Para saber más sobre el libro que esta página web complementa

1. Capítulo 2. Matemáticas técnicasCapítulo 2. Matemáticas técnicas
Presentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University
© 2007

2. LasLas
MATEMÁTICASMATEMÁTICAS
son unason una
herramientaherramienta
esencial para elesencial para el
científico ocientífico o
ingeniero. Esteingeniero. Este
capítulo es unacapítulo es una
revisión de lasrevisión de las
habilidadeshabilidades
necesarias paranecesarias para
entender y aplicarentender y aplicar
la física. Unala física. Una
revisiónrevisión

3. Matemáticas preparatoriasMatemáticas preparatorias
Nota:Nota: Este módulo seEste módulo se puedepuede saltar consaltar con
base en las necesidades del usuario.base en las necesidades del usuario.
En general, para la física introductoria seEn general, para la física introductoria se
suponen geometría básica, álgebra,suponen geometría básica, álgebra,
despeje de fórmulas, graficación,despeje de fórmulas, graficación,
trigonometría y notación científica.trigonometría y notación científica.
Si no está seguro, al menos recorra elSi no está seguro, al menos recorra el
repaso muy conciso de este módulo.repaso muy conciso de este módulo.

4. Objetivos: Después de completarObjetivos: Después de completar
este módulo, deberá:este módulo, deberá:
• SumarSumar,, restarrestar,, multiplicarmultiplicar yy dividirdividir medicionesmediciones
signadas.signadas.
• Resolver y evaluarResolver y evaluar fórmulasfórmulas simples parasimples para
todos los parámetros en una ecuación.todos los parámetros en una ecuación.
• Problemas resueltos deProblemas resueltos de notación científicanotación científica..
• Construir y evaluarConstruir y evaluar gráficasgráficas..
• Aplicar reglas deAplicar reglas de geometríageometría yy trigonometríatrigonometría..

5. Suma de números signadosSuma de números signados
• Para sumar dos números dePara sumar dos números de igual signoigual signo,,
sume los valores absolutos de los números ysume los valores absolutos de los números y
asigne a la suma el signo común.asigne a la suma el signo común.
• Para sumar dos números de signo diferente,
encuentre la diferencia de sus valores absolutos
y asigne el signo del número más grande.
Ejemplo:Ejemplo: Sumar (-6) a (-3)Sumar (-6) a (-3)
(-3) + (-6) = -(3 + 6) = -9(-3) + (-6) = -(3 + 6) = -9
Ejemplo:Ejemplo: Sumar (-6) a (+3). (+3)Sumar (-6) a (+3). (+3)
+ (-6) = -(6 - 3) = -3+ (-6) = -(6 - 3) = -3

6. Aritmética: ¡Vamos!, hombre…Aritmética: ¡Vamos!, hombre…
¡Qué onda con esto! No¡Qué onda con esto! No
tengo problemas contengo problemas con
sumas y restas. ¡Esto essumas y restas. ¡Esto es
escuela elemental,escuela elemental,
hombre!hombre!

7. Ejemplo 1.Ejemplo 1. Una fuerza dirigida a la derechaUna fuerza dirigida a la derecha
es positiva y una fuerza hacia la izquierda eses positiva y una fuerza hacia la izquierda es
negativa. ¿Cuál es la suma de A + B + C sinegativa. ¿Cuál es la suma de A + B + C si
AA eses 100 lb100 lb,, derechaderecha;; BB eses 50 lb50 lb,, izquierdaizquierda; y; y
CC eses 30 lb30 lb,, izquierdaizquierda..
Dados:Dados: A = + 100 lb; B = - 50 lb; C = -30 lb
A + B + C = (100 lb) + (-50 lb) + (-30 lb)
A + B + C = (100 lb) + (-50 lb) + (-30 lb)
A + B + C = +20 lbA + B + C = +20 lb
Fuerza neta = 20 lb,
derecha
Fuerza neta = 20 lb,
derecha
100 lb-30 lb
-50 lb
A + B + C = +(100 lb - 50 lb - 30 lb)

8. Resta de números signadosResta de números signados
• Para restar un número signado b de otro
número signado a, cambie el signo de b y
súmelo a a; use la regla de la suma.
Ejemplos: Restar (-6) de (-3):
(-3) - (-6) = -3 + 6 = +3
Restar (+6) de (-3):Restar (+6) de (-3):
(-3) - (+6) = -3 - 6 = -9(-3) - (+6) = -3 - 6 = -9

9. Ejemplo 2.Ejemplo 2. En un día de invierno, laEn un día de invierno, la
temperatura cae detemperatura cae de 151500
CC a una baja dea una baja de -10-1000
CC..
¿Cuál es el cambio en temperatura?¿Cuál es el cambio en temperatura?
Dados:Dados: t0 = + 150
C; tf = - 100
C
150
C
-100
C
∆t = tf - t0
∆t = (-100
C) - (+150
C) =
-100
C - 150
C = -25 C0
∆t = -25 C0∆t = -25 C0
¿Cuál es el cambio en temperatura
si sube de nuevo a +150
C? ∆t = +25 C0∆t = +25 C0

10. Multiplicación: números signadosMultiplicación: números signados
(-12)(-6) = +72 ; (-12)(+6) = -72(-12)(-6) = +72 ; (-12)(+6) = -72
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos igualessignos iguales, su, su
producto esproducto es positivopositivo..
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos distintossignos distintos, su, su
producto esproducto es negativonegativo..
Ejemplos:Ejemplos:

11. Regla de división para númerosRegla de división para números
signadossignados
( 72) (-72)
12; 12
( 6) (+6)
−
= + = −
−
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos igualessignos iguales, su, su
cociente escociente es positivopositivo..
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos distintossignos distintos, su, su
cociente escociente es negativonegativo..
Ejemplos:Ejemplos:

12. Extensión de la regla por factoresExtensión de la regla por factores
Ejemplos:Ejemplos:
• El resultado será positivo si todos los factores son
positivos o si hay un número par de factores negativos.
• El resultado será negativo si hay un número
impar de factores negativos.
( 2)( 4) (-2)(+4)(-3)
4 ; 12
2 (-2)(-1)
− −
= − = +
−

13. Ejemplo 3:Ejemplo 3: Considere la siguienteConsidere la siguiente
fórmula y evalúe la expresión parafórmula y evalúe la expresión para xx
cuandocuando a = -1a = -1,, b = -2b = -2,, c = 3c = 3,, d = -4d = -4..
2cba
x cd
bc
= +
2(3)( 2)( 1)
(3)( 4)
( 2)(3)
x
− −
= + −
−
x = -1 + 48 x = +47x = +47

14. Trabajo con fórmulas:Trabajo con fórmulas:
Muchas aplicaciones de la física requieren queMuchas aplicaciones de la física requieren que
uno resuelva y evalúe expresiones matemáticasuno resuelva y evalúe expresiones matemáticas
llamadasllamadas fórmulasfórmulas..
L
W
H
Considere, por ejemplo, elConsidere, por ejemplo, el
VolumenVolumen VV ::
V = LWHV = LWH
Al aplicarAl aplicar leyes del álgebraleyes del álgebra, se puede resolver para, se puede resolver para LL,, WW oo HH::
V
L
WH
=
V
W
LH
=
V
H
LW
=

15. Repaso de álgebraRepaso de álgebra
UnaUna fórmulafórmula expresa unaexpresa una igualdadigualdad, y dicha, y dicha
igualdad se debe conservar.igualdad se debe conservar.
Si x + 1 = 5 entonces x debe ser igual
a 4 para conservar la igualdad.
Si x + 1 = 5 entonces x debe ser igual
a 4 para conservar la igualdad.
Cualquier cosaCualquier cosa
que se haga enque se haga en
un lado de laun lado de la
ecuación se debeecuación se debe
hacer al otro parahacer al otro para
conservar laconservar la
igualdad.igualdad.
Por ejemplo:
• Sumar o restar el mismo valor en
ambos lados.
• Multiplicar o dividir ambos lados
por el mismo valor.
• Elevar al cuadrado o sacar la raíz
cuadrada de ambos lados.
Por ejemplo:
• Sumar o restar el mismo valor en
ambos lados.
• Multiplicar o dividir ambos lados
por el mismo valor.
• Elevar al cuadrado o sacar la raíz
cuadrada de ambos lados.

16. Álgebra con ecuacionesÁlgebra con ecuaciones
Las fórmulas se pueden resolver al realizar unaLas fórmulas se pueden resolver al realizar una
secuencia de operaciones idénticas en ambos lados desecuencia de operaciones idénticas en ambos lados de
una igualdad.una igualdad.
• Se pueden sumar o restar términos de
cada lado de una igualdad.
x = 2 - 4 + 6
x = +4x = +4
- 4 + 6 = -4 + 6
Restar 4 y sumar 6Restar 4 y sumar 6
a cada ladoa cada lado
x + 4 - 6 = 2 (Ejemplo)

17. Ecuaciones (Ecuaciones (contcont.).)
• Cada término en ambos lados se puede
multiplicar o dividir por el mismo factor.
5x
4; 4 5; 20
5 5
x
x= = × =
5 15
5 15; ; 3
5 5
x
x x= = =
2x 6 4
2 6 4; ; 3 2; 5
2 2 2
x x x− = − = − = =

18. • Las mismas reglas se pueden aplicar a ecuaciones
literales (a veces llamadas fórmulas).
Ecuaciones (Ecuaciones (contcont.).)
2 1F m g m g= −Resuelva para g:
Aísle g al factorizar: 2 1( )F g m m= −
Divida ambos lados por: (m2 – m1)
Resuelto para g:
)( 12 mm
F
g
−
=

19. Ecuaciones (Ecuaciones (contcont.).)
• Ahora observe uno más difícil. (Todo lo
que se necesita es aislar la incógnita.)
2
; resuelva para g
mv
F = mg +
R
:
2
R
mv
Reste mg
R
mv
F =−
2
Divida entre m: g
R
v
m
F
=−
2
Resuelto para g: R
v
m
F
g
2
−=

20. Ecuaciones (Ecuaciones (contcont.).)
• Cada lado se puede elevar a una potencia o se
puede sacar la raíz de cada lado.
; resuelva para v
R
mv
mgF
2
+=
Reste mg:
R
mv
mgF
2
=−
Divida por m; multiplique por R:
2
vgR
m
FR
=−
Resuelto para v: gR
m
FR
v −=

21. ¡Esto se pone más duro!¡Esto se pone más duro!
Hombre... La aritmética es unaHombre... La aritmética es una
cosa, pero necesitaré ayudacosa, pero necesitaré ayuda
para resolver esas letras.para resolver esas letras.

22. Reordenamiento de fórmulasReordenamiento de fórmulas
Considere la siguiente fórmula:Considere la siguiente fórmula:
A C
B D
=
Multiplique porMultiplique por BB parapara
resolver pararesolver para AA::
BA BC
B D
=
Note queNote que BB se movióse movió
arriba a la derechaarriba a la derecha..
1
A BC
D
=
BC
A
D
=
Por tanto, la soluciónPor tanto, la solución
parapara AA es:es:

23. Ahora resuelvaAhora resuelva
parapara DD
A C
B D
=
1. Multiplique por1. Multiplique por DD 2. Divida por2. Divida por AA
3. Multiplique por3. Multiplique por BB 4. Solución para4. Solución para DD
DD se mueve arriba a la izquierda.se mueve arriba a la izquierda. AA se mueve abajo a la derecha.se mueve abajo a la derecha.
BB se mueve arriba a la derecha.se mueve arriba a la derecha. Entonces se aíslaEntonces se aísla DD..
DA DC
B D
=
DA C
AB A
=
BD BC
B A
=
BC
D
A
=

24. Cruces para factoresCruces para factores
Cuando en una fórmula sólo hayCuando en una fórmula sólo hay dos términosdos términos
separados por un signo igual, se pueden usar losseparados por un signo igual, se pueden usar los
crucescruces..
AB DE
C F
= ¡¡CrucesCruces sólosólo
para factores!para factores!
A continuación se dan ejemplos deA continuación se dan ejemplos de
soluciones:soluciones:
1
A CDE
BF
=
1
F CDE
AB
=
1
ABF D
CE
=

25. Ejemplo 4:Ejemplo 4: Resolver paraResolver para n.n.
PV = nRT
PV nRT
1 1
=
R T
=
PV n
1R T
R T
PV
n
RT
=
=
PV n
1R T

26. SEÑAL DESEÑAL DE
ADVERTENCIAADVERTENCIA
PARAPARA
CRUCESCRUCES
¡El método de¡El método de crucescruces SÓLOSÓLO
funciona para FACTORES!funciona para FACTORES!
( )a b c e
d f
+
=
La c no se puede mover a menos
que se mueva todo el factor (b + c).
Solución paraSolución para aa::
( )
ed
a
b c f
=
+
Caution
Caution

27. Ejemplo 5:Ejemplo 5: Resolver paraResolver para f.f.
( )a b c e
d f
+
=
Primero muevaPrimero mueva ff para tenerlo en el numerador.para tenerlo en el numerador.
( )a b c ef
d
+
=
A continuación muevaA continuación mueva aa, d y (b + c), d y (b + c)
( )
ed
f
a b c
=
+

28. Cuándo usar cruces:Cuándo usar cruces:
1. Los cruces sólo funcionan1. Los cruces sólo funcionan
cuando una fórmula tiene UNcuando una fórmula tiene UN
término en cada lado de unatérmino en cada lado de una
igualdad.igualdad.
2. ¡Sólo se pueden mover2. ¡Sólo se pueden mover
FACTORES!FACTORES!
AB DE
C F
=

29. AVISO: ¡NO MUESTRE ESTEAVISO: ¡NO MUESTRE ESTE
MÉTODO DE “CRUCES” AMÉTODO DE “CRUCES” A
UN MAESTRO DEUN MAESTRO DE
MATEMÁTICAS!MATEMÁTICAS!
Use la técnica porque
funciona y es efectiva.
Reconozca los problemas de
confundir factores con
términos.
Use la técnica porque
funciona y es efectiva.
Reconozca los problemas de
confundir factores con
términos.
PERO... No espere que le
guste a todos los profesores.
Utilícela en secreto y no le
diga a nadie.
PERO... No espere que le
guste a todos los profesores.
Utilícela en secreto y no le
diga a nadie.

30. Con frecuencia es necesario usarCon frecuencia es necesario usar
exponentes en aplicacionesexponentes en aplicaciones
físicas.físicas.
EE == mcmc22
E = m ( c c )E = m ( c c )
El exponente “2”El exponente “2”
significa “ c” por “c”significa “ c” por “c”
E = mcE = mc22
Cubo
de
lado x
El volumen de un cuboEl volumen de un cubo
de lado x es “xde lado x es “x  xx  x” ox” o
V = xV = x33

31. ¡ Camino escabroso por¡ Camino escabroso por
delante !delante !
Las reglas de exponentesLas reglas de exponentes
y radicales son difícilesy radicales son difíciles
de aplicar, perode aplicar, pero
necesarias en notaciónnecesarias en notación
física.física.
Por favor, ábrase paso aPor favor, ábrase paso a
través de esta revisión;través de esta revisión;
pida ayuda si espida ayuda si es
necesario.necesario.

32. Exponentes y radicalesExponentes y radicales
Reglas de multiplicaciónReglas de multiplicación
Cuando se multiplican dos cantidades de laCuando se multiplican dos cantidades de la
misma base, su producto se obtiene al sumarmisma base, su producto se obtiene al sumar
algebraicamente los exponentes.algebraicamente los exponentes.
Cuando se multiplican dos cantidades de laCuando se multiplican dos cantidades de la
misma base, su producto se obtiene al sumarmisma base, su producto se obtiene al sumar
algebraicamente los exponentes.algebraicamente los exponentes.
( )( )m n m n
a a a +
=
Ejemplos:Ejemplos:
3 5 3 5 8
2 2 2 2+
⋅ = = 4 1 5 6
x x x x+
⋅ = =

33. Reglas de exponentesReglas de exponentes
Exponente negativo:Exponente negativo: Un término distinto deUn término distinto de
cero puede tener un exponente negativocero puede tener un exponente negativo
como se define a continuación:como se define a continuación:
Exponente negativo:Exponente negativo: Un término distinto deUn término distinto de
cero puede tener un exponente negativocero puede tener un exponente negativo
como se define a continuación:como se define a continuación:
1 1
orn n
n n
a a
a a
−
−
= =
Ejemplos:Ejemplos:
2
2
1
2 0.25
2
−
= =
2 3 3 4 7
4 2 2
x y y y y
y x x
−
−
= =

34. Exponentes y radicalesExponentes y radicales
Exponente ceroExponente cero
Exponente cero:Exponente cero: Cualquier cantidadCualquier cantidad
elevada a la potencia cero es igual a 1.elevada a la potencia cero es igual a 1.
Exponente cero:Exponente cero: Cualquier cantidadCualquier cantidad
elevada a la potencia cero es igual a 1.elevada a la potencia cero es igual a 1.
SÍ, es correctoSÍ, es correcto
¡CUALQUIER¡CUALQUIER
COSA!COSA! Elevada a laElevada a la
potencia cero es “1”potencia cero es “1”
( )
0
1=
0
El exponente cero: a = 1

35. Exponentes y radicalesExponentes y radicales
Exponente ceroExponente cero
Exponente cero:Exponente cero: Considere los siguientesConsidere los siguientes
ejemplos para exponentes cero.ejemplos para exponentes cero.
Exponente cero:Exponente cero: Considere los siguientesConsidere los siguientes
ejemplos para exponentes cero.ejemplos para exponentes cero.
0 3 0 3
x y z y=
03
4
0
1
0.333
3 3
x
y
z
−
 
 
  = =
0
El exponente cero: a = 1

36. Otras reglas de exponentesOtras reglas de exponentes
Regla de división:Regla de división: Cuando seCuando se
dividen dos cantidades de ladividen dos cantidades de la
misma base, su cociente semisma base, su cociente se
obtiene al restar algebraicamenteobtiene al restar algebraicamente
los exponentes.los exponentes.
Regla de división:Regla de división: Cuando seCuando se
dividen dos cantidades de ladividen dos cantidades de la
misma base, su cociente semisma base, su cociente se
obtiene al restar algebraicamenteobtiene al restar algebraicamente
los exponentes.los exponentes.
m
m n
n
a
a
a
−
=
Ejemplo:Ejemplo:
4 2 4 1 2 5 3 3 3
5 3
1 1
x y x y x y x
xy y
− − −
= = =

37. Reglas de exponentes (Reglas de exponentes (contcont.):.):
Potencia de una potencia:Potencia de una potencia:
Cuando una cantidadCuando una cantidad aamm
sese
eleva a la potenciaeleva a la potencia mm::
Potencia de una potencia:Potencia de una potencia:
Cuando una cantidadCuando una cantidad aamm
sese
eleva a la potenciaeleva a la potencia mm::
( )
n
m mn
a a=
Ejemplos:Ejemplos:
3 5 (5)(3) 15 2 3 6
( ) ; ( )x x x q q− − +
= = =

38. Reglas de exponentes (Reglas de exponentes (contcont.):.):
Potencia de un producto: Se
obtiene al aplicar el exponente a
cada uno de los factores.
Potencia de un producto: Se
obtiene al aplicar el exponente a
cada uno de los factores.
Ejemplo:Ejemplo:
12
3 2 4 (3)(4) ( 2)(4) 12 8
8
( )
x
x y x y x y
y
− − −
= = =
( )
m m m
ab a b=

39. Reglas de exponentes (Reglas de exponentes (contcont.):.):
Potencia de un cociente:Potencia de un cociente: SeSe
obtiene al aplicar el exponente aobtiene al aplicar el exponente a
cada uno de los factores.cada uno de los factores.
Potencia de un cociente:Potencia de un cociente: SeSe
obtiene al aplicar el exponente aobtiene al aplicar el exponente a
cada uno de los factores.cada uno de los factores.
n n
n
a a
b b
  
=   
   
Ejemplo:Ejemplo:
33 2 9 6 9 9
3 3 9 3 6
x y x y x p
qp q p q y
− −
− −
 
= = 
 

40. Raíces y radicalesRaíces y radicales
Raíces de un producto:Raíces de un producto: LaLa nn--
ésima raíz de un producto esésima raíz de un producto es
igual al producto de lasigual al producto de las nn--
ésimas raíces de cada factor.ésimas raíces de cada factor.
Raíces de un producto:Raíces de un producto: LaLa nn--
ésima raíz de un producto esésima raíz de un producto es
igual al producto de lasigual al producto de las nn--
ésimas raíces de cada factor.ésimas raíces de cada factor.
n n n
ab a b=
3 3 3
8 27 8 27 2 3 6⋅ = ⋅ = ⋅ =
Ejemplo:Ejemplo:

41. Raíces y radicales (Raíces y radicales (contcont.).)
Raíces de una potencia:Raíces de una potencia: LasLas
raíces de una potencia seraíces de una potencia se
encuentran con la definiciónencuentran con la definición
de exponentes fraccionarios:de exponentes fraccionarios:
Raíces de una potencia:Raíces de una potencia: LasLas
raíces de una potencia seraíces de una potencia se
encuentran con la definiciónencuentran con la definición
de exponentes fraccionarios:de exponentes fraccionarios:
/n m m n
a a=
16 12 16/4 12/ 4 4 34
x y x y x y= =
Ejemplos:Ejemplos:
6 3 6/3 3/3 2
3
9 9/3 3
x y x y x y
z z z
= =

42. Notación científicaNotación científica
0 000000001 10
0 000001 10
0 001 10
1 10
1000 10
1 000 000 10
1 000 000 000 10
9
6
3
0
3
6
9
.
.
.
, ,
, , ,
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
LaLa notación científicanotación científica proporciona un método abreviado paraproporciona un método abreviado para
expresar números o muy pequeños o muy grandes.expresar números o muy pequeños o muy grandes.
Ejemplos:
93,000,000 mi = 9.30 x 107
mi
0.00457 m = 4.57 x 10-3
m
2
-3
876 m 8.76 x 10 m
0.0037 s 3.7 x 10 s
v = =
5
3.24 x 10 m/sv =

43. GráficasGráficas
Relación directaRelación directa
Valores crecientes en
el eje horizontal causan
un aumento
proporcional en los
valores del eje vertical.
Valores crecientes en
el eje horizontal causan
un aumento
proporcional en los
valores del eje vertical.
Valores crecientes en
el eje horizontal causan
una disminución
proporcional en los
valores del eje
horizontal.
Valores crecientes en
el eje horizontal causan
una disminución
proporcional en los
valores del eje
horizontal.
Relación indirectaRelación indirecta

44. GeometríaGeometría
LosLos ángulosángulos se miden ense miden en
términos de grados, detérminos de grados, de 0°0° aa
360360ºº..
LíneaLínea ABAB eses perpendicularperpendicular
a líneaa línea CDCD
A
B
C D
AB CDAB CD
270º
180º 0º, 360º
90º
ángulo
A
B
C
D
LíneaLínea ABAB
eses paralelaparalela
a líneaa línea CDCD
AB CDAB CD

45. Geometría (Geometría (contcont.).)
CuandoCuando dos líneasdos líneas
rectas intersecanrectas intersecan,,
forman ángulosforman ángulos
opuestos iguales.opuestos iguales.
A A ′
B ′
B
ángulo A = ángulo A′
ángulo B = ángulo B ′
ángulo A = ángulo A′
ángulo B = ángulo B ′
Cuando unaCuando una línea rectalínea recta
interseca dos líneas paralelasinterseca dos líneas paralelas,,
los ángulos internos alternoslos ángulos internos alternos
son iguales.son iguales.
A
A ′
B ′B
ángulo A = ángulo A′
ángulo B = ángulo B ′
ángulo A = ángulo A′
ángulo B = ángulo B ′

46. Geometría (Geometría (contcont.).)
Para todo triángulo, laPara todo triángulo, la
suma de los ángulossuma de los ángulos
internos es 180ºinternos es 180º
Para todo triánguloPara todo triángulo
recto, larecto, la suma de lossuma de los
dos ángulos másdos ángulos más
pequeños es 90ºpequeños es 90º
A + B + C = 180°A + B + C = 180°
AC
B
A + B = 90°A + B = 90°
AC
B

47. Ejemplo 6:Ejemplo 6: Use geometría para determinarUse geometría para determinar
en la figura los ángulos desconocidosen la figura los ángulos desconocidos φφ yy θθ..
1. Dibuje líneas1. Dibuje líneas
auxiliaresauxiliares ABAB yy CDCD.. β
500
200
φ θ2. Note:2. Note: θθ + 50+ 5000
= 90= 9000
A BC
D
θ = 400θ = 400
β =β = 202000
3. Ángulos internos alternos son
iguales:
4. ACD es ángulo recto: ββ ++ φφ ++ θθ = 90= 9000
200
+ φ + 400
= 900 φ = 300φ = 300

48. Trigonometría de triángulo rectoTrigonometría de triángulo recto
Con frecuencia, los ángulos se representan
con letras griegas:
α alfa β beta γ gamma
θ theta φ phi δ delta
Con frecuencia, los ángulos se representan
con letras griegas:
α alfa β beta γ gamma
θ theta φ phi δ delta
Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras
El cuadrado de laEl cuadrado de la
hipotenusa es igual a lahipotenusa es igual a la
suma de los cuadradossuma de los cuadrados
de los otros dos lados.de los otros dos lados.
Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras
El cuadrado de laEl cuadrado de la
hipotenusa es igual a lahipotenusa es igual a la
suma de los cuadradossuma de los cuadrados
de los otros dos lados.de los otros dos lados.
R
x
y
2 2 2
2 2
R x y
R x y
= +
= +

49. Trigonometría de triángulo rectoTrigonometría de triángulo recto
hip
ady
opθ
El valorEl valor senoseno de un triángulo rectode un triángulo recto
es igual a la razón de la longitudes igual a la razón de la longitud
del ladodel lado opuestoopuesto al ángulo, a laal ángulo, a la
longitud de lalongitud de la hipotenusahipotenusa deldel
triángulo.triángulo.
sen
Op
Hip
θ =
El valorEl valor cosenocoseno de un triángulo recto es igual a lade un triángulo recto es igual a la
razón de la longitud del ladorazón de la longitud del lado adyacenteadyacente al ángulo,al ángulo,
a la longitud de laa la longitud de la hipotenusahipotenusa del triángulo.del triángulo.
cos
Ady
Hip
θ =
El valorEl valor tangentetangente de un triángulo recto es igualde un triángulo recto es igual
a la razón de la longitud del ladoa la razón de la longitud del lado opuestoopuesto alal
ángulo, al ladoángulo, al lado adyacenteadyacente al ángulo.al ángulo.
tan
Op
Ady
θ =

50. Ejemplo 5:Ejemplo 5: ¿Cuál es la distancia¿Cuál es la distancia xx aa
través del lago y cuál el ángulotravés del lago y cuál el ángulo θθ??
x
20 m
12 m θ
RR = 20 m es la hipotenusa.= 20 m es la hipotenusa.
Por el teorema de Pitágoras:Por el teorema de Pitágoras:
2 2 2
(20) (12)x= +
400 144 256x = − =
x = 16 mx = 16 m
θ = 53.10θ = 53.10
12 m
cos
20 m
ady
hip
θ =

51. ResumenResumen
• Para sumar dos números dePara sumar dos números de igual signoigual signo,,
sume los valores absolutos de los númerossume los valores absolutos de los números
y asigne a la suma el signo común.y asigne a la suma el signo común.
• Para sumar dos números de signo distinto,
encuentre la diferencia de sus valores
absolutos y asigne el signo del número más
grande.
• ParaPara restarrestar un número signadoun número signado bb de otrode otro
número signadonúmero signado aa, cambie el signo de, cambie el signo de bb yy
súmelo asúmelo a aa, con la regla de la suma., con la regla de la suma.

52. Resumen (Resumen (contcont.).)
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos distintossignos distintos,,
su producto essu producto es negativonegativo..
• Si dos números tienenSi dos números tienen signos igualessignos iguales,,
su producto essu producto es positivopositivo..
• El resultado será positivo si todos los
factores son positivos o si hay un número
par de factores negativos.
• El resultado será negativo si hay un
número impar de factores negativos.

53. ResumenResumen
1n
n
a
a
−
=
0
1a =
1n
n
a
a−
=
m
m n
n
a
a
a
−
= ( )
n
m mn
a a=( )( )m n m n
a a a +
=
Trabajo con ecuaciones:
• Sume o reste el mismo valor a
ambos lados.
• Multiplique o divida ambos lados
por el mismo valor.
• Eleve al cuadrado o saque raíz
cuadrada a ambos lados.
Trabajo con ecuaciones:
• Sume o reste el mismo valor a
ambos lados.
• Multiplique o divida ambos lados
por el mismo valor.
• Eleve al cuadrado o saque raíz
cuadrada a ambos lados.

54. Resumen (Resumen (contcont.).)
( )
m m m
ab a b=
n n
n
a a
b b
  
=   
   
n n n
ab a b=
/n m m n
a a=
Revise las secciones acerca deRevise las secciones acerca de
notación científicanotación científica,, geometríageometría,,
gráficasgráficas yy trigonometríatrigonometría segúnsegún
requiera.requiera.
Revise las secciones acerca deRevise las secciones acerca de
notación científicanotación científica,, geometríageometría,,
gráficasgráficas yy trigonometríatrigonometría segúnsegún
requiera.requiera.

55. Repaso de trigonometríaRepaso de trigonometría
• Se espera que sepa lo siguiente:Se espera que sepa lo siguiente:
y
x
R
θ
y = R sen θy = R sen θ
x = R cos θx = R cos θcos
x
R
θ =
tan
y
x
θ = R2 = x2 + y2R2 = x2 + y2
TrigonometríaTrigonometría
sen
y
R
θ=

56. Conclusión del Capítulo 2Conclusión del Capítulo 2
Matemáticas técnicasMatemáticas técnicas