2. Παραγοντοποίηση A = LU
Κάθε τετραγωνικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί
σε γινόμενο ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με
μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω τριγωνικού
πίνακα U.
Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής
κάτω απο την διαγώνιο
Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουν
μετά την απαλοιφή
9. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του
10. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
11. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
Θέτω y = Ux και έχω Ly = b
12. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
Θέτω y = Ux και έχω Ly = b
Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y
13. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
Θέτω y = Ux και έχω Ly = b
Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y
Λύνω το Ux = y για να υπολογίσω το x
23. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU
U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
24. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU
U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A
25. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU
U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A
⇒ E 2,1 (2)E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = A
26. Απόδειξη ΄Υπαρξης LU
U = E 3,2 (−(−1))E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,2 (−1)U = E 3,1 (−(−1))E 2,1 (−2)A
⇒ E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = E 2,1 (−2)A
⇒ E 2,1 (2)E 3,1 (−1)E 3,2 (−1)U = A
⇒ LU = A
29. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
−1
L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1
2
2
30. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
−1
L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1
2
2
Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
−1
⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος
2
31. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
−1
L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1
2
2
Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
−1
⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος
2
−1
⇒ L2 L1 = D ⇒ L1 = L2 D
32. Απόδειξη Μοναδικότητας LU
Θεώρημα
Η ανάλυση A = LU κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A είναι
μοναδική.
Απόδειξη.
−1
L1 U1 = L2 U2 ⇒ L−1 L1 U1 = U2 ⇒ L−1 L1 = U2 U1
2
2
Γινόμενο άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
Αντίστροφος άνω (ή κάτω) τριγωνικού είναι άνω (η κάτω)
τριγωνικός
−1
⇒ L−1 L1 = U2 U1 = D όπου D διαγώνιος
2
−1
⇒ L2 L1 = D ⇒ L1 = L2 D
−1
⇒ D = I ⇒ L−1 L1 = U2 U1 = I ⇒ U1 = U2
2