O documento descreve a fórmula de De Moivre, um matemático francês que relacionou números complexos e trigonometria. A segunda fórmula de De Moivre permite calcular raízes de números complexos em sua forma polar. O texto exemplifica o cálculo das raízes quartas de um número complexo z usando a fórmula de De Moivre e representando os resultados no plano complexo.
2. Quem era De Moivre?
Abraham de Moivre foi
um matemático francês famoso pela Fórmula
de De Moivre, que relaciona os números
complexos com a trigonometria, e por seus
trabalhos na distribuição normal e na teoria
das probabilidades.
De Moivre foi o primeiro a usar
princípios atuariais e bases científicas para o
cálculo de seguros de vida, no ano de 1725.
Era huguenote e migrou para
4. 2ª Formula de De Moivre.
A segunda fórmula de De Moivre é muito
importante na álgebra, pois com ela é
possível efetuarmos a radiciação de
números complexos em sua forma polar
ou trigonométrica.
Dado um número complexo ,
vamos determinar as raízes quartas deste
número e representá-las no Plano Argand
– Gauss.
5. Portanto:
Encontramos aqui um seno e cosseno
negativos. Se analisarmos o círculo
trigonométrico abaixo, podemos observar que
7. Um ângulo θ1 localizado no 1º quadrante que
possui:
É o ângulo de 60°. Mas vejam que o
ângulo θ que procuramos possui seno e
cosseno negativos. Esta condição só ocorre
no 3º quadrante e será dado por:
13. Vejam que o sen(150°) = sen(30°) e o
cos(150°) = – cos(30°). Portanto, seu valor
correspondente no primeiro quadrante é o
ângulo de 30°.
Com isso, podemos exprimir:
15. O ângulo de 240° está localizado no 3º
quadrante, como podemos observar no círculo
trigonométrico abaixo:
[Figura 3: círculo trigonométrico].
16. Vejam que sen(240°) = – sen(60°) e o
cos(240°) = – cos(60°). Portanto, seu valor
correspondente no primeiro quadrante é o
ângulo de 60°.
Podemos exprimir:
18. O ângulo de 330° está localizado no 4º
quadrante, como podemos observar no
círculo trigonométrico abaixo:
[Figura 4: círculo trigonométrico].
19. Vejam que sen(330°) = – sen(30°) e o
cos(330°) = cos(30°). Portanto, seu valor
correspondente no primeiro quadrante é o
ângulo de 30°.
Podemos exprimir:
20. Os afixos z0, z1, z2 e z3 pertencem à
circunferência de raio centrada na origem.
Eles dividem o Plano de Argand – Gauss em
4 partes congruentes e são os vértices de um
quadrado inscrito à circunferência:
[Figura 5: quadrado inscrito à circunferência].
21. De um modo geral os afixos zn de um
complexo z ≠ 0 são vértices de um
polígono regular de n lados, inscrito à
circunferência de raio e centrada na
origem do Plano Complexo.
22. Centro Cultural Manilha
II
Data: 18/09/2013.
Professor: Victor
Berbert,
Turma: 2001.
Alunos (as):
Luiza Meneses.
Evelyn Sant’Anna.
Carolline Costa.
Mariana.
Lorena Nascimento.
Brenda.
Ana Carolina.
Jaynny.
Juliana.
Clícia.
Thainá.
Sabrina.