1. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
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CONJUNTOS NUMERICOS
INTRODUCCION
El objetivo fundamental de estas guías de ejercicios para el primer curso de matemáticas de los
estudiantes de las carreras de ingeniería, es el estudio del cálculo diferencial de funciones de
variable real. Los cursos de matemáticas posteriores exigen sólidos conocimientos de los
fundamentos del ´algebra y teoría de funciones de números reales, razón por la cual el material
propuesto se enfocara en los fundamentos básicos del ´algebra, números reales que los
estudiantes trataron en sus últimos cursos del bachillerato.
NUMEROS REALES: El conjunto de los números Reales (ℛ )está compuesto por los
subconjuntos de los Números Naturales (ℕ), los Números Enteros(ℤ), los Números racionales(ℚ )y
los Números Irracionales (Ι).
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales recibe
el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo ℛ = ℚ ∪ Ι
Los números naturales que surgen con la necesidad de contar
ℕ = {1, 2, 3, 4,...}
Los números enteros que complementan a los naturales pues contienen a los negativos y el cero.
ℤ = {…− 3, −2,−1,0,1,2,3, … }
El conjunto de los Números Racionales (ℚ) que corresponden a la unión de todos los números
cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semi periódica. Es decir, el conjunto de
los números racionales está compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una
fracción cuyo numerador es un número entero y denominador número entero (distinto de cero)
.
ℚ = {… , −
2
3
, −
1
2
, 0,
1
2
,
2
3
, … }
El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números
que admiten una expresión infinita no periódica.
2. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
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1, Lógica proposicional
Realizar las operaciones lógicas utilizando las tablas para encontrar todos los
valores de verdad
𝑎) 𝑝 ∧∼ 𝑞) → ~𝑝
𝑏) 𝑝∨ 𝑞) ∧ 𝑝 → 𝑞)
𝑐) 𝑝 ↔ 𝑞) → ~𝑟
4. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
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2. Teoría de Conjuntos
Realizar las siguientes operaciones entre conjuntos y sombree su respectivo
diagrama de ven
5. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
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U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {0,1,3,5,7,9} B = {0,2,4,6,8} C = {0,1,2,3,5,6,8,9}
𝒂) 𝑨 ∪ 𝑩) ∩ 𝑪
𝒃) 𝑨 ∪ 𝑩) 𝒄
∩ 𝑪
𝒄) 𝑩 𝒄
∩ 𝑪 − 𝑨)
15. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
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𝑐)
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
=
𝑑)
5
3 + 2
=
𝑒)
3 3 + 4 2
2 7
=
12. Utilice las propiedades de los logaritmos para Calcular el valor de (𝑥) en
las siguientes ecuaciones:
𝑎) log 𝑥) + log 20) = 3
𝑏)log 𝑥3) = log 6)+ log 𝑥2
)
𝑐)2log 𝑥) = log 10 − 3𝑥)
16. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
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𝑑)3log 𝑥) − log 32) = log 𝑥) − log 2)
𝑒) ln 𝑥2
− 1) − ln 𝑥 − 1) = ln
1
3
13.Utilice las propiedades de los exponentes para Calcular el valor de (𝑥) en
las siguientes ecuaciones:
𝑎) 3 𝑥
= 27
𝑏)2 𝑥+2
= 16
𝑐) 2 𝑥+1)2
= 64
17. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
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𝑑) 2 𝑥+1
+ 2 𝑥−1
= 20
𝑒) 32𝑥−2
+ 3 𝑥−1
= 12
14.Calcule el valor de (𝑥) en las siguientes proporciones racionales:
𝑎)
7
𝑥
=
42
12
𝑏)
𝑥
3
=
45
15
18. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
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𝑐)
4
6
=
𝑥
8
𝑑)
12
5
=
𝑥
10
𝑒)
𝑥
6
=
6
8
15.Utilice las proporciones para resolver los siguientes problemas:
a) Por un grifo fluye agua a razón de 4 𝑚3
cada 10 horas, ¿Qué cantidad de
agua fluirá en dos semanas?.
19. GUIAS – FUNDAMENTOS MATEMATICOS
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b) Tres alumnos montan una tarima para un evento en 4 horas, ¿Cuánto
tardaran 5 alumnos en montar la misma tarima?.
c) Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas,
¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros
en 26 horas?
d) Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por $792.000
pesos. ¿cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días?
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e) Dos bombas de agua trabajando 3 horas diarias llenan un tinaco en 2 días.
¿En cuánto tiempo se llenará el tinaco con 3 bombas trabajando 2 horas
diarias?
14. Utilice las propiedades de los números reales para resolver las siguientes
ecuaciones:
𝑎) 𝑥2
− 1 = 𝑥 + 1)2
− 3𝑥
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30. Funciones lineales 𝑓 𝑥) = 𝑎𝑥 𝑜 𝑦 = 𝑎𝑥
Para las siguientes funciones lineales haga la gráfica y responda, a) por donde
corta la gráfica al eje y, b) cuál es su pendiente, la función es creciente o
decreciente, c) dibuje la gráfica
.
𝑎) 𝑦 = 4𝑥
𝑏) 𝑓 𝑥) =
1
2
𝑥
𝑐) 𝑦 = −5𝑥
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33. Función Racional 𝑓 𝑥) =
𝑘
𝑥
Para las siguientes funciones racionales hallar a) el dominio de la función, b) las
asíntotas si las tiene, c) corte con los ejes si los tiene.
𝑎) 𝑦 =
3
𝑥 − 1
𝑏) 𝑓 𝑥) =
𝑥 − 2
2𝑥 − 3