Introducción a Lógica Matemática

1. Fundamentos de Lógica
¿Qué es una proposición?
¿Cuáles son los conectivos lógicos?
¿Cómo utilizar las tablas de verdad?
¿Qué es una tautología?
¿Qué es una contradicción?

2. Proposiciones
Una proposición es una declaración sobre la que se
puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir, es
falsedad
un enunciado verdadero o es un enunciado falso,
pero no puede ocurrir ambas cosas.
Por ejemplo
SON PROPOSICIONES NO SON PROPOSICIONES
“El 2 es un número primo”. “ ¡Buenos días!”
“¿15 y 18 tienen la misma
“ 25 es divisible entre 3 ”.
cantidad de divisores?”.
“ 6 + 5 = 10 ”. “ En realidad, ¿a qué se refiere?”.
“El salón de 11º está en el “ Lávalo”.
2do piso”.

3. Proposiciones
¿Cuáles de los siguientes enunciados son
proposiciones?
(Explica por qué lo son o no lo son)
1) “ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”.
2) “ 2 es divisor de 15”.
3) “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”.
4) “ El salón de 11º del Fontanar tiene más de 50 mts.
cuadrados”.
5) “ x + 3 es un entero positivo”.
6) “ Tranquilícese”.
Respuestas: Sólo son proposiciones los
enunciados dados en 2 y 4

4. Notación
Para denotar o representar las proposiciones se usan letras
minúsculas: p, q, r, s, ...
p: “El salón de 11º está en el 2do piso”
q: “El salón de 11º es iluminado”
r: “El 5 es un entero par”
s: “1 + 4 = 5 ”
t: “Mañana es miércoles”
u: “Una decada tiene 10 años”

5. Proposición Atómica
 Una proposición es atómica si no puede ser
descompuesta en proposiciones más simples.
 Las proposiciones atómicas son indicadas de
manera afirmativa.
 Ejemplos:
 La casa es grande. (es atómica)
 La casa no es grande. ( no es atómica)
 Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)

6. Proposición Molecular
 Una proposición es molecular si no es
atómica, es decir, si puede ser
descompuesta en proposiciones más
simples.
 Una proposición molecular se forma al unir
proposiciones atómicas utilizando
conectivos lógicos o términos de
enlace.

7. Conectivos Lógicos
Conectivo Simbolizació Tipo
n
no ¬ó ~ Negación
y ∧ Conjunción
o ∨ Disyunción
si .., entonces => Implicación
si y sólo si  doble
implicación

8. Ejemplo
Si llegas después de las ocho y
media, entonces encontrarás la
puerta cerrada y no podrás
entrar al teatro.
p → (q^¬r)

9. Proposiciones Compuestas o Moleculares
 Ejemplos
 Vamos en bicicleta o vamos a pie.
 No es cierto que Juan llegó temprano
 Juan no llegó temprano
 Luis es arquitecto y Martín es médico.
 La medalla no es de plata y el diploma parece falso.
 Matías aprobó pero Lucas no.

10. Simbolización
 Para simbolizar un proposición
 Identificar las proposiciones atómicas
 Simbolizar las proposiciones atómicas encontradas.
 Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.

11. Simbolización
 Ejemplos
 Vamos en bicicleta o vamos a pie.
p : “Vamos en bicicleta”.
q : “Vamos a pie”
Simbolización: p v q
 No es cierto que Juan llegó temprano
p = “Juan llegó temprano”.
Simbolización :¬ p

12. Simbolización
 Ejemplo
 La medalla no es de plata y el diploma
parece falso.
p : “La medalla es de plata”.
q : “El diploma parece falso”
Simbolización: ¬p ^ q

13. Tabla de Verdad
 La tabla de verdad de una proposición
molecular muestra todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de las
proposiciones atómicas que la componen.

14. Negación
El enunciado “No se cumple p” es una proposición llamada
“la negación de p” y se denota por ¬p.
La negación de una proposición es aquella que modifica la
proposición dándole el sentido contrario.
Ejemplo
p: Nuestro salón está en el 2do piso.
¬p : Nuestro salón no está en el 2do piso.
¬p : No es cierto que nuestro salón esté en el 2do piso.
Si p es verdadera entonces ¬p es falsa. En cambio, si p es
falsa, ¬p es verdadera.
La tabla de verdad de la negación es: p ¬p
V F
F V

15. Conjunción
La conjunción de p y q es la proposición “p y q”
que se denota por “p ∧ q”. También se puede leer “p pero
q”
La conjunción es verdadera, únicamente cuando ambas
proposiciones que la componen son verdaderas.
Ejemplo
Sea p: “2 divide a 68”
q: “2 divide a 25”.
p ∧ q : “ 2 es divisor de 68 y de 25”.
Valor de verdad: p ∧ q es falsa

16. Tabla de verdad para la conjunción
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
Indica el valor de verdad de :
• 6 es un número par y divisible por 3.
•(2+5=7) y(2*3=9)

17. Disyunción
La disyunción de p y q, es la proposición “p o q”, que se
denota por “p ∨ q”.
La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambas
proposiciones son falsas.
Ejemplo:
Sean p: “3 divide a 6” q: “3 divide a 7”
p ∨ q : “ 3 divide a 6 ó a 7”
Valor de verdad: p ∨ q es verdadera.

18. Tabla de verdad para Disyunción
p q pvq
V V V
V F V
F V V
F F F
Indica el valor de verdad de :
• 2 es primo o es impar.
• (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)

19. Tablas de verdad
Las tablas de verdad de los dos conectivos
anteriores son:
p q p∧q p∨q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
pyq
poq

20. Implicación
La implicación es la proposición “Si p entonces q ”,
que se denota por p → q
A p se le llama hipótesis (o antecedente) y
a q se le llama tesis (o consecuente).
La proposición p → q, se puede leer también como
Si p, q
p sólo si q
p es suficiente para q
q es necesaria para p
p implica q
q se deduce de p

21. Implicación
Ejemplo:
p: “Los polvos de jardín contienen veneno”
q: “Los polvos de jardín son de colores brillantes”.
La proposición p → q puede estar expresada como:
“Si los polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores
brillantes”;
“Los polvos de jardín contienen veneno sólo si son de colores brillantes”;
“Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín que
contienen veneno”;
“Los polvos de jardín son de colores brillantes si contienen veneno”.

22. Tabla de Verdad para Implicación
“Si p entonces q ” es falsa únicamente en el caso de que el
antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea
falso de q.
La tabla de verdad para la implicación es
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V

23. Ejemplos
p: “La respuesta automática se puede enviar”
q: “El sistema de archivos está lleno”.
¬p → q :
“Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno”.
q → ¬p :
“La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está
lleno”.
q → ¬p :
“La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno”.
p→ ¬ q:
“Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno”.

24. Doble Implicación o Bicondicional
La proposición “p si y sólo si q” se denomina bicondicional y se
denota por “p ↔ q”
Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de
verdad, es decir, es verdadera si ambas componentes son
verdaderas o ambas son falsas.
“p si y sólo si q” se puede expresar como
“p es condición necesaria y suficiente para q”.
Ejemplo
p : 24 es un número par.
q : 24 es divisible por 2.
p ↔ q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”.

25. Tabla de Verdad
 La tabla de verdad para el bi-condicional es
p q p ↔q
V V V
V F F
F V F
F F V

26. Tautología y contradicción
Una tautología es una proposición compuesta que
es verdadera para todos los valores de verdad de las
proposiciones que la componen.
Por ejemplo: p ∨ ¬p
“ Soy un hombre o no soy un hombre”
Una contradicción es una proposición compuesta que
es falsa para todos los valores de verdad de las
proposiciones que la componen.
Por ejemplo: p ∧ ¬p
“Soy un hombre pero no soy un hombre”

27. Ejemplo de razonamiento
 Si llueve entonces no iremos a caminar.
Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar.
p = “llueve”
q = “iremos a caminar”
((p→¬ q) ∧ p) →¬ q
Para demostrar que el razonamiento es
correcto hay que ver si esta proposición es
una tautología

28. Formalización
La formalización es el proceso en el que se traducen
proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o
simbólico.
1) Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.
Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C”
q: “ Llueve”
a) La temperatura está sobre los 17°C pero llueve.
b) Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve.
c) No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C.
d) Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C.
e) Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no
llueva.
f) O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.

29. Formalización
2) Sean p: “El mensaje es revisado para buscar algún virus”
q: “ El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido”
Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los
conectivos.
a) El mensaje se revisa para buscar algún virus siempre que se haya
enviado desde un sistema desconocido.
b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no
revisó para buscar ningún virus.
c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido
no se revisa para buscar ningún virus.
d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no se
reviso para buscar ningún virus.

30.  3)
Construye una tabla de verdad para cada
una de las proposiciones
 a) ( p ∨ ¬q ) → q
 b) ( p ∧ q ) → ( p ∨ q )
 c) q ↔ (¬p ∨ ¬q)

¿Cuáles de estas proposiciones
es una tautología?
¿Puedes construir una
contradicción a partir de alguna de
ellas? ¿Cuál?

31. Ejercicios
4) Halla los valores de verdad de las proposiciones si
sabes que
p → q es falsa.
a) ¬p ∧ q b) q → p c) p ∨ ¬p d) ¬p ∨
q
Piensa un rato y justifica tus respuestas
5) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que
(p∧ q)∧ r → (s∨ t) sea falsa