Ασκήσεις, παρατηρήσεις

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Πράξεις με πίνακες
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
2 Νοεμβρίου 2013

2. ΄Ασκηση
Το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω
τριγωνικός πίνακας.

3. ΄Ασκηση
Το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω
τριγωνικός πίνακας.
Λύση i > j,
ci,j = ai,1 b1,j + . . . ai,j bj,j + . . . + ai,i bi,j + . . . ai,n bn,j .

4. ΄Ασκηση
Περιγράψτε το γινόμενο (από δεξιά και από
αριστερά) ενός πίνακα Α με
1
τον ταυτοτικό πίνακα I

5. ΄Ασκηση
Περιγράψτε το γινόμενο (από δεξιά και από
αριστερά) ενός πίνακα Α με
1
τον ταυτοτικό πίνακα I ο ίδιος ο πίνακας

6. ΄Ασκηση
Περιγράψτε το γινόμενο (από δεξιά και από
αριστερά) ενός πίνακα Α με
1
τον ταυτοτικό πίνακα I ο ίδιος ο πίνακας
2
έναν διαγώνιο πίνακα D

7. ΄Ασκηση
Περιγράψτε το γινόμενο (από δεξιά και από
αριστερά) ενός πίνακα Α με
1
τον ταυτοτικό πίνακα I ο ίδιος ο πίνακας
2
έναν διαγώνιο πίνακα D η κάθε γραμμή (στήλη)
του A πολλαπλασιάζεται με το αντίστοιχο διαγώνιο
στοιχείο του D
3
με τον πίνακα P που προκύπτει από τον
ταυτοτικό I αν αντιμεταθέσουμε την i με την j
γραμμή του.

8. ΄Ασκηση
Περιγράψτε το γινόμενο (από δεξιά και από
αριστερά) ενός πίνακα Α με
1
τον ταυτοτικό πίνακα I ο ίδιος ο πίνακας
2
έναν διαγώνιο πίνακα D η κάθε γραμμή (στήλη)
του A πολλαπλασιάζεται με το αντίστοιχο διαγώνιο
στοιχείο του D
3
με τον πίνακα P που προκύπτει από τον
ταυτοτικό I αν αντιμεταθέσουμε την i με την j
γραμμή του. ο πίνακας που προκύπτει από τον A αν
αντιμεταθέσουμε την i με την j γραμμή (στήλη) του.

9. Παράδειγμα


1 2 3 4
5 6 7 8

A=
 9 10 11 12
13 14 15 16

10. Παράδειγμα

1
5
A=
9
13

2
0
D=
0
0

2 3 4
6 7 8

10 11 12
14 15 16

0 0 0
−1 0 0

0 3 0
0 0 1

11. Παράδειγμα

1
5
A=
9
13

2
0
D=
0
0

0
0
P =
0
1

2 3 4
6 7 8

10 11 12
14 15 16

0 0 0
−1 0 0

0 3 0
0 0 1

1 0 0
0 0 1

0 1 0
0 0 0

12. Ασκήσεις
Περιγράψτε το γινόμενο (απο δεξιά και απο
αριστερά) ενός πίνακα A με έναν πίνακα b k,l
τέτοιον ώστε

 1, i = j;
p, i = k , j = l;
bi,j =

0, ειδάλως.

13. Παράδειγμα

1
5
A=
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15

4
8

12
16

i = j;
 1,
ei,j =
−p, i = k , j = l; E 3,1 =

0,
ειδάλως.

14. Παράδειγμα

1
5
A=
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15

4
8

12
16


1
i = j;
 1,
 0
ei,j =
−p, i = k , j = l; E 3,1 = 
−p

0,
ειδάλως.
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0

0
1