1. 18
1.3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS: EXPANSIONES EN SERIES
Y REPRESENTACION POLAR
(1.3_CvR_T_061, Revisión: 29-08-06, C4, C5)
1.3.1 NOCIONES FUNDAMENTALES.
-Definidas en términos de los lados de un triángulo rectángulo: h
sen ; cos ; tan
o a o
h h a
θ θ θ= = = o
-Derivadas de las funciones trigonométricas: a
Para deducir las derivadas de estas
funciones, comencemos por demostrar
que:
p
0
sen
lim 1
θ
θ
θ→
= (θ en radianes)
De la figura podemos ver que:
r OPQOPCOPR AAA ≤≤
(comparando áreas de los triángulos)
0 R C Q
ARCO DE UN CÍRCULO (S)
Las áreas para cada triángulo son explícitamente
1
cos sen
2
OPRA r rθ θ=
AOPC = Fracción del círculo contenida en el arco con ángulo θ=
2
2
2 2
r
r
θ θ
π
π
 
= 
 
21 1
tan tan
2 2
OPQA rr rθ θ= =
Podemos entonces establecer la comparación de áreas de los triángulos de acuerdo a:
2
2 21 1
cos sen tan
2 2 2
r
r r
θ
θ θ θ≤ ≤
Dividiendo entre r2
senθ :
1
cos
sen cos
θ
θ
θ θ
≤ ≤
Para 0θ → tenemos
0
sen
1 1, lim 1
sen θ
θ θ
θ θ→
≤ ≤ ⇒ =
θ
θ

2. 19
De aquí podemos deducir también que senθ ≈θ, para valores muy pequeños de θ.
Además, a partir de la identidad trigonométrica cos2
θ+sen2
θ = 1 podemos obtener:
( ) ( )
1 1
2 22 2
cos 1 sen 1θ θ θ= − = −
Utilizando el teorema del binomio: ( ) 2 3( 1) ( 1)( 2)
1 1
2! 3!
p p p p p p
x xp x x
− − −
+ ≡ + + + +
( ) ( )
1
2 2 32
0
1
cos 1 1 , limcos 1
2
O
θ
θ θ θ θ θ
→
= − = − + ⇒ =
Utilizando estas deducciones y recordando que sen(A+B)=senAcosB+cosAsenB, podemos
obtener las derivadas de las funciones, e.g.:
0
sen( ) sen
sen lim
d
d θ
θ θ θ
θ
θ θ∆ →
+ ∆ −
=
∆
0
sen cos cos sen sen
lim
θ
θ θ θ θ θ
θ∆ →
∆ + ∆ −
=
∆
0
sen (cos 1) cos sen
lim
θ
θ θ θ θ
θ∆ →
∆ − + ∆
=
∆
Sabemos que:
0
0
sen
lim 1, sen
limcos 1
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
→
→
= ⇒ ≈
=
0 0
sen (cos 1) cos sen cos
lim lim
θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ∆ → ∆ →
∆ − + ∆ ∆
∴ =
∆ ∆
⇒ Similarmente: cos sen
d
d
θ θ
θ
= −
Utilizando las reglas para derivar productos y cocientes de funciones pueden obtenerse las
derivadas del resto de las f unciones trigonométricas (i.e., tanθ, secθ, etc.)
1.3.2 EXPANSIÓN EN SERIE DE TAYLOR.
Expandiendo estas funciones alrededor de x0=0 obtenemos: ( )
0
( )
( ) (0)
!
k
k
k
x
f x f
k
∞
=
= ∑
sen cos
d
d
θ θ
θ
=

3. 20
( ) sen ; ( ) cos ; ( ) sen ; ( ) cosf x x f x x f x x f x x′ ′′ ′′′= = = − = −
Evaluando las derivadas en el punto de interés:
(0) 0; (0) 1; (0) 0; (0) 1f f f f′ ′′ ′′′= = = = −
3 5 7 2 1
0
( ) ....... ( 1) sen( )
3! 5! 7! (2 1)!
n
n
n
x x x x
f x x x
n
+∞
=
→ = − + − + = − =
+
∑
Similarmente se obtiene:
)!2(
)1(....
!6!4!2
1)cos()(
2
0
642
n
xxxx
xxf
n
n
n
∑
∞
=
−=+−+−==
1.3.3 FUNCIONES INVERSAS.
Para evitar ambigüedades por la periodicidad y la simetría de estas funciones, el ángulo se
restringe al intervalo.
→≤≤−
22
π
θ
π
Con esto se garantiza una función inversa única.
Las derivadas de estas funciones pueden obtenerse mediante manipulación algebraica de las
funciones originales, e.g.:
1
seny x−
=
2 2
sen cos( ) 1 sen ( ) 1
dx
x y y y x
dy
= → = = − = −
2
1
1
xdx
dy
−
=⇒
1.3.4 REPRESENTACION POLAR DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Utilizando la serie de Taylor alrededor de x0=0 para la función exponencial, i.e.:
2 3 4
1 .....
2! 3! 4!
ex x x x
x= + + + + + ,
podemos hacer un cambio de variable para obtener:
2 3 4 2 3 4 5
( ) ( )
1 ( ) .... 1 .....
2! 3! 4! 2! 3! 4! 5!
eix ix ix ix x ix x ix
ix ix= + + + + + = + − − + + +

4. 21
Manipulando la serie podemos obtener:
2 4 6 3 5
1 ...... ......
2! 4! 6! 3! 5!
cos sen
eix x x x x x
i x
x x
   
= − + − + + − + −   
   
Reconociendo esto y recordando la fórmula de Euler podemos establecer que:
coseix
x isenx= +
Además:
( )
( )
1
cos
2
1
sen
2
e e
e e
ix ix
ix ix
x
x
i
−
−
= +
= −