1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ: Αν Α είναι ένα υποσύνολο του ℝ τότε ονομάζουμε πραγματική
συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε
στοιχείο x∈Α αντιστοιχίζεται σε ένα μόνo πραγματικό αριθμό y. Το y
ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x)
Γράφουμε f : A→ℝ
x→ y= f (x)
Σχόλια:
1)Το x λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ το y λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.
2) Το πεδίο ορισμού το συμβολίζουμε με D f
3) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της
f σε όλα τα x∈A και συμβολίζεται με f(A) και είναι
f ( A)={ y∈ℝ/ y= f ( x)για κάποιo x∈A}
4) Αν f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και x1 , x2∈A τότε
α) αν x1=x2 τότε f (x1)= f (x2)
β) αν f (x1)≠ f (x2) τότε x1≠x2
Τα αντίστροφα όμως δεν ισχύουν πάντα, δηλαδή:
αν f (x1)= f (x2) τότε δε σημαίνει αναγκαστικά πως x1=x2 πχ f (x)=x
2
και αν x1≠x2 τότε δε σημαίνει αναγκαστικά πως f (x1)≠ f (x2) πχ f (x)=x
2
Σταθερή στο Α λέγεται μια συνάρτηση αν f(x)=c για κάθε x∈A
Μηδενική στο Α λέγεται μια συνάρτηση αν f(x)=0 για κάθε x∈A
(Αν η f δεν είναι μηδενική στο Α τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα
x0 ∈A με f ( x0)≠0. )
Ταυτοτική στο Α λέγεται μια συνάρτηση αν f(x)=x για κάθε x∈A

2. ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Συνάρτηση Περιορισμός Όνομα
f (x)=αν x
ν
+αν−1 x
ν−1
+...+α1 x+α0 Κανένας. Είναι D f =ℝ Πολυωνυμική
f (x)=
P(x)
Q (x)
P,Q πολυώνυμα Q( x)≠0 Ρητή
f (x)=ν
√P(x) ,ν∈ℕ−{0,1}
Ρ πολυώνυμο
P(x)≥0 Άρρητη
f (x)=ln( P( x)) Ρ πολυώνυμο P(x)>0 Λογαριθμική
f (x)=εφ(P(x)) Ρ πολυώ-
νυμο
P(x)≠κπ +
π
2
,κ∈ℤ
f (x)=σφ(P( x)) Ρ πολυώνυμο
P(x)≠κπ ,κ∈ℤ
f (x)=[ P(x)]
Q(x)
Ρ πολυώνυμο P(x)>0 Εκθετική
1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων
α) f (x)=
√16−x
2
|x−1|−2
β) g (x)=
ln(−x
2
+3 x+4)
2x
−8
γ) h(x)=
√(
1
3
)
x
−
1
9
ln(x+3)
δ) φ(x)=√π
2
−x
2
+εφ x ε) ω( x)=(|2 x+3|−5)√3−ln x

3. 2. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=
√x+a
x−3
για την οποία ισχύει f (33)=
1
5
. Να
βρείτε: α) το α β) το πεδίο ορισμού της γ) τις τιμές f (
13
4
) και f(f(6))
3. Δίνεται η συνάρτηση f (x)={x
2
+ax , −5≤x≤−2
∣x∣+ β , −2<x<6
για την οποία ισχύει
f (−4)=8και f (−1)=0 Να βρείτε:
α)το πεδίο ορισμού της f β) τα α και β γ) τις τιμές f (−2) και f(f(-3))
δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=3
Όταν έχω κλάδους και θέλω να
λύσω εξίσωση ή ανίσωση, δου-
λεύω σε καθε κλάδο ξεχωριστά
λαμβάνοντας πάντα υπόψη το
διάστημα του x στο οποίο δου-
λεύω!!!

4. 4. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=( x−1)ln x . Να βρείτε
α) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) τις ρίζες της συνάρτησης f και να κάνετε τον πίνακα προσήμου της.
ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ:
Σε κάποιες συναρτήσεις η εύρεση του συνολου τιμών είναι σχετικά εύκολο επειδή
ο τύπος της συνάρτησης είναι τέτοιος που μπορώ να βρω ποιες τιμές παίρνει το
f(x).
5. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων
α) f(x)=0 β) f(x)=1 γ) f(x)=5 δ) f(x)=c ε) f(x)=x
στ) f(x)=3x-5 ζ) f(x)=2x+1 η) f (x)=2 x+1, x∈(−2,5]
θ) f (x)=x
2
ι) f (x)=x
2
−4 ια) f (x)=1−2x
2
ιβ) f (x)=x
2
−4 x+5
ιγ) f (x)=3x
2
−2x−1 ιδ) f (x)=−x
2
+5 x−4
ιε) f (x)=−x
2
+5 x−4, x∈[0,5) ιστ) f (x)=−3 ημx ιζ) f (x)=συν 2 x−3
ιη) f (x)=∣x∣−1

6. Άλλος τρόπος εύρεσης του συνόλου τιμών μιας συνάρτησης είναι
1) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
2) Θεωρούμε την εξίσωση y=f(x) κ τη λύνουμε ως προς x θέτοντας όπου
χρειάζεται περιορισμούς για το y
3) Απαιτούμε η λύση x που βρήκαμε παραπάνω να ανήκει στο πεδίο ορισμού της
f
4) Συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το y και βρίσκου-
με έτσι το σύνολο τιμών της f
6. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=√4−√x−3 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
και το σύνολο τιμών της

7. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
7. Δίνεται η συνάρτηση f :ℝ→ℝ για την οποία ισχύει η σχέση
f (x−2)−2 f (4−x)=−x
2
+12 x−26 για κάθε x∈ℝ
α) Να δείξετε ότι f (x)−2 f (2−x)=−x
2
+8x−6 για κάθε x∈ℝ
β) Να βρείτε τον τύπο της f

8. 8. Δίνεται η συνάρτηση f :ℝ→ℝ για την οποία ισχύει
f (x−3)−2 f (1−x)=x
2
−2 x για κάθε x∈ℝ Να βρείτε τη συνάρτηση f.

9. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Cf ={M(a ,β)/ f (a)=β και a∈ A}
Σχόλια:
1)Το σημείο M (a, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(α)=β.
2) Για να είναι μια καμπύλη γραφική παράσταση συνάρτησης θα πρέπει κάθε
κατακόρυφη ευθεία να έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με την κaμπύλη.
9. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω καμπύλες είναι γραφικές παραστάσεις
συναρτήσεων
10. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Να βρείτε
α) το πεδίο ορισμού της f
β) το σύνολο τιμών της f
γ) τις τιμές f(3), f(5) και f(8)
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
0 1 2 5 8 9
1
3
4
7
x2 55 8

10. Σχόλια:
Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τότε η γραφική
παράσταση της συνάρτησης
• g(x)=f(x)+k είναι η κατακόρυφη μετατόπιση της C f κατά κ μονάδες προς
τα πάνω
• g(x)=f(x)-k είναι η κατακόρυφη μετατόπιση της C f κατά κ μονάδες προς
τα κάτω
• g(x)=f(x+k) είναι η οριζόντια μετατόπιση της C f κατά κ μονάδες προς τα
αριστερά
• g(x)=f(x-k) είναι η οριζόντια μετατόπιση της C f κατά κ μονάδες προς τα
δεξιά
Επίσης η γραφική παράσταση της
• g(x)= -f(x) είναι η συμμετρική της C f ως προς τον x'x
• g(x)= f(-x) είναι η συμμετρική της C f ως προς τον y'y
• g (x)=|f (x)| αποτελείται από τα τμήματα της C f που βρίσκονται πάνω
από τον x'x και από τα συμμετρικά τμήματα ως προς τον x'x της C f που
βρίσκονται κάτω από τον x'x. (δηλαδή κρατάμε όσα τμήματα είναι πάνω
από τον x'x και όσα ειναι από κάτω παίρνω τα συμμετρικά τους από πάνω)
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y=f(x)+k
y=f(x)-k
y=f(x+k) y=f(x-k)
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)y=-f(x)
y=f(-x)
y=f(x) y=f(x)

11. 11. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων
α) f (x)=x
2
, g (x)=x
2
+2, h( x)=x
2
−3
β) f (x)=ln x , g(x)=ln(x−2), h( x)=ln(x+3)
12. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
α) f (x)=−e
x
β) f (x)=e
−x
γ) f (x)=−ln x
δ) f (x)=ln(−x) ε) f (x)=|ln x|
α) β) γ)
δ) ε)
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y

12. 13. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις
α) f (x)=ln( x+1)+1 β) f (x)=
x+1
x−1
Σχόλια: Έστω f μια συνάρτηση.
1) Ένα σημείο (α,β) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f αν και
μόνο αν ισχύει f(α)=β.
2) Σημεία τομής της C f με τους άξονες
• Για να βρούμε το σημείο τομής της C f με τον x'x θέτουμε f(x)=0 και
λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει. Αν ρ είναι ρίζα της εξίσωσης αυτής
τότε το σημείο (ρ,0) είναι σημείο τομής της C f με τον x'x.
• Για να βρούμε το σημείο τομής της C f με τον y'y θέτουμε x=0 αν το 0
είναι στο πεδίο ορισμού της f και βρίσκουμε το f(0).Το σημείο (0,f(0))
είναι σημείο τομής της C f με τον y'y.
3) Σχετική θέση γραφικής παράστασης C f με τον άξονα x'x
• Η C f βρίσκεται πάνω από τον x'x για τα x του D f που είναι λύσεις της
ανίσωσης f(x)>0
• Η C f βρίσκεται κάτω από τον x'x για τα x του D f που είναι λύσεις της
ανίσωσης f(x)<0
4) Σημεία τομής και σχετική θέση δύο γραφικών παραστάσεων C f και Cg
• Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων C f και Cg έχουν
συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος {y= f ( x)
y=g( x)
• Η C f βρίσκεται πάνω από τη Cg για τα x του D f ∩Dg που είναι
λύσεις της ανίσωσης f(x)>g(x)
• Η C f βρίσκεται κάτω από τη Cg για τα x του D f ∩Dg που είναι
λύσεις της ανίσωσης f(x)<g(x)
x
y
x
y

13. 14. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=
ln(x+3)+a
√7−x
όπου α∈ℝ
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(-2,4) να βρείτε
τον αριθμό α.
15. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=
x
3
−3 x
2
−4 x+12
√x+1
Να βρείτε τα σημεία
τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες.
16. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=
x
2
+α
|x−1|+2
, a∈ℝ . Η γραφική παράσταση της
f τέμνει τον άξονα y'y στο -3. Να βρείτε
α) το πεδίο ορισμού της f
β) τον αριθμό α
γ) τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα x'x.

14. 17. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x)=x
2
−3 x ,g(x)=2|x|−3x και h(x)=x+5.
Να βρείτε:
α) τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g
β) τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της h.
18. Δίνεται η συνάρτηση f (x)={
−x2
, −2<x<0
x , 0≤ x≤1
1
x
, x>1
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης
της f να βρείτε το σύνολο τιμών της f
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
x
y

15. 19. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f
β) Να βρείτε τις τιμές f(-2), f(0), f(f(-1))
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-2
ε) Να λύσετε την ανίσωση f(x)<3
στ) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων
της εξίσωσης f(x)=α για τις διάφορες
τιμές του α∈ℝ
Οι λύσεις της f(x)=α είναι οι τε-
τμημένες των σημείων τομής της
C f με την ευθεία y=α
20. Έστω η συνάρτηση f (x)=x
2
−2 και η ευθεία ε: y=αx+ β
α) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες
β) Αν οι C f και ε τέμνονται πάνω στην ευθεία η: x=1 και η ε διέρχεται από το
σημείο Β(-1,3) να βρείτε τα α, β.
-5 -3 2 4 7 8 10
-3
5
x
y

16. Σχόλιο: Αν έχουμε δύο συναρτήσεις f , g : Α→ℝ και θέλουμε
• να δείξουμε πως ∀ x∈A ισχύει f (x)=g( x)ή f (x)< g(x)ή f ( x)≥g(x)
• να λύσουμε στο Α την εξί(ανί)σωση f (x)=g( x)ή f (x)< g(x)ή f ( x)≥g(x)
• να βρούμε τα κοινά σημεία ή τη σχετική θέση των C f ,Cg
τότε θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x) με x∈A και τα προηγούμενα
ανάγονται στη σχέση της h(x) με το μηδέν ή της Ch με τον άξονα x'x.
21. Έστω οι συναρτήσεις f , g :ℝ→ℝ για τις οποίες ισχύει f (x)=g( x)+x
2
−4 για
κάθε x∈ℝ Να βρείτε τη σχετική θέση των C f και C g
22. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=√x
2
+1
α) Να παραστήσετε τη γραφική παράσταση της f
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( x)=ln(√x
2
+1− x) με τη
βοήθεια της C f και μετά να το επιβεβαιώσετε αλγεβρικά.

17. ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ: Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν έχουν το
ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε x∈A ισχύει f(x)=g(x).
Σχόλιο: Αν δύο συναρτήσεις δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού τότε δεν είναι ίσες.
Σε αυτή την περίπτωση βρίσκουμε την τομή των πεδίων ορισμού Α=D f ∩Dg
και εξετάζουμε αν ισχύει f(x)=g(x) για κάθε x∈A
23. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g
α) Να εξετάσετε αν οι f και g είναι ίσες
β) Αν f ≠g να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του ℝ στο οποίο ισχύει
f(x)=g(x) σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις
i) f (x)=
x
2
+2|x|
x
2
−4
και g( x)=
|x|
|x|−2
ii) f (x)=ln x
2
και g( x)=2ln x
iii) f (x)=√x−2⋅√x+4 και g( x)=√x
2
+2 x−8

18. ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ: Αν f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β
αντίστοιχα, τότε
• το άθροισμα των f και g έχει τύπο (f+g)(x)=f(x)+g(x)
• η διαφορά των f και g έχει τύπο (f-g)(x)=f(x)-g(x) f και g
• το γινόμενο των f και g έχει τύπο ( f⋅g)(x)= f (x)⋅g (x)
• το πηλίκο των f και g έχει τύπο (
f
g
)( x)=
f (x)
g (x)
• η δύναμη της συνάρτησης f έχει τύπο ( f
ν
)(x)= f
ν
(x)=( f ( x))
ν
όπου
ν∈ℕ−{0}
Το πεδίο ορισμού των f +g , f −g , f⋅g είναι το A∩B
Το πεδίο ορισμού του πηλίκου
f
g
είναι το {x / x∈ A∩Bκαι g(x)≠0}
Το πεδίο ορισμού της δύναμης της συνάρτησης f είναι το Α
Σχόλιο: Αν f, g δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το Α τότε
1) Αν ισχύει f (x)⋅g(x)≠0 ,∀ x∈ A τότε ισχύει f (x)≠0 ,∀ x∈A και
g(x)≠0,∀ x∈A
2) Αν όμως ισχύει f (x)⋅g(x)=0 ,∀ x∈ A τότε αυτό δε σημαίνει πως ισχύει
f (x)=0 ,∀ x∈A ή g(x)=0,∀ x∈A δηλ μπορεί το γινόμενο δύο συναρτήσεων να
είναι η μηδενική συνάρτηση, αλλά δεν είναι απαραίτητα μία από τις δύο ή και οι
δύο η μηδενική συνάρτηση!!! πχ για f (x)={1 x<0
0 x≥0
και g( x)={0 x<0
1 x≥0
ισχύει f (x)⋅g(x)=0 ,∀ x∈ A όμως δεν ισχύει f (x)=0 ,∀ x∈ℝ ή g(x)=0,∀ x∈ℝ
3) Αν x0∈ A τότε ισχύει f (x0)⋅g( x0)=0⇔ f ( x0)=0ή g( x0)=0
4) Αν f
ν
(x)=0⇔ f (x)=0 , x∈A
24.Έστω οι συναρτήσεις f (x)=√e
x
−1 , g(x)=
x−1
x−2
και h( x)={1, x≥2
−1, x<2
Να
βρείτε τις συναρτήσεις
α) f+g β) f
g
γ) g+h

19. 25. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x)=
ln(x+3)
√4−x
, g(x)=
ln(x−1)
√4−x
. Να ορίσετε τις
συναρτήσεις f +g, f −g,f⋅g ,
f
g
.
26. Να ορίσετε τη συνάρτηση f +g όταν f (x)={x−3, −1≤x≤1
5−3x , 1<x≤3
2 x+1, x>3
και
g(x)={x+2, 0≤x≤2
4−x , 3≤x≤5

20. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ: Αν f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και
Β αντίστοιχα, ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g και τη συμβολίζουμε τότε
g∘ f τη συνάρτηση με τύπο (g ∘ f )( x)=g ( f (x)).
Το πεδίο ορισμού της g∘ f αποτελείται από όλα τα στοιχεία x της συνάρτησης f
για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο
A1={x∈ A∣f (x)∈B}. Είναι φανερό ότι η g∘ f ορίζεται αν A1≠∅ δηλαδή αν
f (A)∩B≠∅
g∘ f
A1
Σχόλια:
1) Αν Β=ℝ τότε Dg∘f =A
2) Οι συναρτήσεις g∘ f και f ∘g αν ορίζονται δεν είναι υποχρεωτικά ίσες!
3) Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h∘( g∘ f ) τότε ορίζεται και η
συνάρτηση (h∘g)∘ f και μάλιστα ισχύει h∘( g∘ f )=(h∘g)∘ f (προσεταιριστική
ιδιότητα) Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g, h και τη συμβολίζουμε με
h∘g ∘ f
27. α) Έστω οι συναρτήσεις f (x)=ln(x−1) και g (x)=√−x Να βρείτε τις
συναρτήσεις f ∘g , g∘ f και f ∘ f
β) Έστω οι συναρτήσεις f (x)=e
x
−x και g(x)=3
x
x−2
Να βρείτε τις
συναρτήσεις f ∘g και g∘ g
γ) Έστω οι συναρτήσεις f (x)=√25−x
2
και g(x)=√x−3 Να βρείτε τις
συναρτήσεις f ∘g , g∘ f και f ∘ f
δ) Έστω οι συναρτήσεις f (x)={x−3, 0<x<3
4−x, 3≤x<6
και g(x)={x−2, 1≤x≤4
5−x , 4< x<8
Να βρείτε τη συνάρτηση f ∘g .
A
f(A) B
f(x)
x
g(f(x))
g(B)f g

22. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1) Αν θέλω να βρω τον τύπο μιας συνάρτησης f με Df =Α για την οποία ισχύει
μια ισότητα που περιέχει δυνάμεις της f(x) τότε μετασχηματίζουμε την ισότητα σε
μία σχέση της μορφής (f (x)−g( x))ν
=0 όπου η g είναι μια γνωστή συνάρτηση
και έχουμε ισοδύναμα για κάθε x∈ A
f (x)−g(x)=0⇔f (x)=g(x)
2) Αν θέλουμε να βρούμε δύο τύπους συναρτήσεων f, g με Df =Dg=A , αρκεί να
έχουμε α) ένα σύστημα με αγνώστους f(x), g(x) ή
β) μία σχέση της μορφής (f (x)−h1(x))
2
+(g(x)−h2(x))
2
=0 όπου h1 ,h2
γνωστές συναρτήσεις οπότε θα είναι f (x)=h1( x)και g(x)=h2(x).
3) Ευρεση τύπου συνάρτησης και σύνθεση συναρτήσεων: Αν γνωρίζουμε τη
σύνθεση ( f ∘g)( x) και
• τη g(x) τότε για να βρούμε την f(x) θέτουμε g(x)=u και λύνω τη σχέση
ως προς x. Αντικαθιστώ το x στον τύπο της f (g( x)) και βρίσκουμε
την f.
• τη f(x) τότε για να βρούμε την g(x) θέτουμε όπου x το g(x) στον τύπο της
f(x) και εξισώνουμε τη σχέση που βρήκαμε με τον τύπο της f (g( x))
και βρίσκουμε την g.
28. α) Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει f
2
(x)=4e
x
( f (x)−e
x
) για
κάθε x∈ℝ
β) Να βρείτε τις συναρτήσεις f, g για τις οποίες ισχύει
f
2
(x)+ g
2
( x)+1=2( f (x)ημ x−g( x)συν x) για κάθε x∈ℝ

23. 29. α) Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( f ∘g)( x)=2 x−1,
g(x)=
3−2x
x+1
β) Να βρείτε τη συνάρτηση g για την οποία ισχύει ( f ∘g)( x)=3 x2
−6 x+10,
f (x)=3 x+1
γ) Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( f ∘g)( x)=√1+e
x
,
g(x)=−e
x
δ) Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει g( f ( x))=ex
−x+1,
g(x)=3x−2
ε) Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει (g ∘ f )( x)=|εφ x|,
g(x)=√x
2
−1

24. 30. Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων
συναρτήσεων αν ισχύει
α) f (x)=e
−x
β) f (x)=συν
3
(2 x)+1
γ) f (x)=e
g ( x)
−g
3
( x)−ημ g (x) όπου g :ℝ→ℝ

25. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
1) Αν μία συνάρτηση f :A→ℝ ικανοποιεί μια σχέση της μορφής
f (g(x))+af (h(x))=t (x), x∈ A, a≠−1 τότε μπορούμε να βρούμε τις τιμές της f για
εκείνες τις τιμές του x∈A που ικανοποιούν τη σχέση g(x)=h(x)
2) Αν μία συνάρτηση f :ℝ→ℝ ικανοποιεί μια σχέση της μορφής
f (f (x))=a x+β , x∈ A, a≠1 τότε αν θέσουμε όπου x το f(x) και προκύπτει
f (f (f (x)))=a f (x)+β⇔f (ax+β)=a f (x)+β σχέση όπως αυτή του 1ου σχολίου
Λύνουμε λοιπόν την εξίσωση x=a x+β⇔x=
β
1−α
και μπορούμε να βρούμε το
f (
β
1−α
).
31. Έστω η συνάρτηση f :ℝ→ℝ για την οποία ισχύει f (x
2
+2)+ f (3 x)=0
για κάθε x∈ℝ Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει
τον άξονα x'x σε δύο τουλάχιστον σημεία.
32. Έστω μία συνάρτηση f :ℝ→ℝ για την οποία ισχύει f ( f (x))=2 x−1
για κάθε x∈ℝ
α) Να δείξετε ότι f (2 x−1)=2 f (x)−1, x∈ℝ
β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

26. ΑΡΤΙΑ- ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Μία συνάρτηση f :A→ℝ λέγεται άρτια όταν ισχύει
α) για κάθε x∈A το −x∈A
β) ισχύει f (−x)=f (x) για κάθε x∈A
Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι
συμμετρική ως προς τον άξονα y'y και αντίστροφα.
Μία συνάρτηση f :A→ℝ λέγεται περιττή όταν ισχύει
α) για κάθε x∈A το −x∈A
β) ισχύει f (−x)=−f (x) για κάθε x∈A
Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει
κέντρο συμμετρίας το Ο και αντίστροφα.
33. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές
α) f (x)=x⋅ημ
1
x
β) f (x)=
x
2
+3|x|
x
3
−9 x
γ) f (x)=
συν x
√25−x
2
δ) f (x)=ln(2x+√4 x2
+1)
0 1
1
x
y
x
y

27. 34. Έστω f :ℝ→ℝ μια περιττή συνάρτηση για την οποία ισχύει
(x
2
+1)f (x)≤2 x,∀ x∈ℝ. Να βρείτε την f.
Σχόλιο: Αν ισχύει
α≤x≤α τότε x=α
Σχόλιο: Αν έχουμε συναρτησιακή σχέση μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης της
μορφής f (x+ y) ή f (x⋅y) τότε συνήθως θέτουμε
f (x+ y) f (x⋅y)
Όπου x και y το 0 1
Όπου y το 0 1
Όπου y το -x 1
x
Όπου x και y το x
2
√x
35. Έστω f :ℝ→ℝ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει
f (x+ y)=f (x)+f ( y), για κάθε x , y∈ℝ. Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή.

28. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα
διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε
x1 , x2∈Δ με x1< x2 ισχύει f (x1)<f (x2)
Γράφουμε f ↑ Δ
Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα
διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε
x1 , x2∈Δ με x1< x2 ισχύει f (x1)>f (x2)
Γράφουμε f ↓ Δ
Προσοχή: Λέμε πως η συνάρτηση είναι γνησίως
αύξουσα/ φθίνουσα σε διάστημα και ποτέ
σε ένωση διαστημάτων!!!!!!
Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστη-
μα Δ του πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.
Επιπλέον, αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι ένα διάστημα Δ και η f
είναι γνησίως μονότονη σε αυτό τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη
(χωρίς να τονίζω το διάστημα)
Μία συνάρτηση f λέγεται αύξουσα σε ένα
διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδή-
ποτε x1 , x2∈Δ με x1< x2 ισχύει f (x1)≤f (x2)
Μία συνάρτηση f λέγεται φθίνουσα σε ένα
διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε
x1 , x2∈Δ με x1< x2 ισχύει f (x1)≥f (x2)
0 x
y
x
y
x
y
x
y
x
y

29. Μεθοδολογία για να βρω τη μονοτονία μιας συνάρτησης
Για να βρω τη μονοτονία μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορι-
σμού της , ακολουθούμε τα εξής βήματα:
• Θεωρούμε δύο σημεία x1 ,x2 του Δ με x1<x2
• Με κατάλληλες πράξεις κατασκευάζω τα f(x1), f(x2) και αν είναι
f(x1)>f(x2) τότε είναι γνησίως φθίνουσα και αν είναι f(x1)<f(x2) τότε
είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
Σχόλια:
1) Όταν α, β είναι ομόσημοι αριθμοί γνωρίζουμε πως α< β⇔
1
α
>
1
β
(το χρησιμοποιούμε στις ρητές συναρτήσεις)
2) Όταν θέλουμε να υψώσουμε σε δύναμη τότε πρέπει να εξετάσω αν ο εκθέτης
είναι άρτιος ή περιττός
• ΑΡΤΙΟΣ ΕΚΘΕΤΗΣ: διακρίνω περιπτώσεις για τις βάσεις
α) αν και οι δύο βάσεις α και β είναι αρνητικές, δηλαδή α , β∈(−∞ ,0) τότε
α< β⇔α
2ν
>β
2ν
β) αν και οι δύο βάσεις α και β είναι θετικές, δηλαδή α , β∈(0,+∞) τότε
α< β⇔α
2ν
<β
2ν
γ) αν είναι η μία θετική και η άλλη αρνητική τότε δε μπορώ να βγάλω
συμπέρασμα, για πχ είναι -1<2 και (−1)2
<22
ενώ είναι -3<2 και (−3)
2
>2
2
• ΠΕΡΙΤΤΟΣ ΕΚΘΕΤΗΣ: ανεξάρτητα από το πρόσημο που έχουν οι βάσεις
θα είναι α< β⇔α
2ν+1
< β
2ν+1
3) Όταν α, β είναι μη αρνητικοί αριθμοί γνωρίζουμε πως α< β⇔√α<√β
(το χρησιμοποιούμε στις άρρητες συναρτήσεις)
4) Αν έχω να μελετήσω μία συνάρτηση με κλάδους, τότε δουλεύω σε κάθε κλάδο
(διάστημα) ξεχωριστά. Βρίσκω τη μονοτονία κάθε κλάδου ξεχωριστά.
Αν η μονοτονία είναι διαφορετική σε κάθε κλάδο τότε σταματώ.
Αν η μονοτονία είναι ίδια στους κλάδους τότε θεωρώ ένα στοιχείο x1 του ενός
διαστήματος και ένα στοιχείο x2 του άλλου διαστήματος και συγκρίνω τα
f(x1),f(x2) για να διαπιστώσουμε αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε
όλο το πεδίο ορισμού της.
5) Αν ο τύπος της συνάρτησης έχει απόλυτα πρώτα γράφω τη συνάρτηση χωρίς το
σύμβολο της απόλυτης τιμής, δηλαδή με κλάδους και στη συνέχεια τη δουλεύω
όπως τις κλαδικές.

30. 1. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f όταν
α) f(x)=3−√6−2 x β) f(x)=x
2
+√x−1 γ) f(x)=
4
x
−ln x
δ) f (x)={x+1, αν x<0
x
2
, αν x≥0
ε) f (x)={2−x
5
, αν x<0
1−√x , αν x≥0
στ) f (x)={ e
x
−x
2
, αν x≤−1
3−ln(x+1), αν x>−1

31. 2. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=
x−1
x−2
. Να βρείτε τη μονοτονία της f σε καθένα
από τα διαστήματα (−∞,2) και (2,+∞).

32. Σχόλια:
1) Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε η γραφική της παράσταση
τέμνει τον x'x το πολύ μία φορά. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ
μία ρίζα.
2) Μία εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο μπορεί να λυθεί με τη
βοήθεια της μονοτονίας ως εξής:
• Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος.
• Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x). Η εξίσωση που θέλουμε να λύσουμε
γίνεται f(x)=0.
• Βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 (προφανής ρίζα)
• Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και οπότε η
εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία ρίζα. Έτσι η ρίζα που βρήκαμε
προηγουμένως είναι μοναδική.
3) Αν θέλω να βρω το πρόσημο μιας συνάρτησης και δε μπορώ να το προσδιο-
ρίσω, τότε βρίσκω μία προφανή ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 και αποδεικνύω πως η
f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Επομένως, η ρίζα x0 είναι
μοναδική και για το πρόσημο της f έχουμε
• Αν f ↑A τότε όταν x<x0 ⇒ f (x)< f (x0)⇒ f ( x)<0
και x>x0 ⇒ f (x)> f (x0)⇒ f ( x)>0
• Αν f ↓A τότε όταν x<x0 ⇒ f (x)> f (x0)⇒ f ( x)>0
και x>x0 ⇒ f (x)< f (x0)⇒ f ( x)<0
3. Να λύσετε τις εξισώσεις α) ln x=
1
x
−1 β) x
3
=1−ln x

33. 4. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=ex
+ x−1.
α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
β) Να βρείτε τις ρίζες της f.
γ) Να κάνετε το πίνακα προσήμου της f.
Σχόλιο: Μία ανίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο μπορεί να λυθεί
με τη βοήθεια της μονοτονίας ως εξής:
• Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος.
• Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x). Η ανίσωση που θέλουμε να λύσουμε
γίνεται f(x)>0 (ή f(x)<0).
• Βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα ρ της εξίσωσης f(x)=0 (προφανής ρίζα)
• Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και οπότε η ανί-
σωση f(x)>0 γίνεται f(x)> f(ρ) (ή f(x)< f(ρ)) και εκμεταλευόμαστε τη
μονοτονία της f.
5. Να λύσετε την ανίσωση α) 1+ln x<
1
x
β) 9−x
3
<e
x−2

34. 6. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=
1
x
−ln x
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
x
2
+5
−
1
2 x
2
+1
<ln
x
2
+5
2 x
2
+1
7. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=e
x
+ln(x+1)−1
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β) Να λύσετε την ανίσωση e
x
2
+ln(x
2
+1)>1
γ) Να λύσετε την ανίσωση e
x2
−e
x +2
<ln
x+3
x
2
+1

35. 8. Έστω g:(0,+∞)→ℝ μία γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποίας η γραφι-κή
παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(1,-2) και Β(2,-3) και η συνάρτηση
f (x)=lnx−g(x), x>0
α) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα.
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2ln x<2+g( x
2
)
9. Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f :ℝ→ℝ για την οποία ισχύει
f (e
x
−x)+f (1−x)=e
x
−1, x∈ℝ. Να λύσετε
α) την εξίσωση f(x)=0 β) την ανίσωση f (x2
−1)<0

36. 10. Έστω f :ℝ→ℝ μία συνάρτηση η οποία είναι γνησίως φθίνουσα.
α) Να δείξετε ότι f(x)+f(7x)>f(3x)+f(10x) για κάθε x>0
β) Να λύσετε την εξίσωση f (x)+f (x3
)=f (x2
)+f (x8
), x>0
Σχόλιο: Αν έχουμε μια ισότητα της μορφής h(f(x),x)=0,x∈ℝ τότε τη μετα-
σχηματίζουμε στη μορφή g(f(x))=φ(x),x∈ℝ όπου και γνωστές συναρτή-
σεις, άρα g∘f =φ.
Επειδή οι συναρτήσεις g∘f και φ είναι ίσες, έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά
πχ πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, μονοτονία, ακρότατα κτλ.
Από τις ιδιότητες της g∘f και της g βρίσκουμε ιδιότητες της f.
11. α) Έστω f , g:ℝ→ℝ δύο συναρτήσεις όπου η g∘f είναι γνησίως φθίνου-
σα και η g είναι γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως
φθίνουσα.
β)Έστω f :ℝ→ℝ μία συνάρτηση για την οποία ισχύει f 3
(x)+ef (x)
−e−x
−1=0 για
κάθε x∈ℝ. Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία.

37. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι
παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο x0∈ A το f (x0) όταν f (x0)
f (x)≤ f (x0) για κάθε x∈ A
x0
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι
παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x0∈ A το f (x0) x0
όταν f (x)≥ f (x0) για κάθε x∈ A
f (x0)
Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται ολικά
ακρότατα της f.
Σχόλιο: Πρέπει x0∈ A αλλιώς η f δεν έχει ακρότατο στο x0
Μεθοδολογία για να βρω τα ακρότατα μιας συνάρτησης
Για να βρω τα ακρότατα μιας συνάρτησης f με πεδίου ορισμού Α ακολουθούμε
ένα από τα εξής:
1) Κατασκευάζουμε συνθετικά ανισοϊσότητες της μορφής
f(x)≥m ή f(x)≤Μ ή m≤f(x)≤Μ , x∈A . Στη συνέχεια βρίσκουμε
τις τιμές του x που ισχύει το = στις παραπάνω ανισότητες. Αν υπάρχει x στο
πεδίο ορισμού Α τέτοιο ώστε f(x)=m τότε η f έχει ελάχιστο το m και αν
υπάρχει x στο πεδίο ορισμού Α τέτοιο ώστε f(x)=Μ τότε η f έχει μέγιστο το Μ.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
α β α αβ β

38. 2) Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης f είναι η μέγιστη(μεγαλύτερη) τιμή
της. Το ελάχιστο μιας συνάρτησης f είναι η ελάχιστη (μικρότερη) τιμή της.
Επομένως αν γνωρίζουμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα
• [κ,λ] τότε η f έχει ελάχιστο το κ και μέγιστο το λ
• (κ,λ] τότε η f έχει μέγιστο το λ και δεν έχει ελάχιστο
• [κ,λ) τότε η f έχει ελάχιστο το κ και δεν έχει μέγιστο
• (κ,λ) τότε η f δεν έχει ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο δηλαδή δεν έχει ακρότατα
3) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ή από τη μονοτονία της μπορώ να
βρω τα ακρότατα της
• Αν η συνάρτηση f :[α , β ]→ℝ είναι γνησίως αύξουσα
τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο το f(α) στο α και μέγιστο
το f(β) στο β.
Αν όμως το πεδίο ορισμού είναι
(α,β] η f παρουσιάζει μέγιστο το f(β) στο β
[α,β) η f παρουσιάζει ελάχιστο το f(α) στο α
(α,β) η f δεν παρουσιάζει ακρότατα
• Αν η συνάρτηση f :[α , β ]→ℝ είναι γνησίως φθίνουσα
τότε η f παρουσιάζει μέγιστο το f(α) στο α και ελάχιστο
το f(β) στο β.
Αν όμως το πεδίο ορισμού είναι
(α,β] η f παρουσιάζει ελάχιστο το f(β) στο β
[α,β) η f παρουσιάζει μέγιστο το f(α) στο α
(α,β) η f δεν παρουσιάζει ακρότατα
Σχόλια: Έστω μία συνάρτηση f : Α→ℝ
1) Αν maxf<0 τότε f(x)<0 για κάθε x∈A (δηλαδή αν το μέγιστο μιας
συνάρτησης είναι αρνητικό τότε η συνάρτηση παίρνει παντού αρνητικές τιμές)
2) Αν minf>0 τότε f(x)>0 για κάθε x∈A (δηλαδή αν το ελάχιστο μιας
συνάρτησης είναι θετικό τότε η συνάρτηση παίρνει παντού θετικές τιμές)
3) Αν α≤f(x)≤β,για κάθε x∈A αυτό δε σημαίνει πως maxf=β και minf=α.
Αυτό θα συμβαίνει αν υπάρχουν x1 , x2∈A τέτοια ώστε f (x1)=a και
f (x2)=β
Για πχ γνωρίζουμε πως −1≤ημx≤1 ,γιακάθε x∈ℝ και ισχύει minf=-1 και
maxf=1 επειδή υπάρχουν x1 , x2∈ℝ τέτοια ώστε f (x1)=−1 και f (x2)=1.
Όμως επίσης ισχύει ότι −2≤ημx≤2,για κάθεx∈ℝ αλλά επειδή δεν υπάρχουν
x1 , x2∈ℝ τέτοια ώστε f (x1)=−2 και f (x2)=2 δε μπορούμε να πούμε
minf=-2 και maxf=2.
4) Αν μία συνάρτηση f έχει ελάχιστο μ και μέγιστο το Μ τότε το σύνολο τιμών της
f είναι το [μ,Μ] ή κάποιο υποσύνολό του και πως μ≤f(x)≤Μ,για κάθε x∈A.
x
y
α β
f(α)
f(β)
x
y
α
f(α)
f(β)
β

39. 12. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων
α) f(x)=x β) f(x)=2x+1 γ) f (x)=2 x+1, x∈(−2,5] δ) f (x)=x
2
ε) f (x)=x
2
−4 στ) f (x)=1−x
2
ζ) f (x)=x
2
−4 x+5
η) f (x)=−x
2
+2 x−5 θ) f (x)=−x
2
+2x−5, x∈[0,5 ]
ι) f (x)=−x
2
+2x−5, x∈[0,5) ια) f (x)=−3 ημx
ιβ) f (x)=συν2 x−3 ιγ) f (x)=e
x−1
−2, x∈[1,2] ιδ) f (x)=|x−1|

41. 13. α) Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης f (x)=3−√x−4
β) Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης f (x)=ln(x
2
−4 x+5)
14. Έστω οι συναρτήσεις f , g:ℝ→ℝ για τις οποίες ισχύει f (x)=g(x)−x2
−3 για
κάθε x∈ℝ. Να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των Cf ,C g.
15. Αν η συνάρτηση f :ℝ→ℝ παρουσιάζει ελάχιστο στο 1 το 5 και ισχύει
f (α)+f (ln β)=10 να βρείτε τα α, β.

42. 16. Έστω f :ℝ→ℝ μία συνάρτηση για την οποία ισχύει f 3
(x)+ef (x)
+1−x2
=0
για κάθε x∈ℝ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 .

43. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1
Ορισμός: Μία συνάρτηση f : A→ℝ λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδή-
ποτε x1, x2∈ A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1≠x2 τότε f (x1)≠f (x2)
Σχόλια:
1) Η παρακάτω πρόταση είναι ισοδύναμος ορισμός: Μία συνάρτηση f : A→ℝ
είναι συνάρτηση 1-1 αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1, x2∈ A ισχύει η
συνεπαγωγή: αν f (x1)=f (x2) τότε x1=x2
Με άλλα λόγια, σε συνάρτηση 1-1 τα διαφορετικά στοιχεία x1, x2∈ A έχουν
πάντοτε διαφορετικές εικόνες.
Επιπλέον, γνωρίζουμε πως σε κάθε συνάρτηση f ισχύει: αν x1=x2 τότε
f (x1)=f (x2). Αν η f είναι 1-1 τότε ισχύει και το αντίστροφο (ισοδύναμος
ορισμός)
Επομένως αν η f είναι 1-1 τότε x1=x2 ⇔f (x1)=f (x2) και x1≠x2 ⇔f (x1)≠f (x2)
2) Από τον ορισμό προκύπτει πως μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν:
• Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς
μία λύση ως προς x.
• Τα διαφορετικά στοιχεία x1, x2∈ A έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες,
δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης με την ίδια
τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική
παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.
3) Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη,
τότε είναι συνάρτηση 1-1.
Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή υπάρχουν
συναρτήσεις που είναι 1-1 αλλά δεν είναι
γνησίως μονότονες,
πχ f (x)={
x x≤0
1
x
x>0
4) Αν θέλουμε να αποδείξουμε πως μία συνάρτηση f : A→ℝ είναι 1-1, τότε
κάνω ένα από τα ακόλουθα:
• Παίρνουμε δύο τυχαία στοιχεία x1, x2∈ A και αποδεικνύουμε τη
συνεπαγωγή αν f (x1)=f (x2) τότε x1=x2
• Παίρνουμε δύο τυχαία στοιχεία x1, x2∈ A και αποδεικνύουμε τη
συνεπαγωγή αν x1≠x2 τότε f (x1)≠f (x2)
• Αποδεικνύουμε πως η f είναι γνησίως μονότονη
• Αποδεικνύουμε πως για κάθε y∈f ( A) υπάρχει μόνο ένα x∈ A τέτοιο
ώστε y=f (x), δηλαδή η εξίσωση y=f(x) έχει ακριβώς μία λύση στο Α.
Τέλος, η f δεν είναι 1-1 όταν υπάρχουν x1, x2∈ A με x1≠x2 και f (x1)=f (x2)
x
y

44. 17. Στα σχήματα που ακολουθούν φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο
συναρτήσεων. Να εξετάσετε αν αυτές είναι 1-1.
18. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι 1-1.
α) f (x)=
2x−3
x+1
β) f (x)=ln
e
x
1−e
x
γ) f (x)=(e
x
−1)⋅ln(x+2)
x
y
x
y

45. Σχόλιο: Όταν δε μπορώ να δείξω πως μία συνάρτηση είναι 1-1, τότε δείχνω πως
είναι γνησίως μονότονη και τότε είναι 1-1!
19. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 όταν
α) f (x)=2 x+ex
−1 β) f (x)=e1−x
−x3
Σχόλιο: Συναρτήσεις 1-1 και επίλυση εξισώσεων
Για να λύσουμε μια εξίσωση που δεν μπορούμε να τη λύσουμε με γνωστές μεθό-
δους, εργαζόμαστε όπως με τη μέθοδο της μονοτονίας της συνάρτησης, δηλ
• Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος.
• Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x). Η εξίσωση που θέλουμε να λύσουμε
γίνεται f(x)=0.
• Βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα x0 της εξίσωσης f(x)=0 (προφανής ρίζα)
• Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 και οπότε έχουμε
f(x)=0⇔f(x)=f(x0)⇔x=x0 αφού η f είναι 1-1
(Υπενθυμίζουμε πως με τη μέθοδο της μονοτονίας βρίσκουμε μια προφανή ρίζα,
στη συνέχεια αποδεικνύουμε πως η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και
επομένως η ρίζα που έχουμε βρει είναι μοναδική.)
20. Να λύσετε την εξίσωση 5
x
−3=√5−x

46. 21. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=x
2014
+ln x
α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1
β) Να λύσετε την εξίσωση (2∣x∣+1)
2014
−(∣x∣+3)
2014
=ln
∣x∣+3
2∣x∣+1
22. Έστω η συνάρτηση f (x)=e
−x
−x−1.
α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
β) Να λύσετε την εξίσωση e
−x
=x+1.
γ) Αν λ , μ∈ℝ και e
−λ
−e
−μ
=λ−μ να δείξετε ότι λ=μ.
δ) Να λύσετε την εξίσωση e
−2x+1
−e
−x
=x−1.

47. 23. Δίνεται συνάρτηση f :ℝ→ℝ για την οποία ισχύει ( f ∘ f )(x)− f (x)=2x−4,
για κάθε x∈ℝ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
β) Να βρείτε το f(2)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f (4− f (x
2
+x))−2=0
24. α) Έστω οι συναρτήσεις f , g :ℝ→ℝ για τις οποίες η g∘ f είναι 1-1. Να
δείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1.
β) Έστω η συνάρτηση f :ℝ→ℝ για την οποία ισχύει f ( f (x))=−e
x
+ f
3
( x) ,
για κάθε x∈ℝ. I) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
II) Να λύσετε την εξίσωση f (h(x)+ x
2
−x)= f (h(x)+2x−2).

48. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση f : A→ℝ Αν η f είναι 1-1, τότε για κάθε
στοιχείο y του συνόλου τιμών f(A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου
ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f(x)=y. Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση
g : A→ℝ με την οποία κάθε y∈ f ( A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x∈A για
το οποίο ισχύει f(x)=y.
Δηλαδή, η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται
αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με f
−1
.
Επομένως έχουμε f (x)=y⇔ f
−1
( y)=x
f
g= f
−1
Σχόλια:
1) Από τον ορισμό της f
−1
προκύπτουν τα εξής
• Αν μία συνάρτηση είναι 1-1 τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση
• H f
−1
έχει πεδίο ορισμού το f(A) της f
• H f
−1
έχει σύνολο τιμών το Α της f
• Ισχύει η ισοδυναμία f (x)= y ⇔ f
−1
( y)=x
Δηλαδή αν η f αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η
f
−1
αντιστοιχίζει το y στο x και επομένως
θα έχουμε f
−1
( f ( x))=x ,∀ x∈A
και f ( f
−1
( y))=y ,∀ y∈ f (A) f
−1
2) Έστω μια συνάρτηση f : A→ℝ
• ( f 1−1)⇔( f αντιστρέψιμη)
• αν f αντιστρέψιμη, τότε και η f
−1
είναι αντιστρέψιμη και ( f
−1
)
−1
= f
• αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν είναι 1-1 δηλαδή υπάρχουν
α , β∈A ώστε α≠β και f (α)= f ( β)
• αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε η f είναι αντιστρέψιμη
• αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη
• αν η f δεν είναι γνησίως μονότονη, τότε η f δεν είναι υποχρεωτικά μη
αντιστρέψιμη (υπάρχουν 1-1 συναρτήσεις που δεν είναι γνήσια μονότονες)
• αν η f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, τότε η f
−1
είναι γνησίως
μονότονη στο διάστημα f(Δ) με το ίδιο είδος μονοτονίας
A
f(A)
x= g(y) y=f(x)
A f(A)
x= y=f(x)
f

49. 3) Οι γραφικές παραστάσεις των C f ,C f
−1 των συναρτήσεων f και f
−1
είναι
συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τις γωνίες ̂xOy , ̂x ' Oy'
Πράγματι, αν πάρουμε μια 1-1 συνάρτηση f και θεωρήσουμε στο ίδιο σύστημα
αξόνων τις γραφικές παραστάσεις C f ,C f
−1 των f και f
−1
τότε αν ένα σημείο
Μ (α , β)∈C f τότε f(α)=β άρα θα έχουμε f
−1
(β)=α που σημαίνει
Μ ' (β ,α)∈C f
−1 . Ως γνωστόν, τα σημεία Μ(α,β) και Μ'(β,α) είναι συμμετρικά
ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τις γωνίες ̂xOy , ̂x ' Oy' επομένως οι
C f ,C f
−1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.
4) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων C f ,C f
−1 των f και f
−1
έχουν
τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης f (x)= f −1
(x)
Γενικά, για να βρω τα κοινά σημεία λύνω την εξίσωση f (x)= f
−1
(x)
Όμως αν η f είναι γνησίως αύξουσα, αποδεικνύεται πως οι εξισώσεις
f (x)= f
−1
(x) , f ( x)=x και f
−1
(x)=x είναι ισοδύναμες άρα τα κοινά σημεία των
C f ,C f
−1 είναι ίδια με τα κοινά σημεία της C f με την ευθεία y=x (ή είναι ίδια
με τα κοινά σημεία της C f
−1 με την ευθεία y=x) οπότε λύνω μια από τις
εξισώσεις f (x)=x ή f −1
( x)=x ή f ( x)= f −1
(x)
Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε τα κοινά σημεία των C f ,C f
−1 προκύ-
πτουν από τη λύση του συστήματος { y= f (x)
y= f
−1
(x)
Προφανώς, όλα τα κοινά σημεία των C f ,C f
−1 δε βρίσκονται πάνω στην
ευθεία y=x. Για πχ, αν f (x)=
1
x
τότε f
−1
( x)=
1
x
οπότε όλα τα σημεία τους
είναι κοινά αφού C f ≡C f
−1 .
5) Για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης f : A→ℝ ακολουθούμε τα
εξής βήματα:
• Αποδεικνύουμε πως η f είναι 1-1 συνάρτηση
• Θέτουμε y=f(x) (οπότε θα είναι f
−1
( y)=x )
• Λύνουμε την εξίσωση y=f(x) ως προς x βάζοντας κατάλληλους
περιορισμούς για το y. Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνει
το σύνολο τιμών της f το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f
−1
• Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x είναι η x=g(x), τότε έχουμε ότι
f
−1
( y)=g( y). Θέτουμε όπου y το x και έτσι προκύπτει ο τύπος της f
−1
-1 0 1 2
2
1
-1
y
x
0 1 2 3 4
2
1
y
x

50. 25. Έστω η συνάρτηση f (x)=2+√e
x
−1
α) Να δείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1
β) Να ορίσετε την αντίστροφη της f

51. 26. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f (x)=ln(1−
1
e
x
) αντιστρέφεται και να βρείτε
την αντίστροφη της f
Για να δείξουμε πως μια συνάρτηση
αντιστρέφεται αρκεί να δείξουμε πως
είναι 1-1, ή πως η εξίσωση f(x)=y για
κάθε y∈ f ( A) έχει μοναδική λύση
που ανήκει στο A.

52. 27. Έστω η συνάρτηση f (x)=3+ex−2
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη
β) Να ορίσετε την f
−1
Σχόλιο: Οι πολυωνυμικές 2ου βαθμού με πεδίο ορισμού το ℝ δεν είναι
αντιστρέψιμες αφού δεν είναι 1-1 (παραβολές). Όμως αν έχουν πεδίο ορισμού
κατάλληλο διάστημα τότε μπορεί να είναι 1-1.
28. Έστω η συνάρτηση f :[−3,+∞)→ℝ με f (x)=x2
+6x+7
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη
β) Να ορίσετε την f
−1

53. 29. Έστω f :[1,+∞)→ℝ μια συνάρτηση με f (x)=x
2
−2x+3
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται
β) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση g :[ 2,+∞)→ℝ τέτοια ώστε g(f(x))=x για
κάθε x≥1
δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f
−1

54. 30. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=−x3
α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f και της C f −1
31. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=x
3
−6.
α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f και της C f −1
γ) Να λύσετε την εξίσωση x
3
−
3
√x+6=6

55. 32. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=−x3
−2x+14
α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f −1 και της ευθείας y=x.
33. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=ln( x−3)+ x−2
α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f και της C f −1
Σχόλιο: Αν f είναι γνησίως αύξουσα, τότε τα κοινά
σημεία των C f και C f
−1 έχουν τετμημένες που
δίνονται από τις λύσεις της εξίσωσης f(x)=x

56. 34. Δίνεται η συνάρτηση f (x)=e1−x
−3x+2
α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται
β) Αν θεωρήσουμε γνωστό πως η f έχει σύνολο τιμών το ℝ να λύσετε
i) την εξίσωση f
−1
( x)=0 και την ανίσωση f
−1
(ln x)<1
ii) την εξίσωση f −1
( x)=x+1 και την ανίσωση f −1
( x)≤x+1

57. 35. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f :ℝ→ℝ της οποίας η γραφική
παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(3,4) και Β(6,-2).
α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f και να αποδείξετε πως είναι
αντιστρέψιμη
β) Να λύσετε την εξίσωση f (−3+ f −1
(∣x∣−5))=4
γ) Να λύσετε την ανίσωση f
−1
( f (x
2
+2)+6)<3

58. 36. Έστω f :ℝ→ℝ μία συνάρτηση η οποία είναι γνησίως αύξουσα με
f (ℝ)=ℝ
α) Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f
β) Να δείξετε ότι και η f
−1
είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν f (0)=x0 να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης f
−1
δ) Αν η f είναι περιττή, να δείξετε ότι και η f
−1
είναι περιττή.
37. Έστω f :ℝ→ℝ μία συνάρτηση η οποία είναι γνησίως αύξουσα με
f (ℝ)=ℝ
α) Αν η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=x τότε η
γραφική παράσταση της f
−1
βρίσκεται πάνω από την ευθεία y=x.
β) Αν f
−1
( x)> f ( x) για κάθε x∈ℝ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται
κάτω από την ευθεία y=x.

59. 38. Δίνεται η συνάρτηση f :ℝ→ℝ η οποία έχει σύνολο τιμών το ℝ και
ικανοποιεί τη σχέση f
3
(x)+3f ( x)+x−2=0 , για κάθε x∈ℝ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1
β) Να βρείτε την f
−1
39. Έστω f :ℝ→ℝ μία συνάρτηση για την οποία ισχύει f
5
(x)+ f ( x)+1=x
για κάθε x∈ℝ Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης
g( x)=x
5
+ x+1 είναι το ℝ να δείξετε ότι
α) η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το ℝ
β) υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f
γ) f
−1
( x)=x
5
+ x+1, x∈ℝ

60. 40. Έστω f :ℝ→ℝ μία συνάρτηση για την οποία ισχύει f ( f (x))=2x−4 για
κάθε x∈ℝ Να δείξετε ότι
α) η f αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της
β) f
−1
(x)=
1
2
f (x)+2 ,x∈ℝ