1. Иррациональные уравнения. Функциональный метод решения. Лекция 3. Автор: Чипышева Людмила Викторовна, учитель математики МОУ Гимназии №80 г. Челябинска

2. 1. Использование понятия области определения функции. Областью определения функции y=f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл. Областью допустимых значений переменных (ОДЗ) уравнения называется множество значений неизвестного, при которых имеет смысл (то есть определены) его левая и правая части.

3. 1. Использование понятия области определения функции. Пример 1. Решить уравнение: Решение: ОДЗ: Ответ: корней нет Самостоятельно: Докажите, что уравнения не имеют корней:

4. 1. Использование понятия области определения функции. Пример 2. Решить уравнение: Решение: ОДЗ: Проверка: при х=1 Ответ: 1 Самостоятельно: Решите уравнение:

5. 1. Использование понятия области определения функции. Пример 3. Решить уравнение: Решение: Так как левая часть уравнения неотрицательна, то Тогда Проверка: при х=4 Ответ: 4 Самостоятельно: Решите уравнения:

6. 2. Использование понятия множества значений функции. Областью значений функции y=f(x) называется множество значений переменной у при допустимых значениях переменной х. Функция y=f(x) называется ограниченнойна данном промежутке (содержащемся в области её определения), если существует такое число N>0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих этому промежутку Пусть дано уравнение f(x)=g(x), где f(x) и g(x)- элементарные функции, определённые на множествах D1 и D2 . Пусть области значений функций Е1 и Е2 соответственно. Тогда: если а – корень уравнения, то f(а)=g(а). При этом области значений функций имеют общие элементы. Если же таких общих элементов в Е1 и Е2 нет, то уравнение не имеет решений.

7. 2. Использование понятия множества значений функции. Пример 4. Решить уравнение: Решение: Ответ: корней нет. Пример 5. Решить уравнение: Решение: ОДЗ: Ответ: корней нет Самостоятельно: Докажите, что уравнения не имеют решений:

8. 2. Использование понятия множества значений функции. Пусть дано уравнение f(x)=g(x). Если , то решением уравнения является система: Вообще, если функция f(x) на промежутке Х ограничена сверху, причём , а функция g(x) ограничена на промежутке Х снизу, причём , то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе:

9. 2. Использование понятия множества значений функции. Пример 6. Решить уравнение: Решение: Ответ: 0. Самостоятельно:

10. 2. Использование понятия множества значений функции. Пример 7. Решить уравнение: Решение: Ответ: -3.

11. 2. Использование понятия множества значений функции. Самостоятельно: Решите уравнения:

12. 2. Использование свойств монотонности функции. Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на числовом промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Функция только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке. Свойства монотонных функций: Монотонная на промежутке Х функция каждое своё значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка. Если f(x) возрастает (убывает) на Х и g(x) возрастает (убывает) на Х, то h(x)=f(x)+g(x)+c также возрастает (убывает) на Х (с- произвольная постоянная). Если f(x) неотрицательна и возрастает (убывает) на Х и g(x) неотрицательна и возрастает (убывает) на Х, то h(x)=с·f(x)·g(x) также возрастает (убывает) на Х (с- произвольная постоянная). Если f(x) возрастает (убывает) на Х, то - f(x) убывает(возрастает) на Х. Если функция f(x) монотонна на промежутке Х и сохраняет на этом множестве знак, то функция 1/ f(x) на промежутке Х имеет противоположный характер монотонности.

13. 2. Использование свойств монотонности функции. Свойства монотонных функций: 6. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие , то функция h(x)=f(g(x))- возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то функция h(x)=f(g(x))- убывающая функция. Теоремы об уравнениях и неравенствах: 7. Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x)=c имеет на промежутке Х не более одного корня. 8. Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(g(x))=f(h(x)) равносильно уравнению g(x)=h(x). 9. Если функция f(x) возрастает(убывает) на промежутке Х, то неравенство f(g(x))<f(h(x)) равносильно на Х неравенству g(x)<h(x) (g(x)>h(x) ). 10. Если f(x) возрастает на Х, g(x) убывает на Х, то уравнение f(x)=g(x) имеет на Х не более одного корня. 11. Если f(x) возрастает на Х, то уравнение f(f(x))=x равносильно на Х уравнению f(x)=x

14. 2. Использование свойств монотонности функции. Пример 8.Решить уравнение: Решение: ОДЗ: Ответ: - 4. Самостоятельно: Решите уравнения:

15. 2. Использование свойств монотонности функции. Пример 9.Решить уравнение: Решение: Ответ: 3. Самостоятельно: Решите уравнения:

16. 3. Использование свойств чётности и нечётности функций. Функция f(x) называется чётной, если для любого значения хиз области определения функции значение –х также принадлежит области определения и f(-x)=f(x). Функция f(x) называется нечётной, если для любого значения х из области определения функции значение –х также принадлежит области определения и f(-x)= - f(x). Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух чётных функций являются чётными функциями. Теорема 2. Произведение и частное двух нечётных функций представляют собой чётные функции. Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) – чётная или нечётная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записывают отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным, и для нечётной функции корнем будет число х=0, если это значение входит в область определения F(x). Для чётной функции значение х=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение. Самостоятельно: решите уравнение:

17. Проверка ответов: 4) 1 5) 4,25 6) 2,6 9) 1 10) 2 11) 2 12) -4 13) 3 14) 2 15) 1 16) 3 17) 5 18) 4 19) 3 20) 7 21) 3 22) 2 23) -2; 2

18. Источники: Г. И. Ковалёва, Е. В. Конкина «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», М.: Чистые пруды, 2008.