Este plano de trabalho apresenta atividades para ensinar aos alunos do 9o ano sobre equações redutíveis ao segundo grau, começando com uma revisão de equações do segundo grau e depois introduzindo equações biquadradas, mostrando como resolvê-las transformando-as em equações do segundo grau. As atividades são organizadas em grupos e incluem discussões e exercícios.

1. FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA
FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ
COLÉGIO: C.E. GENERAL DUTRA
PROFESSOR: LUCIANE OLIVEIRA DA SILVA
MATRÍCULA: 09512377
SÉRIE: 9º ANO – E. FUNDAMENTAL
TUTOR (A): DANUBIA DE ARAUJO MACHADO
PLANO DE TRABALHO SOBRE EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AO 2º GRAU
Luciane Oliveira da Silva
Lucyanne_uff@yahoo.com.br
1. Introdução:
As primeiras noções do que é uma equação surgem logo nos primeiros anos do
Ensino Fundamental, onde se estudam as equações algébricas dos primeiro e segundo
graus. Fora o caráter formativo de tais conceitos, a verdade é que a grande maioria dos
alunos que prosseguem seus estudos ingressando no Ensino Superior, onde a
Matemática continua a ser estudada, não voltam mais a abordar o aperfeiçoamento do
que vem lá de trás, especialmente as equações do tipo algébrico, completas e de grau
superior ao segundo.
A resolução de problemas que envolvam equações do primeiro e segundo graus
já é de conhecimento dos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental no terceiro bimestre.
Para estas equações é possível encontrar os valores das incógnitas à custa de operações
elementares – adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz de índice
inteiro – sobre os coeficientes das equações, usando o que se designa por fórmulas
resolventes. Sabe-se que existem equações de graus superiores, mas estas possuem suas
fórmulas resolventes, mas estas são muito complicadas, o que leva à resolução dessas
equações por outros meios, que não sejam estas fórmulas.
Neste plano de trabalho, utilizaremos objetos situações cotidianas do aluno
como modelo para conhecer e explorar algumas atividades matemáticas tornando as
aulas mais atrativas de dinâmicas.
Para a realização desta atividade, o professor deve estimular o aluno para que
este seja o agente ativo da construção do novo conhecimento que lhe está sendo
apresentado.
2. Estratégias adotadas no Plano de Trabalho:
Este Plano de Trabalho está organizado em 2 (duas) etapas. Em cada uma
delas, os alunos são convidados, através de atividades dinâmicas, a lembrar a forma de
resolver equações do segundo grau e na descoberta de como resolver uma equação
biquadrada. Tudo isso resultará em um aprendizado significativo.
Atividade 1:

2.  Habilidade relacionada:
- Resolver equações biquadradas e irracionais;
- Identificar situações-problemas que são resolvidas através de equações do 2º
grau;
- Resolver problemas significativos envolvendo equações e sistemas do 2º grau.
 Pré-requisitos:
Para a realização desta atividade, é necessário que os alunos tenham o
conhecimento prévio de resolução de equação polinomial do segundo grau.
 Tempo de Duração:
100 minutos (2 aulas).
 Recursos Educacionais Utilizados:
Para a realização destas atividades, serão necessários os seguintes recursos:
 Quadro branco;
 Caneta para quadro branco;
 Calculadora;
 Lápis e folha de aula;
 Organização da turma:
Esta tarefa será realizada em pequenos grupos (2 ou 3 participantes) para que o
trabalho seja colaborativo e que ninguém fique ocioso durante a aula e sim
participando e descobrindo o conteúdo apresentado.
 Objetivos:
Ao término das aulas, o aluno deverá ser capaz de:
 Relembrar a resolução de equações do segundo grau;
 Resolver equação polinomial do segundo grau;
 Identificar uma equação biquadrada;
 Resolver equação biquadrada;
 Perceber quantas raízes reais uma equação biquadrada pode ter;
 Metodologia adotada:
Esta atividade está dividida em duas etapas com duração de 50 minutos cada
(uma aula).
1ª etapa:
Propor o seguinte questionamento para que a turma relembre a resolução de
equações do segundo grau:
“Um ourives vai utilizar um fio de ouro de 20 mm de comprimento para fazer
um pingente, formado por dois quadrados, conforme mostra a figura abaixo.

3. Ele precisa fazer isto com apenas um corte neste fio, para evitar desperdício de
material. Desprezando a espessura dos fios, a soma das áreas dos quadrados limitados
pelo fio é 13 mm2. Qual deve ser o comprimento dos dois fios obtidos do corte no fio de
ouro?”
O professor deve determinar um tempo para que a turma pense sobre as
possíveis soluções e levante suas hipóteses. O professor deve acompanhar o raciocínio
deles.
Este problema explora uma situação geométrica que será modelada por meio
da álgebra, particularmente por uma equação do 2º grau. O professor deve verificar as
hipóteses dos alunos e, logo após, resolver o problema juntamente com eles.
Se chamarmos de x o comprimento de uma das partes em que o fio for
dividido, a outra parte terá comprimento 20 – x. Note que estes comprimentos são o
perímetro de cada um dos quadrados que serão formados. Isso significa que os lados de
x 20 − x
cada um dos quadrados serão 4
e 4
e, consequentemente, suas áreas serão
2 2
x   20 − x 
  +
4   4 
 =13 , que tem solução x1 =8
e x2 =12
que são as medidas dos dois
pedaços de fios.
2ª etapa:
Para essa etapa a turma deve ser disposta em grupos de 2 ou 3 alunos,
propiciando trabalho organizado e colaborativo.
O professor deve apresentar diversas equações polinomiais tais como:
x4 − x2 +
13 36 =0 , 3x 4 − x 2 − =
5 1 0, 3 6 e pedir que verifiquem
x4 −x3 + x − =
4 0
quais equações são semelhantes e porquê.
O professor deve explicar à turma que equações biquadradas são equações do
4º grau incompletas, onde os coeficientes das variáveis de expoente ímpar são nulos.
Exemplos:
3x 4 − x 2 − =
5 1 0
7x4 + x2 + =
3 2 0
O professor deve estimular o aluno a experimentar, conjecturar e concluir
quantas são as raízes de uma equação biquadrada. Nesta etapa, aluno será convidado a
verificar as soluções de equações biquadradas. Cada aluno receberá uma lista de
exercícios:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Considere as equações e os números que aparecem ao lado de cada uma delas e
verifique se estes últimos são ou não raízes da equação.
a) x4 − x2 +
13 36 =0 , e
x =2 x = 2
−
b) x4 + x2 − =
4 5 0 , x =1
e x =1
−

4. c) x4 − x2 + =
6 8 0 , x = 2
e x =−2
d) x 4
+x
5 2
−24 =0 , x = 3
e x =−3
2. Observando os resultados do item anterior, podemos supor que toda vez que um
número real r é raiz de uma equação biquadrada, seu simétrico também é raiz desta
equação? Por quê?
3. Efetue, em cada equação, a multiplicação dos binômios e verifique se esta
multiplicação transforma-a em uma equação biquadrada.
a) ( x −)
2( ) ( )(x +2) x −3 x +3 =0
b) ( ) 1( 1)(
x + x − x −2 )
( ) x +2 =0
c) ( x −)
3( )( )
( x +3) x −5 x +5 =0
d) ( ) (
x − x −
1 )
2( )( ) x +2 x −2 =0
4. Discuta com seus colegas:
Será que é possível resolver uma equação biquadrada, utilizando a fórmula de
resolução da equação do segundo grau?
5. Resolva em ℜ
as equações biquadradas a seguir:
a) 4x 4
− x2 + =
5 1 0
b) 2t 4 − x 2 + =
3 1 0
c) 5x 4 = 2 + =
x 4 0
d) y4 =16
e) 3z 4 + z 2 − =
4 7 0
f) x4 =3x 2
Após corrigir as atividades de 1 a 3, o professor deve discutir com a turma a
questão 4. Deverá ouvir a opinião dos alunos e, depois, explicar que esse tipo de
equação pode ser resolvida mudando-se a variável a fim de que forme-se equações do 2º
grau. Basta substituir a variável por e por . Desta maneira, obtemos:
x4 y2 x2 y
ax 4 + 2 + =
bx c 0
 ay 2 + + =
by c 0
Então:
S ={ y1 , y 2 }
A seguir basta conduzi-la à equação biquadrada. Para tanto, faz-se:

5.  x1 += y1
x ±= y1 → 
 x2 −= y1
 x3 += y2
x ±= y2 → 
 x4 −= y2
O professor deve resolver uma equação juntamente com a turma ou pedir que
escolham uma equação biquadrada para que o professor resolva juntamente com eles,
explicando e demonstrando cada passo da resolução. Após a demonstração, o professor
deve solicitar que os alunos resolvam o exercício 5 da lista, que deve ser corrigida e
discutida após um tempo determinado pelo professor que acompanhará resolução de
cada atividade auxiliando sempre que surgirem quaisquer dúvidas.
3. Avaliação:
A avaliação levará em conta a participação de cada aluno na execução de cada
tarefa proposta, tentativa de resolução dos exercícios de fixação e entendimento do
aluno perante os conteúdos apresentados.
4. Referências:
BOSQUILHA, Alessandra & AMARAL, João Tomás. Minimanual Compacto de
Matemática: Teoria e Prática. 2. ed. São Paulo: Rideel, 2003.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília – DF: MEC/SEF, 1998.
IEZZI, Gelson. Matemática e Realidade. 8ª série, 5 ed. São Paulo: Atual, 2005.
LOPES, Hélio Bernardo. A resolução de equações. Disponível em:
<http://www.ipv.pt/millenium/Millenium29/28.pdf> Acesso em: 03 set. 2011.