1. Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
Área Ciencia de la Salud
Programa Ingeniería Biomédica
Unidad Curricular Introducción a la Ingeniería Biomédica
MODELOS MATEMATICOS
T.S.U.:
Casaña, Luis
C.I: 19.511.019

2. INTRODUCCION
El modelo es la forma que utiliza el ser humano para realizar una
referencia o imitar la realidad, así poder entender y explicar de esta
manera fenómenos que guardan cierta relación. Desde hace muchos
años los modelos matemáticos se han considerado una forma más simple
de estudiar sistemas biológicos, así como desde el inicio de la teoría de
Fibonacci de crecimiento de poblaciones de conejos, a la teoría del caos.
Los sistemas biológicos son una clase muy particular de sistemas físicos
que presentan gran complejidad en sus diversos niveles, es casi
imposible realizar todas las mediciones deseadas para el estudio y
muchas veces los sistemas dinámicos deben ser considerados como
estáticos, y los no lineales como lineales.
La rápida actualización del software matemático a que los modelos
sean más utilizados, debido a que pueden realizarse de una manera fácil
para el diseñador. Es importante mencionar que un modelo matemático
no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se
trata de una idealización. De acuerdo a la proveniencia de la información
en que se basa el modelo, podemos distinguir entre modelo heurístico,
que se apoya en las definiciones de las causas o los mecanismos
naturales que originan el fenómeno en cuestión, y modelo empírico,
enfocado en el estudio de los resultados de la experimentación. En el
siguiente trabajo se explica el modo de realización de un modelo
matemático, así como su clasificación y utilización en las ciencias
biomédicas.

3. MODELOS MATEMATICOS
Un Modelo Matemático se define como una descripción desde el
punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo
real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la
velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo es entender
ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el
futuro [1]. En ciencias aplicadas, un modelo matemático es uno de los
tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo
matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de
hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o
entidades u operaciones para estudiar comportamientos de sistemas
complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.
El desarrollo de las computadoras ha sido impulsador del modelaje
matemático y la simulación computacional, ya que todo lo que se puede
concebir se puede modelar en un corto periodo de tiempo. Esto hace del
modelaje y la simulación una parte inseparable e importante de las
ciencias biomédicas.
En la medicina se realizan modelos clínicos o artículos de estudios,
modelos moleculares donde se indica la interacción de moléculas, redes
neurales, ecuaciones estructurales que son mediciones clínicas que
representan algo como la medición de la masa corporal, recopilando una
versión simplificada de la realidad.

4. El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:
o Encontrar un problema del mundo real.
o Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando
variables (dependientes e independientes) y estableciendo
hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera
matemática.
o Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a
conclusiones matemáticas.
o Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales.
Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.
o Es importante mencionar que un modelo matemático no es
completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se
trata de una idealización.
o Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones
observadas en el algebraicamente como gráficamente.
Teóricamente describe un objeto que existe fuera del campo de las
matemáticas. Las previsiones del tiempo y los pronósticos económicos,
por ejemplo, están basados en modelos matemáticos. Su éxito o fracaso
depende de la precisión con la que se construya esta representación
numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones
naturales en forma de variables relacionadas entre sí.
Básicamente un modelo matemático tiene 3 fases:
o La construcción, proceso en el que se convierte el objeto a
lenguaje matemático.
o El análisis o estudio del modelo confeccionado;
o La interpretación de dicho análisis, donde se aplican los resultados
del estudio al objeto del cual se partió.

5. MODELAJE DE UN SISTEMA
P (t)
R (t)
S1 (t)
Sistema
Modelo
Matemático
Algoritmo
de Ajuste
Criterio del
investigador
v
C (t)
E (t)
Sa (t)
I (t)
Para encontrar los parámetros óptimos del modelo matemático y del
sistema fisiológico ambos son excitados con la misma entrada I (t).
Las dos salidas S1 (t) y S (2), se comparan y la diferencia entre las
dos, la señal de error E (t), se usa para formar la función de criterio C
(t). El algoritmo de ajuste cambia iterativamente los valores de los
parámetros hasta que la función criterio es minimizada [1]. Se
pueden seguir los pasos apropiados para considerar el ruido R (t)
que introducen los aparatos de medida y las acciones de otros
sistemas P (t).
Parámetro
De Ajuste A (t)

6. MODELAJE DE SISTEMAS BIOMEDICOS
En las ciencias biomédicas el propósito de la investigación es
comprender las funciones del cuerpo humano, en conjunto a la
investigación surgen problemáticas donde se evalúa si esta puede ser
probada en seres humanos, si afectara al sistema biológico o no. En estos
casos es utilizado un modelo animal donde la selección de la especie
depende de la naturaleza del estudio y de la capacidad del modelo para
dar la información requerida. Estos modelos se utilizan frecuentemente
con la finalidad de extrapolar los resultados al comportamiento humano.
En el modelo animal, existe la preparación in vitro en la cual parte de un
organismo se estudia bajo condición artificial [1], una de sus ventajas es
que se tiene la posibilidad de usar técnicas experimentales como el
registro con microelectrodos intracelulares. Una desventaja, es la
separación del órgano o tejido de sus interacciones con otras partes del
cuerpo.
Figura 1: Ejemplo de modelo animal.
Sin embargo, aún en estos modelos, es casi imposible realizar
todas las medidas deseadas y también es muy difícil simular en un
modelo físico todos los detalles de un sistema biológico. Muchas
situaciones muy distintas, como pueden ser la actividad cerebral, el
electrocardiograma, la dinámica de poblaciones, el desarrollo embrionario,
la evolución de las enfermedades, son escenarios muy difíciles de

7. modelar a través de modelos elementales. Sin embargo, podemos realizar
las simplificaciones convenientes que expliquen parcialmente el
comportamiento del sistema o bien aplicar unas nuevas herramientas
matemáticas, como es el uso de la geometría fractal, para explicar la
variabilidad de la frecuencia del corazón (Ver figura 2).
Figura 2: Estructura general E-S de un sistema [2].
La mayoría de los sistemas biológicos no pueden estudiarse
formalmente en forma directa, por ello es necesario extraer del sistema
real, sus características más importantes.
Tal extracción se denomina abstracción, reducción o modelo de la
realidad. El proceso del modelaje no es lineal sino recursivo e iterativo, en
la mayoría de los casos. Este proceso se puede describir como un
sistema de retroalimentación negativa [1], cuando el resultado de la
comparación genera una señal de error pequeña, Montero y Morán (Op.
Cit, p. 213) sostienen que:

8. Las mismas hipótesis de partida y los mecanismos postulados nos dan
información de la naturaleza y el porqué del comportamiento del sistema en
estudio. Evidentemente, esto representa un conocimiento mayor de dicho sistema,
de ahí el planteamiento de la modelización como vía de acceso al conocimiento
de la realidad.
Figura 3: Retroalimentación Negativa [2].
OBJETIVOS DE UN MODELO MATEMATICO
Según el objetivo del modelo, podemos describir lo siguiente:
1) Alcanzar una mejor comprensión de dichos sistemas.
2) Formular cuantitativamente los fenómenos.
3) Predecir el comportamiento del sistema sobre la base de pocos
parámetros.
4) Seleccionar adecuadamente suposiciones simplificadoras que no
distorsionen los resultados del montaje.
H
Gd
+
-
X Y

9. REQUISITOS DEL MODELO MATEMATICO
1) Usar términos de parámetros significativos y mensurables en el
sistema fisiológico.
2) Tener información completa sobre el sistema fisiológico a modelar.
3) Debe ser simple para evaluar de manera fácil el comportamiento e
influencia de los componentes individuales.
4) Permitir alteraciones en las suposiciones y parámetros del sistema.
5) Debe manipularse más fácil que el sistema fisiológico.
6) Debe servir como guía para el investigador.
7) Debe tener capacidad de predicción.
8) Debe ser un sustituto del sistema real.

10. TIPOS DE MODELOS MATEMATICOS
Los modelos matemáticos se pueden clasificar, atendiendo a
diversos criterios:
1) Según el grado de profundidad con que se contempla el sistema.
a) De simulación directa: presentan el comportamiento del
sistema como un todo, sin entrar en detalles (sin fijarse en
mecanismos particulares de las partes).
b) De enfoque sistémico: llamados también casuales, mantiene
la presentación del comportamiento como un todo pero
considera la interacción y evolución de las partes.
c) De análisis cinético: se basan en las ecuaciones de
evaluación de las partes.
Figura 4: Tipos de Modelos.

11. PRUEBAS DEL MODELO MATEMATICO (SIMULACION)
La simulación es la operación de un modelo con el propósito de
validarlo y comprender las variaciones que ocurrirán en el sistema cuando
se modifiquen uno o más parámetros. Se confrontan los resultados con
los obtenidos por la experimentación con el sistema real con la utilización
de simulaciones computacionales con el modelo matemático.
Computador analógico. Simulación analógica.
Las variables de entrada u operandos (cantidades que van a ser
operadas o procesadas), son capaces de variar continuamente en ciertos
rangos, por esto, esta clase de máquinas se denomina máquinas de
modo continuo. Realmente, las variables de entrada pueden presentarse
en una forma discreta, pero esta discretitud no es de naturaleza
fundamental sino que depende del diseño de la máquina. La precisión de
las variables de entrada y de salidas es baja, lo cual restringe las
posibilidades de simulación.
Un computador analógico es un arreglo conveniente de circuitos
electrónicos más u panel de control que habilita al operador para
interconectarlos de tal manera que las relaciones cuantitativas entre ellos
son idénticas a las del sistema real que está siendo analizado. La
simulación analógica es la operación o puesta en marcha de un modelo
utilizando aquellos computadores analógicos que representan un análogo
físico.

12. Figura 5: Sensor detector de la señal Electromiografica, ejemplo de un
computador Analógico.
Computador digital. Simulación digital.
Los computadores digitales son máquinas que representan en
notación digital a las variables matemáticas y las diversas operaciones
con esas variables se realizan por medio de operaciones matemáticas
entre dígitos.
Computadores híbridos.
Estos computadores poseen características de los dos anteriores.
Están constituidos por un computador digital que procesa información
analógica por lo cual usa tarjetas convertidoras (interfaces) analógicas-
digitales.
Computador
Digital
Conversión
Analógica-Digital
Sistema
Experimental
Sensor
Actuador

13. CONCLUSION
Muchas personas huyen de las matemáticas estudiando otro tipo
de carrera pensando que no trabajaran con ellas, pero esto no es real
para todo se requiere de las matemáticas y a partir de esto se generan
modelos que ayudan a entender mejor fenómenos existentes en la vida
cotidiana. Desde que el hombre aprendió a analizar cuenta y crea la
matemática que hoy en día conocemos “El hombre aprendió primero a
contar y luego escribir”. En las ciencias Biomédicas es necesario crear
modelos y definirlos en forma matemática para los diferentes diseños de
equipos médicos, prótesis humanas, biomateriales, y procesamiento de
señales fisiológicas así como para la el acondicionamiento y presentación
de esta, los modelos como su nombre lo indica imita a la realidad mas no
es real, solo nos ayuda a estudiar y analizar de una manera más sencilla
los sistemas biológicos existentes en el cuerpo humano que durante el
transcurso del tiempo cambia, el modelo no es el modelo, siempre estará
actualizándose a mejor.

14. BIBLIOGRAFÍA
1. D` Alessandro Martínez, W. Bracamonte Barán y A. Sutil Rosas.
MODELOS MATEMÁTICOS EN LA INVESTIGACIÓN BIOMÉDICA.
2. Prof. Rafael González. DIAPOSITIVAS. Introducción a los Sistemas
de Medida.
3. Dr. Juan Carlos López Alvarenga, Dr. José Antonio García García,
Dra. María Elena Romero Ibargüengoitia. www.youtube.com.
Sesión General “Modelos Matemáticos Aplicados en la Medicina”.