Este documento apresenta os principais conceitos e propriedades da Transformada de Laplace, incluindo sua definição, como aplicá-la a diferentes funções, teoremas úteis e como realizar a Transformada Inversa de Laplace.
2. Transformada de Laplace
𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝑗
𝐹(𝑠)
𝑐+∞
𝑐−∞
𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠
onde c é a abscissa de convergência, uma
constante real escolhida com valor superior à
parte real de todos os pontos singulares de F(s).
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3. Transformada de Laplace
• Função transladada:
• Seja F(s) a transformada de Laplace de f(t) e a
função transladada 𝑓 𝑡 − 𝛼 1 𝑡 − 𝛼 , onde
𝛼 ≥ 0
𝑇𝐿 𝑓 𝑡 − 𝛼 1 𝑡 − 𝛼 = 𝑒−𝛼𝑠
𝐹(𝑠)
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6. Transformada de Laplace
• Multiplicação por 𝑒−𝛼𝑡
:
𝑇𝐿 𝑒−𝛼𝑡 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 + 𝛼)
• Mudança de escala de tempo:
𝑇𝐿 𝑓
𝑡
𝛼
= 𝛼𝐹(𝛼𝑠)
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7. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema da derivação real
𝑇𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝑓 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0)
• De forma análoga, para a derivada de ordem n
𝑇𝐿
𝑑 𝑛
𝑑𝑡 𝑛 𝑓 𝑡 = 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑓 0 − 𝑠 𝑛−2 𝑓 0 … − 𝑠0 𝑓 𝑛−1 (0)
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8. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema do valor final
• Se 𝑓 𝑡 𝑒 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 forem transformáveis por
Laplace e se lim
𝑡→∞
𝑓(𝑡) existir, então
lim
𝑡→∞
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→0
𝑠𝐹(𝑠)
• Ou seja, o comportamento em regime
estacionário de f(t) é o mesmo que o
comportamento de sF(s) nas proximidades de s=0.
Conseguimos obter o valor de f(t) em t = ∞
diretamente de F(s). 8
9. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema do valor inicial
• Se 𝑓 𝑡 𝑒 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 forem transformáveis por
Laplace e se lim
𝑠→∞
𝑠𝐹(𝑠) existir, então
𝑓 0+
= lim
𝑠→∞
𝑠𝐹(𝑠)
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10. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema da integração real
𝑇𝐿 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹 𝑠
𝑠
+
𝑓−1(0)
𝑠
onde 𝑓−1
0 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 avaliada em t=0.
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11. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Teorema da derivada complexa
• Se f(t) for transformável por Laplace, então,
exceto nos pólos de F(s)
𝑇𝐿(𝑡𝑓 𝑡 ) = −
𝑑
𝑑𝑠
𝐹(𝑠)
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12. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Convolução
𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 = 𝑓1 𝑡 − 𝜏 𝑓2 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
• Integral de Convolução
𝑇𝐿(𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 ) = 𝐹1 𝑠 𝐹2 𝑠
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13. Teoremas da Transformada de
Laplace
• Produto de duas funções no tempo
𝑇𝐿(𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 ) =
1
2𝜋𝑗
𝐹1 𝑠 − 𝑝 𝐹2 𝑝 𝑑𝑝
𝑐+∞
𝑐−∞
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14. Transformada Inversa de
Laplace
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝑗
𝐹(𝑠)
𝑐+∞
𝑐−∞
𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠
• Outra maneira, é utilizar métodos para a
obtenção a partir de transformadas de Laplace
conhecidas.
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15. Transformada Inversa de
Laplace
• Método de expansão em frações parciais
• 𝐹 𝑠 =
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
, onde A(s) e B(s) são polinômios
em s.
• A maior potência de s em A(s) deve ser maior
do que a maior potência de s em B(s)
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
= 𝐾
𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 … (𝑠 + 𝑧 𝑚)
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 … (𝑠 + 𝑝 𝑛)
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 < 𝑛
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