 12 → 0, 12, 24, 36, ...
Construindo outros conjuntos:
Múltiplos de 7: 0, 7, 14, 21, ...
Múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, ...
A grande questão em multiplicidade é saber se dado um número ele é ou não múltiplo de outro...
Temos várias maneiras de determinar isso e comentarei algumas delas:
1ª) Podemos dizer que um número é múltiplo de outro se construindo o conjunto de seus
múltiplos ele pertencer ao conjunto, por exemplo: Sabemos que 14 é múltiplo de 7 porque ele está no
conjunto dos múltiplos de 7, como construímos acima, e sabemos também que 10 não é múltiplo de 7
porque ele não está. Porém esse método é muito primitivo visto que se o número fosse muito grande
teríamos que construir o conjunto até lá...
2ª) Outra maneira, bastante intuitiva seria fazer a divisão. Sabemos que se ao dividirmos dois
números o resto der zero então o maior é múltiplo do menor, observe:
10 7
14 7
-14 2
0

-7 1
é

3

não é

De qualquer forma esse método normalmente não é o mais rápido, por isso para os números mais comuns
descobriu-se regras de divisibilidade, que com o uso freqüente se tornam as melhores ferramentas:
É divisível por ... se ...
Exemplo
Nº
2 for par
132, 42
3 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3
183, pois 1+8+3=12
os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou
4
97636, pois 36 é divisível por 4
forem 00
5 terminar em zero ou em 5
80, 655
6 for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo
120, é par e a soma é 3
7 Regra muito difícil
melhor dividir
os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou
8
9480, pois 480 é divisível por 8
forem 000
9 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 9
819, pois 8 + 1 + 9 = 18
10 terminar em zero
90, 120
a soma dos algarismos de ordem par menos a soma dos 291588, pois 9+ 5+ 8 =22, 2+1+8=11
11
e 22-11=11
algarismos de ordem ímpar der um múltiplo de 11
DICA IMPORTANTE:
Uma outra maneira de entender multiplicidade é pensar que se um número N é múltiplo de K, então K
é um número que está dentro de N. Veja um exemplo claro:
• 60 é múltiplo de 20 pois encontramos o 20 dentro do 60 = 20 × 3
Daqui podemos dizer por exemplo que se um número é múltiplo de 12, então com certeza ele é
múltiplo de 1, 2, 3, 4 e 6 também!
Agora cuidado pois se um número for múltiplo de 3, não significa que é múltiplo de 9 !



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

4

Pensemos agora a respeito do número 1500 ...
Casais: 1 e 1500; 2 e 750 e filho deste 20 e 75; 3 e 500 e filho deste 30 e 50 e mais 5 e 300; 4 e 375;
6 e 250 e filho deste 60 e 25 e mais 12 e 125; 10 e 150 e filho deste 15 e 100.
Considerações Importantes:
• Qualquer número é múltiplo de 1
Construindo o conjunto dos
múltiplos de 1:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
x1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
• Só o zero é múltiplo de zero
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
x0 = {0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}

• Zero é múltiplo de qualquer
número
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
x2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ... }
x3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ... }
x5 = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... }
Múltiplo, divisor e divisível????
• 16 é múltiplo de 4
• 16 é divisível por 4
• 4 é divisor de 16
Então múltiplo ≈ divisível

OS NÚMEROS NATURAIS:
Os números naturais se dividem em 4 grupos: O zero, o um, os números primos e os números compostos.
NÚMEROS PRIMOS
Um número é dito primo quando ele admite apenas dois divisores distintos. Um número primo só é
múltiplo de si mesmo e de 1.
O NÚMERO 1 (UM) NÃO É PRIMO!
ALGUNS PRIMOS: (saiba esses de cor...): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
NÚMEROS COMPOSTOS
São todos os números que são obtidos de produtos de primos, por exemplo: Pense no 20 ele é 2 x 2
x 5 ou seja produto de 3 números primos.
Observação: Todos os conceitos podem ser estendidos ao conjunto dos Números Inteiros:
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} e o zero e o um não são primos nem compostos.

MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O MMC é um número, basicamente o menor número que é múltiplo de dois ou mais números dados.
Para encontrá-lo usamos dois métodos o da fatoração (barrinha) ou pela visualização da fatoração dos
números dados. Uma observação importante sobre fatoração é que ela deve ser feita utilizando somente
números primos !
12 2
182, 49 2
91, 49 7
6 2
13, 7 7
3 3
13, 1 13
1 Fatoração:
1, 1 MMC:1274
2231



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

5

MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM
O MDC é um número, basicamente o maior número que divide dois ou mais números dados. Para
encontrá-lo usamos o mesmo método do MMC só que a procura de outra coisa.
Vamos ver um exemplo de como encontrar o MMC e MDC de dois números dados: 120 e 80 ...
Usando o MMC, observe - Qual o MDC entre 120 e 80?
120 , 80 2(♣)
60 , 40 2(♣)
30 , 20 2(♣)
15 , 10 2
15 , 5 3
5 , 5 5(♣)

Marque onde ambos os
números sofreram
modificação (♣), esses
fatores multiplicados
geram o MDC, no caso:
2 × 2 × 2 × 5 = 40.

Como calcular o MDC de 3 ou
mais números?
É igual porém devemos marcar
apenas os números aonde os três
sofreram modificação ao mesmo
tempo. e assim por diante.

1,1

QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
PASSOS:
1º Fatore o número
2º Escreva-o em potências
3º Some 1 a cada potência
4º Multiplique-as

50

2

25

5

5

5

1

//

2 × 5 × 5 = 2 × 52
(1+1)(2+1)
2×3 =6
6 divisores que são:
1, 2, 5, 10, 25, 50

Façamos agora com 25, 60, 500...
25 = 52 3(2+1) divisores que são: 1, 5 e 25.
60 = 21⋅ 31⋅ 51 2(1+1) 2(1+1) 2(1+1) = 2⋅2⋅2 = 8 divisores que são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 e 60.
3(2+1) 4 (3+1) = 3⋅4 = 12 divisores que são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250 e 500.
500 = 22 53
CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
Sabendo quantos são fica mais fácil - Exemplos: 6 , 30 e 1000
6 2
3 3
1 //
30 2
15 3
5 5
1 //

2×3
(1+1)(1+1)
2×2 =4
4 divisores que são: 1, 2, 3, 6

2×3×5
(1+1)(1+1)(1+1)
2×2 ×2 =8
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Ou ainda podemos pensar em casais (divisão): Se pensarmos no 12, sabemos que é múltiplo de 6 e de 2
isso porque se efetuarmos a divisão:
12 6
-12 2
0

quando o divisor ( 6 ) é fator o quociente também é, daí
voltando ao 30 temos 8 divisores que vem aos pares:
1 com 30 ; 2 com 15 ; 3 com 10 ; 5 com 6



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

6

Então para 1000:
1000 2
500 2
250 2
125 5
25 5
5 5
1 //

2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 23 × 5 3
(3+1)(3+1)
4 × 4 =16
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50,
100, 125, 200, 250, 500, 1000
Aos pares temos:
1/1000, 2/500, 4/250, 5/200,
8/125, 10/100, 20/ 50, 25/40

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI:
Dizemos que dois números são primos entre si quando o MDC entre eles é 1, ou seja, que o maior e
portanto único número que divide ambos é o 1. De um modo mais vulgar poderíamos dizer que olhando
para os fatores primos do números não veríamos nenhum fator comum.
Exemplo:
4 = 22 e 9 = 32 não há fatores comuns
30 = 2 × 3 × 5 e 49 = 72 não há fatores comuns
Detalhe importante: PRIMOS ≠ PRIMOS ENTRE SI
4 e 9 são primos entre si e não são primos.
2 e 9 são primos entre si e só o 2 é primo.
2 e 3 são primos entre si e ambos são primos.
Primos entre si , como já diz o nome é uma relação que se estabelece na presença de pelo menos
dois números.
ALGUMAS DICAS...
01. PAR & IMPAR - Alguns comentários...
Dizemos que um número é par se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8 e impar se terminar em 1, 3, 5, 7 ou 9.
De um modo geral dizemos que todo número par pode ser representado pela forma 2n (onde n ∈ Z)
este fato pode também ser entendido porque bem ou mal todos os pares são múltiplos de 2. E como os
pares e os impares são intercalados temos que os impares de uma forma geral são representados pela
expressão :
2n + 1 ou 2n – 1.
Também é bastante interessante pensarmos a respeito das operações feitas com esses números. O que
acontece se...
Agora cuidado com a divisão:
PAR + PAR = PAR
PAR ÷ IMPAR = PAR
PAR + IMPAR = IMPAR
IMPAR ÷ IMPAR = IMPAR
IMPAR + IMPAR = PAR
PAR × PAR = PAR
PAR ÷ PAR = PAR OU IMPAR!!!!
PAR × IMPAR = PAR
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
IMPAR × IMPAR = IMPAR
02. POTÊNCIAS PERFEITAS:
Γ QUADRADOS PERFEITOS: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Ou podemos pensar em 25 = 52 , 16 = 42 mas não é necessário que a potência seja 2, observe que 16 = 24
e por isso de um modo geral para que um número seja um quadrado perfeito é preciso que seus fatores
primos tomem sempre potências múltiplas de dois.
Dessa forma: 210 × 518 é quadrado perfeito
29 × 54 não é quadrado perfeito
e da mesma forma estendemos essa noção para outras potências...


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

7

Γ CUBOS PERFEITOS: 1, 8, 27, 64, ...
Podemos pensar em 8 = 23 , 27 = 33 mas não é necessário que a potência seja 3, observe que 64 = 46 e
por isso de um modo geral para que um número seja um cubo perfeito é preciso que seus fatores primos
tomem sempre potências múltiplas de três. E assim por diante...
Dessa forma: 23 × 518 é cubo perfeito
29 × 54 não é cubo perfeito
É bom saber de cor a lista dos primeiros quadrados perfeitos e também a lista dos primeiros cubos
perfeitos, esses são números que aparecem corriqueiramente em questões de raciocínio lógico. Bem
como as potências de 2 e de 3., Seguem as listas abaixo:

quadrado
cubo

quadrado

1
1
1

2
4
8

12
144

potências
base 2
base 3

13
169

0
1
1

1
2
3

3
9
27

4
16
64

14
196
2
4
9

5
25
125

15
225
3
8
27

6
36
216

16
256
4
16
81

7
49
343
17
289

5
32
243

8
64
512
18
324

6
64
729

9
81
729
19
361

7
128
x

10
100
1000
20
400

8
256
x

11
121
1331

25
625

9
512
x

30
900

10
1024
x

03. MMC X MDC = PRODUTO DE DOIS NOS:
1ª Pergunta: Qual o MMC entre 12 e 30?
2ª Pergunta: Qual o MDC entre 12 e 30 ?

60
6

30 , 12 2(♣)
15 , 6 2
MMC = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
15 , 3 3(♣)
MDC = 2 × 3 = 6
5,1 5
1 , 1 //
3ª Pergunta: Será que existe alguma relação possível de ser estabelecida entre o MMC, o MDC e os
números que os geraram?
A resposta é sim, vamos observar atentamente os números:
12 = 22 × 3
30 = 2 × 3 × 5
comum entre eles temos o 2 e o 3 (MDC)
O MMC = 60 = 2 × 2 × 3 × 5, se multiplicarmos 12 × 30 = 22 × 3 × 2 × 3 × 5. Se multiplicarmos MMC
× MDC = 2 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3
×

MMC
2

×

2
12

×

3

×

5

×

Sempre: o produto de dois números é igual ao
produto do MMC pelo MDC, formulando:


×

MDC
2

×

3

30

N1 × N2 = MMC × MDC


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

8

EXEMPLOS DE QUESTÕES ENVOLVENDO MULTIPLICIDADE:
01. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 33 para se obter um múltiplo de 12 ?
Veja 33 = 3 × 11 e 12 = 2² × 3. O que falta ao 33 para ter o 12 dentro dele é o 2² ou seja o 4, então o
número 33 × 4 é um múltiplo de 12.
02. Determinar todos os números compreendidos entre 200 e 600 que sejam divisíveis ao mesmo
tempo por 12, 33.
12 , 33 2
6 , 33 2
3 , 33 3
1 , 11 11
1 , 1 //
MMC = 132
O primeiro número que contém o 12 e o 33 dentro dele é o 132, todos os números que forem múltiplos
do 132 terão também o 12 e o 33 dentro de si. Construindo os múltiplos de 132
0, 132, 264, 396,
528, 660 ... Os que estão em negrito são a resposta da questão.
03. Três lâmpadas piscam cada uma com a sua freqüência. A primeira a cada 6 segundos, a segunda a
cada 8 segundos e a terceira a cada 9 segundos. Se essas lâmpadas inicialmente acenderam juntas,
pergunta-se depois de quanto tempo voltaram a piscar juntas novamente ?
Lâmpada 1
6s
Lâmpada 2
8s
Lâmpada 3
9s
Considere o momento 0 como o momento em que elas piscaram juntas.
Em que momentos a lâmpada A pisca:
Nos momentos 0, 6, 12, 18, 24, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 6.
Em que momentos a lâmpada B pisca:
Nos momentos 0, 8, 16, 24, 32, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 8
Em que momentos a lâmpada C pisca:
Nos momentos 0, 9, 18, 27, 36, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 9
Quando as três lâmpadas piscarão juntas? Quando o momento for múltiplo de 6, 8 e 9, ou seja o
primeiro dia que isso acontece é no dia que coincide com o MMC de 6, 8 e 9 ... Daí 72s. Sempre em
problemas desse tipo deve-se fazer o MMC dos números, não é necessário pensar sempre todo o
processo novamente. Só aplique o conhecimento.
Respondendo as perguntas temos:
a) 72 s
04. Que nº “n” transforma o produto 1620 × n num cubo perfeito ?
1620 = 2²34 5 para que se torne um cubo é preciso multiplicar por 2 3² 5² = 450
05. Qual é o produto de dois números, se o seu MDC é 8 e o seu MMC é 48? Simplesmente sabemos
que N1 × N2 = MMC × MDC, então:
Produto = 8 x 48 = 384
06. A gerente de uma loja de tecidos quer dividir três peças de fazenda em partes iguais e de maior
tamanho possível. Sabendo que as peças medem 75m, 90m e 150m, determine o número de partes em
que será dividida cada peça e o comprimento dessas partes.
O MDC entre 75, 90 e 150 é 15, ou seja esse é o maior nº que divide os três em respectivamente 5, 6 e
10 peças.



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

9

EXERCÍCIOS:
01. Consultando a tabela de divisibilidade de 2
até 11, os números abaixo são múltiplos de quem?
a) 778
b) 1128
c) 579
d) 663
e) 1320
f) 252
g) 23870
h) 156
i) 504
02. Qual o MMC entre :
a) 33 e 80
b) 12 e 64
c) 100 e 250
d) 96 e 150
03. Qual o MDC entre :
a) 240 e 780
b) 65 e 156
c) 126 e 147
d) 98 e 441
e) 426 e 213
f) 165 e 385
04. Quantos e quais são os divisores de:
a) 900
b) 160
c) 252
d) 308
e) 120
f) 60

12. O MMC de dois números é 11352 e o MDC é
6. Se um dos números é 264, qual é o outro?
13. Para a confecção de uma tela, dois rolos de
arame de 40m e 16m vão ser divididos em pedaços
de mesma medida e a maior possível, sem sobras.
Quantos pedaços serão obtidos em cada rolo?
14. O produto de dois números naturais é 875 e
o mdc entre eles é 5. Determine o mmc dos
números.
15. Numa certa República, o Presidente deve
permanecer em seu cargo durante 4 anos, os
Senadores, 6 anos e os Deputados, 3 anos. Se em
1929 houve eleições para os três cargos, em que
ano se realizarão novamente juntas as eleições
para esses cargos?
QUESTÕES DE CONCURSOS:

PERGUNTAS:
01. Qual o maior múltiplo de 18 menor que 300?
02. Calcular o número de divisores de 7000.
03. Qual o menor número pelo qual se deve
multiplicar 480 para se obter um múltiplo de 112?
04. Qual o menor número pelo qual se deve
multiplicar 56 para se obter um múltiplo de 88?
05. Determinar o MDC entre os números 132,
60 e 84.
06. Determinar os dois números menores
possíveis pelos quais devemos multiplicar os
números 24 e 36, a fim de obtermos produtos
iguais.
07.
Determinar
todos
os
números
compreendidos entre 1000 e 3000 que sejam
divisíveis ao mesmo tempo por 48, 60 e 72.
08. Três navios fazem viagens entre dois
portos. O primeiro cada 4 dias, o segundo cada 6
dias e o terceiro cada 9 dias. Tendo esses navios
partido juntos, depois de quantos dias voltaram a
sair juntos novamente do mesmo local?
09. Qual a diferença entre o MMC e o MDC dos
números 121 e 330?
10. Duas rodas de uma engrenagem têm
respectivamente, 14 e 21 dentes. Cada roda tem
um dente estragado. Se num dado instante estão
em contato os dois dentes quebrados, depois de
quantas voltas esse encontro se repetirá?
11. Dois ciclistas percorrem uma pista circular
no mesmo sentido. O primeiro percorre-a em 36
segundos e o segundo, em 30 segundos. Tendo
partido juntos, depois de quantos segundos se
encontrarão novamente no ponto de partida?

01. (FUVEST 96) Qual dos cinco números
relacionados abaixo, não é um divisor de 1015
a) 25
b) 50
c) 64
d) 75
e) 250
02. (UFRGS 92) João corre em uma pista
circular, dando uma volta completa a cada 36s.
Pedro corre em sentido oposto, e encontra João a
cada 12s. O tempo que Pedro leva para dar uma
volta completa é
a) 72s
b) 36s
c) 18s
d) 12s
e) 6s
03. (UFRGS 98) Se P é o produto de todos os
números primos menores que 1000, o dígito que
ocupa a casa das unidades de P é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 5
e) 9
04. (UFRGS 99) O algarismo das unidades de
(610 +1) é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 7
05. (UFRGS 00) Se n = 107 − 10 , então n não é
múltiplo de
a) 9
b) 10
c) 12 d) 15 e) 18
06. (FUVEST 00) Se x e y são dois nos inteiros,
estritamente positivos e consecutivos, qual dos
nos abaixo é necessariamente um inteiro ímpar?
a) 2x + 3y
b) 3x + 2y
c) xy + 1
d) 2xy + 2
e) x + y + 1
07. (FUVEST 05) O menor número natural que
devemos adicionar a 987 para que a soma seja o
quadrado de um número natural é:
a) 37 b) 36 c) 35 d) 34 e) 33


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

10

08. (FUVEST 91) No alto de uma torre de uma
emissora de televisão duas luzes “piscam” com
freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15
vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por
minuto. Se num certo instante as luzes piscam
simultaneamente, após quantos segundos elas
voltaram a piscar simultaneamente?
a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30
09. (FUVEST 95) O produto de dois números
inteiros positivos, que não são primos entre si, é
igual a 825. Então o mdc desses dois números é
a) 1
b) 3
c) 5
d) 11
e) 15
10. (UFRGS 01) O resto da divisão do produto
123456 × 654321 por 6 é:
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
11. (FUVEST 97) O menor número natural n,
diferente de zero, que torna o produto de 3888
por n um cubo perfeito é
a) 6
b) 12
c) 15
d) 18
e) 24
12. (FUVEST 01) Uma senhora tinha entre trinta
e quarenta ações de uma empresa para dividir
igualmente entre todos os seus netos. Num ano,
quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita,
deixaria uma ação sobrando. No ano seguinte,
nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente
entre os quatro netos o mesmo número de ações,
ela observou que sobra-riam 3 ações. Nesta
última situação, quantas ações receberá cada
neto?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
13. O menor nº natural, não nulo, que é divisível
por 400, 500 e 1250 é
a) 10² b) 10³ c) 5 ⋅ 103
d) 10 4
e) 105
14. (PUCRS 96) Se x e y são números inteiros
x
= 1 , então x + y necessariamente é
e
y
a) positivo
b) negativo
d) par e) menor do que 1

c) ímpar

15. (FCC – 2003) No almoxarifado de certa
empresa
havia
dois
tipos
de
canetas
esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com
tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de
empacotar todas essas canetas de modo que cada
pacote contenha apenas canetas com tinta de uma

mesma cor. Se todos os pacotes devem conter
igual número de canetas, a menor quantidade de
pacotes que ele poderá obter é
a) 8 b) 10
c)) 12 d) 14 e) 16
16. (FCC – 2003) O chefe de uma seção de certa
empresa dispunha de 60 ingressos para um
espetáculo, que pretendia dividir igualmente
entre seus funcionários. Como no dia da
distribuição
dos
ingressos
faltaram
3
funcionários, coube a cada um dos outros receber
1 ingresso a mais do que o previsto. O número de
ingressos entregues a cada funcionário presente
foi
a) 3
b) 4
c))5
d) 6
e) 7
17. (FCC – 2001) A tabela abaixo apresenta as
dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e
B2.
comprimento (m)
B1
B2

largura (m)

23,10
18

0,18
0,18

espessura
(mm)
1,5
1,5

Todo o papel das bobinas será cortado de modo
que, tanto o corte feito em B1 como em B2,
resulte em folhas retangulares, todas com a
mesma largura do papel. Nessas condições, o
menor número de folhas que se poderá obter é
c) 140 d) 142
e) 149
a) 135
b) 137
18. (FCC – 2001) Uma pessoa sabe que, para o
transporte de 720 caixas iguais, sua caminhonete
teria que fazer no mínimo X viagens, levando em
cada uma o mesmo número de caixas. Entretanto,
ela preferiu usar sua caminhonete duas vezes
mais e, assim, a cada viagem ela transportou 18
caixas a menos. Nessas condições, o valor de X é
a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e)30
Obs.: (questão original com problema, texto alterado para ter
solução)

19. (FCC – 2004) Sabe-se que um número inteiro
e positivo N é composto de três algarismos. Se o
produto de N por 9 termina à direita por 824, a
soma dos algarismos de N é
d) 16
e) 18
a) 11
b) 13
c) 14
20. (FCC – 2007) No esquema abaixo tem-se o
algoritmo da adição de dois números naturais, em
que alguns algarismos foram substituídos pelas
letras A, B, C, D e E.
A14B6
+10C8D
6E865

MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

11

Determinando-se corretamente o valor dessas
letras, então, A + B – C + D – E é igual a
a) 25
b) 19
c) 17
d) 10
e) 7
21. (FCC – 2007) Um técnico judiciário foi
incumbido da montagem de um manual referente
aos Princípios Fundamentais da Constituição
Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a
contra-capa, a numeração das páginas foi feita a
partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se
que foram usados 225 algarismos, o total de
páginas que foram numeradas é
a) 97
b) 99
c) 111
d) 117
e) 126

22. (FCC – 2008) O diagrama abaixo apresenta o
algoritmo da adição de dois números inteiros, no
qual alguns algarismos foram substituídos pelas
letras A, B, C, D e E.
7B25A
+DCB5
E8A86
Determinando-se corretamente esses algarismos,
verifica-se que
a) A + C = 2 . D
b) B + D = E
c) B – A = D
d) C = 2 . B
e) C – E = A

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
São todas as frações cujo numerador e denominador são números inteiros e o denominador não é zero.
NUMERADOR
DENOMINADOR

OPERANDO FRAÇÕES:
7 1 14+ 5 19
+ =
=
5 2
10 10

MMC

20 10 20 6
÷ = ⋅ = 2⋅ 2 = 4
3 6 3 10
INVERTE O SEGUNDO E
MULTIPLICA

5 2 10
EM LINHA
× =
7 3 21
20
3 = 20 ⋅ 6 = 2 ⋅ 2 = 4
10 3 10
6
INVERTE O DEBAIXO
E MULTIPLICA

Use sempre que possível o cancelamento !
126 25 21 5
5 15
⋅
=
⋅ = 3⋅ =
Um de cima com um debaixo...
35 12
7 2
2
2
126 e 12 dão por 2
63 e 6 ambos dão por 3
21 e 2
e 35 e 25 dão por 5
7 e 5 e ainda 21 dá por 7
3

Comparação: Qual dos números é o maior?
1
2
2
1
1
1
& ? O maior é
2º
& ? O maior é
9
9
9
8
6
6
9
8
& ?
3º
10
9
9
81 80
81
81
e compare que
este é o maior.
e
é o maior e então como
e equivalente a
Faça:
90
90
90
90
10

1º

1º Se os denominadores forem iguais a maior fração é aquela que tem MAIOR NUMERADOR.
2º Se os numeradores forem iguais a maior fração é aquela que tem MENOR DENOMINADOR.
3º Se tudo for diferente, a primeira coisa é IGUALAR OS DENOMINADORES e depois usar a 1ª regra.



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

12
EXERCÍCIOS :

01. Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:
3
1
6
4
1
+
x
−
=
b)
x 4 =
a)
2
3
5
7
7
1
20
3
2
3
2
9
5
+
−
+
x
x
x
=
d)
=
c) 2 x
6
9
4
3
4
5
4
2
3
1
3  5

1
9
f)  −  x 
+ =
x  + 2 =
e)
11  5
4
8   12

4
2 4 1
9
7 7
1
5
g) : + =
: =
h) −
i) : 6 +
=
3 5 2
5 10 5
2
12
3 
5 
1
 1 2 1
k)  +  :  +
j) :  1 −
=
=
7 
14 
 4 5   3 10 
2 3
3 1
x
+
 3 1  1 1
m)  −  :  +  =
n) 8 6 =
l) 3 7 =
1
1
5
4 2 3 6
+
2 14
12
4
1
3
4
1 3
1
6
p)
x  +
x =
+ −
+ =
o)
25
5
2
15 6 10 3
5
q)

20   1
6
3
r)  x
 x  + =
2
3  4
5


4
3 11 1
−
+
− =
5 10 5 6

NÚMEROS RACIONAIS COM VÍRGULA
Correndo vírgulas
113
113
= 11,3
= 1,13
100
10
113
= 0,113
1000
nº de zeros igual
ao nº de casas.

Subtraindo
13,2 – 6,96 =
É bom completar com zeros!
Vírgula embaixo de vírgula .
13,20
- 6,96
6,24


Somando
6,9 + 13,72 + 8,785 =
Montando vírgula
embaixo de vírgula
6,9
+ 13,72
8,785
29,405
Multiplicando
23,46 × 3,2 =
Multiplica normalmente e no
final conta as casas depois da
vírgula.
23,46
× 3,2
4692
70380
75072
75,072


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

13

EXERCÍCIOS:
1
= 0,01 ;
01. Lembrando que, por exemplo,
100
qual é a representação decimal das frações:
4
9
8
9
=
b)
= c)
=
d)
=
a)
10
1000
100
10
5
6
=
f)
=
e)
10000
100

02. Você deve escrever na forma decimal cada
uma das seguintes frações decimais:
76
76
76
376
=
b)
=
c)
= d)
=
a)
10
100
1000
10
376
376
376
=
f)
=
g)
=
e)
100
1000
10000
1265
3048
2107
= i)
=
j)
=
h)
10
100
1000
7
83
=
m)
=
l)
100
10
a)
b)
c)
d)
e)
f)

03. Calcule:
6,9 + 3,078 + 12,45 =
0,326 + 1,78 + 0,095 =
0,945 + 6 + 21,49 =
42,776 + 37,224 =
8,01 + 4,995 + 10,005 =
0,706 + 15 + 2,71 + 13,8 =

04. Calcule:
a) 13,1 – 9,86 =
c) 9,2 – 5,4207 =
d) 20 – 19,5983 =
f) 41,3 – 39,682 =

b) 27 – 15,083 =
e) 0,76 – 0,705 =

05. Calcule o valor das expressões abaixo:
a) 2 – 0,447 + 3,36 =
b) 30,8 + 22,36 – 10,904 =
c) 18,1 – (43 – 29,85) =
d) (10 – 3,6) + (1,41 – 0,98) =
e) 47 – (72,3 – 58,92) =
f) (51,7 + 8,36) – (16,125 + 7,88) =
06. Calcule:
a) 1,003 x 10 =
b) 2,015 x 100 =
c) 12,0092 x 1000 = d) 12,5 x 3,2 =
e) 4,23 x 3,1 =
f) 4,25 x 0,36 =
g) 18 x 0,54 =
h) 72,8 x 0,01 =
i) 32,5 x 0,041 =
j) 4,83 x 5 =
l) 4,83 x 0,5 =
m) (1,03)²=
n) (1,07)³=
o) (1,24)² =
p) (1,17)³=
q) (1,031)²=
r) (0,11)²=
s) (0,07)³ =


CONTAS DE DIVISÃO - ALGORITMO
DA DIVISÃO (NOME DAS PARTES):
DIVIDENDO

DIVISOR

M

QUOCIENTE

RESTO

Tenha sempre em mente, antes de fazer a
conta, mais ou menos o tamanho da
resposta !!!
Estimando:
4545 ÷ 15 = podemos pensar que certamente dará
mais de 100!
7 ÷ 4 = podemos pensar que é mais que 1 menos
que 2, e que não é um número exato.
4 ÷ 7 = podemos pensar que mais que 0,5 porque 4
passa da metade de 7.
45 ÷ 3,2 = podemos esquecer a vírgula e pensar
em 45 ÷ 3 = 15. Porém será menos que 15, porque
3 é menor que 3,2.
33,4 ÷ 0,22 = podemos dizer que esta conta
equivale a conta 334 ÷ 2,2 que se aproxima do
resultado de 300 ÷ 2 que é 150. Portanto a
resposta deve estar próxima a 150.
260,1 ÷ 260 = esta dará muito pouca coisa mais
que 1.
REGRAS PARA EFETUAR DIVISÕES:
1) Na primeira vez, baixe (indicando com um
apóstrofe) o suficiente para efetuar a divisão,
limitando-se a baixar o máximo que se tenha
originalmente no dividendo.
2) Responda e coloque o número no quociente, se
não der escreva zero.
3) A partir do segundo “baixar”, só poderá ser
baixado um número de cada vez. E
obrigatoriamente ele deverá ter sua resposta
posta no quociente E caso não dê ponha zero.
4) Siga assim até que terminem os números no
dividendo.
5) Quando o dividendo acabar, chame a vírgula.
6) Baixe o primeiro zero emprestado e responda!
7) Repita o procedimento até atingir o número de
casas desejado no resultado. (Lembre-se que para
cada zero baixado é obrigatória a colocação de
resposta no quociente)


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

14

FAZENDO AS CONTAS:
45’4’5’
-45

15
303

045
-45

7’

4

-4

1,75

30’
-28

0

20’
-20

4’0’

7

-35

0

0,57

50’

45,0

-49

3,2

45’0’

1

32

- 32

14,06

130
33,40

0,22

33’4’0’ 22
- 22

151,81

20’0’
- 192
8

-110
-22
180’

260,1

260,0

2601’
- 2600

-176
40’

1,0003

- 7800

- 22

2600

10’0’0’0’
2200

18
Atenção para as seguintes dificuldades:
▪ Zero no meio do número
▪ Chamando a virgula
▪ Acertando as casas
▪ Zero – Vírgula
Tipo 01
a) 2718 : 3 =
c) 9292 : 23 =
e) 4298 : 14 =
Tipo 02
a) 386 : 12 =
c) 847 : 66 =
e) 4123 : 903 =
g) 420 : 645 =
i) 333 : 4123 =

b) 43,74 : 34 =
d) 50 : 0,31 =
f) 10 : 31,7 =
b) 0,788 : 1,28 =
d) 3,52 : 2 =
f) 32,16 : 161,7 =
b) 603121,8 ÷ 60
d) 0,6 ÷ 23
f) 197,9 ÷ 9,86
h) 0,047 ÷ 230


-128

114

40

Tipo 03
a) 3,095 : 7 =
c) 5,03 : 6 =
e) 73 : 3,52 =
Tipo 04
a) 3,15 : 4,655 =
c) 31,7 : 15,357 =
e) 73 : 0,087 =
Avançados
a) 5604 ÷ 56
c) 1417,22 ÷ 14
e) 540,275 ÷ 5,4
g) 1071200 ÷ 52
i) 98300 ÷ 98,2

b) 64096 : 32 =
d) 7474 : 74 =
f) 221166 : 11 =
b) 645 : 42 =
d) 1052 : 333 =
f) 12 : 386 =
h) 668 : 847 =
j) 1 : 7=


23. (FCC – 2006) Ao dividir o número 762 por um
número inteiro de dois algarismos, Natanael
enganou-se e inverteu a ordem dos dois
algarismos. Assim, como resultado, obteve o
quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se
enganado e efetuasse corretamente a divisão, o
quociente e o resto que ele obteria seriam,
respectivamente, iguais a
a) 1 e 12
b) 8 e 11
c) 10 e 12
d) 11 e 15
e) 12 e 11
24. (FUVEST 03) Num bolão, sete amigos
ganharão vinte e um milhões, sessenta e três mil e
quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em
sete partes iguais. Logo, o que cada um recebeu,
em reais, foi:
a) 3.009.006,00
b) 3.009.006,50
c) 3.090.006,00
d)
3.090.006,50
e) 3.900.060,50
25. (UFRGS 02) Na promoção de venda de um
produto cujo custo unitário é de R$ 5,75 se lê:
“Leve 3 , pague 2”. Usando as condições da
promoção, a economia máxima que poderá ser
feita na compra de 188 itens deste produto é de
a) R$ 336,50 b) R$ 348,00 c) R$ 356,50
d) R$ 366,50 e) R$ 368,00
26. (FUVEST 95) Dividir um nº por 0,0125
equivale a multiplicá-lo por
1
1
a)
b)
c) 8
d) 12, 5
e) 80
125
8


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

15
REGRAS DE POTÊNCIA

01. EXPOENTE ZERO
Todo nº elevado a zero é igual a
um.

(− 3)

0

(2)

0

=1

=1

(3)1 = 3

0

 1
  =1
3

=8

2

(− 3)1 = −3

(2) (− 3 ) = +9
2

(3) − 32 = −9
↓
sem parênteses somente o nº é
elevado ao expoente.

(x )1 = x

(− 2)

3

07. EXPOENTE DE EXPOENTE
COM PARÊNTESES

06. EXPOENTE NEGATIVO
Deve-se inverter o nº.

1
2−1 =
2

= −8

05. EXPOENTE DE FRAÇÕES

9
 3
−  =
16
 4

2

1
 1
  =
2
2


04. EXPOENTE ÍMPAR
MANTÉM O SINAL!

(2)

(1) (+ 3 ) = +9

1

ATENÇÃO!! − 30 = −1

3

03. EXPOENTE PAR
TRÊS CASOS

02. EXPOENTE UM
Todo nº elevado a um,
é igual a ele mesmo.

 1
 
3

3

1
 1
−  = −
8
 2

−1

=3

3− 2
2
 
3

4

(+ 2) 2  = 28





1
=
9

−2

=

MULTIPLICA OS EXPOENTES

9
4

08. EXPOENTE DE EXPOENTE
SEM PARÊNTESES
4
22 = 216
DIVISÃO
Subtrai os expoentes

09. BASES IGUAIS
MULTIPLICAÇÃO
Soma os expoentes am .an = am +n

1000 = 10

POTÊNCIAS DE 10 (dez)
100 = 10 2
10= 101

3

0,1 = 10 −1

am ÷ an = am−n

0,01 = 10 −2

0,001 = 10 −3

1 = 10 0
0,0001 = 10 −4

QUANDO É MAIOR QUE 1
A potência é igual ao número de zeros
QUANDO É MENOR QUE 1
A potência é igual ao número de casas depois da vírgula (inclui o 1)

EXERCÍCIOS:
01. Calcule:
a) (+ 9 )2 =

b) (− 9 )2 =

c) (+ 9 )3 =

d) (− 9 )3 =

e) (+ 2)5 =

f) (− 2)5 =

g) (− 2)6 =

h) (+ 2)6 =

i) (− 1)10 =

j) (− 3 )4 =

l) (− 7 )3 =

m) (− 100 )0 =

n) (− 1)101 =

o) (− 25 )2 =

p) (+ 10 )6 =

q) (− 1)9 =

r) (− 1)200 =

s) (+ 30 )0 =

t) (+ 1)99 =

u) − 1100 =

02. Calcule o valor das expressões:
a) (− 9 )2 − (+ 5 ) ⋅ (+ 16 ) =

b) (− 2)4 ÷ (+ 16 ) ⋅ (− 1)7 =

c) (− 6 )2 − (− 7 )2 + 130 =

d) 52 − (− 3 )3 + (− 4 )2 =

e) 4 ⋅ (− 5 )3 + (− 20 )2 =

f) 112 − 4 ⋅ (− 5)2 + 100 =

g) 17 − 3 ⋅ (− 2)2 − (− 6 )2 ⋅ (− 1)7 =

h) 41 − 3 ⋅ (− 4 )2 + 60 − 20 ÷ (− 2)2 =

i) 7 ⋅ (− 2)2 − 5 ⋅ (− 2)3 − 102 =

j) (− 3 )3 − 5 ⋅ (− 2) + 2 ⋅ (− 3 )2 − 1 =

03. Calcule o valor das seguintes expressões:
2

3

 1
 1
a)   +   =
4

2

3


2

2

 1
2
b)   ÷   =
3

3

c)

3

3  1 
 1 
+  ÷  =
2  10 
 10 

4

2

0

 1
 1
3
d)   ÷   −   =
2
4


4


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

16

04. Vamos calcular:
a) 3−2 =

b) 10 −3 =

c) 2−6 =
−1

 2
h)  +  =
 5

f) (− 10 )−2 = g) (− 9 )−1 =
−5

e) (− 4 )−3 =

d) 8−2 =
 3
i)  − 
 4

−2

 3
j)  − 
 2

=

−3

=

−2

 1
 5
l)  −  = m)  +  =
 2
 4
05. Escreva na forma de potência com expoente inteiro negativo:
a) 0,01
b) 0,00001
c) 0,001

2.[0,02 − (0,1)2 ]
é:
100
b) 0,002 c) 0,02 d) 0,2 e) 2

27. O valor de
a) 0,0002

mn − n2
para
n

28. O valor numérico da expressão
m = 0,2 e n = -0,6 é:
2
2
4
b) −
c) −
a)
5
5
5

c) 0

− 22 − ( −2)2 + 30
( −4)

4
d)
5

5
e)
2

igualdade

30. Se n é um número inteiro positivo a expressão
( −1)n + ( −1)n +1 tem por valor numérico:
b) -1

37. O valor da expressão

−1

29. (UFRGS) O valor de n na
( −3)2 + 32
=n é :
30
a) 0
b) 1
c) 4
d) 12
e) 18

a) –2

0

3
  + 5−3
4
36. A expressão   − 2
equivale a
5.10 + 1
24
1
25
c) 24
d)
e)
a) 25
b)
25
25
24

d) 1

e) 2

Considerando
as
expressões
2 4 6 8 10
1 3 5 7 9
A = x .x .x .x .x
e B = x .x .x .x .x e fazendo x
= -1 em ambas, então A − B é igual a
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
31.

32. A representação decimal de (0,01)3 é :
a) 0,03
b) 0,001
c) 0,0001
d)
0,000001
e) 0,0000001

a) -

7
4

b) -4

c)

38. (PUC)
A
2 2
−2 2
2 .2 + 2.(3 ) + 180
82 / 3
b) 83

a) 164

7
4

d) 4

d) 45

39. A metade de 4 44 é
b) 222
c) 4 43
a) 422
0

1

2

3

x

por

é

é

igual

e) 287
na

expressão

100

x + x + x + x + ..... + x , a mesma equivale a
a) -100
b) -1
c) 0
d) 1
e) 100
41. (FUVEST 98) Qual desses números é igual a
0,064?
2

2

3

2

 1 
 1
2
 1 
 8 
a)   b)   c)   d) 
 e)  
 80 
8
5
 800 
 10 

3

33. (UCS) O valor de y = 4 × 105 × 5 × 10 −3 é:
a) 220 b) 202 c) 2 × 103 d) 20 × 10 −15 e) 2 × 10 4
34. A expressão
a) 2

b) -1

( −1)4 .( −1)5 − 3.( −1)7

c) 0

− 16.( −1)3 .19

d)1

vale:

e) 3
−2

2
35. O valor da expressão   + ( −2)− 3 é:
3
17
8
76
9
2
a)
b)
c)
d)
e)
8
9
76
3
17


a

e) 41

d) 244
-1

−1

e) 0

expressão

c) 82

40. Substituindo

 1
+ 
2


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

17

EQUAÇÕES DE 1º GRAU
SIGA AS REGRAS ESTUDADAS E APENAS ISOLE O X
01. No conjunto R, vamos resolver as seguintes equações do 1º grau com uma incógnita:
b) 17 x + 50 = 7 x
c) 9 x − 8 = 5 x + 20
a) 11x − 13 = 20
e) 5(x + 2) − 2(3 x − 1) = 13
f) t − [− t − (t − 1)] = 2 − t
d) 12x + 21 = 10 x + 16
2y 3 3 y
x
1
g) 3(x + 1) − 2(x − 1) = −(x + 5 )
− =
i) − x + 2 = 1 −
h)
5
4 20
2
3
2x − 1
x + 3 x −1 7
1 1+ x
−2= −
−
=
l)
j)
10
4
3
2
5
4
02. Resolva as equações:
x+4
=0
a) x − 4 −
3
4x 3 x − 3
− =
d)
3
2
3
t − 5 1 t 3t + 14
− = −
g)
2
3 3
12
4−a
4−a
j) a −
=4−
4
5

x−2 x−4
x−8
=
−4=x
c)
8
3
2
y+4
y
3 − x x +1 x
= 1+
f)
e) y −
=
−
2
6
8
4
3
2m − 5 m − 1 13m + 3
x + 1 6x + 1 3x + 1
h)
+
=
i)
+
=
8
2
4
5
12
3
4 x + 1 2 ⋅ (x + 1) 5 ⋅ (3 x + 2)
y 5 ⋅ (y − 3 ) y − 3 y
+
=
m) +
+
=
l)
3
3
4
3
12
4
2

b)

PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU

Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo equações do 1º grau.
ex 01. Somando 20 kg ao dobro da massa de Marli obtemos 136 kg. Qual é a massa de Marli?
Solução: Considere x a massa de Marli, montando temos:
2x + 20 = 136
2x = 136 – 20
2x = 116 = x = 58
ex 02. Na sucessão de números pares positivos: 2, 4, 6, 8, ... ache os números vizinhos de modo que
a soma deles seja 606.
Pense no primeiro número como x como o outro é o próximo par temos que ele será x + 2 e sabemos
que x + x + 2 = 606
2x + 2 = 606
2x = 604
x = 302
que o outro que é x + 2 = 304.
1
3
ex 03. Três irmãos receberam uma herança. O mais velho recebeu
da herança, o mais jovem
4
3
do resto, ficando $150.000 para o terceiro irmão. Qual o valor da herança?
x
2
2
Seja x toda a herança. Para o mais velho coube . Resta então x . Destes x , o mais jovem fica
3
3
3
3
3
2
x
(“de” = ●). O do meio ficou com $150.000. O que sabemos é que somando
com , ou seja de x =
4
4
3
2
x x
as três partes teremos a herança toda, ou seja x. Então: + + 150.000 = x
3 2
2x + 3 x + 900.000 6 x
=
x = 900.000. Herança igual a $900.000.
6
6
ex 04. Repartir 54 balas entre três meninos sendo que A recebe 8 balas a mais que B, e B recebe 5
balas a mais do que C. Quantas balas A recebe?
Começamos pelo último... C recebe x balas, então B recebe x + 5 e A, x + 5 + 8. Somando os três tem
que dar 54, então x + x + 5 + x + 5 + 8 = 54
3x = 36
x = 12. Então C recebe 12; B,17 e A, 25.



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

18

3
da quantidade de balas da
7
segunda caixa e a segunda caixa deve conter 11 balas a mais do que a terceira caixa. Quantas balas
devem ser colocadas em cada caixa?

ex 05. Vamos repartir 125 balas em 3 caixas. A primeira deve conter

Como a 1ª depende da 2ª e a 2ª depende da 3ª podemos concluir que todos depende da 3ª . Sendo
3
3
assim escreveremos x na 3ª. Na Segunda teremos x + 11 e na 1ª ( x + 11) . Sabemos que ( x + 11) + x +
7
7
3( x + 11) + 7( x + 11) + 7 x 125 ⋅ 7
=
3x + 33 + 7x + 77 + 7x = 875
17 x + 110 = 875
11 + x = 125
7
7
17 x = 875 – 110 = 765
x = 45
3
Voltando temos: 3ª : 45 2ª 45 + 11 = 56 e 3ª ⋅ 56 = 3 ⋅ 8 = 24
7
ex 06. (FCC – 2001) Cada um dos 784 funcionários de uma Repartição Pública presta serviço em um
único dos seguintes setores: administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3).
2
do número dos de (3). Se os funcionários
Sabe-se que o número de funcionários do setor (2) é igual a
5
3
do setor (1) são numericamente iguais a
do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a
8
quantidade de funcionários do setor
e) (3) é 380
a) (1) é 284
b) (2) é 150
c) (2) é 180
d)) (3) é 350
2
(2) depende de (3), tome que em (3) existem x pessoas, então em (2) existem de x. Já em (1) existem
5
3
2
de 784 que são 294 pessoas. Somando (1) + (2) + (3) = 784. Então: x + x + 294 = 784
7x = 2450
8
5
x = 350. Temos em (1) 294; em (2), 140 e em (3), 350. LETRA D
ex 07. (FCC – 2008) Observe o diagrama.

Usando a mesma idéia, é possível determinar os números do interior de cada um dos 4 círculos do
diagrama a seguir.

Desses quatro números, o
a) menor é 3.
b) menor é 4.
d) maior é 9.
e) maior é 12.

c) maior é 6.

MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

19

Por um lado, chamando de x o número embaixo à direita, podemos escrever que o próximo será x + 4, e
que o anterior é x + 1. Pelo diagrama podemos dizer que 2 · (x + 1) = x + 4 e resolvendo a equação
obtemos x = 2 e colocando os nos no diagrama temos: 2, 6, 9, 3.
PERGUNTAS:
01. Tirar 3 do triplo da idade de Marcelo é a mesma coisa que adicionar cinco a sua idade. Qual é a
idade de Marcelo?
02. A quinta parte de um número inteiro somada com 19 dá 82. Qual é o número?
03. Qual é o salário de Flávio se com a metade ele compra uma bicicleta por R$ 93,26 e ainda
restam R$ 17,61?
3
04. Em um determinado dia,
dos alunos da 5ª série A foram participar de uma gincana cultural,
5
1
dos alunos dessa série participava de uma olimpíada esportiva. Sabendo que 42 alunos da
enquanto
3
5ª série A participavam de um dos dois eventos, determine:
a) a fração dos alunos da 5ª série A que participaram dos eventos.
b) quantos alunos há na 5ª série A
c) a fração de alunos da 5ª série A não participam dos eventos.
4
1
de uma parede em um dia e
da mesma parede em um segundo dia, um pintor
05. Para pintar
9
6
gastou 11 litros de tinta. Nessas condições, calcule:
a) a fração da parede que ele pintou nesses dois dias.
b) quantos litros de tinta ele gastará para pintar a parede toda
c) quantas latas ele gastará para pintar a parede toda, se uma lata contém 6 litros de tinta.
2
06. Durante a disputa de um torneio de futebol, um quadro venceu
dos jogos que disputou e
3
1
dos jogos. Sabendo que o quadro não perdeu 14 dos jogos que disputou, calcule :
empatou
9
a) quantos jogos o quadro disputou nesse torneio.
b) quantos jogos o quadro venceu
c) quantos jogos o quadro empatou.
d) quantos jogos o quadro perdeu.
07. Uma pesquisa foi feita com um certo número de pessoas e constatou-se o seguinte:
1
•
das pessoas praticavam somente basquete
3
2
das pessoas praticavam somente voleibol
•
5
1
das pessoas praticavam somente futebol
•
10
• as 20 pessoas restantes não praticavam esportes
Nessas condições, determine:
a) a fração das pessoas pesquisadas que praticavam esportes
b) a fração das pessoas pesquisadas que não praticavam esportes
c) o total de pessoas pesquisadas
d) o número de pessoas pesquisadas que praticavam basquete
e) o número de pessoas pesquisadas que praticavam voleibol.
08. A idade de César é o quíntuplo da idade de Cleópatra e a soma das idades dos dois é 78 anos.
Quais são as idades?
09. Um tijolo pesa um quilo e meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio?


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

20

10. A soma de dois números impares e consecutivos é 404. Achar o produto dos dois números.
11. Cinco números consecutivos ímpares somam 105. O segundo número vale?
e) (40-2x)-20-x

42. (FGV) A soma de 3 números inteiros e
consecutivos é 60. Assinale a afirmação
verdadeira:
a) O quociente do maior pelo menor é 2.
b) O produto dos 3 números é 8000.
c) Não existem números nesta condição.
d) Faltam informações para achar os números.
e) O produto dos três números é 7980.
43. A solução da equação 5 x −
a)

3
7

b)

7
3

c) 3

x +1
= 10 é:
2

d) 7

e) 0

44. (UFMG) De um recipiente cheio de água
2
do seu conteúdo. Recolocando-se 30l
tiram-se
3
de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do
volume inicial. A capacidade do recipiente é:
a) 45l
b) 75l
c) 120l
d) 150l
e) 180l
45. (ULBRA) Um tanque de gasolina de um carro
tem capacidade para 50 litros. O marcador
de gasolina mostra que o combustível ocupa a
quarta parte do tanque. Se o litro de gasolina
custa
R$ 0,476, o motorista gastará para
completar o tanque:
a) R$ 5,93
b) R$ 6,50
c) R$ 16,00
d) R$ 17,85
e) R$ 23,75
46. (FUVEST) O dobro de um número mais a sua
terça parte, mais a sua quarta parte somam 31.
Determinando o número, teremos:
a) 24
b) 12
c) 10
d) 8
e) 31
47. O número que somado aos seus
é:
a) impar
d) primo

2
resulta 30
3

b) múltiplo de 9
c) divisor de 30
e) quadrado perfeito

48. (UFRGS) De um total de 40 questões
planejadas para uma prova, eliminaram-se 2x
delas e do resto, ainda tirou-- se a metade do
que havia sobrado. Qual a tradução algébrica do
número de questões que restaram?
a) (40-2x) - 20 +x
b) (40-2x)-20
x
d) (40-2x)-x
c) ( 40 − 2x ) −
2

49. (UFRGS 93) Com A cruzeiros compram-se
uma dúzia de laranjas e meia dúzia de limões. Com
B cruzeiros compram-se meia dúzia de laranjas e
uma dúzia de limões. A quantia , em cruzeiros,
para se comprar meia dúzia de laranjas e meia
dúzia de limões é
a) 3 ( A + B )
b) 2 ( A + B )
c) A + B
A + B
A + B
d)
e)
2
3
50. (UFRGS 97) Um grupo de estudantes
dedicado à confecção de produtos de artesanato
gasta R$ 15,00 em material, por unidade
produzida, e, além disso, tem um gasto fixo de R$
600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00.
Quantas unidades terão de vender para obterem
um lucro de 800,00?
a) 7
b) 10
c) 12
d) 15
e) 20
51. (UFRGS 97) Uma pessoa gasta
que tem e, em seguida

1
do dinheiro
4

2
do que lhe resta,
3
350,00. Quanto tinha

ficando
com
R$
inicialmente ?
a) R$ 400,00
b) R$ 700,00
c) R$ 1400,00
d) R$ 2100,00
e) R$ 2800,00

52. (FCC – 2001) No almoxarifado de certa
empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos
em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes
em cada prateleira correspondem a 4 números
pares sucessivos, então, dos números seguintes, o
que representa uma dessas quantidades é o
a) 8
b) 12 c)) 18 d) 22 e) 24
53. (FCC – 2008) Um lote de 9 000 disquetes foi
colocado em 4 caixas de tamanhos diferentes, de
forma que o número de disquetes colocados em
1
da quantidade
cada uma correspondia a
3
colocada na anterior. O número de disquetes
colocados na
a) primeira foi 4 075.
b) segunda foi 2 025.
c) terceira foi 850.
d) quarta foi 500.
e) quarta foi 255.


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

21

54. (FCC – 2008) Das 182 páginas de um
relatório, digitadas por Adilson, Benilson e
Cevilson, sabe-se que: o número das digitadas por
2
do número das
Adilson correspondia a
3
digitadas por Benilson; o número das digitadas por
11
das digitadas por Cevilson.
Benilson, a
12
Quantas páginas Cevilson digitou a mais do que
Benilson?
a) 28 b) 22 c) 12 d) 8
e) 6
55. (FCC – 2006) Certo dia, um técnico judiciário
foi incumbido de digitar um certo número de
páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em
45 minutos, adotando o seguinte procedimento:
– nos primeiros 15 minutos, digitou a metade
do total das páginas e mais meia página;
– nos 15 minutos seguintes, a metade do
número de páginas restantes e mais meia página;
– nos últimos 15 minutos, a metade do número
de páginas restantes e mais meia página.
Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o
total de páginas do texto era um número
compreendido entre
a) 5 e 8
b) 8 e 11
c) 11 e 14
d) 14 e 17
e) 17 e 20
56. (FCC – 2004) Hoje, dois técnicos judiciários,
Marilza e Ricardo, receberam 600 e 480
processos para arquivar, respectivamente. Se
Marilza arquivar 20 processos por dia e Ricardo
arquivar 12 por dia, a partir de quantos dias,
contados de hoje, Marilza terá menos processos
para arquivar do que Ricardo?
a) 12
b) 14
c))16
d) 18
e) 20
57. (FCC – 2007) De acordo com um relatório
estatístico de 2006, um setor de certa empresa
expediu em agosto um total de 1347 documentos.
Se a soma dos documentos expedidos em
setembro e outubro foi o triplo do de agosto e o
número dos expedidos em setembro ultrapassou o
de outubro em 853 unidades, a diferença entre a
quantidade de documentos expedidos em
setembro e a de agosto foi
a) 165
b) 247
c) 426
d) 427
e) 1 100


58. (FCC – 2007) Pelo controle de entrada e
saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal
Regional Federal, verificou-se em certa semana
que o número de visitantes na segunda-feira cor3
respondeu a do da terça-feira e este correspon4
2
do da quarta-feira. Na quinta-feira e na
deu a
3
sexta-feira houve igual número de visitantes, cada
um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se
nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total
de visitantes foi 750, o número de visitantes na
a) segunda-feira foi 120.
b) terça-feira foi 150.
c) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira.
d) quinta-feira foi igual ao da terça-feira.
e) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira.
59. (FCC – 2007) Certo dia, Veridiana saiu às
compras com uma certa quantia em dinheiro e foi
a apenas três lojas. Em cada loja ela gastou a
quarta parte da quantia que possuía na carteira e,
em seguida, usou R$ 5,00 para pagar o
estacionamento onde deixou seu carro. Se após
todas essas atividades ainda lhe restaram R$
49,00, a quantia que Veridiana tinha inicialmente
na carteira estava compreendida entre
a) R$ 20,00 e R$ 50,00.
b) R$ 50,00 e R$ 80,00.
c) R$ 80,00 e R$ 110,00.
d) R$ 110,00 e R$ 140,00.
e) R$ 140,00 e R$ 170,00.
60.(FCC – 2003)
Do total de processos
arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que:
3
1
foram arquivados numa primeira etapa e
8
4
numa segunda. Se os 9 processos restantes foram
arquivados numa terceira etapa, o total de
processos era
a) 18 b)) 24 c) 27 d) 30 e) 34


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

Exemplos:

Adição 01
2x + y = 5
01) 
8 x − y = 5

22
SISTEMAS DE 1º GRAU
Adição 02
2x − y = 3
02) 
3 x + 2y = 8

10x = 10
x=1
Voltando:
2.1+y=5
y=5–2=3
Solução: ( 1 , 3 )

Substituição 01
y = 3x + 2
03) 
2x − y = −4
2x – ( 3x + 2 ) = -4
2x – 3x – 2 = -4
-x = -2
x=2
y=3.2+2=8
Solução: ( 2 , 8 )

4 x − 2y = 6

3 x + 2y = 8

7x = 14
x=2
Voltando: 2 . 2 – y = 3
y = 4 – 3 = 1 Solução: ( 2 , 1 )
Usando qualquer um dos métodos, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas:
x + y x − y
=

x − 5y = 15
3 x + y = −2
x = 2y

3
05) 
06) 
07)  5
04) 
x
2x + y = 19
x + 2y = 6
2x − 5 y = 3
 =y+2
2

 x = −5 y
08) 
4x − y = −21

6 x − 3 y = 20
09) 
4 x + 3 y = 40

2x = 3 y
10) 
x + y = 50

7 x + 6 y = 23
12) 
5 x + 6 y = 21

x − 2y = −4
13) 
− x − 4 y = 10

x + y = 6
16) 
x = y + 2

x + 5 y = −24
17) 
3 x − 2y = −4

8 x + 5 y = 11
14) 
4 x + 5 y = 3
y
x
 = 10 +
18)  5
2
x − y = 29


2x − y = 12

11)  x y
3 + 2 = 6

2x − 3 y = 11
15) 
2x + 7 y = 1

PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DO 1º GRAU
O Objetivo nesse tipo de problema é que você traduza o texto da questão em um sistema, inventando
para isso duas letras diferentes, cada uma representando um dos dois objetos do problema.
Preferencialmente escolha letras que tenham relação com o problema, por exemplo se forem vacas e
galinhas escolha V e G e não x e y.
Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo sistemas do 1º grau.
EX 01. No fim de um dia de trabalho, o caixa de um banco consegue juntar 160 notas de R$ 10,00 e
de R$ 50,00, num total de R$ 6.240,00. Quantas notas há de cada espécie?
Considere D = nº de notas de R$ 10 e C = nº de notas de R$ 50
Sabemos que D + C = 160 e que 10D + 50C = 6240
− 10D − 10C = −1600
D + C = 160
Montando o sistema: 

10D + 50C = 6240
10D + 50C = 6240
40C = 4640
C =116
10D + 10 ( 116 ) = 1600
10D = 1600 – 1160 = 440
D = 44
ex 02. Quando trabalho ganho R$ 32,00 por dia. Quando falto pago multa de R$ 25,00. Em 45 dias
recebi um total de R$ 528,00, quantos dias eu faltei?
Considere T = dias trabalhados e F = dias com falta
Sabemos que T + F = 45 e que ganha 32T e perde 25F e que isso
32T – 25F = 528.
T + F = 45
Montando o sistema: 
32T − 25F = 528
Temos que F = 45 – T por substituição: 32T – 25( 45 – T ) = 528
57T = 1653
T = 29. Voltando temos que F = 45 – 29 = 16.

32T – 1125 + 25T = 528


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

23

ex 03. (FCC – 2003) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3
está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6800,00, qual é
a diferença positiva entre os salários dos dois?
a) R$ 200
b) R$ 250
c) R$ 300
d) R$ 350
e)) R$ 400
3 A + 2B = 6800


, sabemos que 4A = 3B, remontando o sistema temos:
Montando o sistema temos:  A 3
B = 4

3 A + 2B = 6800
12A + 8B = 27200
, para a adição transformamos em 

4 A − 3B = 0
− 12 A + 9B = 0

17 B = 27200

B = 1600 e A =

1200 (pela razão). A diferença entre os salários é de R$ 400,00. LETRA E

PERGUNTAS:
3
em que a soma dos seus termos é 152.
5
02. Em uma revendedora há x carros e y motos, num total de 22 veículos. Esses veículos apresentam
um total de 74 rodas. Determine quantos carros e quantas motos há nessa revendedora .
03. Em um jogo de basquete, a equipe A venceu a equipe B por uma diferença de 3 pontos. O número
41
x de pontos que a equipe A marcou é igual a
do número y de pontos que a equipe B marcou. Qual foi
40
o resultado dessa partida?
04. Um sorvete custa x reais e um doce custa y reais. A diferença entre o preço de um sorvete e o
preço de um doce é 4 reais. Karina tomou um sorvete e comprou dois doces, gastando ao todo R$ 52.
Qual é o preço do sorvete?
05. O preço de uma lapiseira é o triplo do preço de uma caneta esferográfica. Se as duas juntas
custam R$ 32,00, qual é o preço de cada uma?
06. Uma tábua com 2,85m de comprimento foi dividida em duas partes. O comprimento x da primeira parte tem 0,93m a mais que o comprimento y da segunda. Qual é o comprimento de cada parte?
07. Um livro tem 160 páginas e eu já li uma parte dele. O número x de páginas que já li do livro
5
do número y de páginas que falta para eu terminar de ler este livro. Quantas páginas
corresponde a
3
eu já li?
08. Um colégio tem 30 professores. O número x de professores que ensinam outras matérias é igual
a quatro vezes o número y de professores que ensinam Matemática. Quantos professores ensinam
Matemática nesse colégio ?
09. Um time de futebol marca em média, 2 gols para cada gol que toma. Neste campeonato, até
agora, o seu saldo de gols é 38. Quantos gols o time sofreu neste campeonato? Quantos marcou?
10. Vou repartir minha coleção de 520 moedas antigas entre meus dois primos: Fábio e Cristina.
1
Para Fábio eu vou dar
do que eu der para Cristina. Quantas moedas devo dar a cada primo?
25
11. Um número dividido por quatro dá um quociente exato que lhe é inferior em 48 unidades, qual é
o número?
12. Certos sacos precisam ser transportado, para isso, dispõem-se de jumentos. Se colocarmos dois
sacos em cada jumento, sobram treze sacos. Se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram três
jumentos. Quantos são os sacos e os jumentos?
13. Comprou-se vinho a R$ 4,85 o litro e chope a R$ 2,50 o litro. O número de litros de chope
ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de R$ 19,75 a mais do que a paga pelo chope. A
quantidade de litros de vinho e chope comprada foi ?

01. Determine uma fração equivalente a



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

24

61. Somando-se 13 ao numerador de uma fração
esta se torna igual a 1; somando-se 14 ao
denominador da fração dada, esta se torna igual a
1
. Então a diferença entre o denominador e o
2
numerador da fração dada é:
a) 12
b) 5
c) 7
d) 1
e) 13
62. (PUCRS) Uma escola tem 960 alunos e 30
turmas entre primeiro e segundo graus. Cada
turma do primeiro grau tem 30 alunos e, do
segundo grau , 40 alunos. Definindo como x o
número de turmas do primeiro grau e y o número
de turmas do segundo grau, o problema para
determinar o número de turmas de cada nível
pode ser resolvido pelo sistema:
x + y = 960
x + y = 30
x + y = 30
a) 
b) 
c) 
x + y = 70
10 xy = 960


70 xy = 960
x + y = 30
d) 
30 x + 40 y = 960

x + y = 960
e) 
30 x + 40 y = 30

63. (UFRGS 94) O denominador de uma fração
excede o numerador em 3 unidades. Adicionandose 11 unidades ao denominador , a fração torna-se
3
equivalente a . A fração original é
4
54
30
33
42
18
b)
c)
d)
e)
a)
57
33
36
45
21
64. (FUVEST 05) Um supermercado adquiriu
detergentes nos aromas limão e coco. A compra
foi entregue embalada em 10 caixas, com 24
frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa
continha 2 frascos de detergente a mais no aroma
limão do que no aroma coco, o número de frascos
entregue no aroma limão foi:
a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150

66. (FCC – 2003) Bento e Caio tinham, juntos, R$
96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a Caio e
restou-lhe a metade da quantia com que Caio
ficou. Originalmente, Bento tinha
a) R$ 58,00 b) R$ 56,00 c) R$ 54,00
d))R$ 52,00 e) R$ 50,00
67. (FCC – 2008) Certo ano, três técnicos em
segurança registraram um total de 1 080
ocorrências não rotineiras. Sabe-se que o
primeiro registrou 547 delas, enquanto que as
registradas pelos outros dois diferiam entre si de
53 unidades. Nessas condições, a maior
quantidade de ocorrências registradas por um
desses dois técnicos é um número
a) primo. b) par. c) divisível por 3.
d) múltiplo de 4. e) divisível por 5.
68. (FCC – 2008) A razão entre as idades de
5
. Se a soma dessas
dois técnicos é igual a
9
idades é igual a 70 anos, quantos anos o mais
jovem tem a menos do que o mais velho?
a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25
69. (FCC – 2001) O esquema abaixo mostra,
passo a passo, a seqüência de
operações a serem efetuadas a partir de um certo
número, a fim de obter o resultado final 10,4.

O número que deve ser considerado como ponto
de partida está compreendido entre
a) 1 000 e 1 050
b) 1 050 e 1 100
c) 1 100 e 1 150
d) 1 150 e 1 200
e) 1 250 e 1 300

65. (FUVEST 94) Um casal tem filhos e filhas.
Cada filho tem um número de irmão igual ao
número de irmãs. Cada filha tem o número de
irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é
o total de filhos e filhas do casal?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

25

RAZÃO E PROPORÇÃO
Chama-se RAZÃO entre a e b , o quociente entre a e b ou seja

a
.
b

Chama-se PROPORÇÃO a igualdade entre duas razões :

a c
=
b d
lê-se: a está para b assim como c está para d
PERGUNTAS:
01. Calcule a razão entre os números:
1
4
2
1
c)
e
d) 3 e 9 e) – 5 e f) –0,75 e 0,15
a) 28 e 14 b) 3 e
2
5
5
2
a
é igual a 0,6. Qual é maior a ou b? Quantas vezes é maior?
02. Sendo a e b números positivos e
b
03. A razão de um número x para um número y é 4. Qual é a razão de y para x ?
04. Uma foto de dimensões 3cm X 4cm foi ampliada passando o seu comprimento de 4cm para
28cm. Quanto passou a medir sua largura?
3
05. Qual razão é igual a , se a soma de seus termos é 2387?
8
3
, se a diferença dos termos for 448?
06. Qual razão é igual a
11
07. Em duas caixas d’águas há 6.600 litros de água. Determine as capacidades das caixas, sabendo
que as suas capacidades estão entre si, como três está para cinco.
13
de B. C é a metade de B. O total é 1232. Então A vale?
08.A é
17
DIVISÕES PROPORCIONAIS E REGRA DE SOCIEDADE
Nos diretamente proporcionais:
Observe as sucessões de nos:
• 2, 6, 10, 18
• 1, 3, 5, 9
Fator de proporcionalidade: 2
Então: duas seqüências numéricas
são diretamente proporcionais se
houver um único nº que
multiplicando ou dividindo leve de
uma para a outra.


Nos inversamente proporcionais:
Observe as sucessões de nos:
• 2, 3, 4, 6
• 12, 8, 6, 4
Observe:
2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 6 × 4 = 24
Fator de proporcionalidade : 24
Então: duas seqüências numéricas são
inversamente proporcionais se o produto dos nos em posições equivalente
for sempre um mesmo nº fixo.


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

26

Exemplo 1: Dada a sucessão com moldura, decida, quais das sucessões seguintes são diretamente
proporcionais a da moldura:
O cara é 2
S
N
a) 6, 8, 10, 12, 14

1º

2º

3, 4, 5, 6, 7

1, 2, 6, 10

b) 9, 12, 15, 18, 21
c) 7, 6, 5, 4, 3
1 1 1 1 1
d) , , , ,
3 4 5 6 7
e) –3, -4, -5, -6, -7
f) 3², 4², 5², 6², 7²

S

N

S

N

S

N

S

N

S

N

a) 1, 4, 36, 100
b) 0,1 ; 0,2 ; 0,6 ; 1
c) 5, 10, 30, 50

S

N

S

N

O cara é 10

S

N

O cara é 5

O cara é 3

O cara é -1

Exemplo 2: Dada a sucessão com moldura, decida quais das sucessões seguintes são inversamente
proporcionais a da moldura:
O cara é 60 – Valor fixo!
S
N
a) 60, 20, 12, 6

3º

4º

1, 3, 5, 10

2, 4, 7

b) 10, 5, 3, 1
c) 30, 10, 6, 3
1 1 1
d) 1, , ,
3 5 10
e) –1, -3, -5, -10
f) 1², 3², 5², 10²

S

N

S

N


S

N


S

N

S

N

a) –2, -4, -7
1 1 1
b) , ,
2 4 7
c) 0,2; 0,4; 0,7

S

N

S

N

S

N


Técnica para efetuar divisões proporcionais:
Exemplo 3. Divida 420 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 6 :
Quantas são as partes? 3 + 5 + 6 = 14
420
= 30
Tenho 420 para dividir entre elas
14
30 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós.
Construindo a proporção temos:
3
5
6
× 30
90
150
180
Fazendo a prova real temos: 90 + 150 + 180 = 420.
Exemplo 4. Divida 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 :
Dividir 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 é a mesma coisa que dividir 80 em partes
1 1
1
e
, daqui repetimos o raciocínio anterior. Quantas são as partes?
diretamente proporcionais a ,
2 5
10
1
1
1
5 + 2 +1 8
4
+
+
=
=
=
2
5
10
10
10 5
80
5
= 80 ⋅ = 100
4
4
5


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

27

1
1
1
2
5
10
× 100
50

20

10

Montando a tabela de inversamente proporcional (curiosidade):
2

5

10

50

20

10

= 100

Exemplo 5. Divida 3720 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 5 e ao mesmo tempo a 5, 2
e 1. A maior parte obtida é?
Crie a seqüência guia, que é o produto das seqüências apresentadas no enunciado
(4x5), (3x2) e
(5x1)
20, 6, 5
Quantas são as partes? 20 + 6 + 5 = 31
3720
= 120
31
20
6
5
× 120
2400
720
600
Exemplo 6. Divida 620 em partes diretamente proporcionais a 7, 3 e 2 e inversamente
proporcionais a 1, 5 e 3. A segunda parte é?
Crie a seqüência guia, que é o divisão da 1ª seqüência (DP) pela 2ª (IP) apresentadas no enunciado
3
2
e .
7,
5
3
3
2
124
+
=
Quantas são as partes? 7 +
5
3
15
620
15
= 620 ⋅
= 75
124
124
15
3
2
7
5
3
× 75
525

45

50

Exemplo 7. Sobre REGRA DE SOCIEDADE, é uma divisão proporcional onde o lucro ou prejuízo é
dividido de maneira diretamente proporcional aos capitais iniciais de investimento e ao tempo de
permanência na sociedade de cada uma das partes. Resolve-se do mesmo modo que o exemplo 5.
Problema: Três sócios tiveram de lucro $540.000. O 1º entrou na empresa com $6.000, por 3
meses; o 2º com $5.000 por 5 meses; o 3º $6.400 por 7 meses. Faça-se a distribuição dos lucros em
conformidade com o tempo e com as entradas.


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

28

Para resolver crie a seqüência guia: 18.000, 25.000, 44.800. Depois é só proceder como já
estudado. Resulta aproximadamente: $110.710, $153.760 e $275.530.
EXERCÍCIOS:
01. Divida:
a) 360 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11.
b) 63 em partes diretamente proporcionais a 9 e 12.
c) 1650 em partes diretamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7.
02. Precisamos repartir R$ 5.000,00 entre Marcelo (7 anos), Luciano (8 anos) e Alexandre (10
anos), de modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como devemos fazer a
divisão?
03. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$
30.000,00. Se ao fim de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber a cada um?
04. Divida:
a) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.
b) 295 em partes inversamente proporcionais a 5, 1 e 9.
05. Calcule x e y, sabendo que os números da sucessão 2, x, y são inversamente proporcionais aos
da sucessão 15, 6, 5.
06. Dividir 15.000 em três partes tais que a 1ª esteja para a 2ª assim como 2 está para 5; e a 2ª
esteja para a 3ª assim como 5 para 3.
07. Repartir 1420 entre três pessoas de forma que a parte da 1ª esteja para a 2ª assim como 4
4 16
está para 5; e a parte da 2ª esteja para a 3ª assim como 4 está para 7. (Dica: lembre que
=
e
5 20
4 20
=
)
7 35
08. Lucro de uma empresa foi $ 68.000. Tempos de cada sócio na empresa: 4, 8 e 5 meses. Qual o
lucro de cada um?
1 1
e 1.
09. Dividir 26390 em partes inversamente proporcionais a ,
5 7
10. Dividir 94000 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5.
11. Divida 372 em 5 partes, sendo cada uma, metade da anterior. A segunda parte vale?
12. (TRT) Três números são proporcionais a 3, 4 e 5. Determine o maior deles, sabendo que a
diferença entre o triplo do menor e o número médio é 60.
13. (TTN) Dividir o número 570 em, três partes tais que a primeira esteja para a segunda como 4
está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 para 12.
14. (TTN) Divida 305 em três partes de modo que a 1ª esteja para a 2ª como 2 está para 5 e a 2ª
esteja para a 3ª como 3 está para 8.
15. O latão é obtido fundindo-se 7 partes de cobra com 3 de zinco. Quantos gramas de cobre e de
zinco são necessários para produzir 150g de latão?
16. Três números são proporcionais a 5, 7 e 9. O dobro do último menos a soma dos dois primeiros
é 66. Qual o menor deles?
2 1 5
e .
17. Dividir 840 em partes proporcionais aos números ,
3 2
6
18. Divida uma herança em partes inversamente às idades; 20, 8 e 12 anos. Se a parte do mais novo
é $ 243.000, qual o do mais velho?
19. Três associados tendo formado uma empresa com o capital de $ 32.000, tiveram de lucro, ao
fim de certo tempo: um, $2.400; outro, $3.000 e o 3º $4.200, calcular a entrada de cada um.



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

29

70. (UFRGS 92) Uma estrada de 315 km foi
asfaltada por 3 equipes; A, B e C, cada uma delas
atuando, respectivamente, em um trecho
proporcional a 2, 3 e 4. O trecho da estrada que
coube à equipe C foi de
a) 70 km
b) 96 km
c) 105 km
d)
126 km
e) 140 km
71. (FCC-2004) Num dado momento, no
almoxarifado de certa empresa, havia dois tipos
de impressos: A e B. Após a retirada de 80
unidades de A, observou-se que o número de
impressos B estava para o de A na proporção de 9
para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidades
de B e a proporção passou a ser de 7 de B para
cada 5 de A. Inicialmente, o total de impressos
dos dois tipos era
b) 800
c) 840
d) 860
e) 920
a)) 780
72. (FCC-2007) Dos 343 funcionários de uma
Unidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se que
o número de homens está para o de mulheres
assim como 5 está para 2. Assim sendo, nessa
Unidade, a diferença entre o número de homens e
o de mulheres é
a) 245
b) 147
c) 125
d) 109
e) 98
73. (FCC-2007) Dois técnicos judiciários
deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir
esta quantidade em partes inversamente
proporcionais às suas respectivas idades. Se o
primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a
idade do segundo, em anos, é
a) 35
b) 33
c) 32
d) 31
e) 30


74. (FCC-2001) Dois funcionários de uma
Repartição Pública foram incumbidos de arquivar
164 processos e dividiram esse total na razão
direta de suas respectivas idades e inversa de
seus respectivos tempos de serviço público. Se um
deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e
o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço
público, então a diferença positiva entre os
números de processos que cada um arquivou é
a) 48
b) 50
c)) 52
d) 54
e) 56
75. (FCC-2008) Certa noite, dois técnicos em
segurança vistoriaram as 130 salas do edifício de
uma unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa
em partes inversamente proporcionais às suas
respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de
salas vistoriadas pelo mais jovem foi
a) 68 b) 66 c) 64 d) 62 e) 60
76. (FCC-2003) Dois funcionários receberam a
incumbência de catalogar 153 documentos e os
dividiram entre si, na razão inversa de suas
respectivas idades: 32 e 40 anos. O número de
documentos catalogados pelo mais jovem foi
c) 70 d) 68
e) 65
a) 87
b)) 85
77. (FCC-2001) No quadro abaixo, têm-se as
idades e os tempos de serviço de dois técnicos
judiciários do Tribunal Regional Federal de uma
certa circunscrição judiciária.
Idade
Tempo de Serviço
(em anos)
(em anos)
João
36
8
Maria
30
12
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as
laudas de um processo. Dividiram o total de laudas
entre si, na razão direta de suas idades e inversa
de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João
digitou 27 laudas, o total de laudas do processo
era
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

30
REGRAS DE TRÊS

Para resolver Regras de Três temos duas opções:
Decorar como se resolve cada caso (abaixo comentado) ou usar sempre o mesmo método que se chama:
Pontas e Bundas de setas. ...
Segue a regra:
1º Passo: Coloque uma seta apontado para o X (a dúvida)
2º Passo: Faça as perguntas e direcione as outras setas em função das respostas obtidas.
3º Passo: Aplique a fórmula:

BX ⋅ PS
x=
BS

Onde: BX = Bunda de x ;
PS = Ponta de seta &
BS = Bunda de setas

Regra de Três Simples:
Ana comprou 5m de uma fita por R$ 4,80. Quanto vai pagar por 25m da mesma fita?

Noção importante: Diretamente proporcional
m

R$

5

4,80

25

x

Pergunta: Se Ana comprar mais fita ela pagará mais ou menos? MAIS . + fita
4,80 ⋅ 25
= 24
2ª Solução (em X) : 5x = 4,80 25
1ª Solução (fórmula) : x =
5

+ R$
DP
4,80 ⋅ 25
x=
= 24
5

Regra de Três Inversa:
Abrindo completamente 4 torneira iguais, é possível encher um tanque com água em 72 minutos.
Se abrimos 6 torneiras iguais a essas, em quanto tempo vamos encher o tanque?

Noção importante: Inversamente proporcional
Torneiras
4
6

Tempo
72
x

Pergunta: Se abrirmos mais torneiras o tanque estará cheio em mais ou menos tempo? MENOS .
+ TORNEIRA
- TEMPO
IP
72 ⋅ 4
= 48
1ª Solução ( fórmula ) : x =
6
72 ⋅ 4
= 48
2ª Solução ( em LINHA ) : 6x = 72 4
x=
6



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

31

Regra de Três Composta:
ATENÇÃO: No caso da regra de três composta para fazer as perguntas é muito
importante pensar que o resto (o que fica fora da pergunta) deve ser considerado fixo!

Exemplo 1: Para alimentar 12 porcos durante 20 dias são necessários 400kg de farelo. Quantos porcos
podem ser alimentados com 600kg de farelo durante 24 dias?
Porcos

Dias

Farelo

12

20

400

x

24

600

1ª Pergunta: Considere farelo fixo, se tivermos que alimentar os porcos por mais dias,
alimentaremos mais ou menos porcos? MENOS
+ DIAS
- PORCOS
IP
2ª Pergunta: Considere dias fixos, se tivermos mais farelo alimentaremos mais ou menos porcos?
MAIS
+ FARELO
+ PORCOS
DP
12 ⋅ 20 ⋅ 600
= 15
1ª Solução (fórmula) : x =
24 ⋅ 400
REGRA DA 2ª SOLUÇÃO:
1º) Endireite todas as setas.
2º) Isole a fração do x e iguale ao produto de todas as outras.
x
20 600
12 ⋅ 20 ⋅ 600
2ª Solução :
=
⋅
x=
= 15
12 24 400
24 ⋅ 400
Exemplo 2: Se 4 operários, trabalhando 8 horas por dia, levantam um muro de 30m de comprimento em
10 dias, qual o comprimento do muro (com a mesma largura e altura que o anterior) que 6 operários
erguerão em 8 dias, trabalhando 9 horas por dia ?
Operários
4

Horas/dia
8

Comp.
30

Dias
10

6
9
x
8
1ª Pergunta: Considere horas/dia e dias fixos, se tiver mais operários construirão um muro maior
ou menor? MAIOR
+ OPERÁRIOS
+ MURO
DP
2ª Pergunta: Considere operários e dias fixos, se trabalharem mais horas todos os dias construirão
um muro maior ou menor? MAIOR
+ HORAS/DIA
+ MURO
DP
3ª Pergunta: Considere operários e horas/dia fixos, se trabalharem menos dias construirão um
muro maior ou menor? MENOR
- DIAS
- MURO
DP
30 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 8
1ª Solução ( fórmula ) : x =
= 40,50
4 ⋅ 8 ⋅ 10
x
6 9 8
30 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 8
= ⋅ ⋅
x=
= 40,50
2ª Solução :
30 4 8 10
4 ⋅ 8 ⋅ 10



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

32

Comentário sobre cálculos envolvendo tempo:
Muitas questões trazem de forma embutida questões envolvendo conversões de tempo: ano,
semestre, trimestre, bimestre, mês, quinzena, semana, dia, horas, minutos e segundos.
Devemos tomar cuidado pois há alguns tipos de pegadinha que são muito perigosas tipo: 1,4h NÃO
4
de 1 hora, ou seja,
SÃO 1 hora e 40 minutos. Na verdade 1,4h são 1 hora e 24 minutos, pois 0,4 são
10
4
de 60 minutos = 4 x 6 = 24 minutos. Enfim, problemas com o tempo, resolvemos usando regra de
10
três simples.
É importante saber que:
1 ano = 12 meses = 52 semanas = 365 dias (366, se bissexto)
1 mês (comercial) = 30 dias = 4 semanas
1 semana = 7 dias
1 dia = 24 horas = 1440 minutos
1 hora = 60 minutos = 3600 segundos
1 minuto = 60 segundos
Depois disso os segundos são repartidos em décimos, centésimos e milésimos.
Obs. 1: Um ano é bissexto se for múltiplo de 4 (veja regra), por exemplo: 1960, 1988, 1240, 936.
Fevereiro tem 28 dias em ano normal e 29 em anos bissextos. Têm 31 dias: Janeiro, Março, Maio, Julho,
Agosto, Outubro e Dezembro.
Obs. 2: De um ano para o outro os dias no calendário andam um dia dentro da semana, ou seja, se
03 de março de 2010 foi uma quarta-feira, dia 03 de março de 2011 será uma quinta-feira e por sua vez
03 de março de 2012 será um sábado (por culpa do ano bissexto).
Obs. 3: Como somar e subtrair horas…
a) 4h52min + 6h23min =
b) 5h23min – 2h55min =
Some normalmente: 10 horas 75 minutos
Transforme inicialmente 5horas e 23 minutos
Daí transforme 75 minutos em 1 hora e 15 em 4 horas e 83 minutos e depois efetue a
minutos. Então finalize dizendo 11 horas e 15 diferença: 2 horas e 28 minutos.
minutos.
(4-2)
(83–55)
EXERCÍCIOS:
Converta:
01. Um terço de ano em dias e horas.
02. 0,72 de mês em dias, horas e minutos.
03. 0,4 de semana em dias, horas e minutos.
04. 0,67 de hora em minutos e segundos.
Calcule:
05. São 15h e 45 minutos passadas mais 10h e 37 minutos que horas serão?
06. Um relógio parou de funcionar as 8h e 46 minutos, um outro relógio marca 17h e 12 minutos quando
o dono dos relógios percebe que um deles parou. Nesse instante, há quanto tempo o relógio está
parado?
PERGUNTAS:
01. Duas rodas dentadas que estão engrenadas uma na outra têm respectivamente, 12 e 54 dentes.
Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 8?
02. Num internato, 35 alunos gastam R$ 15,40 pelas refeições de 22 dias. Quanto gastariam 100 alunos
pelas refeições de 83 dias no mesmo internato?



MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

33

03. Uma adega de vinho abastece 35 homens por um mês, dando a cada um deles
os homens ficassem reduzidos a 20 e se cada um deles recebesse

3
de litro por dia. Se
5

3
de litro, quantos dias a adega
4

poderia abastecê-los?
04. Se 10 operários, trabalhando 8h por dia, levam 5,5 dias para levantar uma parede de 22m de
comprimento por 0,45m de espessura, em quanto tempo 16 operários, trabalhando 12h por dia levantam
outra parede de 18m de comprimento 0,30m de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira?
05. Num livro de 200 páginas há quarenta linhas em cada página. Se cada página tiver 50 linhas, o
número de páginas do livro será?
3
06. Usei 250 ladrilhos de 20cm X 60cm em
de uma sala. Quantos usarei de 40cm X 10cm, para
4
ladrilhar o resto ?
07. Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 85km. Quantos quilômetros percorrerá
com 45 litros de gasolina?
08. Vinte operários fazem um trabalho em 18 dias. Quantos operários seriam necessários para fazer o
mesmo serviço em 12 dias?
09. Em cada 100 alunos foram reprovados 25. Em uma classe de 48 alunos, qual foi o número de
reprovados?
10. Para equilibrar uma carga, colocam-se 25 objetos pesando 3kg cada um. Quantos objetos seriam
necessários colocar, se eles pesassem 5kg ?
11. Um operário recebeu R$ 3.400,00 por 40 dias de trabalho; quanto teria recebido se tivesse
trabalhado 11 dias a menos?
12. Uma torneira despeja 1200 litros de água em 8 horas. Quantos litros despejará se permanecer
aberta 3 horas somente?
13. Se 18 homens abrem um valo em 60 dias, quantos homens seriam necessários para abrir o mesmo
valo em 15 dias?
14. Em um forte isolado, 75 soldados têm víveres para 168 dias. Se receberem um reforço de 25
homens, para quantos dias darão os víveres, sem reduzir a ração diária?
15. Para alimentar uma família de 6 pessoas, durante 2 dias, são necessários 3 litros de leite. Para
alimentá-la durante 5 dias, estando ausente 2 pessoas, quantos litros de leite serão necessários?
16. Trabalhando 10 horas por dia, 6 operários fizeram em 12 dias, 200 metros de corda. Quantos dias
4 operários levarão para fazer 320 metros, trabalhando 12 horas diárias, se a dificuldade do primeiro
trabalho está para o segundo assim como 4 para 7?
17. Um automóvel percorre um certo trecho em 8h a velocidade de 60 km/h. Se sua velocidade fosse
90 km/h quanto tempo levaria para percorrer o mesmo trecho?
18. Doze torneiras enchem 240m³ de água em 12 horas. Quantas torneiras serão necessárias para
encher 170m³ em 34 horas?
19. Cinco operários realizam um trabalho em 72 dias. quantos dias levarão 8 operários se o trabalho for
3 vezes mais difícil?
20. Quatro operários fizeram 480 metros de um trabalho com um grau de dificuldade 1,2 em 24 dias.
Quantos operários deverão ser contratados a mais, para fazerem 720 metros do mesmo trabalho, em 6
dias a menos com um grau de dificuldade de 3?
21. Por estar mal fechada a torneira de um reservatório, perde-se 3 gotas de líquido por segundo. Qual
a quantidade de líquido perdida entre 7h e 45 min e 16h e 15 min, se 15 gotas desse líquido formam 1ml.
22. Um relógio adianta-se por dia 1min e 10 s. Qual a correção a fazer após 7 dias e 6 horas da última
realizada?
23. Qual a razão entre 3 horas e 45 minutos?
24. Qual a razão entre 5 minutos e 20 segundos e 10 minutos e 30 segundos?


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

34

78. (UFRGS 95) Um ciclista, pedalando a uma
velocidade constante v, percorreu 6km em 30min.
3
de v, percorreria essa
Se sua velocidade fosse
5
mesma distância em
a) 20min
b) 25min
c) 35min
d) 40min
e) 50min
79. (UFRGS 00) As rodas traseiras de um veiculo
têm 4,25 metros de circunferência cada uma.
Enquanto as rodas dianteiras dão 15 voltas, as
traseiras dão somente 12 voltas. A circunferência
de cada roda dianteira mede
a) 2,125 metros
b) 2,25 metros
c) 3,4 metros
d) 3,75 metros
e) 5 metros
80. (UFRGS 07) Em 2006, segundo notícias
veiculadas na imprensa, a dívida interna brasileira
superou um trilhão de reais. Em notas de R$
50,00, um trilhão de reais tem massa de 20.000
toneladas. Com base nessas informações, pode-se
afirmar corretamente que a quantidade de notas
de R$ 50,00 necessárias para pagar um carro de
R$ 24.000 tem massa, em quilogramas, de
a) 0,46 b) 0,48 c) 0,50
d) 0,52 e) 0,54
81. (FUVEST 99) Um nadador, disputando a prova
dos 400 metros, nado livre, completou os
primeiros 300 metros em 3 minutos e 51
segundos. Se este nadador mantiver a mesma
velocidade média nos últimos 100 metros,
completará a prova em
a) 4 minutos e 51 segundos
b) 5 minutos e 8 segundos
c) 5 minutos e 28 segundos
d) 5 minutos e 49 segundos
e) 6 minutos e 3 segundos.
82. (UFRGS 00) Considerando que um dia equivale
a 24 horas 1,8 dias equivalem a
a) 1 dia e 8 horas
b) 1 dia e 18 horas
c) 1 dia e 19 horas
d) 1 dia, 19 horas e 2 minutos
e) 1 dia, 19 horas e 12 minutos


83. (UFRGS 01) 0,3 semanas corresponde a
a) 2 dias e 1 hora
b) 2 dias , 2 horas e 4 minutos
c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos
d) 2 dias e 12 horas
e) 3 dias
3
84. (UFRGS 02) Os
de um dia correspondem a
50
a) 1 hora, 4 minutos e 4 segundos
b) 1 hora, 26 minutos e 4 segundos
c) 1 hora, 26 minutos e 24 segundos
d) 1 hora, 40 minutos e 4 segundos
e) 1 hora e 44 minutos
85. (UFRGS 04)
Durante os jogos PanAmericanos de Santo Domingo, os brasileiros
perderam o ouro para os cubanos por 37
centésimos de segundo nas provas de remo.
Dentre as alternativas, o valor mais próximo
desse tempo, medido em horas, é
a) 1,03 ⋅ 10 −4
b) 1,3 ⋅ 10 −4
c) 1,03 ⋅ 10 −3
d) 1,3 ⋅ 10 −3

e) 1,03 ⋅ 10 −2

86. (FCC – 2007) Em uma gráfica, foram
impressos 1200 panfletos referentes à direção
defensiva de veículos oficiais. Esse material foi
impresso por três máquinas de igual rendimento,
em 2 horas e meia de funcionamento. Para
imprimir 5000 desses panfletos, duas dessas
máquinas deveriam funcionar durante 15 horas,
(A) 10 minutos e 40 segundos.
(B) 24 minutos e 20 segundos.
(C) 37 minutos e 30 segundos.
(D) 42 minutos e 20 segundos.
(E) 58 minutos e 30 segundos.
87. (FCC – 2003) Um funcionário de uma
Repartição Pública iniciou seu trabalho às
7h50min, executando ininterruptamente três
tarefas que tiveram a seguinte duração: 1 hora e
3
de uma hora e 95 minutos. Nessas
15minutos,
5
condições, ele terminou a execução das três
tarefas às
a)) 11h16min. b) 11h12min. c) 10h48min.
d) 10h46min. e) 10h18min.


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

35

88. (FCC – 2007) Durante todo o mês de março
de 2007, o relógio de um técnico estava
adiantando 5 segundos por hora. Se ele só foi
acertado às 7h do dia 2 de março, então às 7h do
dia 5 de março ele marcava
a) 7h5min b) 7h6min c) 7h15min
d) 7h30min
e) 8h
89. (FCC – 2001) Certo dia, um técnico judiciário
trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50
minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu
11
do dia,
essa tarefa quando eram decorridos
16
então ele iniciou a digitação do texto às
b) 13h20min
c) 13h
a)) 13h40min
d) 12h20min
e) 12h10min

em 4 horas de trabalho ininterrupto. Nessas
condições, o esperado é que dois deles sejam
capazes de digitar 120 páginas de tal relatório se
trabalharem juntos durante
a) 4 horas e 10 minutos.
b) 4 horas e 20 minutos.
c) 4 horas e 30 minutos.
d) 4 horas e 45 minutos.
e) 5 horas.
91. (FCC – 2003) Suponha que quatro técnicos
judiciários sejam capazes de atender, em média,
54 pessoas por hora. Espera-se que seis técnicos,
com a mesma capacidade operacional dos
primeiros, sejam capazes de atender, por hora, a
quantas pessoas?
e) 85
a) 71
b) 75
c) 78
d)) 81

90. (FCC – 2008) Sabe-se que, juntos, três
funcionários de mesma capacidade operacional são
capazes de digitar as 160 páginas de um relatório
QUESTÕES DE TORNEIRAS :
Considere o seguinte problema:
Há duas torneiras que podem ser abertas para encher um tanque com água. Se abrirmos apenas a
primeira torneira, o tanque estará cheio após 10 minutos. A segunda torneira, sozinha, enche o tanque
em 15 minutos.
a) Qual das torneiras despeja mais água por minuto?
Primeira
b) Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanque Sim, porque a primeira sozinha
estará cheio em menos de 10 minutos. Certo ou errado?
consegue isso.
c) Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanque Não porque a primeira enche meio
estará cheio em exatamente 5 minutos. Certo ou errado?
tanque em 5 minutos, mas a outra
não o faz.
1
1
d) Que fração do tanque a primeira torneira enche em um
;
10 15
minuto? E a segunda?
1
1
1
e) Que fração do tanque as duas torneiras juntas enchem
+
=
10 15
6
em um minuto?
f) Em quanto tempo, exatamente, as duas torneiras juntas
enchem o tanque?
TÉCNICA PARA ESTA QUESTÃO:
Exemplos:
01. Uma torneira enche um tanque em 5h e outra
em 7h. Em quanto tempo o tanque estará cheio,
estando as duas torneiras abertas?
Primeiro calcule a fração do tanque cheia em 1h
1
do tanque em 1 hora; e a 2ª,
por torneira: 1ª)
5
1
1 1 12
. Depois somar as frações:
+ =
.
7
5 7 35
Traduzindo, acabamos de saber que juntas as

6 minutos.

12
do tanque a cada hora.
35
Enfim, agora falta só a regra de três:
35
?h =
=2,916666…h =
12
12
1h
2h + 0,916666 de h =
35
1
?h
2h + 0,916666 × 60 minutos =
2horas e 55 minutos

duas torneiras enchem

02. (UFRGS) Duas torneiras abertas ao mesmo
tempo enchem uma piscina em 6 horas.
Separadamente uma delas demora 5 horas a mais

MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

36

que a outra. Chamando de x o tempo em horas em
que enche a piscina de maior vazão tem-se :
1
1
=6
b) x + ( x + 5 ) = 6
a) +
x x+5
1 1
1  1 1 1
 1
d) +  +  =
c) +  + 5  =
x x
x x 5 6
 6
1
1
1
e) +
=
x x+5 6
Duas torneiras abertas ao mesmo tempo enchem
uma piscina em 6 horas, portanto em 1 hora, elas
1
da piscina. Sozinha, a torneira de
enchem
6
maior vazão enche a piscina em x horas, logo, em 1
1
da piscina e a torneira de menor
hora enche
x
vazão demora 5 horas a mais para encher a
1
da
piscina, assim, em 1 hora ela enche
x+5
piscina.
Montando
a
equação,
temos:
1
1
1
LETRA E
+
= .
x x+5 6
PERGUNTAS:
01. Uma torneira enche um reservatório em 2h
e outra o esvazia em 3h. Estando as duas
torneiras abertas, em quanto tempo o
reservatório estará cheio?
02. Uma torneira enche um tanque em três
horas; outra o vazaria em quatro horas. Abertas
as duas torneiras em quanto tempo ficaria o
tanque cheio ?
03. A primeira torneira enche um tanque em 3
horas; a segunda torneira enche em 4 horas e a
terceira enche em 5 horas. Abrindo-se as três
simultaneamente em quanto tempo o tanque ficará
cheio?
04. Duas torneiras podem encher um tanque
em 3 e 4 horas respectivamente e uma válvula
pode esvaziá-lo em 6 horas. Com as 3 abertas, em
5
quanto tempo ficam cheios
do tanque?
8
05. Duas pessoas fariam, juntas um trabalho
em 4 dias. Uma delas, sozinha, levaria 6 dias. Em
que tempo a outra faria o trabalho, só?
06. Um operário tinha executado 1/3 de um
trabalho em 6 dias, quando chega um segundo
operário para auxiliá-lo, e juntos concluem o
serviço com mais 4 dias de trabalho. Em quanto

tempo executaria o segundo sozinho todo o mesmo
serviço?
07. Um reservatório é alimentado por duas
torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e
a segunda em 12 horas. Conservando-se abertas as
duas torneiras, a primeira durante 24 minutos e a
segunda durante 20 minutos, que parte do
reservatório ficará cheia?
92. (UFRGS 91) (N3) Dois homens, trabalhando
juntos, podem fazer um trabalho em 20 dias. Se
trabalhassem sozinhos, um deles levaria 9 dias
mais do que o outro para fazer o mesmo trabalho.
Se o mais lento leva x dias para fazer o trabalho
sozinho, o valor de x é a solução da equação
1
1
+
= 20
a) x + ( x + 9 ) = 20
b)
x
x + 9
1
1
1

c)
+  + 9 =
x
20
x

1
1
1
1
1
1
+
=
e)
+
=
d)
x
x + 9
20
x
x − 9
20
93. (FCC – 2007) Às 10 horas do dia 18 de maio
de 2007, um tanque continha 9 050 litros de água.
Entretanto, um furo em sua base fez com que a
água escoasse em vazão constante e, então, às 18
horas do mesmo dia restavam apenas 8 850 litros
de água em seu interior. Considerando que o furo
não foi consertado e não foi colocada água dentro
do tanque, ele ficou totalmente vazio às
a) 11 horas de 02/06/2007.
b) 12 horas de 02/06/2007.
c) 12 horas de 03/06/2007.
d) 13 horas de 03/06/2007.
e) 13 horas de 04/06/2007.
94.
(FCC
–
2007)
Trabalhando
ininterruptamente, dois técnicos judiciários
arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se,
sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9
horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o
outro fosse capaz de realizá-la sozinho se
trabalhasse ininterruptamente por um período de
a) 6 horas.
b) 6 horas e 10 minutos.
c) 6 horas e 54 minutos.
d) 7 horas e 12 minutos.
e) 8 horas e meia.


MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
caren@caren.mat.br

37

95. (FCC – 2006) Operando ininterruptamente,
uma máquina é capaz de tirar X cópias de um
texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas
condições, outra copiadora executaria o mesmo
serviço em 4 horas. Se essas duas máquinas
operassem juntas, que fração das X cópias elas
tirariam após 2 horas de funcionamento
ininterrupto?
5
1
7
2
5
a)
b)
c)
d)
e)
12
2
12
3
6
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME – MRU
Vale a justificativa: Analisando as provas dos últimos
concursos, percebi várias questões envolvendo superficiais
conhecimentos de MRU, tudo dá para deduzir, mas para
facilitar a vida de vocês aqui registro algumas dicas para
resolução destes problemas.

As fórmulas mais comuns são:
d = v · t e p = p0 + v · t onde:
d = distância, v = velocidade, t = tempo e
p0 = posição inicial.
Unidades de velocidade são duas km/h ou m/s.
Para converter de km/h para m/s
Para converter de m/s para km/h

÷ por 3,6.
x por 3,6.

PERGUNTAS:
01. Numa viagem de trem um viajante consulta o
relógio no momento exato em que o trem passava
no marco 237. Eram 8h e 17min. Às 8h25min, o
trem passa no marco 249km. Calcular a velocidade
do trem em m/s e km/h.
02. Um automóvel percorre 507km em 10h e 5
min. Calcular a velocidade do automóvel em km/h e
m/s.
03. Um automóvel percorre 840.000 metros em
720 minutos. Sua velocidade média é em km/h
04. Dois trens partem no mesmo instante de duas
estações situadas a 400km uma da outra e se
dirigem em sentidos contrários. O primeiro tem a
velocidade de 50km/h e o segundo de 65km/h.
Qual a distância entre os dois no fim de 2 horas?
E no fim de 4h?


96. (UFRGS 96) O ônibus X parte da cidade A
com velocidade constante de 80km/h, à zero hora
de certo dia. Às 2 horas da madrugada, o ônibus Y
parte da mesma cidade, na mesma direção e
sentido do ônibus X, com velocidade constante de
100 km/h. O ônibus Y vai cruzar com o ônibus X,
pela manhã, às
a) 6 horas
b) 8 horas
c) 10 horas
d) 11 horas
e) 12 horas
97.(FCC – 2008) Em uma estrada, dois
automóveis percorreram a distância entre dois
pontos X e Y, ininterruptamente. Ambos saíram de
X, o primeiro às 10h e o segundo às 11h30min,
chegando juntos em Y às 14h. Se a velocidade
média do primeiro foi de 50 km/h, a velocidade
média do segundo foi de
a) 60 km/h
b) 70 km/h
c) 75 km/h
d) 80 km/h
e) 85 km/h
98. (FCC – 2006) Valfredo fez uma viagem de
automóvel, em que percorreu 380 km, sem ter
3
do
feito qualquer parada. Sabe-se que em
5
percurso o veículo rodou à velocidade média de 90
km/h e no restante do percurso, à velocidade
média de 120 km/h. Assim, se a viagem teve início
69
do dia, Valfredo
quando eram decorridos
144
chegou ao seu destino às
(A) 14h18min (B) 14h36min (C) 14h44min
(D) 15h18min (E) 15h36min


Matemática basica

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (11)

Ähnlich wie Matemática basica

Ähnlich wie Matemática basica (20)

Mehr von Marcelo Silva

Mehr von Marcelo Silva (16)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

Matemática basica